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数学八年级下册第1章二次根式
1.1二次根式
【知识重点】
1.二次根式的概念：
一般地，把形如()的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.
2.二次根式的非负性
二次根式的实质是一个正数的算术平方根，它具有非负性，即当时，≥0.
【经典例题】
例题1、求下列二次根式中字母的取值范围．
（1）． （2）． （3）． （4）．
例题2、当 为何值时，下列各式有意义？
（1） ． （2） ．
例题3、已知二次根式 ．
（1）求 的取值范围．
（2） 当 时， 求二次根式 的值．
（3） 若二次根式 的值为零， 求 的值．
例题4、已知x，y为实数，且满足，求2x+3y的值.
【基础训练】
1．下列各式中，属于二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
2．二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．二次根式中字母的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4． 下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．当x=0时，二次根式的值是 （ ）
A．6 B．3 C． D．0
6．当x＝ 时，的值最小．
7．一块面积为5 m2 的正方形桌布，其边长为 m，这个边长 （填“是”或“不是”）二次根式.
8． 要使二次根式有意义，请写出一个满足条件的整数的值： ．
9．若二次根式 ， 求 的值.
10．已知是整数，求自然数n的值.
11．已知一个直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为x．
（1）用关于x的代数式表示这个直角三角形的另一条直角边长；
（2）当x=40时，求另一条直角边的长．
12．已知，求的值．
【培优训练】
13．已知：m， n是两个连续自然数（mA．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数
14．已知|2024-a|+=a，则a-20242= .
15．已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是 ．
16． 已知实数a，b，c 满足 求a，b，c的值.
17．若关于 的方程 存在整数解， 求正整数 所有可取的值.
18．已知a，b，c满足，
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
19．已知实数 满足等式 .
（1） 若 ， 求 的值.
（2）若实数 ， 求 的平方根.
20．阅读下列引例的解答过程：
已知x，y为实数，且y= ，求x+y的值．
解：由题意，得x-2021≥0且2021-x≥0，
∴x≥2 021且x≤2 021，
∴x=2 021，∴y=1，
∴x+y=2 022．
结合引例，请挖掘下列问题中所蕴含的条件并解决问题：
（1）已知y= -2．求(x+y)y的值．
（2）已知y= -1，求x-y的值．
（3）已知|2021-x|+ = x，求x-20212的值．
【期末常考】
21．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．代数式中x的取值范围是 .
23．二次根式中，a的取值范围是 。
24．当 时， 的值最小．
【课后作业】
1． 下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2． 若要使有意义，则字母的值可以是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
3．已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
4．当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．当时，二次根式的值为 ．
6．若，则= .
7．若二次根式的值为5，则 .
8．当x满足什么条件时，下列式子在实数范围内有意义？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
9．
（1）已知二次根式 ，求x的取值范围；
（2）当x=-2时，求二次根式 的值；
（3）若二次根式 的值为1，求x的值．
10．（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
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数学八年级下册第1章二次根式
1.1二次根式
【知识重点】
1.二次根式的概念：
一般地，把形如()的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.
2.二次根式的非负性
二次根式的实质是一个正数的算术平方根，它具有非负性，即当时，≥0.
【经典例题】
例题1、求下列二次根式中字母的取值范围．
（1）．（2）．（3）．（4）．
【答案】（1）解：∵ 2k≥0，
∴；
（2）解：∵
∴；
（3）解：∵ 1-2k≥0，
∴；
（4）解：≥0，
∴取全体实数.
例题2、当 为何值时，下列各式有意义？
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：由题意得且2x+1≠0，
∴
（2）解：由题意得x+1≥0，x-2≠0，
∴
例题3、已知二次根式 ．
（1）求 的取值范围．
（2） 当 时， 求二次根式 的值．
（3） 若二次根式 的值为零， 求 的值．
【答案】（1）解：
解得x≤6.
（2）解：将x=-2代入
得
（3）解：
解得x=6.
例题4、 已知x，y为实数，且满足，求2x+3y的值.
