杭州市2025~2026学年度九上期末压轴题真题分类演练（含解析）
文档属性
| 名称 | 杭州市2025~2026学年度九上期末压轴题真题分类演练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-11 00:00:00 | ||
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文档简介
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杭州市2025~2026学年度九上期末压轴题真题分类演练
一．函数的图象（共1小题）
1．数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限．乙同学认为：该函数图象关于直线x＝﹣1对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲乙都正确 B．甲乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y的图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是 ．
三．二次函数的性质（共4小题）
3．在直角坐标系中，设函数，．（ ）
A．若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点
B．若函数y1和y2的值互为相反数，则x＝﹣1
C．当x＝1时，函数y1和y2的值相等
D．函数y1和y2的图象必经过同一个定点
4．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
5．设函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0），若函数y1＝a（x+h﹣2）2+m+2025（a＞0），则y1＜0时自变量x的取值范围是 ．
6．已知抛物线（b为常数），直线L：y＝b+4，当时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，则b的值是 ．
四．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
7．已知点（x1，m），（x2，n），（x3，p）均在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，若n＝c﹣a，则（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则n≥m≥p
B．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|
C．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则n≥m≥p
D．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），则P＝a+b+c的值的范围是（ ）
A．﹣1＜P＜0 B．﹣1＜P＜1 C．1＜P＜2 D．0＜P＜2
10．已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a≠0），过点A（﹣3m，0），B（m，0），C（n，4），若﹣4＜n＜﹣2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．1＜m＜2 C．m＜1或m＞2 D．m＜﹣2
11．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣2m﹣6（m为常数）的图象与x轴有交点，且当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
12．已知二次函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（1，0），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点（k，m），求k﹣m的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），对于x1＝t，x2＝t+1，总有y1＜y2，求t的取值范围．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
13．已知：二次函数y＝ax（x﹣2）+2（a≠0）的图象上有三点的坐标分别为（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）．若在y1，y2，y3这三个实数中，有且只有两个是正数，则a的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
14．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
15．已知两个不同的点A（a，﹣1），B（b，﹣1）都在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，则代数式的值为 ．
16．在直角坐标系中，二次函数y＝2x2﹣4x+c的图象过点A（2，y1），点B（﹣2，y2），点C（m，n）．若y1＜n＜y2，则m的取值范围是 ．
六．二次函数图象与几何变换（共1小题）
17．已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）．
（1）若抛物线经过点（﹣6，4），求该抛物线的对称轴．
（2）若将抛物线上的点（﹣3，﹣5）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式．
（3）若抛物线的对称轴为直线，点（﹣1，m），（1，n）在抛物线上，求证：mn≤18．
七．抛物线与x轴的交点（共3小题）
18．已知二次函数y＝kx2+2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＞0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2﹣2x+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴只有一个交点，且图象过（2，n）和（2m，n）两点，设p＝m+n，则（ ）
A．p的最小值为 B．p的最小值为1
C．p的最大值为 D．p的最大值为1
20．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
八．二次函数的应用（共2小题）
21．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28m，其余三边AB，BC，CD用60m长的铁质栅栏．有下列结论：
①AB的长可以为15m；
②当农场ABCD面积为200m2时，满足条件的AB的长只有一个值；
③农场ABCD面积的最大值为450m2；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560m2．
其中，正确结论的是 ．（只需填序号）
22．如图，一小球从斜坡O点以一定方向弹出球的飞行路线可用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）可与小球飞行高度y（米）变化规律如表：
x 0 1 2 3 4 n 6 7 …
y 0 m 6 7.5 8 7.5 6 3.5 …
（1）填空：
①m＝ ；n＝ ；②小球落点A的坐标为 ．
（2）求小球在飞行过程中离斜坡OA的最大高度（垂直于地面）．
（3）计划在斜坡上B点种一棵树，设B点横坐标为m，树高为3米，要使小球飞过这棵树，问m的取值范围是多少？
九．二次函数综合题（共3小题）
23．已知二次函数，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1．
（1）求b的值．
（2）已知点A（x1，m）在二次函数的图象上，点B（x2，n）在二次函数的图象上．
①若x2＝2x1+1，求n﹣m的最大值．
②若x2﹣x1＝t，t＜0且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，求t的值．
24．在直角坐标系中，设函数y1＝（x﹣m）（x﹣n）y2＝x2+mx+n，其中m≠n．
（1）若函数y1的图象过点（0，2），函数y2的图象过点（1，4），求m2+n2的值．
（2）若0＜m＜n＜4，判断函数y2与x轴的交点个数，说明理由．
（3）若函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，求m，n的值．
25．等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与x轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0），（1，0），则此抛物线的顶点是 ；
（2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，顶点M（1，2），与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上找一点P，且，请求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使得以A，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
十．勾股定理（共2小题）
26．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB＝10，BC＝6，D为上任意一点，连接AD，DB，DC，若AD与△BCD的一边相等，则CD的长为 ．
27．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
十一．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
28．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可）
十二．四边形综合题（共1小题）
29．如图，菱形ABCD的边长是2，∠DAB＝60°．把菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB'C'D'，设旋转角度∠DAD'＝α（0°＜α＜60°），BC与CD交于点E，连接CB'．
（1）求∠BED′的度数（用含α的代数式表示）．
（2）若BC⊥C'D'，求tan∠BCB′的值．
（3）求证：．
十三．垂径定理的应用（共1小题）
30．综合与实践
探究主题 直角三角板与圆
探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于90°”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况（如图1），具体研究如图1．
探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理： ．
探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为180°．如图2，若∠P＝90°，则180°，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图3，连接AC ∵∠ACD，∠CAB， 又∵∠P＝∠ACD﹣∠CAB＝90°， ∴90°． ∴180°． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论： ．
探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角∠APD并反向延长两边交圆于B，C两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想： ．（可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述） 证明：…
探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦CD⊥AB，BP＝3，DP＝6，CP＝2，求圆的直径． 比赛评分标准如表： 等级评价标准得分☆☆根据条件求出3条以上线段长，但没有求出直径2分☆☆☆☆根据条件求出直径，但没有运用以上探究结论4分☆☆☆☆☆创新运用探究任务4的结论，根据条件求出直径5分
你的解答是：…
十四．圆周角定理（共7小题）
31．如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设∠DAE＝α，∠DCB＝β．若AE⊥BC，BD＝GD，则（ ）
A．3α+β＝270° B．α+β＝180° C．3β﹣α＝270° D．β﹣α＝90°
32．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是BC边上的一点，AB＝2BE，以E为圆心，AE为半径的圆弧交AD于点F，交CD于点G．若F是弧AG的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，以△ABC的边BC为直径的半圆分别交AB，AC于点D，E，O是圆心，连结DE，OE，给出下列结论：①∠DEO＝∠A；②若∠A＝60°，则BD+CE＝BC．其中下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
34．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
36．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α．
①则∠F＝ ，（用含α的代数式表示）；
②当∠F＝3∠PCD时，则 ．
37．如图，在⊙O中，直径BD与弦AC交于点E，且AB＝AC．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD．
