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数学八年级下册第1章二次根式
1.3 二次根式的运算（3）
【知识重点】
应用二次根式及其运算解决简单实际问题要注意两个方面：一是用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简.
【经典例题】
例题1、如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD（i=CE：ED，单位：m）.
【答案】解：如图，过点B作BF⊥AD于点F，则BF=CE=4 m，EF=BC=4.5 m.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF===3(m).
在Rt△CED中，根据i=，
可知ED===4(m)，
则 AD=AF+EF+ED=3+4.5+4=(7.5+4)m.
答：坝底宽AD为(7.5+4)m.
例题2、某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？
【答案】（1）解：∵长方形的长为，宽为，∴长方形的周长为：
．
答：长方形的周长是．
（2）解：由题意，知
∵，
∴经费不够用．
例题3、有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
【答案】（1），
（2）解：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）2
【解析】，，（3）剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条．
例题4、有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的三块正方形木板.
（1）截出的三块正方形木板的边长分别为 dm， dm和 dm；
（2）求长方形木板的面积；(结果保留根号)
（3）如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块
【答案】（1）；；
（2）根据题意得：长方形的边长为；
阴影部分的面积
（3）根据题意的：剩余A木料的长为，宽为，
且，
能截出这样的木块共2块.
例题5、如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为.
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】（1）解：长方形的周长
答：长方形的周长是.
（2）解：蔬菜地的面积
.
（元）.
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元.
例题6、如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为 .
【答案】
【解析】如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形CDHG是矩形，且CD= ，
∴HG=CD= ，∠BGH=90°，
∴∠B=∠BHG=45°，
∴GB=GH=，
∴CG=DH=BC-BG=cm，
∵四边形CDHG是矩形，
∴DH∥BC，
∴∠B=∠DHN=45°，
∵四边形DENM是矩形，且DE=，
∴MN=ED= ，∠NMH=90°，
∴∠MNH=∠MHN=45°，
∴MN=MH=，
∴DM=EN=DN-MH=cm；
同理FQ=PE=，
∵AF=AC-CD-DE-EF=，
∴这样的长方形纸条只能裁出三条，
这三条的总长度为：CG+DM+EN=cm，
∴美术作品的边长为：cm，
∴这个美术作品的面积为：cm2.
故答案为：.
例题7、已知直角三角形的斜边长为 ，一条直角边长为，则此直角三角形的面积是
【答案】2
【解析】由勾股定理得：另一直角边为，
∴ 此直角三角形的面积为.
故答案为：2.
【基础训练】
1． 如图，已知斜坡AB，且 BC⊥AC，则斜坡 AB 的坡比指的是（ ）
A．AB：BC B．AB：AC C．AC：BC D．BC：AC
【答案】D
【解析】斜坡 AB 的坡比指的是，即 BC：AC .
故答案为：D.
【分析】根据坡比的定义作答.
2．长方形的相邻两边长分别为 则它的周长和面积分别是（ ）
A．，4 B．2 ，4 C．4，3 D．6 ，4
【答案】D
【解析】由题意，得 长方形的周长=2(+)=2(+2)=2×3=6，
长方形的面积=×=×2=4.
故答案为：D.
3．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵两个空白小正方形的面积是、
∴两个空白小正方形的边长是、
∴大正方形的边长是
∴大正方形的面积是
∴阴影部分的面积是．
故答案为：A
4．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】将面积为2和3的正方形向下平移至大矩形的最下沿，如下图所示：
则阴影面积=
=
=
故答案为：D
5．如图， 在 的网格中， 每个小正方形的边长均为 1 ， 点 都在格点上. 若 是 的高线， 则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由勾股定理得：，
∵，
∴
∴.
故答案为：D.
6．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
【答案】B
【解析】∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
7． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为 .
【答案】1800 m
【解析】
如图，连结AC
根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°.
∵EF∥AD，
∴∠FBA=∠DAB=52°，
∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m).
