有特殊三角形必有特殊性质 专题训练（含答案）

有特殊三角形必有特殊性质
---------大胆猜想，小心求证：Rt△、等腰△，等边△、全等△（1）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB＝2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD＝1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，求AD的长度．
2.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，并交于点，若，求的长
3.如图，在四边形中，，，，，求的度数．
4.如图，在中，点为的中点，，，，，求的长．
5.如图，在中，，是的中点，于点，交于点若，，．
连续递推，豁然开朗
6.如图，在中，是上的一点，，，分别是，的中点若，求的长．
7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=12，CD=AC=16，M、N分别是对角线BD、AC的中点． ①求证：MN⊥AC；②求MN的长．
思维拓展，更上一层
8．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，求四边形APBQ的面积．
　　　
9.如图，在长方形中，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长，交于点，连结若，，求的长
参考答案
1．解：过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝1.2米，BE＝CD＝1.8米，
在Rt△ADE中，AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9米，AD2＝AE2+DE2，
∴AD＝（米），
2.解：是线段的垂直平分线，
，，，，
，在中，，，
，，，
，
3.解：连接，，，，
，
又，，
，
是直角三角形，，，，
又，，的度数是．
4.解：，，，又，
，是直角三角形且，
，，又点为的中点，．
5.AE=BC=2BD=4
6．4
7.①证明：如图，连接AM、CM， ∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，∴AM=CM=BM=DM= BD，∵N是AC的中点，∴MN⊥AC；
②解：∵∠BCD=90°，BC=12，CD=16，∴BD= =20，
∴AM= ×20=10，∵AC=16，N是AC的中点，∴AN= ×16=8，
∴MN= =8．
　　
8解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP＝6，∵∠CAP＋∠BAP＝60°，∠BAP＋∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△AQB中，，∴△APC≌△AQB，
∴PC＝QB＝10，在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，而64＋36＝100，∴PB2＋PQ2＝BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ＝×6×8＋×62＝24＋9．
9.解：是的中点，，沿折叠后得到，
，，，在矩形中，，
，在和中，
≌，，设，则，，
在中，，解得．
有特殊三角形必有特殊性质
----------大胆猜想，小心求证：Rt△、等腰△，等边△、全等△（2）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，求小鸟至少要飞多少米？．
2． 如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．
(1) 判断△ABC是什么形状，并说明理由．(2) 求△ABC的面积．
3．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，求正方形D的面积．
连续递推，豁然开朗
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求：
（1）Rt△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）求AB边上的高CD的长．
5．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
6. 如图，在 中，，， 是边 上的中线，点 在 的延长线上，，求 的面积．
思维拓展，更上一层
7. 如图①是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点 ，， 在同一条直线上，且 ．如图②是小床支撑脚 折叠的示意图，在折叠过程中， 变形为四边形 ，最后折叠形成一条线段 ．（1）小床这样设计应用的数学原理是 ；
（2）若 ，求 的值．
1．解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，
过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，
在直角三角形AEC中，AC＝＝＝13．小鸟至少要飞13米．
2．(1) ∵ AC2=12＋82=65，AB2=22＋32=13，BC2=42＋62=52，∴ AC2=AB2＋BC2．∴ △ABC是直角三角形，且∠ABC=90° (2) S=×AB×BC=××2=13
3．解：设正方形D的面积为x，∵正方形A、B、C的边长分别为2、3、4，
∴正方形的面积分别为4、9、16，根据图形得：4+16＝x﹣9，解得：x＝29，
4．解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴Rt△ABC的面积＝AC BC＝（）（）＝4；
（2）∵∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴AB＝＝＝2；
（3）∵S△ABC＝AC BC＝AB CD，
∴CD＝＝＝，
5.解：作AD⊥BC于D，
如图所示：设BD = x，则 ．在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中， ，
∴ ，解之得： ．∴ ．
∴ ．
6. 是边 上的中线， ．
又 ，， ．
，．
，，
．，．又 ，
．． ．
7. （1） 三角形具有稳定性（2） ，
设 ，，则 ，，．由图形可得 ，则 ，．在 中，，即 ，解得 ． ．
有特殊三角形必有特殊性质
----------大胆猜想，小心求证：Rt△、等腰△，等边△、全等△（3）
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．猜想△ABC的形状并证明．
2．已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，BC＝DE＝8，EF＝6，AB＝CD＝3，求AF的长
3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝15，点D是AC边上的一点，且CD＝3，BD＝9，猜想△ABD的形状并证明
4．如图，每个小正方形的边长为1，求∠ABC的度数．
5．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，求BE的值
6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，求S4
连续递推，豁然开朗
7.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E,求DE的长1教育名师原创作品
如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∠CBD=30°,∠BCD=45°,若AB=2.
求四边形ABCD的面积.
9．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．
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10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，求AB2+CD2的值．
在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．
（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；
若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
1．证明：连接CE，∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝BE＝5，在△AEC中，AE＝3，EC＝5，AC＝4，
∵AC2+AE2＝42+32＝25，EC2＝52＝25，∴AC2+AE2＝EC2，
∴△AEC是直角三角形，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形．
2．解：过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，
∵EF＝2AB＝2CD，AB＝3，∴CD＝3，EF＝6，
根据题意，AG＝AB+CD+EF＝12，GF＝BC+DE＝16，在Rt△AGF中，
AF＝＝＝20．
3．．解：△ABD是直角三角形，理由是：∵AC＝15，CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝15﹣3＝12，∵AB＝15，BD＝9，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形．
4．解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，
BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．
5．解法一：∵BD＝CD，CD＝7，∴BD＝7，∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，
∵AD＝5，∴AB＝＝2，∵AB＝CE，∴CE＝2，
∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴DE＝＝5，∴BE＝BD﹣DE＝2．
解法二：∵AB⊥AD，CE⊥BD，∴∠A＝∠CED＝90°，
∵AB＝CE，BD＝CD，∴Rt△ABD≌Rt△ECD（HL），
∴AD＝DE＝5，∵BD＝CD，CD＝7，∴BD＝7，∴BE＝BD﹣DE＝2．
6．解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
如图，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，因此S4＝135﹣48＝87，
7.解.连结AD,由D为BC的中点,得AD⊥BC,BD=5.在Rt△ABD中,根据勾股定理,AD==12.在△ABD中,根据三角形的面积公式,得×AD×BD=×AB×DE,所以,DE===.
8.解如图,过点D作DE⊥BC于E,∵AB=AD,∠BAD=90°,
∴AD=AB=2,BD=2×=4,∵∠CBD=30°,∴DE=BD=×4=2,
BE===2,∵∠BCD=45°,∴CE=DE=2,
∴BC=BE+CE=2+2,∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD
=×2×2+×(2+2)×2=4+2+2=6+2.
9．解：延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，如图所示：则AE＝4，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
在△BED和△ACD中，，∴△BED≌△ACD（SAS），
∴BE＝AC＝3，∵AE＝4，AB＝5，BE＝3，∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，∴△ABC的面积＝△ABE的面积＝×3×4＝6
10．解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形，
∴BD⊥AC，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°，
在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9，在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25，
∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，
在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2，∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，
11．（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，
∵BD＝AB，∴∠BDA＝∠A＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°，
（2）解：过点B作BM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，
设AN＝x，则CN＝5﹣x，∵AB＝5，BC＝6，∴AM＝，
∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，∴x＝，∴AD＝2AN＝．