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数学八年级下册第1章二次根式
1.3 二次根式的运算（2）
【知识重点】
一、同类二次根式：
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.
3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”.
二、二次根式的运算法则：
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.
【经典例题】
例题1、已知最简二次根式 与 可以合并，则a+b的值为 ．
【答案】2
【解析】
因为最简二次根式 与 可以合并 ，
所以 与 是同类根式，
所以4a+3=2a-b+6，且b+1=2
所以b=1，a=1
所以a+b=2
故答案为：2.
例题2、一个三角形的三边长分别为 和 ，则这个三角形的周长是
【答案】
【解析】由题意可知，这个三角形三边周长为：，
故答案为：.
例题3、计算：
（1） ．（2） ．
（3） ．（4） ．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
=
=
=
（3）解：=
（4）解：=
38．计算：（1） （2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：；
39．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
=
=
=
，
将a=4，b=3代入得：原式．
【基础训练】
1．下列各式中能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】A、是最简二次根式，且与不是同类二次根式，不能合并， 故不符合题意；
B、是最简二次根式，且与不是同类二次根式，不能合并， 故不符合题意；
C、2是整式，与不是同类二次根式，不能合并， 故不符合题意；
D、是最简二次根式，与是同类二次根式，能合并， 故符合题意；
故答案为：D.
2．若算式（2+2√2）※（1+√2）的结果是有理数，则※表示的运算符号是（ ）
A．+ B．一 C．x D．÷
【答案】D
【解析】A、，是无理数，不符合题意；
B、，是无理数，不符合题意；
C、，是无理数，不符合题意；
D、，是有理数，符合题意；
故答案为：D.
3． 计算 的值是（ ）
A．-4 B．4 C．6 D．-3
【答案】A
【解析】=1-5=-4，
故答案为：A.
4．若与最简二次根式可以合并，则 ．
【答案】3
【解析】根据题意可得，想要和合并，所以可以得出a-1=2，a=3。
故答案为：3.
5．计算： ．
【答案】
【解析】原式；
故答案为：．
6． 计算的结果是 ．
【答案】
【解析】，
故答案为：.
7． 计算：＝ ．
【答案】-2
【解析】
故答案为：-2
8．若的整数部分为a，小数部分为b，则 ，代数式的值是 ．
【答案】；2
【解析】∵1＜＜2，
∴-1＞-＞-2，
∴2＞3-＞1，
∴3-的整数部分为a=1，小数部分为b=3--1=2-，
∴（+2） b=（+2） （2-）=4-2=2.
故答案为：2-；2.
9． 计算：（1）（2）
【答案】（1）解：原式=2-2+3=3
（2）解：原式= + -2=2+-2=
10．计算：
（1） .
（2） .
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
11．计算题
（1）
（2）先化简，再求值：，求的值
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
，
，
，
原式．
12．淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数．
（1）若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果．
（2）若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由．
【答案】（1）解：依题意，得；
（2）解：嘉嘉的说法对，理由如下：
依题意，得，
，与是同类项，
故嘉嘉的说法对．
【培优训练】
13．已知 ， ，则a与b的关系为（ ）.
A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1
【答案】A
【解析】因为b= ，所以a=b，
故答案为：A.
14．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
∵，，
∴原式，
故选：．
15．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．或
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
16． 若的小数部分是a，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】∵4<6<9，
∴，
∴，
∴整数部分是1，小时部分是，
∴原式=
故答案为：D.
17．化简： ．
【答案】9
【解析】
=
．
故答案为：9.
18．已知，，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵，
∴
．
故答案为：.
19．已知，，求的值是 .
【答案】
【解析】∵，，
∴a+b=4，a-b=，ab=1，
=3（a2-b2）+11ab=3(a+b)(a-b)+11ab
=3×4×（）+11×1=11-24.
故答案为：.
20． 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，…，则 ．
【答案】2024
【解析】，
，
，
，
∴．
故答案为：2024
21．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：∵，∴，
∴，则，
∴，
∴．
22．配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：，，
，
，
∴
．
（3）解：∵，，
∴．
【期末常考】
23．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】、与不能合并，故A选项不符合题意；
B、与不能合并，故B选项不符合题意；
C、，与不能合并，故C选项不符合题意；
D、，与能合并，故D选项符合题意.