（2）若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD．
（3）若AB＝5，BC＝6，求AE．
十五．圆内接四边形的性质（共2小题）
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AB＝AC，AB∥CD，则（ ）
A．2∠BAC+3∠CAD＝180° B．3∠BAC+2∠CAD＝180°
C．4∠BAC+3∠CAD＝360° D．3∠BAC+4∠CAD＝360°
39．已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交于A，B两点，点C，D分别在直线l的异侧，且是⊙O上的两个动点，且∠ACB＝135°，则四边形ACBD面积的最大值是（ ）
A．25 B． C． D．
十六．弧长的计算（共3小题）
40．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C．若，则的长为 ．
41．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的弦AB中点，CD⊥AB，D在上．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB．当CD＝1，AB＝6时，s＝ ．
42．如图，AN是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，与圆相交于点E，AB＝15，D是⊙O上的点，DC⊥BM，与BM交于点C，⊙O的半径为R＝30．
（1）求BE的长．
（2）若BC＝15，求的长．
十七．扇形面积的计算（共1小题）
43．如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC＝45°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，连结AD和DE．若AB＝2，则阴影部分面积为 ．
十八．圆的综合题（共6小题）
44．如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝OA，点D在上，点E是CD中点，连结AD分别交OC，OE于点F，G．
（1）请直接写出∠AOC与∠EGD的度数．
（2）求证：△ACF∽△OGF．
（3）△AFC，△ODG的面积分别记为S1，S2．若CF＝kOF，求的值．（用含k的式子表示）
45．如图，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AB，BC上，AF＝CH，连接BD，FH交于点E，过点F，B，H的圆交DH于点P，连接PF交BD于点K．
（1）证明：∠AFD＝∠PFB．
（2）证明；
（3）当时，求的值．
46．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，F为上一点，连接AC，CF，FB，AF，AF与CD交于点G．
（1）求证：∠AFC＝∠CAB；
（2）连接CB交AF于点H，当AF⊥CB时，△CFG是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BF＝4，AC＝8，求AF的长．
47．已知AB为直径，弦CD⊥AB于E，作点B关于CD的对称点H，连结CH并延长交⊙O于点P，连结PD．
（1）如图1，若对称点H与点O重合，试求∠CPD的度数．
（2）如图2，连结AD交CP于点M，求证：AD⊥CP．
（3）如图3，连结BP交CD于点F，若AB＝3，sin∠CPB，
①试求BE的长；②直接写出PC+PD的值．
48．如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC的延长线于点M，连接CD．
（1）求证：∠ACB＝∠CDM；
（2）若BM＝5，AE＝CM＝3，求CD的长；
（3）如图2，连接BD分别交AF和AC于点G和点H，若∠DAG＝∠DGA，且GH＝n，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）．
49．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：△DOE∽△ABC；
（2）求证：∠ODF＝∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形OCBD的面积为S2，若，用含n的代数式表示．
十九．作图—复杂作图（共1小题）
50．如图，在⊙O上有A，B，C三点，∠A＝80°，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个100°的圆周角，记为∠1．
（2）请在图中作一个20°的圆心角，记为∠2．
（3）请在图中作一个10°的圆周角，记为∠3．
二十．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
51．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，把Rt△ABC沿斜边AB折叠，得到△ABD，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E，过点C作CN∥AD，分别交AB，BD于点M，N，若CM＝3，，则 ．
二十一．平行线分线段成比例（共1小题）
52．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC上的中线，将△ADC沿直线AD翻折得到△ADC′，C′D与AB交于点F，连接CC′与AB，AD分别交于点E，O，连接BC′，则∠CC′B＝ .若，则
二十二．相似三角形的性质（共1小题）
53．如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连结AE，将△ADE顺时针旋转90°得到△ABF，连结EF，分别交AB，AC于点G，H．若△AFG与△AEC相似，则 ．
二十三．相似三角形的判定（共2小题）
54．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE
55．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，AD＜AE，连接CD，BE，交于点F．若CD＝BE，则图中与△ABE相似的三角形是 ．
二十四．相似三角形的判定与性质（共3小题）
56．如图是由边长为1的小正方形组成的5×3网格，△ABC的顶点及点M，N都是格点，AB与格线CN交于点D，AC与MN交于点E．则有以下四个结论：①；②CE＝2AE；③∠ADE＝∠ACB；④∠ACB＝45°．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①②③
57．如图，点A，B，C在直线l上，AD⊥l，AD∥BE∥CF，且过点D，E，F三点的圆的圆心在直线l上．若AD＝CF＝1，BE＝2，则AB BC的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
58．如图，点D在△ABC的边AB上，作DE∥BC交AC于点E，EF∥AB交BC于点F．点G在线段EF上，连结CG并延长，交线段DF于点M，交线段DB于点N．若，则的值是 ．
二十五．相似形综合题（共1小题）
59．【综合与实践】
小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作．将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形AB'C'D'，边C'D'与直线AB交于点M，边AD'，B'C'分别与直线BC交于点P，Q．已知AB＝6，BC＝8．
【特例研究】
如图1，当点M与点C′重合时，①求证：△MQB∽△AC′D′．②求．
【结论拓展】
如图2，当点M与点C′不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由．
二十六．解直角三角形（共1小题）
60．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为 ．
杭州市2025~2026学年度九上期末压轴题真题分类演练
一．选择题（共21小题）
题号 1 3 4 7 8 9 10 13 14 18 19
答案 C A C B B D B B B A A
题号 31 32 33 34 35 38 39 54 56 57
答案 A B B C B B D C D A
一．函数的图象（共1小题）
1．数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限．乙同学认为：该函数图象关于直线x＝﹣1对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲乙都正确 B．甲乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】根据所给函数解析式，分别对甲、乙两位同学的结论作出判断即可．
【解答】解：由题知，
因为函数解析式为，
所以当x＜0（x≠﹣1）时，y一定小于零，
所以该函数图象一定不经过第二象限．
故甲正确．
当x＝0时，y＝0，
即该函数图象经过点（0，0）．
点（0，0）关于直线x＝﹣1的对称点坐标为（﹣2，0）．
当x＝﹣2时，y＝﹣4≠0，
所以（﹣2，0）不在此函数图象上，
所以该函数图象不关于直线x＝﹣1对称．
故乙错误．
故选：C．
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y的图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y1＜y3 ．
【分析】首先根据函数关系式画出草图，然后根据图象可直接得到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：如图所示：
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
三．二次函数的性质（共4小题）
3．在直角坐标系中，设函数，．（ ）
A．若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点
B．若函数y1和y2的值互为相反数，则x＝﹣1
C．当x＝1时，函数y1和y2的值相等
D．函数y1和y2的图象必经过同一个定点
【分析】依据题意，对于A，令y1＝y2，从而x2+ax+b＝﹣x2+bx+a，则2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0，进而Δ＝（a﹣b）2﹣8（b﹣a）＝（a﹣b）2+8（a﹣b），结合a＞b，故Δ＝（a﹣b）2+8（a﹣b）＞0，进而可以判断A；又对于B，由函数y1和y2的值互为相反数，从而x2+ax+b+（﹣x2+bx+a）＝0，则（a+b）x+（a+b）＝0，故（a+b）（x+1）＝0，进而a+b＝0或x+1＝0，故可判断B；又对于C，令y1＝y2，则x2+ax+b＝﹣x2+bx+a，从而2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0，又当x＝1时，2+a﹣b+b﹣a＝2≠0，进而可得当x＝1时，函数y1和y2的值不相等，故可判断C；对于D，令y1＝y2，则x2+ax+b＝﹣x2+bx+a，结合A可得，两个图象有两个公共点，且不能确定是不是定点，故可判断D．
【解答】解：由题意，对于A，令y1＝y2，
∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a．
∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0．
∴Δ＝（a﹣b）2﹣8（b﹣a）
＝（a﹣b）2+8（a﹣b）．
∵a＞b，
∴Δ＝（a﹣b）2+8（a﹣b）＞0．
∴若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点，故A正确．
对于B，∵函数y1和y2的值互为相反数，
∴x2+ax+b+（﹣x2+bx+a）＝0．
∴（a+b）x+（a+b）＝0．
∴（a+b）（x+1）＝0．
∴a+b＝0或x+1＝0，故B错误．
对于C，令y1＝y2，
∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a．
∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0．
又∵当x＝1时，2+a﹣b+b﹣a＝2≠0，
∴当x＝1时，函数y1和y2的值不相等，故C错误．
对于D，令y1＝y2，
∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a．
∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0．
∴结合A可得，两个图象有两个公共点，且不能确定是不是定点，故D错误．
故选：A．
4．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，p＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴h，
∴x1+x2＞2h．
故选：C．
5．设函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0），若函数y1＝a（x+h﹣2）2+m+2025（a＞0），则y1＜0时自变量x的取值范围是 ﹣1＜x＜4 ．
【分析】根据题意先求得h的值，然后根据二次函数的平移性质求得y1＝a（x+h﹣2）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点，最后根据二次函数性质求得答案即可．
【解答】解：∵函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0），
∴该函数的对称轴为直线h﹣1，