故A，C两地之间的距离为1800 m.
故答案为：1800m.
8．如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且正方形①，③的面积分别为16和3，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】 正方形① 的边长= =4，正方形③ 的边长= ，
∴阴影部分长方形的长=正方形② 的边长=4- ，
阴影部分长方形的宽=4- - =4-2 ，
∴阴影部分的面积=(4-2 ) = .
故答案为： .
9．在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加7 cm，就得到一个面积为 192 cm2 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积.
【答案】解：∵面积为192 cm2的正方形纸片的边长为8 cm，
∴原长方形纸片的长为8-2=6(cm)，宽为8-7=(cm)，
∴原长方形纸片的面积为6×=18(cm2).
10．某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：长方形ABCD的周长＝2（）＝2（98）＝34（m）
（2）解：购买地砖需要花费＝
＝50×（144﹣12）＝50×132＝6600（元）
【培优训练】
11．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选：C．
12．若 ， 则 ( )
A．-2 B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，
，
.
故答案为：B.
13．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为，宽为4cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 （ ）
A． B．16 cm C． D．
【答案】B
【解析】设小长方形的长、宽分别为a、b，
根据题意得：a+2b=，
∴ 图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)
= 2+8-4b+8-2a= 2+16-2(a+2b)
=2+16+2×=16.
故答案为：B.
14．小亮和小强相约周六去登山，小亮由北坡山脚C处出发，以24 米/分的速度攀登，同时小强从南坡山脚 B 处出发，如图所示，已知小山北坡的坡比为1： ，坡面AC长 240 米，南坡 的 坡 角 是 45°，小强 以 米/分的速度攀登才能和小亮同时到达山顶A.（将山路AB，AC看成线段，结果保留根号）
【答案】12
【解析】
如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
设AD=x(x>0)米.
∵AC的坡比为1∶，
∴CD=x米.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC===2x(米)，
∴2x=240，
解得x=120，
∴AD=120米.
在Rt△ABD中，∵∠B=45°，
∴BD=AD=120米，
∴AB==120(米).
由题意可知小亮到达山顶所用的时间为240÷24=10(分)，
∴若小强和小亮同时到达山顶A，则小强的攀登速度为120÷10=12(米/分).
故答案为：12.
15．定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ．
【答案】
【解析】若多项式，，，（是实数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时：舍去，
②
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时，符合题意；
③
．
∵这是一组黄金多项式，
∴，
∴．
此时；
综上所述，的值为．
故答案为：
16．如图，D是等边三角形ABC的边AC 的延长线上一点，连结BD，E是边AB 上一点，且DE=DB.若 则BC= .
【答案】
【解析】过D作DF⊥AB于F，交BC于G，如图：
∵DE=DB，DF⊥AB，
∴，
设AE=x，则，
∴；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，BC=AB，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF=∠AFD-∠A=30°，
∴AD=2AF；
则
解得：；
∴；
故答案为：.
17．如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．
【答案】
【解析】如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵根据题意可知阴影部分的长方形纸条的宽都为，且长方形的四个角都是直角，
∴△ANL、是等腰直角三角形，
∴AN=NL，，
∵DF∥BC，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可知：右边5个三角形都是腰为的等腰直角三角形，
而是边长为的等腰直角三角形，
∴S阴影部分总面积=S△ABC-5S等腰直角三角形-S△ANL=
，
故答案为：．
18．配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：，，
，
，
∴
．
（3）解：∵，，
∴．
【期末常考】
19．如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣3 B．9﹣3 C．3 ﹣3 D．3 ﹣2
【答案】C
【解析】矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，
∴两个正方形的边长分别为3和；
∴阴影部分的面积为：.
故答案为：C.
【课后作业】
1．如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意得，大正方形的边长，
小正方形的边长，
∴阴影部分的面积，
故答案为：C．
2．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD，
∵ AD=4m，DC=1m，BD=2m，
∴ 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB=，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得：BC=，
∴ 所需钢材长度=，
故答案为：D.
