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数学八年级下册第1章二次根式
1.2 二次根式的性质（2）
【知识重点】
1.二次根式的性质：
（1） (a≥0，b≥0)
（2）(a≥0，b>0)
2.最简二次根式
像、、这样，(1)被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.
【经典例题】
例题1、化简下列各式：（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
【答案】（1）解：=×=5×3=15.
（2）解：==×=6×100=600.
（3）解：==×=3×5=15.
（4）解：==××=2××13=
（5）解：原式==×=6
（6）解：原式===×=10-3×=
例题2、化简
（1） ； （2） ； （3）6 ；
【答案】（1）解：原式＝ ；
（2）解：原式＝ ＝ ；
（3）解：原式＝6× ＝2 ．
例题3、【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
等．
【猜想】（1）_______，并证明你的猜想；
【推理证明】（2）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
【创新应用】（3）按此规律，若（为正整数），则的值为_______．
【答案】解：（1），证明如下，
，
故答案为：；
（2），证明如下，
（3）
【解析】（3），
，，
，
，
故答案为：．
例题4、阅读下列解题过程，按要求回答问题．
化简：
解：原式= ①
=②
=③
=④.
（1）上面的解答过程是否正确？若不正确，指出是哪一步出现错误；
（2）请写出你认为正确的解答过程．
【答案】（1）解：不正确，
∵y＜x＜0，
∴y-x<0，
∴=x-y，
∴②③出现错误；
（2）解：原式===-x==.
【基础训练】
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．在，，，，中，最简二次根式的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
3．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为：A、 = ； B、 =2 ；D、 = |b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．4050
【答案】B
【解析】∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
5．将化简，正确的结果是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．
【答案】C
【解析】
=
=3×
=6．
故选：C．
6．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、实数范围内被开方数不能为负数，， 本选项不符合题意；
故选：A．
7．把化为最简二次根式，结果是 ．
【答案】
【解析】，
故答案为：.
8．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】
【解析】与最简二次根式是同类二次根式，
解得
故答案为：.
9． 阅读材料：
将等式 反过来，可得到 ． 根据这个思路，我们可以把根号外的因式 “移人”根号内， 用于根式的化简．例如： ．请你仿照上面的方法， 化简下列各式：
（1） ．（2） ．（3） ．
【答案】（1）解：3==
（2）解：
（3）解：
10．化简 ：（1） ．（2） ．（3） ．（4） ．
【答案】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式
（4）原式=
11． 如图， 等边三角形 的边长为 于点 ．
（1）求 的长．
（2）求 的面积．
【答案】（1）解：根据条件得AB=4cm，BD=2cm.
再根据勾股定理得.
（2）解：.
12．观察下列各式，发现规律：
；；；……
（1）填空： ， ．
（2）计算（写出计算过程）：
（3）用含自然数n（）的等式把你所发现的规律表示出来．
【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）解：（自然数）
【解析】（1），
.
故答案为：，；
【培优训练】
13． 下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、 ，成立，不符合题意；
B、 ，成立 ，不符合题意；
C、 ，不成立， 符合题意；
D、 ，成立 ，不符合题意；
故答案为：C .
14．若是正整数，最小的正整数n是（ ）
A．6 B．3 C．48 D．2
【答案】B
【解析】=
∵是正整数，即是正整数，
∴最小的正整数n是3．
故答案为：B．
15．已知=a，=b，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
．
∵a，b，∴原式．
故答案为：D．
16．二次根式化简结果正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴原式
，
故答案为：．
17．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
18．设，则S最接近的数是（ ）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
【答案】B
【解析】设n为任意正整数，
∴===
∴
=
=
，
因此与s最接近的整数是2009．
故答案为：B．
19．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ．
【答案】
【解析】第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：，
…
第n个等式∶
当时，．
故答案为：
20．观察下列等式，并回答问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
（1）请直接写出第5个等式 ；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）证明：
（3）解：原式＝＝＝1
21．观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）若；则______，______．
（2）的值为_________．
（3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
【答案】（1），；
（2）；
（3）第n个等式为：，即.
证明：左边=右边，
∴．
【解析】（1）由题意可得，
，
∴，，
故答案为：，；
（2）由题意可得，
，
故答案为：；
22．观察下列等式∶
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
…
按照以上规律，解决下列问题∶
（1）写出你猜想的第个等式 ；（用含的等式表示）
（2）根据上面的结论计算的结果．
【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
【解析】（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
…
第个等式，
故答案为：；
【期末常考】
23． 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据二次根式的定义判断，
选项A：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，故选项A正确；
选项B：被开方数含有分母，故不是最简二次根式，选项B错误；
选项C：被开方数含有能开方的因数4，故不是最简二次根式，选项C错误；
选项D：被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，选项D错误；
故答案为：A.