解得：h，
则y1＝a（x）2+m+2025（a＞0），
那么函数y1＝a（x）2+m+2025（a＞0）的图象是由函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）的图象向右平移2个单位长度所得，
则函数y1＝a（x）2+m+2025（a＞0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（4，0），
∵该函数图象开口向上，
∴y1＜0时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜4，
故答案为：﹣1＜x＜4．
6．已知抛物线（b为常数），直线L：y＝b+4，当时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，则b的值是 1或4 ．
【分析】依据题意，由抛物线为yx2+bx+4（x﹣b）2b2+4，从而抛物线开口向下，对称轴是直线x＝b，且当x≤b时，y随x的增大而增大，当x＞b时，y随x的增大而减小，再分bb和bb两种情形进行讨论计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线为yx2+bx+4（x﹣b）2b2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝b，且当x≤b时，y随x的增大而增大，当x＞b时，y随x的增大而减小．
①当bb时，则b≤0，
∴当x≤b时，y随x的增大而增大，当b＜xb时，y随x的增大而减小．
∴当x＝b时，y取最大值为yb2+4．
∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，
∴|b2+4﹣（b+4）|＝2．
∴b＝1（舍去）或b＝1．
②当bb时，则b＞0，
∴当xb时，y随x的增大而增大．
∴当xb时，y取最大值为yb2+4．
∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，
∴|b2+4﹣（b+4）|＝2．
∴b（舍去）或b＝4．
综上，b＝1或b＝4．
故答案为：1或4．
四．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
7．已知点（x1，m），（x2，n），（x3，p）均在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，若n＝c﹣a，则（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则n≥m≥p
B．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|
C．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则n≥m≥p
D．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|
【分析】依据题意，由二次函数为y＝ax2+2ax+c，从而对称轴是直线x1，又（x2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+c上，且n＝c﹣a，故x2＝﹣1，则（x2，n）为二次函数的顶点，进而结合二次函数的性质逐个判断可以得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝ax2+2ax+c，
∴对称轴是直线x1．
又∵（x2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+c上，且n＝c﹣a，
∴x2＝﹣1．
∴（x2，n）为二次函数的顶点．
∴①当|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|时，点（x1，m）到顶点的距离比（x3，p）到顶点的距离小，则若a＞0时，则n≤m≤p；若a＜0时，则n≥m≥p；
②当|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|时，点（x1，m）到顶点的距离比（x3，p）到顶点的距离大，则若a＞0时，则n≤p≤m；若a＜0时，则n≥p≥m；
③若n≥m≥p，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|．
故选：B．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0
【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：B．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），则P＝a+b+c的值的范围是（ ）
A．﹣1＜P＜0 B．﹣1＜P＜1 C．1＜P＜2 D．0＜P＜2
【分析】由抛物线的顶点在第一象限及过点（0，1）和（﹣1，0），即可得出﹣1＜a＜0、0＜b＜1，再由P＝a+b+c＝2b，即可得出P的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），
∴，
∴b＝a+1＞0，
∴﹣1＜a＜0，0＜b＜1．
∵P＝a+b+c＝2b，
∴0＜P＜2．
故选：D．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a≠0），过点A（﹣3m，0），B（m，0），C（n，4），若﹣4＜n＜﹣2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．1＜m＜2 C．m＜1或m＞2 D．m＜﹣2
【分析】根据所给点的坐标，结合抛物线的对称性即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将x＝0代入抛物线解析式得，
y＝4，
所以抛物线经过点（0，4）．
又因为点C（n，4）在抛物线上，
则点（0，4）和点（n，4）关于抛物线的对称轴对称．
同理可得，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，
所以，
则n＝﹣2m．
又因为﹣4＜n＜﹣2，
所以﹣4＜﹣2m＜﹣2，
解得1＜m＜2．
故选：B．
11．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣2m﹣6（m为常数）的图象与x轴有交点，且当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ﹣3≤m≤1 ．
【分析】根据二次函数图象与x轴有交点得出所对应的一元二次方程根的判别式大于等于零，再由x≥1时，y随x的增大而增大，得出抛物线的对称轴在直线x＝1或它的左边，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣2m﹣6（m为常数）的图象与x轴有交点，
所以方程x2﹣2mx+m2﹣2m﹣6＝0有实数根，
则Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣2m﹣6）≥0，
解得m≥﹣3．
又因为当x≥1时，y随x的增大而增大，
所以，
解得m≤1，
所以m的取值范围是：﹣3≤m≤1．
故答案为：﹣3≤m≤1．
12．已知二次函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（1，0），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点（k，m），求k﹣m的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），对于x1＝t，x2＝t+1，总有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把点（k，m）代入y＝（x﹣m）2+k得到（k﹣m）2+k﹣m＝0，即（k﹣m）（k﹣m+1）＝0，即可求得k﹣m的值为0或﹣1；
（3）根据题意对称关于t的不等式解不等式即可求解．
【解答】解：（1）∵函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）图象的对称轴为直线x＝﹣1，
∴m＝﹣1，
∵经过点（1，0），
∴（1+1）2+k＝0，
∴k＝﹣4，
∴二次函数表达式为y＝（x+1）2﹣4；
（2）∵二次函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）图象经过点（k，m），
∴m＝（k﹣m）2+k，
∴（k﹣m）2+k﹣m＝0，即（k﹣m）（k﹣m+1）＝0，
∴k﹣m＝0或k﹣m+1＝0，
∴k﹣m的值为0或﹣1；
（3）∵二次函数为y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵二次函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），对于x1＝t，x2＝t+1，总有y1＜y2，
∴，
∴t．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
13．已知：二次函数y＝ax（x﹣2）+2（a≠0）的图象上有三点的坐标分别为（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）．若在y1，y2，y3这三个实数中，有且只有两个是正数，则a的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】先求出y1＝3a+2，y2＝﹣a+2，y3＝8a+2，根据题意列出不等式组解出a的取值范围，再结合选项判断即可．
【解答】解：二次函数y＝ax（x﹣2）+2＝a（x﹣1）2﹣a+2，对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝2，
∴函数图象过点（0，2），
∵二次函数的图象上有三点的坐标分别为（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3），且y1，y2，y3这三个实数中，有且只有两个是正数，
∴y1＝3a+2，y2＝﹣a+2，y3＝8a+2，
当a＜0时，y1＞0，y2＞0，y3＜0，
∴，解得，
当a＞0时，y1＞0，y2＜0，y3＞0，
∴，解得a＞2，（选项中没有该范围的数），
∵，
∴a不可能等于，排除选项A，
∵，
∴a满足条件．
故选：B．
14．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0），
∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m，
∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x，
当a＞0时，当x1+x2＜1时，
∴，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＞0；
当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时，
∴，
∴当时，y1＜y2，
则a（y1﹣y2）＞0；
当时，y1＞y2，
则a（y1﹣y2）＜0；
故选：B．
15．已知两个不同的点A（a，﹣1），B（b，﹣1）都在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，则代数式的值为 1 ．
【分析】利用根与系数的关系求出ab，根据抛物线对称轴求出a+b，最后化简所求代数式即可得到结果．
【解答】解：a、b是方程x2﹣3x+1＝0两个根，
∴ab＝1，
∵点A（a，﹣1），B（b，﹣1）纵坐标相等，
∴即a+b＝3．
∵点A（a，﹣1），B（b，﹣1）都在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，
∴a2﹣3a＝﹣1，即a2+1＝3a，b2﹣3b＝﹣1，即b2+1＝3b，
∴1．
故答案为：1．
16．在直角坐标系中，二次函数y＝2x2﹣4x+c的图象过点A（2，y1），点B（﹣2，y2），点C（m，n）．若y1＜n＜y2，则m的取值范围是 ﹣2＜m＜0或2＜m＜4 ．
【分析】利用二次函数的对称性和增减性得出关于m的不等式组，解不等式即可．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵二次函数y＝2x2﹣4x+c的图象过点A（2，y1），点B（﹣2，y2），点C（m，n），
∴点C（m，n）关于直线x＝1的对称点（2﹣m，n）在二次函数y＝2x2﹣4x+c的图象上，
∵y1＜n＜y2，
∴当m＜1时，则，解得﹣2＜m＜0；
当m＞1时，则，解得2＜m＜4，
综上，m的取值范围是﹣2＜m＜0或2＜m＜4．
故答案为：﹣2＜m＜0或2＜m＜4．
六．二次函数图象与几何变换（共1小题）
17．已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）．
（1）若抛物线经过点（﹣6，4），求该抛物线的对称轴．
（2）若将抛物线上的点（﹣3，﹣5）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式．
（3）若抛物线的对称轴为直线，点（﹣1，m），（1，n）在抛物线上，求证：mn≤18．
【分析】（1）将点（﹣6，4）代入抛物线解析式，得出关于a，b的等式，再结合抛物线对称轴的公式即可解决问题．
（2）先求出平移之后的点，再将点（﹣3，﹣5）和平移之后的点代入函数解析式即可．
（3）先根据抛物线的对称轴得出a，b之间的关系，再用a分别表示出m和n，最后表示出mn，再进行配方即可解决问题．
【解答】（1）解：由题知，
将（﹣6，4）代入y＝ax2+bx+4得：
36a﹣6b+4＝4，
则b＝6a，
所以抛物线的对称轴为直线x．
（2）解：由题知，
将点（﹣3，﹣5）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得点的坐标为（﹣1，﹣1），