3．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）著作《度量》一书中，给出海伦公式S（其中p）：我国南宋时期数学家秦九韶（约1202一约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S．海伦公式与秦九韶公式只是形式不同，实质上是同一个公式若一个三角形的三边长分别为，2，，在以上两种形式的公式中，选择恰当的公式进行代入计算，可得这个三角形的面积为 ．
【答案】
【解析】一个三角形的三边长分别为，2，，
设，
S==
==．
这个三角形的面积为．
故答案为．
4．如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．求图中阴影部分的面积．
【答案】解：∵如图所示：
由题意得：四边形ABGE，四边形CGFH，四边形EFMN都是正方形，且四边形ABGE的面积为24，四边形EFMN的面积为3，
∴，，FG=FH.
∴.
∴.
∴
5． 如图 1， 某桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成． 如图 2， 引桥一侧的桥墩顶端点 距地面 ， 从点 处测得点 的俯角为 ， 斜面 的长为 ， 水平面 的长为 ， 斜面 的坡比为 ， 求处于同一水平面上引桥底部 的长． (结果精确到 )
【答案】解：如图，作DF⊥AE于点F，DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H，则DF=GA，DC=GH=2，AF=DG=CH.
由题意，得
∴斜面BC的坡度为
答：处于同一水平面上引桥底部AB的长约为17.5m.
6．要焊接一个如图所示的钢架，图中于点，且．问：做这个钢架需要钢材多少米（不计焊接损耗）
【答案】【解答】解：∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，BD=2，CD=1，
∴BC=，
∵BD：AD=1：2，
∴AD=2BD=2×2=4，
在Rt△ABD中，BD=2，AD=4，
AB=，
∴ 做这个钢架需要钢材：AB+BC+CD+AD+BD=++1+4+2=(7+)m.
答：做这个钢架需要钢材(7+)m.
7．如图， 扶梯 的坡比为 ， 滑梯 的坡比为 平行于地面， 于点 于点 . 若 ， 一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少(结果保留根号)
【答案】解：∵扶梯AB的坡比（BE与AE长度之比）为4：3，AE=30dm，
∴BE=40dm，
∴，，
∵CD的坡比（CF与DF长度之比）为1：2，
∴FD=2CF=2×40=80（dm），
∴，
∴他所经过的总路程是：.
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC= ，求Rt△ABC的面积和斜边AB的长．
【答案】解：∵AC= ，BC= ，
∴S△ABC= AC·BC= ×( )( )=
∵AB2=AC2 + BC2=( )2+( )2=10，
∴AB=
9．如图@是一张等腰直角三角形彩色纸， 现要裁出几条宽度都为5 cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形照片 EFGH镶边（纸条不重叠），如图 .图①和图②是两种不同裁法的示意图.
（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）分别计算两种裁法得到的长方形纸条的总长度；
（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH 的最大面积为 cm2.
【答案】（1）解：如图①，过点C作CM⊥AB于点M.
∵AC=BC=20 cm，∠ACB=90°，
∴AB===40(cm)，
∴CM=AB=20 cm.
=2，且2<2<3，
∴按题图①中的裁法最多能得到2条长方形纸条；
20÷5=4，
∴按题图②中的裁法最多能得到3条长方形纸条.
（2）解：如图②，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=EF=5 cm，
∴EQ=40-5-5=(40-10)cm，
同理可得：DP=40-10-10=(40-20)cm，
∴按题图①中的裁法得到的长方形纸条的总长度=EQ+DP=40-10+40-20=(80-30)cm；
如图③，
同理可知△LNB是等腰直角三角形，且BL=LN=5 cm，
∴NR=20-5=15(cm)，KT=15-5=10(cm)，…，
∴按题图②中的裁法得到的长方形纸条的总长度=15+10+5=30(cm).
