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数学八年级下册第1章二次根式
1.2 二次根式的性质（1）
【知识重点】
二次根式的性质：
一般地，根据算术平方根的意义有①②.
【经典例题】
例题1、计算 ：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式= = 2024.
（2）解：原式= =.
（3）解：原式=7-5=2.
（4）解：原式=4-3+4=5.
例题2、计算：
（1）， ， ， ， ．
（2）【归纳与应用】观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来．
（3）利用你总结的规律，计算：
①若，则 ；② ．
【答案】（1）0.5；0；6；
（2）解：当时，；当时，，
综合可得．
规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，用字母表示为：；
（3）；
【解析】（1）解：，，，；
故答案为：，0，6，；
（3）解：①当时，，
；
故答案为：；
②；
故答案为：．
例题3、已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示.
（1） ， ；
（2） ；
（3）化简：.
【答案】（1）-a；c
（2）
（3）解：由题图知，，，，
.
【解析】（1）∵a＜0，c＞0，
∴，，
故答案为：-a；c；
（2）∵c＞b，
∴b-c＜0，
∴，
故答案为：c-b.
例题4、 阅读下面材料， 回答问题：
（1） 在化简 的过程中， 小张和小李的化简结果不同．
小张的化简如下：
小李的化简如下：
请判断谁的化简结果是正确的， 谁的化简结果是错误的， 并说明理由．
（2） 请你利用上面所学的方法化简 ．
【答案】（1）解：小李的化简结果正确，小张的化简结果错误。
（2）原式
【解析】（1）在化简这样的根式时，要先确定a的取值范围，然后再根据根式的性质进行化简。
，a＞0时，；a=0时，；a<0时，；
（2）运用完全平方公式把被开方数写成一个数的平方的形式，再根据进行化简即可。注意a的正负不同，结果也不同。
【基础训练】
1． 化简：的结果是（ ）.
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
故答案为：C.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
3．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【解析】原式= + = = ，即得C．
4．化简 ．
【答案】2025
【解析】原式=|-2025|=2025
故答案为：2025.
5． 化简的结果是 .
【答案】
【解析】∵π>3
∴
故答案为：.
6．当时， ．
【答案】
【解析】∵a<-1，
∴a+1<0，
∴.
故答案为：.
7．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．
【答案】
【解析】根据题目可得：
∴
∴
故答案为：.
8．化简的结果是 ．
【答案】6
【解析】，
，
，
，
故答案为：．
9．（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
【答案】（1）小亮，A；
（2），
∴当时，原式；当时，原式．
【解析】（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质；
故答案为：小亮，A。
10． 阅读下面解题过程，并回答问题．
化简： ．
解： 由隐含条件 ， 得 ，
原式 ．
按照上面的解法，试化简： ．
【答案】解：由隐含条件得
∴原式=
11．探究：， ▲ ， ▲ ，，．
（1）完成上述计算并根据计算结果回答下面问题：
（2）观察可知， ；
（3）利用你总结的规律计算：；
（4）已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】（1） 0.5 ， 5
（2）│a│
（3）解：原式==π
（4）解：∵，，为的三边长
∴，
∴．
【解析】（1）∵，，．
∴
故答案为：0.5，5，
（2）由探究的内容，得出；
故答案为：│a│
12．阅读理解题，下面我们观察：
．反之，所以，所以．
完成下列各题：
（1）把写成的形式；
（2）化简：；
（3）化简：．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【培优训练】
13．已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是 ．
【答案】2024
【解析】，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所有y值的总和是：．
故答案是：2024．
14．若 ．
【答案】
【解析】∵
∴
∴
故答案为：.
15．小明在解方程时采用了下面的方法：
由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ．
【答案】39
【解析】∵
，
而，
∴，
两式相减得，即，
两边平方得到，
∴，经检验是原方程的解，
故答案为：．
16．若，则的取值范围是 .