24．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A. 不能再开方，是最简二次根式，故A符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意；
故答案为：A.
【课后作业】
1．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故答案为：B
2．与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 是同类二次根式，符合题意；
故答案为： D.
3．化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵有意义，
∴且，
，
故答案为：B．
4． 若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】；
由是整数，得a最小值为6，
故答案为：C.
5． 化简 ， ， ， ， ，
【答案】；；；；；20
【解析】第1空、.
故答案为：.
第2空、.
故答案为：.
第3空、 ，.
故答案为：.
第4空、 .
故答案为：.
第5空、.
故答案为：.
第6空、.
故答案为：20.
6．已知，化简 ．
【答案】a
【解析】∵有意义，
∴，
又a2≥0
∴b≤0，
又∵ab<0，
∴a>0，b<0，
∴.
故答案为：a.
7．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值
【答案】解：∵，
当的值越大时，即的值越大；
此时n取值越小；
∵是整数，n为正整数，
∴时，n的值最小；
∴n的最小值为3；
当的值越小时，即的值越小；
此时，n取值越大；
又∵是大于1的整数，
∴时，n的值最大；
此时，
解得：n=75；
故n的最小值是3，最大值是75.
8．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为为格点三角形．
（1）求的三边的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意得：
，
，
；
（2）解：是直角三角形，
理由如下：
∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
9．观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
【答案】（1）解：第4个等式：
验证：
（2）第个等式：
验证：
10．阅读下面的解题过程，判断是否正确.若不正确，请写出正确的解答过程.
已知m为实数，化简
解：原式
【答案】解：不正确.正确的解答如下：
∵-m3≥0，，m≠0
∴m＜0；
原式
=
=
=
=
=0.
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数学八年级下册第1章二次根式
1.2 二次根式的性质（2）
【知识重点】
1.二次根式的性质：
1. (a≥0，b≥0)
2. (a≥0，b>0)
2.最简二次根式
像、、这样，(1)被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.
【经典例题】
例题1、化简下列各式：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
例题2、化简
（1） ； （2） ； （3）6 ；
例题3、【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
等．
【猜想】（1）_______，并证明你的猜想；
【推理证明】（2）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明．
【创新应用】（3）按此规律，若（为正整数），则的值为_______．
例题4、 阅读下列解题过程，按要求回答问题．
化简：
解：原式= ①
=②
=③
=④.
（1）上面的解答过程是否正确？若不正确，指出是哪一步出现错误；
（2）请写出你认为正确的解答过程．
【基础训练】
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．在，，，，中，最简二次根式的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．4050
5．将化简，正确的结果是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．
6．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．把化为最简二次根式，结果是 ．
8．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
9． 阅读材料：
将等式 反过来，可得到 ． 根据这个思路，我们可以把根号外的因式 “移人”根号内， 用于根式的化简．例如： ．请你仿照上面的方法， 化简下列各式：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
10．化简 ：
（1） ． （2） ． （3） ． （4） ．
11． 如图， 等边三角形 的边长为 于点 ．
（1）求 的长．
（2）求 的面积．
12．观察下列各式，发现规律：
；；；……
（1）填空： ， ．
（2）计算（写出计算过程）：
（3）用含自然数n（）的等式把你所发现的规律表示出来．
【培优训练】
13． 下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．若是正整数，最小的正整数n是（ ）
A．6 B．3 C．48 D．2
15．已知=a，=b，则=（ ）
A． B． C． D．
16．二次根式化简结果正确的为（ ）
A． B． C． D．
17．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
18．设，则S最接近的数是（ ）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
19．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ．
20．观察下列等式，并回答问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
（1）请直接写出第5个等式 ；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明；
（3）计算：．
21．观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）若；则______，______．
（2）的值为_________．
（3）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明．
22．观察下列等式∶
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：；
…
按照以上规律，解决下列问题∶
（1）写出你猜想的第个等式 ；（用含的等式表示）
（2）根据上面的结论计算的结果．
【期末常考】
23． 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
24．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【课后作业】
25．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
26．与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
27．化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
28． 若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
29． 化简 ， ， ， ， ，
30．已知，化简 ．
31．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值
32．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为为格点三角形．
（1）求的三边的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
33．观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
34．阅读下面的解题过程，判断是否正确.若不正确，请写出正确的解答过程.
已知m为实数，化简
解：原式
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