则，
解得，
所以抛物线的解析式为y＝x2+6x+4．
（3）证明：因为抛物线的对称轴为直线x，
所以，
则b＝﹣3a，
所以抛物线的解析式可表示为y＝ax2﹣3a+4．
将（﹣1，m）和（1，n）分别代数抛物线的解析式得：
m＝4a+4，n＝﹣2a+4，
所以mn＝（4a+4）（﹣2a+4）＝﹣8a2﹣8a+16＝﹣8（）2+18，
因为0，
所以﹣8（）2+18≤18，
即mn≤18．
七．抛物线与x轴的交点（共3小题）
18．已知二次函数y＝kx2+2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＞0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2﹣2x+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象分析即可．
【解答】解：∵当y＞0时，﹣1＜x＜2，
∴函数与x轴的交点为（﹣1，0）和（2，0），且开口向下，
∴y＝kx2+2x+c的图象为选项C，
∵y＝kx2+2x+c与二次函数y＝kx2﹣2x+c关于y轴对称，
∴选项A为y＝kx2﹣2x+c的图象，
故选：A．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴只有一个交点，且图象过（2，n）和（2m，n）两点，设p＝m+n，则（ ）
A．p的最小值为 B．p的最小值为1
C．p的最大值为 D．p的最大值为1
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点可得c，由抛物线的对称性可得对称轴为直线1+m，可用含m的代数式表示b，进而得出函数为y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，代入（2，n）得含m的代数式表示n，进一步得出p＝m+n＝m2﹣m+1＝（m）2，利用二次函数的性质即可求得p有最小值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
∴c，
∴y＝x2+bx，
∵抛物线经过过（2，n）和（2m，n）两点，
∴抛物线对称轴为直线1+m，
∴1+m，
∴b＝﹣2﹣2m，
∴y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，
代入（2，n）得，n＝4﹣4（m+1）+（m+1）2＝（m﹣1）2，
∴p＝m+n＝m2﹣m+1＝（m）2，
∴当m时，p有最小值．
故选：A．
20．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是直线x1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
八．二次函数的应用（共2小题）
21．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28m，其余三边AB，BC，CD用60m长的铁质栅栏．有下列结论：
①AB的长可以为15m；
②当农场ABCD面积为200m2时，满足条件的AB的长只有一个值；
③农场ABCD面积的最大值为450m2；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560m2．
其中，正确结论的是 ② ．（只需填序号）
【分析】依据题意，设AD边长为xm，则AB边长为长为m，当AB＝15时，15，解得x＝30，故可判断①；当菜园ABCD面积为200m2，由题意得x 200，从而x＝30±10，又x≤28，故可判断②；又设矩形菜园的面积为ym2，从而y＝x （x﹣30）2+450，结合0，x≤28，从而当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2，故可判断③；依据题意，直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60，进而设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a．求得a≈6.2，最后得农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560，故可判断④．
【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为m，
当AB＝15时，15，
解得x＝30，
∵AD的长不能超过28m，
∴x≤28，
故①不正确．
∵菜园ABCD面积为200m2，
∴x 200．
∴x＝30±10．
又x≤28，
∴x＝30﹣10．
∴满足条件的AB的长只有一个值，故②正确．
由题意，设矩形菜园的面积为ym2，
根据题意得：y＝x （x﹣30）2+450，
∵0，x≤28，
∴当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2．
故③不正确．
∵直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60，
∴设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a．
∴a≈6.2．
∴农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560．
∴农场的面积不超过560m2．
故④错误．
故答案为：②．
22．如图，一小球从斜坡O点以一定方向弹出球的飞行路线可用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）可与小球飞行高度y（米）变化规律如表：
x 0 1 2 3 4 n 6 7 …
y 0 m 6 7.5 8 7.5 6 3.5 …
（1）填空：
①m＝ 3.5 ；n＝ 5 ；②小球落点A的坐标为 （7，3.5） ．
（2）求小球在飞行过程中离斜坡OA的最大高度（垂直于地面）．
（3）计划在斜坡上B点种一棵树，设B点横坐标为m，树高为3米，要使小球飞过这棵树，问m的取值范围是多少？
【分析】（1）①取表格中任意两点代入二次函数可得a和b的值，进而取x＝1可得m的值，取y＝7.5，求得合适的解即为n的值；
②把二次函数和一次函数联立，求得合适的解即为点A的坐标；
（2）点C为抛物线上的一点，作CN⊥x轴于点N，交OA于点M，用含x的代数式表示出CM的长，进而求得CM的最大值即可；
（3）取（2）的二次函数的函数值为3，求得相应的x的值，进而根据二次函数的开口方向和所得x的值判断出m的取值范围．
【解答】解：（1）①∵二次函数经过点（2，6），（4，8），
∴，
解得：，
∴yx2+4x，
当x＝1时，y＝3.5，
∴n＝3.5，
当y＝7.5时，7.5x2+4x，
整理得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3（不合题意，舍去），x2＝5，
∴n＝5，
故答案为：3.5，5；
②，
∴x2+4xx，
x2﹣7x＝0，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝7，
当x＝7时，y＝3.5，
∴点A的坐标为（7，3.5），
故答案为：（7，3.5）；
（2）如图：点C为抛物线上的一点，作CN⊥x轴于点N，交OA于点M，设CM＝y，点C坐标为（x，x2+4x），则点M的坐标为（x，x），
yx2+4xxx2x，
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x，
∴当x时，y最大，y最大，
答：小球在飞行过程中离斜坡OA的最大高度为；
（3）小树高3m，则x2x＝3，
整理得：x2﹣7x+6＝0，
解得：x1＝1，x2＝6，
∵小球在飞行过程中离斜坡的高度的抛物线的开口向下，B点横坐标为m，小树在B处，小球飞过这棵树，
∴1＜m＜6．
九．二次函数综合题（共3小题）
23．已知二次函数，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1．
（1）求b的值．
（2）已知点A（x1，m）在二次函数的图象上，点B（x2，n）在二次函数的图象上．
①若x2＝2x1+1，求n﹣m的最大值．
②若x2﹣x1＝t，t＜0且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，求t的值．
【分析】（1）分别求出两个函数的对称轴，建立方程求解即可；
（2）①先表示出m＝m4x1+c，n2x2+c，再利用x2＝2x1+1代入n表达式中，然后表示出n﹣m＝﹣34x1+1＝﹣3（x1）2，利用二次函数最值求解即可；
②同①表示出n﹣m＝﹣2tx1﹣2x1﹣t2+2t＝3t，建立关于t的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵函数（x）2c，（x﹣1）2+c+1，
∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为1，
∵二次函数，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1，
∴，
∴b＝4；
（2）①∵点A（x1，m）在二次函数的图象上，点B（x2，n）在二次函数的图象上，
∴m4x1+c，n2x2+c，
∴n﹣m2（x2﹣2x1），
∵x2＝2x1+1，
∴n﹣m＝﹣34x1+1＝﹣3（x1）2，
∴x1时，n﹣m有最大值；
②∵x2﹣x1＝t，
∴x2＝x1+t，
n2x2+c
＝﹣（x1+t）2+2（x1+t）+c
2tx1+2xt2+2t+c，
∵m4x1+c，
∴n﹣m2tx1+2xt2+2t+c4x1﹣c
＝﹣2tx1﹣2x1﹣t2+2t＝3t，
整理得，t2+（2x1+1）t+2x1＝0，
即（t+2x1）（t+1）＝0，
∴t1＝﹣2x1，t2＝﹣1，
∵x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，
∴n﹣m的值不会随x1的变化而变化，
∴t＝﹣1．
24．在直角坐标系中，设函数y1＝（x﹣m）（x﹣n）y2＝x2+mx+n，其中m≠n．
（1）若函数y1的图象过点（0，2），函数y2的图象过点（1，4），求m2+n2的值．
（2）若0＜m＜n＜4，判断函数y2与x轴的交点个数，说明理由．
（3）若函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，求m，n的值．
【分析】（1）将点分别代入函数，求出m+n＝3，mn＝2，再利用完全平方公式得出m2+n2的值；
（2）求出Δ，再根据0＜m＜n＜4进行判断即可；
（3）先求出函数y1与x轴的交点为（m，0）和（n，0），再利用韦达定理列出方程，求出m，n的值．
【解答】解：（1）将（0，2）代入y1＝（x﹣m）（x﹣n），将（1，4）代入y2＝x2+mx+n，
得：，
∴m+n＝3，mn＝2，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝32﹣2×2＝5；
（2）∵Δ＝m2﹣4n，0＜m＜n＜4，
∴Δ＜0，
∴函数y2与x轴无交点；
（3）∵y1＝（x﹣m）（x﹣n），
∴函数y1与x轴的交点为（m，0）和（n，0），
∴m+n＝﹣m，mn＝n，
∴m＝1，n＝﹣2或m＝0，n＝0（舍去）．
25．等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与x轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0），（1，0），则此抛物线的顶点是 （﹣1，2）或（﹣1，﹣2） ；
（2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，顶点M（1，2），与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上找一点P，且，请求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使得以A，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由新定义知，AB＝4，AB的中垂线为x＝﹣1，则yMAB＝2，即可求解；
（2）求出抛物线的表达式为：yx2+x，由，则直线PB的表达式为：y（x﹣3），即可求解；
（3）当AB为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当AM或AQ为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）设抛物线与x轴的两个交点坐标为A（﹣3，0），B（1，0），顶点为M，
则AB＝4，AB的中垂线为x＝﹣1，则yMAB＝2，即点M（﹣1，2）或（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）；
（2）由新定义知，AB的中垂线为直线x＝1，AB＝2yM＝4，则点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
将点M的坐标代入上式得：2＝a（1﹣2﹣3），则a，
则抛物线的表达式为：yx2+x，
∵，则直线PB的表达式为：y（x﹣3），
联立PB和抛物线的表达式得：x2+x（x﹣3），
解得：x＝3（舍去）或2，即点P（2，）；
（3）存在，理由：
设点Q（s，t），
当AB为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，即点Q（1，﹣2）；
当AM或AQ为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点Q（﹣3，2）或（5，2），
综上，Q（1，﹣2）或（﹣3，2）或（5，2）．
十．勾股定理（共2小题）
26．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB＝10，BC＝6，D为上任意一点，连接AD，DB，DC，若AD与△BCD的一边相等，则CD的长为 或2或 ．