【答案】解：∵且，∴，∴，
∴．
【基础训练】
1．下列各式中，属于二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、∵中﹣3＜0，∴不是二次根式，故A项不符合题意；
B、∵中2＞0，∴是二次根式，故B项符合题意；
C、∵是三次根号，∴不是二次根式，故C不符合题意；
D、∵中当x≤3时是二次根式，∴有可能是二次根式，故D不符合题意．
故答案为：B．
2．二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为：A.
3．二次根式中字母的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，解得：．
故选B．
4． 下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】下列各式中，是二次根式有：①，④，⑦，共三个，
故答案为：B.
5．当x=0时，二次根式的值是 （ ）
A．6 B．3 C． D．0
【答案】B
【解析】依题意有：当x=0时，.
故答案为：3.
6．当x＝ 时，的值最小．
【答案】1
【解析】根据题意得，，
解得，，
所以，当时，有最小值．
故答案为：1．
7．一块面积为5 m2 的正方形桌布，其边长为 m，这个边长 （填“是”或“不是”）二次根式.
【答案】；是
【解析】设正方形的边长为a（a>0），
根据题意知：a2=5，
∴a=（a=-舍去），
∴正方形边长是，是二次根式.
故答案为：；是.
8． 要使二次根式有意义，请写出一个满足条件的整数的值： ．
【答案】1
【解析】根据二次根式有意义的条件得：，
解得，
所以满足条件的整数x的值可以为1(答案不唯一)，
故答案为：1(答案不唯一).
9．若二次根式 ， 求 的值.
【答案】解：∵5，
∴4m2＝25，
∴m2，
∴m＝±．
10．已知是整数，求自然数n的值.
【答案】解：由题意得0≤10-n，
又n为自然数，
∴0≤n≤10，
∵是整数 ，
∴10-n=02，10-n=12，10-n=22，10-n=32，
∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1.
11．已知一个直角三角形的斜边长为41，一条直角边长为x．
（1）用关于x的代数式表示这个直角三角形的另一条直角边长；
（2）当x=40时，求另一条直角边的长．
【答案】（1）解：另一条直角边长为
（2）解：当x=40时，另一条直角边的长为 =9
12．已知，求的值．
【答案】解：∵，∴．
又∵，∴，
∴，，
∴
【培优训练】
13．已知：m， n是两个连续自然数（mA．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数
【答案】A
【解答】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，
∵q=mn，
∴q=m（m+1)，
∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，
∴p＝=m+1+m=2m+1，
即p的值总是奇数．
故选A．
14．已知|2024-a|+=a，则a-20242= .
【答案】2025
【解析】
∴，
∴，
∴原式为：
解得：，
∴
故答案为：2025.
15．已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是 ．
【答案】3
【解析】∵ =4 ，若 是整数，则 也是整数；
∴n的最小正整数值是3；
故答案是：3．
16． 已知实数a，b，c 满足 求a，b，c的值.
【答案】解：由题意，得c-3≥0，3-c≥0，
∴c=3，
∴|a-|+=0.
又∵|a-|≥0，≥0，
∴a-=0，b-2=0，
∴a=，b=2
17．若关于 的方程 存在整数解， 求正整数 所有可取的值.
【答案】解：由题意可知，必为整数，
设y，则x＝2024﹣y2，
则．
∵y为非负整数，则要使m为整数，则y能被10整除，
∴y＝1，2，5，10，
∴m＝8，1，﹣5，﹣19．
∵m为正整数，
∴m＝1，8，
∴正整数m的所有可取的值为1和8．
18．已知a，b，c满足，
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴8－a≥0，a－8≥0，
∴a=8.
∴
∵|c－17|≥0，(b-15)2≥0，
∴c=17，b=15.
∴a=8，b=15，c=17
（2）解：能，理由如下：
∵82+152=64+225=289=172，
故 以a，b，c为可以构成三角形，且构成直角三角形.
周长：8+15+17=40.
面积：8×15÷2=60.