故答案为：D.
24．已知，则的值为 ．
【答案】32
【解析】∵，
，
∴，
∴，
故答案为：32．
25．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：＝23＝5
（2）解：====
【课后作业】
1．已知，则实数a满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
∵即，
∴.
故答案为：A.
2．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
【答案】A
【解析】，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故答案为：A．
3．设，，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵a=-3，b=，
∴b===-(+3)，
∵，
∴-3＞-(+3)，
∴a＞b.
故答案为：D .
4．计算：
（1） .
（2） .
【答案】（1）
（2）-6
【解析】（1）原式==；
（2）原式==12-18=-6.
5．已知：求：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：∵，
∴==
.
6．计算：
（1）；（2）．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
7．计算：（1）；（2）．
【答案】（1）解：=＝2-3＝-1.
（2）解：.
8．计算
（1）
（2）
【答案】（1）解： ；
（2）解： .
【答案】（1）解：==
（2）解：===
10．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：原式
=
=
；
（2）解：原式；
（3）解：原式==；
（4）解：解：，
原式．
11．已知，，．求：
（1）和的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
．
12．我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．因为，所以的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，即的小数部分为．
根据以上方法解答下列问题：
（1）的整数部分为______，小数部分为______；
（2）已知的相反数为，的整数部分为b，的小数部分为c，求的立方根．
【答案】（1）4，
（2）解：∵的相反数为，∴，
解得，
∵，
∴，
∴
∴的整数部分．
∵，
∴的整数部分为1，小数部分．
∴．
∵8的立方根为2，
∴的立方根为2．
【解析】【解答】（1）解：∵
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为．
故答案为：4，
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数学八年级下册第1章二次根式
1.3 二次根式的运算（2）
【知识重点】
一、同类二次根式：
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.
3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”.
二、二次根式的运算法则：
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.
【经典例题】
例题1、已知最简二次根式 与 可以合并，则a+b的值为 ．
例题2、一个三角形的三边长分别为 和 ，则这个三角形的周长是
例题3、计算：
（1） ． （2） ．
（3） ． （4） ．
例题4、计算：
（1） （2）
例题5、先化简，再求值：，其中，．
【基础训练】
1．下列各式中能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C．2 D．
2．若算式（2+2√2）※（1+√2）的结果是有理数，则※表示的运算符号是（ ）
A．+ B．一 C．x D．÷
3． 计算 的值是（ ）
A．-4 B．4 C．6 D．-3
4．若与最简二次根式可以合并，则 ．
5．计算： ．
6． 计算的结果是 ．
7． 计算：＝ ．
8．若的整数部分为a，小数部分为b，则 ，代数式的值是 ．
9． 计算：
（1） （2）
10．计算：
（1） . （2） .
11．计算题
（1）
（2）先化简，再求值：，求的值
12．淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数．
（1）若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果．
（2）若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由．
【培优训练】
13．已知 ， ，则a与b的关系为（ ）.
A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1
14．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．或
16． 若的小数部分是a，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．2
17．化简： ．
18．已知，，则的值为 ．
19．已知，，求的值是 .
20． 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，…，则 ．
21．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求的值．
22．配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
【期末常考】
23．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
24．已知，则的值为 ．
25．计算：
（1）．
（2）．
【课后作业】
1．已知，则实数a满足（ ）
A． B． C． D．
2．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
3．设，，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．
4．计算：
（1） .
（2） .
5．已知：求：
（1）；
（2）
6．计算：（1）； （2）．
7．计算：（1）； （2）．
8．计算（1） （2）
9．计算题（1）； （2）.
10．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
11．已知，，．求：
（1）和的值；
（2）求的值．
12．我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．因为，所以的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，即的小数部分为．
根据以上方法解答下列问题：
（1）的整数部分为______，小数部分为______；
（2）已知的相反数为，的整数部分为b，的小数部分为c，求的立方根．
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