（3）12.5
【解析】如图④，
按题图①中的裁法，可知SG==(20-)cm，
则FG=SG-SF=20--5=(20-)cm；
按题图②中的裁法，可知SG==(cm)，
则FG=SG-SF=-5=(cm).
∵20-<，
∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为()2=12.5(cm2).
故答案为12.5.
10．我们新定义一种三角形： 两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫可爱三角形．
（1）根据可爱三角形的定义，请判断 “等边三角形一定是可爱三角形” 是否正确． (填“正确”或“不正确”)．
（2）若三角形的三边长分别是 ， 该三角形是不是可爱三角形？ 说明理由．
（3） ①若等腰三角形是可爱三角形， 并且有一边长为 ， 求这个三角形的周长．
②若 Rt 是可爱三角形， 且一条直角边长为 ， 则斜边长为 ▲
【答案】（1）正确
（2）解：该三角形是可爱三角形，理由如下：
∴该三角形是可爱三角形；
（3）解：①∵ 等腰三角形是可爱三角形， 并且有一边长为 ，
当为腰时，设该等腰三角形的底边长为c，
根据题意得
或
解得，
∴这个三角形的周长为；
当为底边时，设该等腰三角形的腰长为d，
根据题意，得
或，
解得
∴这个三角形的周长为，
综上该三角形的周长为；
②或
【解析】（1）设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2=2a2，
∴等边三角形一定是可爱三角形；
故答案为：正确；
（3）②设该直角三角形另一条直角边为m，斜边为n，由勾股定理得；
∴
根据可爱三角形定义得或；
∴或
解得或，
∴该三角形斜边得长为或.
故答案为：或.
11．如图是一张等腰直角三角形彩纸，AC=BC= 20cm．要裁出几条宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一 幅正方形照片EFGH镶边(纸条不重叠)．图①和图②是两种不同裁法的示意图．
（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； ．
（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？
【答案】（1）解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC=BC= 20 cm，∠ACR= 90°，
∴AB=AC=x20 = 40( cm)，
∴CD=AB=20 cm
∵，且2<<3，
∴如题图①救法最多能得到2条长方形纸条
∵=4
∴如题图②裁法最多能得到3条长方形纸条，
（2）解：
如图①，∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠A=45° ，
∴△AEF是等腰直角三角彩，EF=AF=5 cm， ．
． EQ= 40-5-5= (40-10 )cm，
同理得DP= 40-10-10 =(40-20 )cm，
∴图①裁法得到长方形纸条的总长度= EQ+DP= 40- 10+40-20=(80-30)cm．
如图②，同理可知OPEB是等顾直角三角形，且BE=5 cm，
∴PD= 20-5= 15 (cm) ，QG= 15-5= 10 (cm)，……
∴图②裁法得到长力形纸条的总长度= 15+10+5=30 (cm)．
（3）解：如图③。
如图①执法：PC=cm，
FG=PG-PF=cm．
如图②裁法：PG= (cm)，
FG=PC-PF (cm)，
∵
∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFCH的最大面积==12.5(cm2)．
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1.3 二次根式的运算（3）
【知识重点】
应用二次根式及其运算解决简单实际问题要注意两个方面：一是用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简.
【经典例题】
例题1、如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD（i=CE：ED，单位：m）.
例题2、某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？
例题3、有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
例题4、有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的三块正方形木板.
（1）截出的三块正方形木板的边长分别为 dm， dm和 dm；
（2）求长方形木板的面积；(结果保留根号)
（3）如果木工师傅想从剩余的A木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的长方形木块，最多能截出多少块这样的木块
例题5、如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为.
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
例题6、如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为 .
例题7、已知直角三角形的斜边长为 ，一条直角边长为，则此直角三角形的面积是
【基础训练】
1． 如图，已知斜坡AB，且 BC⊥AC，则斜坡 AB 的坡比指的是（ ）
A．AB：BC B．AB：AC C．AC：BC D．BC：AC
2．长方形的相邻两边长分别为 则它的周长和面积分别是（ ）
A．，4 B．2 ，4 C．4，3 D．6 ，4
3．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图， 在 的网格中， 每个小正方形的边长均为 1 ， 点 都在格点上. 若 是 的高线， 则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
7． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为 .