【分析】分AD＝BC，AD＝CD，AD＝BD三种情况进行讨论求解，
当AD＝BC时，圆周角定理结合勾股定理求出BD的长，过点O作OF⊥CD，垂径定理结合锐角三角函数进行求解，
当AD＝CD时，连接AC，取AC的中点G，连接OG，DG，利用三角形的中位线定理结合勾股定理进行求解，
当AD＝BD时，连接AC，交BD于点H，利用勾股定理结合相似三角形的判定和性质进行求解即可．
【解答】解：①当AD＝BC＝6时，
则，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴CD∥AB，
∵AB为直径，
∴，∠ADB＝90°，
∴BD8，
过点O作OF⊥CD，则：FO⊥AB，CD＝2DF，
∴cos∠ABD，即：，
∴BE，
∴DE＝BD﹣BE，
在Rt△DFE中，cos∠BDC＝cos∠ABD，
∴，
∴DF，
∴CD；
②当AD＝CD时，连接AC，取AC的中点G，连接OG，DG，
则OG⊥AC，DG⊥AC，，
∴O，D，G三点共线，
，
∴DG＝OD﹣OG＝2，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴，
∴；
③当AD＝BD时，
则△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝BDAB＝5，
连接AC，交BD于点H，
由②知AC＝8，
∵∠DAC＝∠DBC，∠ADH＝∠ACB＝90°，
∴△DAH∽△CBH，
∴，
∴设，CH＝6x，
∴AH＝AC﹣CH＝8﹣6x，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2+DH2，
即：，
解得：或x＝﹣7（舍去），
∴，CH，
∴BH＝DB﹣DH，
∵∠HAB＝∠BDC，∠AHB＝∠DHC，
∴△AHB∽△DHC，
∴，
∴；
综上，CD或2或；
故答案为：或2或．
27．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3.6或4.32或4.8 ．
【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC＝5、S△ABC＝6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC5，S△ABCAB BC＝6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S等腰△ABPS△ABC6＝3.6；
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，
作△ABC的高BD，则BD2.4，
∴AD＝DP1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴S等腰△ABPS△ABC6＝4.32；
③当CB＝CP＝4时，如图③所示，
S等腰△BCPS△ABC6＝4.8．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
十一．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
28．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 （3，3，6，6）或（3，3，3，3，6）
（答案不唯一） ．（写出一种即可）
【分析】根据在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，分别判断即可．
【解答】解：∵正三角形一个内角为60°，正六边形一个内角为120°，
又∵2×60°+2×120°＝360°，4×60°+120°＝360°，
∴可以用记号（3，3，6，6）或（3，3，3，3，6）表示．
故答案为：（3，3，6，6）或（3，3，3，3，6）（答案不唯一）．
十二．四边形综合题（共1小题）
29．如图，菱形ABCD的边长是2，∠DAB＝60°．把菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB'C'D'，设旋转角度∠DAD'＝α（0°＜α＜60°），BC与CD交于点E，连接CB'．
（1）求∠BED′的度数（用含α的代数式表示）．
（2）若BC⊥C'D'，求tan∠BCB′的值．
（3）求证：．
【分析】（1）∠D＝∠D′＝120°，∠BAD′＝60°﹣α，在四边形ABED′中，根据四边形的内角和得出结果；
（2）延长C′E，交CD的延长线于点F，延长CB，交AB′与点G，设AD和EF交于点O，B′C和C′D′交于H，∠BAG＝∠DAC ＝30°，从而得出点D′在AC上，解直角三角形ABD和直角三角形ACG，可得出AG和CG的长，进一步得出结果；
（3）作AG⊥C′D，交C′D′的延长线点G，作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，连接AC，AC′，AE的延长线交CC′于点F，设BD′交AE于点W，可依次证明△AGD′≌△AHB，Rt△AEH≌Rt△AEG，△D′AE≌△BAE，从而得出∠D′AE＝∠BAE30°，进而得出∠CAF＝∠C′AF＝（30°）﹣（30°﹣α），解直角三角形ACF和直角三角形ACW，求得CF和BW，进一步得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝180°﹣60°＝120°，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB'C'D'，
∴∠D′＝120°，
在四边形ABED′中，∠B＝∠D′＝120°，∠BAD′＝60°﹣α，
∴∠BED′＝360°﹣120°×2﹣（60°﹣α）＝60°+α；
（2）解：如图1，
延长C′E，交CD的延长线于点F，延长CB，交AB′与点G，设AD和EF交于点O，B′C和C′D′交于H，
∴∠CED′＝90°，
∵四边形ABCD和四边形AB′C′D是菱形，
∴∠BCD＝∠DAB＝60°，∠ADC＝∠AD′C′＝120°，
∴∠F＝30°，∠ADF＝∠AD′O＝60°，
∵∠AOD′＝∠DOF，
∴∠DAD′＝∠F＝30°，
∴∠BAG＝30°，
∵∠DAC ＝30°，
∴点D′在AC上，
∵C′D′∥AB′，BC⊥C′D′，
∴AG⊥CG，
∴AG＝AB cos∠BAG＝2cos30°，CG＝AC sin∠CAB′，
∴GB′＝AB′﹣AG＝2，
∵ACAB＝2，
∴CG＝2 sin60°＝3，
∴tann∠BCB′；
（3）证明：如图2，
作AG⊥C′D，交C′D′的延长线点G，作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，连接AC，AC′，AE的延长线交CC′于点F，设BD′交AE于点W，
∴∠G＝∠H＝90°，AC＝AC′，
∵∠AD′G＝∠ABH＝60°，AD′＝AB，
∴△AGD′≌△AHB（AAS），
∴AG＝AH，D′G＝BH，
∵AE＝AE，
∴Rt△AEH≌Rt△AEG（HL），
∴EH＝EG，
∴EH﹣BH＝EG﹣ED′，
∴EB＝EG′，
∴△D′AE≌△BAE（SSS），
∴∠D′AE＝∠BAE30°，
∵∠BAC＝∠D′AC′＝30°，∠BAD′＝60°﹣α，
∴∠D′AC＝∠BAE＝（60°﹣α）﹣30°＝30°﹣α，
∴∠CAF＝∠C′AF＝（30°）﹣（30°﹣α），
∴AF⊥CC′，AF⊥BD′，CC′＝2CF，BD′＝2BW，
∴BD′∥CC′，
∴，
∵CF＝AC sin∠CAF＝2 sin，
BW＝AB sin∠BAE＝2sin（30°），
∴．
十三．垂径定理的应用（共1小题）
30．综合与实践
探究主题 直角三角板与圆
探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于90°”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况（如图1），具体研究如图1．
探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理： 直角所对的弦是直径 ．
探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为180°．如图2，若∠P＝90°，则180°，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图3，连接AC ∵∠ACD，∠CAB， 又∵∠P＝∠ACD﹣∠CAB＝90°， ∴90°． ∴180°． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论： ．
探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角∠APD并反向延长两边交圆于B，C两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想： ．（可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述） 证明：…
探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦CD⊥AB，BP＝3，DP＝6，CP＝2，求圆的直径． 比赛评分标准如表： 等级评价标准得分☆☆根据条件求出3条以上线段长，但没有求出直径2分☆☆☆☆根据条件求出直径，但没有运用以上探究结论4分☆☆☆☆☆创新运用探究任务4的结论，根据条件求出直径5分
你的解答是：…
【分析】探究任务1：根据直角所对的弦是直径即可求解；
探究任务2：连接DO并延长，交⊙O于点F，则；
探究任务3：根据180°，180°，即可求解；
探究任务4：如图所示，作直径DG，作GH∥CD交⊙O于点H，连接DH，设AB，GH交于点Q，证明△BDP∽△CAP得出AB＝7，CD＝8，根据平行弦的性质得出CG＝DH＝1，进而根据勾股定理，即可求解．
【解答】解：探究任务1：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径，理由是：直角所对的弦是直径；
故答案为：直角所对的弦是直径．
探究任务2：如图2所示，
连接DO并延长，交⊙O于点F，则，
理由如下，连接CF，AC，
∵DF是直径，
∴∠FCD＝90°，
∴∠P＝∠FCD，
∴FC∥AP，
∴∠ACF＝∠BAC；
∴．
故答案为：．
探究任务3：结论：，
如图，连接BC，OA，OC，OB，OD，
∵∠PBC∠AOC，∠PCB∠BOD，
∴∠APC∠AOC∠BOD（∠AOC+∠BOD）＝90°，
∴180°，
则：180°，
∴；
故答案为：．
探究任务4：如图所示，作直径DG，作GH∥CD交⊙O于点H，连接DH，设AB，GH交于点Q，则四边形CGHD是矩形；
∵，，
∴∠BDC＝∠BAC，∠DBA＝∠DCA，
∴△BDP∽△CAP，
∴，
∵BP＝3，DP＝6，CP＝2，
∴PA4，则AB＝7，CD＝8，
∵CD⊥AB，GH∥CD，
∴AB⊥GH，
∵CD∥GH，
∴∠CDG＝∠DGH，
∴，
∴CG＝DH，
又∵四边形CGHD是矩形，
∴CD＝GH，
∵矩形和圆都是轴对称图形，
∴BP＝AQ，
∴CG＝DH＝PQ＝AB﹣2PB＝7﹣6＝1，
在RtGDH中，
GD，
即圆的直径为．
十四．圆周角定理（共7小题）
31．如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设∠DAE＝α，∠DCB＝β．若AE⊥BC，BD＝GD，则（ ）
A．3α+β＝270° B．α+β＝180° C．3β﹣α＝270° D．β﹣α＝90°
【分析】由垂径定理推出，得到∠ADB＝∠ABC，由圆内接四边形的性质推出∠CDG＝∠ABC，得到∠CDG＝ADB，由等腰三角形的性质推出∠G＝DBG，由三角形的外角性质推出∠ADB＝2∠G，求出∠G＝90°﹣α，得到∠ADB＝180°﹣2α，由三角形的外角性质推出3α+β＝270°．
【解答】解：∵直径AB⊥BC，
∴，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠CDG+∠ADC＝180°，
∴∠CDG＝∠ABC，
∴∠CDG＝ADB，
∵BD＝CD，
∴∠G＝DBG，
∴∠ADB＝∠G+∠DBG＝2∠G，
∵AB⊥BC，
∴∠G＝90°﹣∠DAE＝90°﹣α，
∴∠ADB＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∴∠CDG＝180°﹣2α，
∴∠BCD＝∠G+∠CDG＝90°﹣α+180°﹣2α，
∴β＝270°﹣3α，
∴3α+β＝270°．
故选：A．
32．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是BC边上的一点，AB＝2BE，以E为圆心，AE为半径的圆弧交AD于点F，交CD于点G．若F是弧AG的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AG，过E作EH⊥AD于点H，先证明∠FAG＝∠FGA＝∠AEH＝∠BAE，进而得△ABE和△ADG相似，则，再根据AB＝2BE，AD＝8得DG＝4，设BE＝x，则AB＝2x，CG＝2x﹣4，CE＝8﹣x，在Rt△ABE和Rt△ECG中，由勾股定理得5x2＝（8﹣x）2+（2x﹣4）2，由此解得x＝2.5，则CG＝1，CE＝5.5，据此即可得出的值．
【解答】解：连接AG，过点E作EH⊥AD于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，AD＝8，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝8，AB＝CD，
∴AB⊥AD，
∴AB∥EH，
∴∠AEH＝∠BAE，
∵F是弧AG的中点，
∴弧AF＝弧FG，
∴FA＝FH，∠AEF＝∠GEF，
∴∠FAG＝∠FGA∠AEF，
∵EA＝EF＝EG，EH⊥AD，
∴∠AEH∠AEF，
∴∠FAG＝∠FGA＝∠AEH＝∠BAE，
又∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△ADG，
