3.2三角形的内切圆
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课件25张PPT。1、确定圆的条件是什么？1.圆心与半径2、叙述角平线的性质与判定性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；
圆O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心知识回顾2.不在同一直线上的三点 李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。思考ABC3.2 三角形的内切圆思考下列问题：1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。?2．如图2，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心0在∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。 OMABCN探究：三角形内切圆的作法IFCABED3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？ 4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？ 作出三个内角的平分线，三条内角
平分线相交于一点，这点就是符合
条件的圆心，过圆心作一边的垂线，
垂线段的长是符合条件的半径。 只能作一个，因为三角形的三条内角
平分线相交只有一个交点。 IFCABED探究：三角形内切圆的作法作法： ABC1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I. MN探究：三角形内切圆的作法⊙I就是所求的圆。1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。识记2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。 1.如图1，△ABC是⊙O的 三角形。⊙ O是△ABC的 圆，
点O叫△ABC的 它是三角形 __________的交点。外接内接外心三边中垂线2.如图2，△DEF是⊙I的 三角形，
⊙I是△DEF的 圆，
点I是 △DEF的 心，
它是三角形 的交点。外切内切内三个角平分线?
外心（三角形外接圆的圆心）
?
三角形三条角平分线的交点
?
?
?
?
?
?
?
例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝70°，点O是内心，求∠BOC的
度数。 分析： ∠O = ? ∠1 + ∠3= ? O为△ABC的内心 BO是∠ABC的角平分线 CO是∠ACB的角平分线 三角形内心性质的应用解： ∴∠1＝∠2＝ C∵点O为△ABC的内心 ∴ ∠BOC=1800 - (∠1+∠2)
=1800 - (250+350)
=1200
∴ ∠BOC=1200三角形内心性质的应用∴BO,CO平分∠ABO和∠ACB
∴ ∠ABC=50°，∠ACB＝70°（2）若∠A=80 °,则∠BOC= 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。
20130试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？
请说明理由． 如图,一个木模的上部是圆柱,下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆,已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm,求圆柱底面圆的半径.例题1:DOAB.C例2、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径。解： 如图是这个木模的俯视图，设圆o切AB于点D，连结OA，
OB，OD.∵圆o是△ABC的内切圆,∴AO,BO是∠BAC, ∠ABC的角平分线∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠OAB=∠OBA=300∵OD⊥AB,AB=3cm,∴AD=BD= AB=1.5(cm)∴OD=AD. tan300= (cm)答:圆柱底面圆的半径为 cm.DOAB.C例２、如图，已知⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F，设△ABC周长为Ｌ。
求证：ＡＥ＋ＢＣ＝ Ｌ你能找到哪些线段相等周长的一半可以由哪些线段组成D(切线长定理）例4.已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为
a,b,c,I为内心，内切圆半径为r,
求△ABC的面积(用a,b,c,r表示）证明：连结AI,BI,CI
Ｓ△ABC ＝Ｓ△ABI + Ｓ△BCI + Ｓ△ACI练习：
⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿＿
⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿＿11.5 思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
解： ∵雕塑中心M到道路三边的距离相等
∴点M是△ABC的内心，连结AM、BM、CM，设⊙M的半径为r米，⊙M分别切AC、BC、AB于点D、E、F，则MD⊥AC， ME ⊥BC， MF ⊥AB，则MD= ME= MF=r，
∵在Rt △ABC 中，AC=40，BC=30， ∴AB=50
∵ △ABC的面积为 AC·BC= × 40×30= 600，又∵ △ABC
的面积为 （AC·MD+BC ·ME+AB ·MF）=20 r+15 r+25 r=60 r
∴60 r= 600， r=10
答：镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米。
（三）、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：ABCOIabc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm 则其内切圆的半径为______。2cmABCOD等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的求法：基本思路：构造Rt△BOD，BO为外接圆半径R，DO为内切圆半径r。Rr可见正三角形内切圆和外接圆的半径之比是1：21. 定义：和多边形各边都相切的圆
叫做 ，这个
多边形叫做 。
多边形的内切 圆圆的外切多边形内切外切2.如上图，四边形DEFG是⊙O的 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 圆.思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方
形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？(菱形，正方形一定有内切圆)多边形的内切圆3.如上图,四边形DEFG是圆O的外切四边形,则它有什么性质?2、已知：等边三角形ABC中，E是内心，
∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，
求证：DE=DB=DCABCDE 1 .判断题：
1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3、等边三角形的内心和外心重合； （ ）
4、三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
5、菱形一定有内切圆（ ）
6、矩形一定有内切圆（ ）
错错对对 错 对(六)能力训练（2）如图，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB= （3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）APABD简单应用:1、已知O是△ABC的内心，若∠AOC=120°，则∠B=_________。若∠A=x，则∠BOC=_________2、已知△ABC的面积为12cm2，周长为24cm，则△ABC内切圆的半径为________cm3、已知△ABC的面积为S，周长为L，△ABC内切圆的半径为r，则S、L、r之间有什么关系？_________4、正三角形的内切圆半径与高之比是__________5、等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比为____________。
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；
圆O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心知识回顾2.不在同一直线上的三点 李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。思考ABC3.2 三角形的内切圆思考下列问题：1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。?2．如图2，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心0在∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。 OMABCN探究：三角形内切圆的作法IFCABED3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？ 4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？ 作出三个内角的平分线，三条内角
平分线相交于一点，这点就是符合
条件的圆心，过圆心作一边的垂线，
垂线段的长是符合条件的半径。 只能作一个，因为三角形的三条内角
平分线相交只有一个交点。 IFCABED探究：三角形内切圆的作法作法： ABC1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I. MN探究：三角形内切圆的作法⊙I就是所求的圆。1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。识记2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。 1.如图1，△ABC是⊙O的 三角形。⊙ O是△ABC的 圆，
点O叫△ABC的 它是三角形 __________的交点。外接内接外心三边中垂线2.如图2，△DEF是⊙I的 三角形，
⊙I是△DEF的 圆，
点I是 △DEF的 心，
它是三角形 的交点。外切内切内三个角平分线?