8．如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且正方形①，③的面积分别为16和3，则图中阴影部分的面积为 ．
9．在数学课上，老师将一个长方形纸片的长增加 ，宽增加7 cm，就得到一个面积为 192 cm2 的正方形纸片，求原长方形纸片的面积.
10．某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为m，宽AB为m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【培优训练】
11．如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．若 ， 则 ( )
A．-2 B． C． D．
13．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为，宽为4cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 （ ）
A． B．16 cm C． D．
14．小亮和小强相约周六去登山，小亮由北坡山脚C处出发，以24 米/分的速度攀登，同时小强从南坡山脚 B 处出发，如图所示，已知小山北坡的坡比为1： ，坡面AC长 240 米，南坡 的 坡 角 是 45°，小强 以 米/分的速度攀登才能和小亮同时到达山顶A.（将山路AB，AC看成线段，结果保留根号）
15．定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ．
16．如图，D是等边三角形ABC的边AC 的延长线上一点，连结BD，E是边AB 上一点，且DE=DB.若 则BC= .
17．如图，等腰直角三角形纸片，，按图中方式裁剪出阴影部分的长方形纸条若干张，若纸条的宽都为，则这些阴影部分长方形纸条的总面积是 ．
18．配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，，求的值；
（3）已知：，，，求的值．
【期末常考】
19．如图，矩形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，则阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣3 B．9﹣3 C．3 ﹣3 D．3 ﹣2
【课后作业】
1．如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．3 D．4
2．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ ）
A． B． C． D．
3．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）著作《度量》一书中，给出海伦公式S（其中p）：我国南宋时期数学家秦九韶（约1202一约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S．海伦公式与秦九韶公式只是形式不同，实质上是同一个公式若一个三角形的三边长分别为，2，，在以上两种形式的公式中，选择恰当的公式进行代入计算，可得这个三角形的面积为 ．
4．如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和3．求图中阴影部分的面积．
5． 如图 1， 某桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成． 如图 2， 引桥一侧的桥墩顶端点 距地面 ， 从点 处测得点 的俯角为 ， 斜面 的长为 ， 水平面 的长为 ， 斜面 的坡比为 ， 求处于同一水平面上引桥底部 的长． (结果精确到 )
6．要焊接一个如图所示的钢架，图中于点，且．问：做这个钢架需要钢材多少米（不计焊接损耗）
7．如图， 扶梯 的坡比为 ， 滑梯 的坡比为 平行于地面， 于点 于点 . 若 ， 一男孩从扶梯走到滑梯的顶部， 然后从滑梯滑下， 他所经过的总路程是多少(结果保留根号)
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC= ，求Rt△ABC的面积和斜边AB的长．
9．如图@是一张等腰直角三角形彩色纸， 现要裁出几条宽度都为5 cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形照片 EFGH镶边（纸条不重叠），如图 .图①和图②是两种不同裁法的示意图.
（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）分别计算两种裁法得到的长方形纸条的总长度；
（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH 的最大面积为 cm2.
10．我们新定义一种三角形： 两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫可爱三角形．
（1）根据可爱三角形的定义，请判断 “等边三角形一定是可爱三角形” 是否正确． (填“正确”或“不正确”)．
（2）若三角形的三边长分别是 ， 该三角形是不是可爱三角形？ 说明理由．
（3） ①若等腰三角形是可爱三角形， 并且有一边长为 ， 求这个三角形的周长．
②若 Rt 是可爱三角形， 且一条直角边长为 ， 则斜边长为 ▲
11．如图是一张等腰直角三角形彩纸，AC=BC= 20cm．要裁出几条宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一 幅正方形照片EFGH镶边(纸条不重叠)．图①和图②是两种不同裁法的示意图．
（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
（2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； ．
（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？
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