∴，
∵AB＝2BE，AD＝8，
∴，
∴DG＝4，
设BE＝x，
∴AB＝2x，CG＝CD﹣DG＝2x﹣4，CE＝BC﹣BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：EA2＝AB2+BE2＝5x2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：EG2＝CE2+CG2＝（8﹣x）2+（2x﹣4）2，
∵EA＝EG，
∴5x2＝（8﹣x）2+（2x﹣4）2，
解得：x＝2.5，
∴CG＝2x﹣4＝1，CE＝8﹣x＝5.5，
∴．
故选：B．
33．如图，以△ABC的边BC为直径的半圆分别交AB，AC于点D，E，O是圆心，连结DE，OE，给出下列结论：①∠DEO＝∠A；②若∠A＝60°，则BD+CE＝BC．其中下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
【分析】连接CD，OD，先证明∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC，可得出∠BOD+∠COE＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A再得出，∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠COE）＝180°﹣2∠A，再由OD＝OE，得出∠DEO＝∠EDO，最后由三角形内角和得出结论，从而判断①；证明△DOE是等边三角形，则DE＝OD，即BC＝2DE，但根据题目现有条件不能推导出BD+CE＝2DE，再判断②．
【解答】解：连接CD，OD，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A，
∵∠B+∠ODB+∠BOD＝180°，∠C+∠OEC+∠COE＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠B﹣∠ODB，∠COE＝180°﹣∠C﹣∠OEC，
∵OB＝OD，OC＝OE，
∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC，
∴∠BOD+∠COE＝360°﹣2∠B﹣2∠C＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，
∴∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠COE）＝180°﹣2∠A，
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴，
故①正确；
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠A＝60°，则∠ACD＝30°，
∴∠DOE＝2∠DCE＝60°，
又因为OD＝OE，
所以△DOE是等边三角形，则DE＝OD，即BC＝2DE，
但根据题目现有条件不能推导出BD+CE＝2DE，
即不能推导出BD+CE＝BC，
故②错误．
故选：B．
34．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
【分析】根据OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，DE＝OD，分三种情况画图进行计算即可．
【解答】解：
连接OC，
①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，
设∠OCE＝x，
∵OC＝OD，
∴∠OCE＝∠D＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∵DE＝OD，
∴∠DOE＝∠DEO＝30°+x+30°＝60°+x
∴2（60°+x）+x＝180°
解得x＝20°．
∴∠OCE的大小为20°；
②如图2，
设∠OEC＝x，
∵DE＝OD，
∴∠EOD＝∠E＝x，
∵DO＝CO，
∴∠ODC＝∠OCD＝2x，
∠EOC＝2∠A＝60°
∴在△OCE中，
x+60°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠OCE＝2x＝80°；
③如图3，
设∠ACE＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°+x，
∵OD＝DE
∴∠EODC＝15°x，
∴15°x+x＝30°
解得x＝10°，
∴∠OCE＝30°+x＝40°．
综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．
故选：C．
35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
【分析】设CD垂直平分OB于点F，连接AD，根据OBOC可知∠OCF＝30°，则∠COB＝60°，进而求出∠AOC＝120°，∠BAD＝30°，根据圆周角定理求出∠E＝60°，根据CE平分∠OCD求出∠EAD＝∠ECD＝15°，则∠EAB＝45°，求出比值即可．
【解答】解：设CD垂直平分OB于点F，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，
∴OFOBOC，
∴∠OCF＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，∠BAD＝30°，
∴∠E＝60°，
∵CE平分∠OCD，
∴∠EAD＝∠ECD＝15°，
∴∠EAB＝∠BAD+∠EAD＝45°，
∴∠BAE：∠E＝45°：60°＝3：4．
故选：B．
36．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α．
①则∠F＝ 60°﹣α ，（用含α的代数式表示）；
②当∠F＝3∠PCD时，则 ．
【分析】①连接OD，BD，PO，由线段垂直平分线的性质得到△ODB是等边三角形，由圆周角定理得到∠A∠POB＝30°+α，由直角三角形的性质即可求出∠PFE＝60°﹣α．
②设圆的半径是r，OM＝x，由∠AFE＝3∠PCD，求出α＝15°，得到∠POB＝90°，因此OP∥CE，推出△POM∽△CEM，得到OM：EM＝OP：CE，代入有关数据即可求出OM的长，得到AM，BM的长，即可得到答案．
【解答】解：①连接OD，BD，PO，
∵弦CD⊥AB于点E，OE＝BE，
∴OD＝BD，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠PCD＝α，
∴∠POD＝2α，
∴∠POB＝60°+2α，
∴∠A∠POB＝30°+α，
∴∠PFE＝90°﹣∠A＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α；
②∵∠AFE＝3∠PCD，
∴60°﹣α＝3α，
∴α＝15°，
∴∠POD＝2∠PCD＝30°，
∴∠POB＝90°，
∴OP∥CE，
∴△POM∽△CEM，
∴OM：EM＝OP：CE，
∵直径AB⊥CD，
∴DE＝CE，
∴OM：EM＝OP：ED，
设圆的半径是r，OM＝x，
∴EMr﹣x，DEr，
∴x：（r﹣x）＝r：r，
∴x＝（2）r，
∴OM＝（2）r，
∴AM＝AO+OM＝3rr，BM＝OB﹣OMr﹣r，
∴．
故答案为：．
37．如图，在⊙O中，直径BD与弦AC交于点E，且AB＝AC．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD．
（2）若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD．
（3）若AB＝5，BC＝6，求AE．
【分析】（1）连接OA并延长交BC于H点，如图，利用垂径定理的推论得到AH垂直平分BC，则根据等腰三角形的性质得到AH平分∠BAC，即∠BAC＝2∠BAH，然后利用∠ABD＝∠BAH得到结论；
（2）设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，∠AED＝3α，根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，当AD＝AE时，∠ADB＝∠AED＝3α，所以α+3α＝90°；当DA＝DE时，∠DAE＝∠AED＝3α，则2α+3α＝90°，然后分别据解方程求出α即可；
（3）利用垂径定理得到BH＝CH＝3，则利用勾股定理可计算出AH＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝4﹣r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4﹣r）2＝r2，解得r，所以BD，接着在Rt△ABD中计算出AD，在Rt△BCD中计算出C，然后证明△AEO∽△CED，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出AE的长．
【解答】（1）证明：连接OA并延长交BC于H点，如图，
∵AB＝AC，
∴，
∴AH垂直平分BC，
∴AH平分∠BAC，
即∠BAC＝2∠BAH，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAH，
∴∠BAC＝2∠ABD；
（2）解：设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，
∴∠AED＝∠ABD+∠BAC＝α+2α＝3α，
∵AB为直径，
∴∠BAD＝90°，
当AD＝AE时，∠ADB＝∠AED＝3α，
∴α+3α＝90°，
解得α＝22.5°；
当DA＝DE时，∠DAE＝∠AED＝3α，
∴2α+3α＝90°，
解得α＝18°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或22.5°；
（3）解：∵AH⊥BC，
∴BH＝CHBC＝3，
在Rt△ABH中，AH4，
设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝4﹣r，
在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，
解得r，
∴BD＝2r，
在Rt△ABD中，AD，
在Rt△BCD中，CD，
∵AH∥CD，
∴△AEO∽△CED，
∴，
∴，
∴AE5．
十五．圆内接四边形的性质（共2小题）
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AB＝AC，AB∥CD，则（ ）
A．2∠BAC+3∠CAD＝180° B．3∠BAC+2∠CAD＝180°
C．4∠BAC+3∠CAD＝360° D．3∠BAC+4∠CAD＝360°
【分析】根据AB＝AC得∠B＝∠ACB＝90°∠BAC，再根据AB∥CD得∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠BAC+∠CAD），然后根据圆内接四边形的性质得∠B+∠D＝180°，即90°∠BAC+180°﹣（∠BAC+∠CAD）＝180°，由此即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠BAC+∠CAD），
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∴90°∠BAC+180°﹣（∠BAC+∠CAD）＝180°，
整理得：3∠BAC+2∠CAD＝180°．
故选：B．
39．已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交于A，B两点，点C，D分别在直线l的异侧，且是⊙O上的两个动点，且∠ACB＝135°，则四边形ACBD面积的最大值是（ ）
A．25 B． C． D．
【分析】作直径MN⊥AB，连接MA，OB，NA，NB，OA，OB，过点C作CE⊥AB与E，DF⊥AB与F，根据∠ACB＝135°得∠ADB＝45°，则∠AOB＝90°，进而得AB＝5，则四边形ACBD面积为 （CE+DF），由此得当CE+DF为最大时，四边形ACBD面积为最大，进而得当点D与点M重合，同时点C与点N重合时，CE+DF为最大，最大值是线段MN的长为10，由此可得四边形ACBD面积的最大值．
【解答】解：作直径MN⊥AB，连接OA，OB，过点C作CE⊥AB与E，DF⊥AB与F，如图所示：
∵⊙O的半径是5，
∴OA＝OB＝5，MN＝10，
∵点A，B，C，D都在⊙O上，
∴四边形ACBD是⊙O内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB＝180°，
∵∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB，
∵S△ABCAB CE CE，S△ABDAB DF DF，
∴S四边形ACBD面积＝S△ABC+S△ABD，
∴S四边形ACBD面积 （CE+DF），
当CE+DF为最大时，四边形ACBD面积为最大，
∴当点D与点M重合，同时点C与点N重合时，CE+DF为最大，最大值是线段MN的长，
即CE+DF的最大值为10，
∴四边形ACBD面积的最大值是：．
故选：D．
十六．弧长的计算（共3小题）
40．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C．若，则的长为 π ．
【分析】连接OD，由折叠得出△OBD是等边三角形，进一步得出∠AOD的度数，再结合OC的长度得出OB的长即可解决问题．
【解答】解：连接OD，
由折叠可知，
BO＝DO，∠DBC＝∠OBC，
又∵OD＝OB，
∴BD＝BO＝DO，
∴△BDO是等边三角形，
∴∠DBO＝∠DOB＝60°，
∴∠OBC＝30°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣60°＝30°．
在Rt△BOC中，
tan∠OBC，
∴，
∴BO＝6，
∴的长为．
故答案为：π．
