有动点必有代数表达----------t时刻状态图（1）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，在 中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当AP=AQ时，求点P、点Q运动的时间
2．如图，在中，D为的中点，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是．(1)在运动过程中，当点C位于线段的垂直平分线上时，求出t的值；
(2)在运动过程中，当时，求出t的值；
3．在中，，，．(1)如图1，求点到边的距离；
(2)如图2，点是线段上一动点．过点作交于点，当时，求的长；
连续递推，豁然开朗
4．已知，如图，在等腰三角形中，，D是AB的中点，点E，F分别是AC，BC上的动点，且始终满足．(1)求证：；(2)求的大小；
(3)已知，求出四边形的面积，并写出四边形的面积与三角形的面积之间的关系．
思维拓展，更上一层
5．已知：如图，在中，，于点，是上的一动点，点在直线上，且．
(1)求证：．(2)如图1，求证：．
(3)如图2，如果，，当正好平分时，求的面积
有动点必有代数表达----------t时刻状态图（1）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，在中，，，点从点出发，沿线以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止。设点运动的时间为秒．当时，求的值
2．如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P 从点 A 开始沿A→C 方向运动，且速度为 1 cm/s，点 Q 从点 C 开始沿C→B→A 方向运动，且速度为 2cm /s，它们同时出发，设运动的时间为ts.（1）当t=2时，求PQ的长.
（2）求运动几秒时，△APB 是等腰三角形.
3.如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动，设运动时间为．
(1)求；(2)当平分时，求的值；
连续递推，豁然开朗
4．如图，是等边三角形，，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过Р作于E，连接交于D．证明：在运动过程中，点D是线段的中点；
思维拓展，更上一层
5．如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．(1)求线段的长度；(2)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
1解：设运动时间为t秒时，AP=AQ，
根据题意得：20-3t=2t，解得：t=4.
2.【详解】（1）解：由题意得，则，当点C位于线段的垂直平分线上时，，
∴，解得，则当时，点C位于线段的垂直平分线上；
（2）解：∵D为的中点，，∴，
∵，∴，∴，解得，∴当时，；
3．（1）解：如图，过点作于点，在中，由勾股定理得，，
即，解得．，，，
点到边的距离为；
（2），，，
在与中，∴，，
，的长为；
设，则,在中，，
，解得：，即;
4．【详解】（1）证明：连接，如图，
在等腰三角形中，，D是的中点，
，，
在与中，， ， ；
，， 即，
在等腰三角形中，，D是的中点， ， ；
（3）在等腰三角形中，，，
， ，
， ，
四边形的面积与三角形的面积之间的关系为:．
5．【详解】（1）证明：∵，，∴，
又∵，∴，∴，∴；
（2）证明：连接，如图所示：
∵，，∴，∴垂直平分，∴，∴，
，∴，
又∵，∴，∴，∴；
（3）解：过点E作于点G，连接，如图所示：
根据解析（2）可知，，∵，∴，∵，
∴，
∵，，∴，
∵平分，∴，，∴，
根据解析（2）可知，，∴，∴，，
根据解析（2）可知，，
∵，∴，∵，∴，
设，则，
在中，，
即，解得：，∴，∵，
∴．
1.解：∵，，∴，∴，即解得：．
2.解：当t=2时，AP=2，CQ=2t=4，则CP=AC-AP=8-2=6.
在 Rt△CPQ 中，PQ= 即 PQ 的长为
（2）解：当PB=PA时，△APB是等腰三角形，此时PA=t=PB，则 PC=8-t.