外心（三角形外接圆的圆心）
?
三角形三条角平分线的交点
?
?
?
?
?
?
?
例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝70°，点O是内心，求∠BOC的
度数。 分析： ∠O = ? ∠1 + ∠3= ? O为△ABC的内心 BO是∠ABC的角平分线 CO是∠ACB的角平分线 三角形内心性质的应用解： ∴∠1＝∠2＝ C∵点O为△ABC的内心 ∴ ∠BOC=1800 - (∠1+∠2)
=1800 - (250+350)
=1200
∴ ∠BOC=1200三角形内心性质的应用∴BO,CO平分∠ABO和∠ACB
∴ ∠ABC=50°，∠ACB＝70°（2）若∠A=80 °,则∠BOC= 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。
20130试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？
请说明理由． 如图,一个木模的上部是圆柱,下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆,已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm,求圆柱底面圆的半径.例题1:DOAB.C例2、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径。解： 如图是这个木模的俯视图，设圆o切AB于点D，连结OA，
OB，OD.∵圆o是△ABC的内切圆,∴AO,BO是∠BAC, ∠ABC的角平分线∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠OAB=∠OBA=300∵OD⊥AB,AB=3cm,∴AD=BD= AB=1.5(cm)∴OD=AD. tan300= (cm)答:圆柱底面圆的半径为 cm.DOAB.C例２、如图，已知⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F，设△ABC周长为Ｌ。
求证：ＡＥ＋ＢＣ＝ Ｌ你能找到哪些线段相等周长的一半可以由哪些线段组成D(切线长定理）例4.已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为
a,b,c,I为内心，内切圆半径为r,
求△ABC的面积(用a,b,c,r表示）证明：连结AI,BI,CI
Ｓ△ABC ＝Ｓ△ABI + Ｓ△BCI + Ｓ△ACI练习：
⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿＿
⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿＿11.5 思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
解： ∵雕塑中心M到道路三边的距离相等
∴点M是△ABC的内心，连结AM、BM、CM，设⊙M的半径为r米，⊙M分别切AC、BC、AB于点D、E、F，则MD⊥AC， ME ⊥BC， MF ⊥AB，则MD= ME= MF=r，
∵在Rt △ABC 中，AC=40，BC=30， ∴AB=50
∵ △ABC的面积为 AC·BC= × 40×30= 600，又∵ △ABC
的面积为 （AC·MD+BC ·ME+AB ·MF）=20 r+15 r+25 r=60 r
∴60 r= 600， r=10
答：镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米。
（三）、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：ABCOIabc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm 则其内切圆的半径为______。2cmABCOD等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的求法：基本思路：构造Rt△BOD，BO为外接圆半径R，DO为内切圆半径r。Rr可见正三角形内切圆和外接圆的半径之比是1：21. 定义：和多边形各边都相切的圆
叫做 ，这个
多边形叫做 。
多边形的内切 圆圆的外切多边形内切外切2.如上图，四边形DEFG是⊙O的 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 圆.思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方
形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？(菱形，正方形一定有内切圆)多边形的内切圆3.如上图,四边形DEFG是圆O的外切四边形,则它有什么性质?2、已知：等边三角形ABC中，E是内心，
∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，
求证：DE=DB=DCABCDE 1 .判断题：
1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3、等边三角形的内心和外心重合； （ ）
4、三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
5、菱形一定有内切圆（ ）
6、矩形一定有内切圆（ ）
错错对对 错 对(六)能力训练（2）如图，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB= （3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ）APABD简单应用:1、已知O是△ABC的内心，若∠AOC=120°，则∠B=_________。若∠A=x，则∠BOC=_________2、已知△ABC的面积为12cm2，周长为24cm，则△ABC内切圆的半径为________cm3、已知△ABC的面积为S，周长为L，△ABC内切圆的半径为r，则S、L、r之间有什么关系？_________4、正三角形的内切圆半径与高之比是__________5、等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比为____________。