【答案】a≤1
【解析】由得|a-1|-|2-a|=-1，
①当a≤1时，有1-a-(2-a)=-1去括号得-1=-1，符合题意；
②当a≥2时，有a-1-(a-2)=-1去括号得1=-1，不符合题意；
③当1
综合所述：a≤1
故答案为：a≤1.
【分析】化简二次根式后分a≤1，a≥2，117．填空：
（1） .
（2） .
【答案】（1）（2）
【解析】（1）原式===；
故答案为：
（2）原式===.
故答案为：.
18．阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当时，化简：__________．
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）2
（2）解：，当时，原式，
，符合条件；
当时，原式，（舍去）；
当时，原式，
，符合条件，
∴a的取值范围是或．
【解析】【解答】（1）解：原式，
当时，原式，
故答案为：2．
19． 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目：
反之
她说如果化简可以这样做
∵
∴
（1）仿上例，化简：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：，
；
（2）解：，，，……，，
．
20．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（3）计算：．
【答案】（1）解：∵，
且，
∴；
（2）解：∵
∴，
化简后两边同时平方得：，
∴，
经检验：是原方程的解；
（3）解：
．
21． 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是 ．
【答案】（1）；
（2）解：=====
（3）
【解析】（1）∵，故点的“横负纵变点”为；
∵，故点的“横负纵变点”为.
故答案为：；
（3）∵
，
∵1≤a<2，
∴0∴.
故.
∵点是点M的“横负纵变点”，
∴ 点的坐标是.
故答案为：.
22．阅读下列材料，然后回答问题。
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）计算：．
（2）已知是正整数，，，，求．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：
=
=
=
；
（2）解：，，
，，，
，
∵a+b+2ab=2024
∴4m＋2+2=2024
∴m=505
（3）解：设，，则，
∵，
，
，
，
，
，
．（舍去），
．
【期末常考】
23．将 化简， 正确的结果是（ )
A．5 B．-5 C． D．25
【答案】A
【解析】解：=5，故选A.
24．下列选项中，化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】=|2|=2，=|-3|=3，故A、B、D错误，C正确.
故答案为：C.
25．化简的结果是 ．
【答案】5
【解析】，
故答案为：5．
26．已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】观察数轴可知：，，
所以，，，
所以，，
故答案为：C.
【课后作业】
1．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A.，原选项计算错误，故选项A不成立；
B.，原选项计算错误，故选项B不成立；
C.，原选项计算错误，故选项C不成立；
D.，原选项计算错误，故选项D成立．
故答案为：D
2．计算 +|-11|- ，正确的结果是（ ）
A．-11 B．11 C．22 D．-22
【答案】B
【解析】原式=11+11-11=11，故选B．
3． 计算： .
【答案】3
【解析】3，
故答案为：3 .
4． 计算： 。
【答案】5；
【解析】
故答案为：5，.
5．若1，a，3是三角形的三边长，化简= .
【答案】2a-6
【解析】∵1，a，3是三角形的三边长，
∴3－1∴，
∴
故答案为：2a-6.
6．① 已知 是整数，则自然数 所有可能的值的和为 .
② 已知 ， 且 ， 则 的值为 .
【答案】70；-2或-12
【解析】
①∵n是自然数， 是整数，
∴20-n的值为0， 1，4 ，9，16，
∴n的值为20，19，16，11，4
20+19+16+11+4＝70
故答案为：70
②
∵
∴a=，b=
∵，∴a+b≥0
∴a=， b=7
∴a-b=-2或a-b=-12
故答案为：-2或-12
7．已知，则式子化简的结果为 .
【答案】1
【解析】∵ ，
∴x-1>0，x-2<0，
∴，
故答案为：1.
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 .
【答案】-2
【解析】由数轴上的点所表示数的特点得a＜-1＜0＜1＜b，
∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴
故答案为：-2.
9．平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为 ．
【答案】
【解析】由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得：，
，，
故答案为：．
10．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）解：原式=3-1=2；
（2）解：原式=0.5+=1；
（3）解：原式=5-3+3=5；
（4）解：原式=-0.4+9=8.85.