19．已知实数 满足等式 .
（1） 若 ， 求 的值.
（2）若实数 ， 求 的平方根.
【答案】（1）解：把z＝﹣1代入已知等式中，可得：，①；
，②
由①+②得：，
∴x+y＝30．
∴．
（2）解：∵，
∴x﹣3y≥0，3y﹣x≥0，
∴x﹣3y＝0．
把x＝3y代入已知等式，并整理得：3y+2z＝17，11y+12z＝81，
解得：x＝9，y＝3，z＝4，
∴m4，
∴m的平方根是±2；
20．阅读下列引例的解答过程：
已知x，y为实数，且y= ，求x+y的值．
解：由题意，得x-2021≥0且2021-x≥0，
∴x≥2 021且x≤2 021，
∴x=2 021，∴y=1，
∴x+y=2 022．
结合引例，请挖掘下列问题中所蕴含的条件并解决问题：
（1）已知y= -2．求(x+y)y的值．
（2）已知y= -1，求x-y的值．
（3）已知|2021-x|+ = x，求x-20212的值．
【答案】（1）解：由已知可得x=4，y=-2，∴(x+y)y=(4-2)-2=
（2）解：由题意得x=0，y=-1，∴x-y=0-(-1)=1
（3）解：∵x-2022≥0，∴x≥2022，
∴x-2021+ =x，
∴ =2021，
∴x-2 0212=2022．
【期末常考】
21．若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵二次根式有意义，
∴a-2≥0，即a≥2，
则a的范围是a≥2，
故答案为：D.
22．代数式中x的取值范围是 .
【答案】x≥-1
【解析】∵，
∴，即.
故答案为：.
23．二次根式中，a的取值范围是 。
【答案】a≥2
【解析】二次根式有意义需满足a 2≥0，即a≥2，
故答案为：a≥2.
24．当 时， 的值最小．
【答案】3
【解析】∵0，
∴的最小值为0，
∴当，即时，的值最小．
故答案为：3．
【课后作业】
1． 下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、∵x是变量，x+1的值可能为正、零或负，无法保证恒为非负，因此不一定是二次根式，则本项不符合题意；
B、∵π≈3.14，∴3 π≈-0.14为负数，不符合二次根式的条件，则本项不符合题意；
C、3是正数，始终满足非负条件，因此一定是二次根式，则本项符合题意；
D、-1是负数，不符合二次根式的定义，则本项不符合题意；
故答案为： C.
2． 若要使有意义，则字母的值可以是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】A
【解析】若有意义，则a-2≥0，
∴a≥2，
∴字母a的值可以是3，
故答案为：A.
3．已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
4．当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】当时， ，
故答案为：A.
5．当时，二次根式的值为 ．
【答案】
【解析】把代入，得
化简得，原式=；
即
故答案为：
6．若，则= .
【答案】16
【解析】∵要使、有意义，
∴2-x≥0，x-2≥0，
∴x=2，
∴y=4，
把x=2，y=4代入=.
故答案为：16.
7．若二次根式的值为5，则 .
【答案】
【解析】由题意，则
，
∴，
∴；
故答案为： .
8．当x满足什么条件时，下列式子在实数范围内有意义？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
【答案】（1）解：∵有意义，
∴x+1≥0，
∴x≥-1；
（2）解：∵有意义，
∴x2+2≥0，
∴x为任意实数；
（3）解：∵有意义，
∴-x2≥0，
∴x=0；
（4）解：∵有意义，
∴3-2x＞0，
∴x＜1.5.
9．（1）已知二次根式 ，求x的取值范围；
（2）当x=-2时，求二次根式 的值；
（3）若二次根式 的值为1，求x的值．
【答案】（1）解：∵有意义，
∴3-x≥0，
∴x≤6；
（2）解：当x=-2时， ==2；
（3）解：∵=1，
∴3-x=1，
∴x=4.
10．（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
【答案】解：（1），
，解得，
；
（2），
，且，
，则，
，则的平方根是．
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