在Rt△CBP 中，由
3．【详解】（1）解：在中，，，，
．
（2）解：如图中，当平分时，过点作于点．
平分，，，，
，，；
4．【详解】（1）证明：过P作交于F，
∵为等边三角形，∴，
∵，∴，，，
∴，∴是等边三角形，
∵P、Q同时出发，速度相同，即，∴，
在和中，，∴，∴DQ＝DP；即点D是线段的中点；
5．【详解】（1）解 : ，
，，，
在 和中，，；
（2）解：的值不发生改变，等于，
理由如下：如图：连接，
，，D为的中点，
，，，
，，，
，即，，
在和中，，，．
1 / 1情况不明，分类讨论----------t时刻状态图（1）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，求S与x之间函数关系
2．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？
3．如图，中，于D，且；已知，如图，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．若的边与平行，求 (1)，，，；(2) t的值；
连续递推，豁然开朗
4．如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，求的值
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5．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，5），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为2．（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）证明直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；（3）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
情况不明，分类讨论----------t时刻状态图（2）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿着的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为，的面积，求y与之间的函数关系
2．如图，AB=4cm，，∠B=∠C，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，△ABP与△CPQ全等，求t的值
3．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中，(1)求证：；(2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；(3)当为何值时，是直角三角形？
连续递推，豁然开朗
4．在中，，点是直线上一动点（不与，重合），以为一边在的右侧作，使，，，连接．(1)如图，点在边上，求证：．
(2)在（）的条件下，若，求证：．(3)若，，求．
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5．直线AB：y＝x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝3：1． （1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式；
（2）在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请求写出点P的坐标
情况不明，分类讨论----------t时刻状态图（1）
1【解析】【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，
当0＜x≤2，s＝ ，当2＜x≤3，s＝1，
2.【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形，
∵，，∴当时，，解得；
②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得是等边三角形，则，
∵，，∴当时，，解得；综上：或6秒
3．【详解】（1）解：设，，，则，
在中，，∴，∴是等腰三角形；
∵，，∴，
∴，，，．
∵，∴，
①当时，，，∴，
∴，即，∴；
②当时，，∴；
综上所述，若的边与BC平行时，t值为5或6．=
4【解析】【解答】解：∵，∴
如图，当点在射线上时，在上，，
∵∴，∴．
如图，当点在的反向延长线上时，
∵，∴，∴．综上所述，当或时，，
5【解答】解：（1）令x＝2，则y＝x＝1，∴B的坐标为（2，1），
将A，B两点坐标代入到直线y＝kx+b中得，，解得，∴B（2，1），k＝﹣2，b＝5；
（2）证明：∵点A（0，5），B（2，1），
∴OA＝5，OB＝＝，AB＝＝2，
∵52＝（）2+（22），∴OA2＝OB2+AB2，∴∠ABO＝90°∴直线y＝kx+b与直线y＝x互相垂直；
（3）∵△PAB为等腰三角形，
∴可以分三类讨论，
①当BA＝BP时，如图，
此时P有两个位置，分别记为P和P′，
由（2）可得，AB＝2，∴PB＝2，
设P（p，0），∴PB＝＝2，
解得：p＝2+或p＝2﹣，
∴P（2+，0）或P（2﹣，0）；
②当AP＝AB时，如图，
∵OA⊥x轴，OA＝5，AB＝2，
∴点A到x轴的距离为5，OA＞AB，
∴此时在x轴上不存在点P使△PAB为等腰三角形；
③当PA＝PB时，如图，
设P（m，0），
在Rt△POA中，PA2＝OA2+OP2＝52+m2＝25+m2，
同理，PB2＝12+（2﹣m）2＝m2﹣4m+5，
∵PA＝PB，
∴25+m2＝m2﹣4m+5，
∴m＝﹣5，
∴P（﹣5，0），
∴P（2+，0）或P（2﹣，0）或（﹣5，0）．
情况不明，分类讨论----------t时刻状态图（2）
1解：当点P由A运动到B点时，即，，
当点P由B运动到C点时，即，，
2．解：由题意知，BP=2t，CP=6-2t，∵△ABP与△CPQ全等,∠B=∠C
∴分，两种情况求解；
当时，PC=AB，即6-2t=4，解得t=1；
当时，BP=CP，即6-2t=2t，解得t=1.5；综上所述，t的值是1或1.5，
3．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，∵点、的速度相同，∴，
在和中∴；
（2）解：的大小不发生变化，
∵，∴，∴；
∵运动时间为秒，则，∴，
当时，∵，则∴，∴，解得，
当时，∵，∴，则∴，解得，
∴当为或时，为直角三角形．
4．（1）证明：，，即．
在和中， ．
（2）证明：，，．．
．．．
（3）解：当点D在线段上，如图，
∵，由（2）可得，，即，
∵，，∴∴；
当点D在线段的延长线上，如图，
，，即．
在和中， ．
∵，，∴，
∴，∴，
∵，，
∴，∴；综上，为或，
故答案为：或．
10．【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+b过点A（﹣3，0），∴0＝﹣3+b，∴b＝3，
当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），即OB＝3，
∵OB：OC＝3：1，∴OC＝1，∵点C在x轴正半轴，∴C（1，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+c（k≠0），将B（0，3），C（1，0）代入得：，解得：，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣3x+3；
（2）①如图所示，当PB＝PC时，
∵PB＝PC，设OP＝x，则PB＝OC＝3﹣x，
在Rt△POC中，∠POC＝90°，
∴OP2+OC2＝PC2，即x2+12＝（3﹣x）2，
解得：x＝，∴点P的坐标为（0，）．
②当BC＝PC时如图所示，
∵BC＝PC，∴OB＝OP，∴P（0，﹣3），
当BC＝BP时，由B（0，3），C（0，1），∴BC＝，∴BP＝，
∴P（0，3+）或（0，3﹣），
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