11．先化简，再求值：，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）先化简，再求值：，其中a＝﹣2024．
【答案】（1）小亮
（2）＝﹣a（a＜0）
（3）解：原式＝
＝a+
＝a+2（3﹣a）
＝6﹣a，
将a＝﹣2024代入，
原式＝6+2024＝2030．
【解析】 (1) 小亮的解法是错误的；
故答案为：小亮.
(2) 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝﹣a（a＜0）.
故答案为：＝﹣a（a＜0） .
(3)解：原式＝
＝a+
＝a+2（3﹣a）
＝6﹣a，
当a＝﹣2024时，
原式＝6+2024＝2030．
12．已知a，b，c满足．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问：长为a，b，c的三条线段能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请说明理由；若不能构成直角三角形，请说明理由．
【答案】（1）解：，
∴，
∴，，
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴长为a，b，c的三条线段不能构成直角三角形．
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数学八年级下册第1章二次根式
1.2 二次根式的性质（1）
【知识重点】
二次根式的性质：
一般地，根据算术平方根的意义有①②.
【经典例题】
例题1、计算 ：
（1）
（2）
（3）
（4）
例题2、计算：
（1）， ， ， ， ．
（2）【归纳与应用】观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来．
（3）利用你总结的规律，计算：
①若，则 ；② ．
例题3、已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示.
（1） ， ；
（2） ；
（3）化简：.
例题4、 阅读下面材料， 回答问题：
（1） 在化简 的过程中， 小张和小李的化简结果不同．
小张的化简如下：
小李的化简如下：
请判断谁的化简结果是正确的， 谁的化简结果是错误的， 并说明理由．
（2） 请你利用上面所学的方法化简 ．
【基础训练】
1． 化简：的结果是（ ）.
A．-4 B．-2 C．2 D．4
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
4．化简 ．
5． 化简的结果是 .
6．当时， ．
7．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．
8．化简的结果是 ．
9．（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
10． 阅读下面解题过程，并回答问题．
化简： ．
解： 由隐含条件 ， 得 ，
原式 ．
按照上面的解法，试化简： ．
11．探究：， ▲ ， ▲ ，，．
（1）完成上述计算并根据计算结果回答下面问题：
（2）观察可知， ；
（3）利用你总结的规律计算：；
（4）已知a，b，c为的三边长．化简：．
12．阅读理解题，下面我们观察：
．反之，所以，所以．
完成下列各题：
（1）把写成的形式；
（2）化简：；
（3）化简：．
【培优训练】
13．已知，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是 ．
14．若 ．
15．小明在解方程时采用了下面的方法：
由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解，请你学习小明的方法，解方程，则 ．
16．若，则的取值范围是 .
17．填空：
（1） .
（2） .
18．阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当时，化简：__________．
（2）若，求a的取值范围．
19． 先阅读下列的解答过程，然后再解答：
嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目：
反之
她说如果化简可以这样做
∵
∴
（1）仿上例，化简：；
（2）计算：．
20．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（3）计算：．
21． 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”，例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是 ．
22．阅读下列材料，然后回答问题。
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）计算：．
（2）已知是正整数，，，，求．
（3）已知，求的值．
【期末常考】
23．将 化简， 正确的结果是（ )
A．5 B．-5 C． D．25
24．下列选项中，化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
25．化简的结果是 ．
26．已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【课后作业】
1．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算 +|-11|- ，正确的结果是（ ）
A．-11 B．11 C．22 D．-22
3． 计算： .
4． 计算： 。
5．若1，a，3是三角形的三边长，化简= .
6．① 已知 是整数，则自然数 所有可能的值的和为 .
② 已知 ， 且 ， 则 的值为 .
7．已知，则式子化简的结果为 .
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 .
9．平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为 ．
10．计算：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
11．先化简，再求值：，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）先化简，再求值：，其中a＝﹣2024．
12．已知a，b，c满足．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问：长为a，b，c的三条线段能否构成直角三角形？若能构成直角三角形，请说明理由；若不能构成直角三角形，请说明理由．
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