41．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的弦AB中点，CD⊥AB，D在上．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB．当CD＝1，AB＝6时，s＝ ．
【分析】连接OC，根据垂径定理，知OC⊥AB，设圆的半径为r，根据勾股定理求出r＝OA＝5，计算求出答案．
【解答】解：连接OC，如图：
∵C是的弦AB中点，CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴C，D，O共线，
∵AB＝6，
∴AC＝3，
设圆的半径为r，则OC＝r﹣1，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，
得OA2＝AC2+OC2，
即r2＝32+（r﹣1）2，
解得r＝5，
∴OA＝5，
∴s＝AB6．
故答案为：．
42．如图，AN是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，与圆相交于点E，AB＝15，D是⊙O上的点，DC⊥BM，与BM交于点C，⊙O的半径为R＝30．
（1）求BE的长．
（2）若BC＝15，求的长．
【分析】（1）连接OE，过O作OF⊥BM于F，在Rt△OEF中，由勾股定理得出EF的长，进而求得EB的长．
（2）连接OD，则在直角三角形ODQ中，可求得∠QOD＝60°，过点E作EH⊥AO于H，在直角三角形OEH中，可求得∠EOH＝30°，则得出的长度．
【解答】解：（1）连接OE，过O作OF⊥BM于F，
在Rt△OEF中，EF15，
BF＝AO＝30，
∴BE＝30﹣15．
（2）连接OD，
在直角三角形ODQ中，∵OD＝30，OQ＝30﹣15＝15，
∴∠ODQ＝30°，
∴∠QOD＝60°，
过点E作EH⊥AO于H，在直角三角形OEH中，
∵OE＝30，EH＝15，
∴∠EOH＝30°，
∴∠DOE＝90°，
∴π 60＝15π．
十七．扇形面积的计算（共1小题）
43．如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC＝45°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，连结AD和DE．若AB＝2，则阴影部分面积为 ．
【分析】取AB的中点M，连接MD，ME，先由∠ADB＝90°得出点D是BC的中点，进而利用三角形的中位线得出DM∥AC，最终将阴影部分的面积转化为扇形MAE的面积即可解决问题．
【解答】解：取AB中点M，连接MD，ME，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ADB＝90°．
又∵AB＝AC，
∴点D为BC中点，
∴MD为△ABC的中位线，
∴MD∥AC，
∴S△ADE＝S△AME，
∴S阴影＝S扇形MAE．
∵∠BAC＝45°，MA＝ME，
∴∠MEA＝∠BAE＝45°，
∴∠AME＝90°．
∵AB＝2，
∴MA，
∴，
∴．
故答案为：．
十八．圆的综合题（共6小题）
44．如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝OA，点D在上，点E是CD中点，连结AD分别交OC，OE于点F，G．
（1）请直接写出∠AOC与∠EGD的度数．
（2）求证：△ACF∽△OGF．
（3）△AFC，△ODG的面积分别记为S1，S2．若CF＝kOF，求的值．（用含k的式子表示）
【分析】（1）先证明△OAC为等边三角形，则∠AOC＝60°，再根据圆周角定理得到，再根据垂径定理推论得到OE⊥CD，继而由直角三角形两锐角互余求解；
（2）证明∠ACF＝∠OGF＝60°，再结合对顶角相等即可求解；
（3）过点C作CM⊥AD于点M，过点F作FH⊥AO于点H，由CF＝kOF，不妨设OF＝1，则CF＝k，则AC＝AO＝OC＝k+1，那么，，，在Rt△AFH中，由勾股定理得，，由△ACF∽△OGF，求得，而在Rt△CMD中，，故，再代入求解即可．
【解答】（1）解：∵AC＝OA，OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝∠ACF＝60°，
∴，
∵点E是CD中点，OE经过圆心，
∴OE⊥CD，
∴∠EGD＝90°﹣∠ADC＝60°；
（2）证明：∵∠EGD＝60°，
∴∠FGO＝∠EGD＝60°，
∵∠ACF＝60°，
∴∠ACF＝∠OGF，
∵∠AFC＝∠OFG，
∴△ACF∽△OGF；
（3）解：过点C作CM⊥AD于点M，过点F作FH⊥AO于点H，
由CF＝kOF，不妨设OF＝1，则CF＝k，
∴AC＝AO＝OC＝k+1，
∵∠AOC＝60°，
∴，，
∴，
∴在Rt△AFH中，由勾股定理得，，
∵△ACF∽△OGF，
∴，
∴，
∴，
∵∠CDA＝30°，
∴在Rt△CMD 中，，
∴，，
∴．
45．如图，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AB，BC上，AF＝CH，连接BD，FH交于点E，过点F，B，H的圆交DH于点P，连接PF交BD于点K．
（1）证明：∠AFD＝∠PFB．
（2）证明；
（3）当时，求的值．
【分析】证明：根据四边形BFPH是圆的内接四边形，得出∠AFP＝∠DHB，可证明△ADF≌△CDH，从而得出DF＝DH，可证明△DBF≌△DBH，从而∠DFB＝∠DHB，从而∠AFP＝∠DFB，进一步得出结果；
（2）作KW∥DF，交AB于W，可推出∠AFD＝∠KWF，△BWK∽△BFD，从而得出，KF＝KW，进一步得出结果；
（3）延长FP，交CD于V，作FX⊥CD于X，可证得DF＝VF，从而DX＝XV，进而得出AF＝DX＝XV，可证得△DVK∽△BFK，从而，进而可证得，不妨设CH＝AF＝DX＝XV＝1，则BF＝4，DV＝2，依次计算CD，CV，DH的值，可证得△DPV∽△DCH，进而可求得DP，进一步的呼出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形BFPH是圆的内接四边形，
∴∠AFP＝∠DHB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，
∵AF＝CH，
∴△ADF≌△CDH（SAS），BF＝BH，
∴DF＝DH，
∵BD＝BD，
∴△DBF≌△DBH（SSS），
∴∠DFB＝∠DHB，
∴∠AFP＝∠DFB，
∴∠AFP﹣∠DFP﹣∠DFB﹣∠DFP，
∴∠AFD＝∠PFB；
（2）证明：如图1，
作KW∥DF，交AB于W，
∴∠AFD＝∠KWF，△BWK∽△BFD，
∴，
由（1）知，
∠AFD＝∠PFB，
∴∠PFB＝∠KWF，
∴KF＝KW，
∴；
（3）解：如图2，
延长FP，交CD于V，作FX⊥CD于X，
∴∠DXF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，∠C＝∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠AFD＝∠CDF，∠PFB＝∠DVF，
∴∠CDF＝∠DVF，
∴DF＝VF，
∴DX＝XV，
∵∠A＝∠ADC＝∠FXD＝90°，
∴四边形ADXF是矩形，
∴AF＝DX＝XV，
∵CD∥AB，
∴△DVK∽△BFK，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
不妨设CH＝AF＝DX＝XV＝1，则BF＝4，DV＝2，
∴CD＝AB＝AF+BF ＝5，
∴CV＝3，
∴DH，
∵FH是圆的直径，
∴∠DPV＝∠FPH＝90°，
∴∠DPV＝∠C，
∵∠PDV＝∥CDH，
∴△DPV∽△DCH，
∴，
∴，
∴DP，
∴PH＝DH﹣DP，
∴．
46．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，F为上一点，连接AC，CF，FB，AF，AF与CD交于点G．
（1）求证：∠AFC＝∠CAB；
（2）连接CB交AF于点H，当AF⊥CB时，△CFG是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BF＝4，AC＝8，求AF的长．
【分析】（1）根据垂径定理得出，从而得出∠AFC＝∠CAB；
（2）设AF，BC交于点H，可推出∠BCF+∠AFC＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∠ABC＝∠AFC，从而∠BCD＝∠BCF，进而得出∠CGH＝∠AFC，进一步得出结论；
（3）连接BG，AD，可推出BG＝BF＝4，△AEG∽△CEA，从而，根据AE2+EG2＝AG2，得出（2EG）2+EG2＝42，从而得出EG，进而依次求得BE，CE，CG，可证得△AED∽△CEB，从而得出DE CE＝AE BE，从而求得DE，DG，可同理证得AG FG＝DG CG，从而求得FG的长，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵弦AB⊥直径CD，
∴，
∴∠AFC＝∠CAB；
（2）解：如图1，
△CFG是等腰三角形，理由如下：
设AF，BC交于点H，
∵AF⊥BC，
∴∠CHF＝90°，
∴∠BCF+∠AFC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵，
∴∠ABC＝∠AFC，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠CGH＝∠AFC，
∴CG＝CF，
∴△CFG是等腰三角形；
（3）解：如图2，
连接BG，AD，
由（2）知，
CG＝CF，AF⊥BC，∠BCF＝∠BAF，
∴CH＝FH，∠BDC＝∠BCF，
∴BG＝BF＝4，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE，∠DAC＝∠BCD，
∴AG＝BG＝4，∠BAF＝∠ACD，
∴∠AEG＝∠AEC，
∴△AEG∽△CEA，
∴，
∵AE2+EG2＝AG2，
∴（2EG）2+EG2＝42，
∴EG，
∴BE＝AE＝2EG，
∴CE＝2AE
∴CG＝CE﹣EG，
∵，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△AED＝∠BEC，
∴△AED∽△CEB，
∴，
∴DE CE＝AE BE，
，
∴DE，
∴DG＝DE+EG，
同理可得，
AG FG＝DG CG，
∴4FG，
∴FG
∴AF＝AG+FG．
47．已知AB为直径，弦CD⊥AB于E，作点B关于CD的对称点H，连结CH并延长交⊙O于点P，连结PD．
（1）如图1，若对称点H与点O重合，试求∠CPD的度数．
（2）如图2，连结AD交CP于点M，求证：AD⊥CP．
（3）如图3，连结BP交CD于点F，若AB＝3，sin∠CPB，
①试求BE的长；②直接写出PC+PD的值．
【分析】（1）连接OD，由垂径定理可得∠OEC＝90°，BE＝OE，从而∠C＝30°，由圆周角定理推论知∠CDP＝90°，进而∠CPD＝60°；
（2）连接BD，证明△CEH≌△DEB（SAS），进而判定PC∥BD，再由圆周角定理推论及平行线性质可证得AD⊥CP；
（3）①连接AC、BC，由条件可得CD为BH的中垂线，从而判定CH＝CB，由三线合一性质可知∠PCD＝∠BCD，由垂径定理知，所以∠PCD＝∠DCB＝∠CAB＝∠CPB，进而sin∠PCD＝sin∠DCB＝sin∠CAB＝sin∠CPB，故BC＝sin∠CAB×AB3，BE＝sin∠DCB×BC；
②连接BC、OD、AP，AB＝3，故OD＝OB，OE＝OB﹣BE1，由勾股定理得DE，故CD，CH.再证明△CHB∽△AHP，列比例式，可得PH，从而PC＝PH+CH，又∠PCD＝∠DCB，所以PD＝BC，PC+PD．
【解答】解：（1）连接OD，如图4所示，
∵AB为直径，弦CD⊥AB于E，
故∠OEC＝90°，
∵BE＝OE，
∴∠C＝30°，
又∵CP为直径，
∴∠CDP＝90°，
∴∠CPD＝60°．
（2）证明：连接BD，如图5所示，
由对称性可知，BE＝HE，
由垂径定理可知CE＝DE，∠CEH＝∠DEB＝90°，
在△CEH和△DEB中，
∵，
∴△CEH≌△DEB（SAS），
∴∠HCE＝∠EDB，
∴PC∥BD，
又∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AMC＝90°，
即AD⊥CP．
（3）①连接AC、BC，如图6所示：
由CD⊥AB于E，BE＝HE，
从而可得CD为BH的中垂线，
∴CH＝CB，由三线合一性质可知∠PCD＝∠BCD，
由垂径定理知，
∴∠PCD＝∠DCB＝∠CAB＝∠CPB，
∴sin∠PCD＝sin∠DCB＝sin∠CAB＝sin∠CPB，
∴BC＝sin∠CAB×AB3，
∴BE＝sin∠DCB×BC．
②连接BC、OD、AP，如图7所示：
∵AB＝3，
∴OD＝OB，OE＝OB﹣BE1，
∴DE，CD，
∴CH．
∵∠BCP＝∠PAB，∠CHB＝∠AHP，
∴△CHB∽△AHP，
∴，
∴AH BH＝CH PH，即2×1PH，PH，
∴PC＝PH+CH，
∵∠PCD＝∠DCB，
∴PD＝BC，
∴PC+PD．
48．如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC的延长线于点M，连接CD．
（1）求证：∠ACB＝∠CDM；
（2）若BM＝5，AE＝CM＝3，求CD的长；
（3）如图2，连接BD分别交AF和AC于点G和点H，若∠DAG＝∠DGA，且GH＝n，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）．
【分析】（1）根据等边对等角可得：∠B＝∠ACB，由圆内接四边形的性质得：∠CDM＝∠B，由此可得结论；
（2）先根据垂径定理得：AF⊥BC，BE＝CE，由勾股定理得：AM5，AC，证明△ACD∽△AMC，即可解答；
（3）如图3，连接CG，过点G作GK⊥AC于K，设∠ADB＝∠ACB＝∠ABC＝2x，先证明CG平分∠ACB，由三角形的面积的比可得：，，化简等量代换后即可解答．
【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠CDM+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠CDM，
∴∠ACB＝∠CDM；
（2）解：∵AB＝AC，
∴，
∴AF⊥BC，
∴BE＝CE，
∵BM＝5，CM＝3，
∴BC＝5﹣3＝2，
∴BE＝CE＝1，
∴EM＝3+1＝4，
由勾股定理得：AM5，AC，
∵∠ACB＝∠CDM，
∴∠ADC＝∠ACM，
∵∠CAD＝∠CAM，
∴△ACD∽△AMC，
∴，即，
∴CD；
（3）解：如图3，连接CG，过点G作GK⊥AC于K，
设∠ADB＝∠ACB＝∠ABC＝2x，
∵∠DAG＝∠DGA，
∴AD＝DG，∠DAG＝∠DGA90°﹣x，∠CAE＝90°﹣2x，
∴∠CAD＝∠DAG﹣∠CAE＝（90°﹣x）﹣（90°﹣2x）＝x，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠GCB＝x，
∴∠GCH＝∠BCG＝x，
∴CG平分∠ACB，
设△BCH中BH边上的高为h，
∵EG⊥BC，GK⊥AC，CG平分∠ACB，
∴GK＝EG，
∴，
∴，
∵∠ABD＝∠ACD＝∠CAD＝∠ACG＝x，
∴AD＝CD＝DG，AC平分∠DCG，
同理得：，
∵AD＝CD，BG＝CG，
∴，
∴，
∵AD＝DG，
∴1，
∴，
∵GH＝n，
∴．
49．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：△DOE∽△ABC；
（2）求证：∠ODF＝∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形OCBD的面积为S2，若，用含n的代数式表示．
【分析】（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO＝∠ACB，根据平行得出∠DOE＝∠ABC，根据相似三角形的判定得△DOE∽△ABC，根据圆周角定理得出∠A＝∠BDC，推出∠ODE＝∠BDC即可；
（2）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO＝∠ACB，根据平行得出∠DOE＝∠ABC，根据相似三角形的判定得出结论；
（3）根据△DOE∽△ABC，求出S△ABC＝4S△DOE＝4S1，进而求解．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠ABC，
∴△DOE∽△ABC；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠ABC，
∴△DOE∽△ABC；
∴∠ODE＝∠A，
∵∠A和∠BDC是所对的圆周角，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠ODE＝∠BDC，
∴∠ODF＝∠BDE；
（3）解：∵△DOE∽△ABC，
∴（）2，
即S△ABC＝4S△DOE＝4S1，
∵OA＝OB，
∴S△BOCS△ABC，即S△BOC＝2S1，
∵，S2＝S△BOC+S△DOE+S△DBE＝2S1+S1+S△DBE，
∴S△DBES1，
∴BE＝（）OE，
即OEOBDO，
∴sinA＝sin∠ODE．
十九．作图—复杂作图（共1小题）
50．如图，在⊙O上有A，B，C三点，∠A＝80°，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个100°的圆周角，记为∠1．
（2）请在图中作一个20°的圆心角，记为∠2．
（3）请在图中作一个10°的圆周角，记为∠3．
【分析】（1）弧BC上取一点E，连接BE，CE，∠BEC即为所求；
（2）作直径BF，连接AF，OC，∠FOC即为所求；
（3）如图，∠CAF即为所求．
【解答】解：（1）如图，∠1即为所求；
（2）如图，∠2即为所求；
（3）如图，∠3即为所求．
二十．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
51．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，把Rt△ABC沿斜边AB折叠，得到△ABD，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E，过点C作CN∥AD，分别交AB，BD于点M，N，若CM＝3，，则 ．
【分析】连接DM并延长交BC于点F，首先证明四边形ACMD为平行四边形，AD＝CM＝3，再证明四边形DFCE为矩形，用勾股定理计算出FM＝1，由折叠图形性质、平行线性质及角平分线性质定理可得NM＝FM＝1，最后证明△BNM∽△BDA，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：如图所示，连接DM并延长交BC于点F，
∵CM∥AD，
∴∠DAM＝∠CMA，
又由折叠性质可得CA＝AD，∠DAM＝∠CAM，
∴∠CAM＝∠CMA，
∴CA＝CM，
∴CM＝AD，
∴四边形ACMD为平行四边形，AD＝CM＝3，
∴DM∥EC，DF∥EC，
又∵∠ECB＝90°，
∴∠DFC＝90°，
又∵∠E＝90°，
∴四边形DFCE为矩形．
∴DE＝FC＝2，
∴FM1，
由折叠性质可得∠ADB＝∠ACB＝90°，
又CM∥AD，
∴∠BNM＝∠ADB＝90°．
又MF⊥BC，BA为∠DBC的角平分线，
∴NM＝FM＝1，
由MN∥AD，
∴△BNM∽△BDA，
∴，
设BM＝k，BA＝3k，则AM＝3k﹣k＝2k，
∴．
故答案为：．
二十一．平行线分线段成比例（共1小题）
52．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC上的中线，将△ADC沿直线AD翻折得到△ADC′，C′D与AB交于点F，连接CC′与AB，AD分别交于点E，O，连接BC′，则∠CC′B＝ 90° .若，则
【分析】证明BC′∥AD，ODBC′，设OD＝m，则BC′＝2m，利用平行线分线段成比例定理求出AOm，再求出BF：AF＝6：11，设BE＝3k，AE＝4k，则AB＝7k，求出EF可得结论．
【解答】解：∵△ADC沿直线AD翻折得到△ADC′，
∴AD垂直平分线段CC′，DC＝DC′，
∴∠DOC＝90°，
∵AD为BC上的中线，
∴DB＝DC＝DC′，
∴∠CC′B＝90°，
∴∠DOC＝∠CC′B，
∴AD∥BC′，
∵DC＝DB，CO＝OC′，
∴ODBC′，
设OD＝m，则BC′＝2m，
∵BC′∥OA，
∴BC′：OA＝BE：AE＝3：4，
∴OAm，
∴AD＝OD+OAm，
∵BC′∥AD，
∴，
∵BE：AE＝3：4，
∴可以假设BE＝3k，AE＝4k，则AB＝7k，
∴BFABk，
∴EF＝BE﹣BF＝3kkk，
∴．
故答案为：90．
二十二．相似三角形的性质（共1小题）
53．如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连结AE，将△ADE顺时针旋转90°得到△ABF，连结EF，分
杭州市2025~2026学年度九上期末压轴题真题分类演练
一．函数的图象（共1小题）
1．数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限．乙同学认为：该函数图象关于直线x＝﹣1对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲乙都正确 B．甲乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y的图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是 ．
三．二次函数的性质（共4小题）
3．在直角坐标系中，设函数，．（ ）
A．若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点
B．若函数y1和y2的值互为相反数，则x＝﹣1
C．当x＝1时，函数y1和y2的值相等
D．函数y1和y2的图象必经过同一个定点
4．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
5．设函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0），若函数y1＝a（x+h﹣2）2+m+2025（a＞0），则y1＜0时自变量x的取值范围是 ．
6．已知抛物线（b为常数），直线L：y＝b+4，当时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，则b的值是 ．
四．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
7．已知点（x1，m），（x2，n），（x3，p）均在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，若n＝c﹣a，则（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则n≥m≥p
B．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|
C．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则n≥m≥p
D．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），则P＝a+b+c的值的范围是（ ）
A．﹣1＜P＜0 B．﹣1＜P＜1 C．1＜P＜2 D．0＜P＜2
10．已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a≠0），过点A（﹣3m，0），B（m，0），C（n，4），若﹣4＜n＜﹣2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．1＜m＜2 C．m＜1或m＞2 D．m＜﹣2
11．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣2m﹣6（m为常数）的图象与x轴有交点，且当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
12．已知二次函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（1，0），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点（k，m），求k﹣m的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），对于x1＝t，x2＝t+1，总有y1＜y2，求t的取值范围．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
13．已知：二次函数y＝ax（x﹣2）+2（a≠0）的图象上有三点的坐标分别为（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）．若在y1，y2，y3这三个实数中，有且只有两个是正数，则a的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
14．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
15．已知两个不同的点A（a，﹣1），B（b，﹣1）都在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，则代数式的值为 ．
16．在直角坐标系中，二次函数y＝2x2﹣4x+c的图象过点A（2，y1），点B（﹣2，y2），点C（m，n）．若y1＜n＜y2，则m的取值范围是 ．
六．二次函数图象与几何变换（共1小题）
17．已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）．
（1）若抛物线经过点（﹣6，4），求该抛物线的对称轴．
（2）若将抛物线上的点（﹣3，﹣5）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式．
（3）若抛物线的对称轴为直线，点（﹣1，m），（1，n）在抛物线上，求证：mn≤18．
七．抛物线与x轴的交点（共3小题）
18．已知二次函数y＝kx2+2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＞0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2﹣2x+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴只有一个交点，且图象过（2，n）和（2m，n）两点，设p＝m+n，则（ ）
A．p的最小值为 B．p的最小值为1
C．p的最大值为 D．p的最大值为1
20．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
八．二次函数的应用（共2小题）
21．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28m，其余三边AB，BC，CD用60m长的铁质栅栏．有下列结论：
①AB的长可以为15m；
②当农场ABCD面积为200m2时，满足条件的AB的长只有一个值；
③农场ABCD面积的最大值为450m2；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560m2．
其中，正确结论的是 ．（只需填序号）
22．如图，一小球从斜坡O点以一定方向弹出球的飞行路线可用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）可与小球飞行高度y（米）变化规律如表：
x 0 1 2 3 4 n 6 7 …
y 0 m 6 7.5 8 7.5 6 3.5 …
（1）填空：
①m＝ ；n＝ ；②小球落点A的坐标为 ．
（2）求小球在飞行过程中离斜坡OA的最大高度（垂直于地面）．
（3）计划在斜坡上B点种一棵树，设B点横坐标为m，树高为3米，要使小球飞过这棵树，问m的取值范围是多少？
九．二次函数综合题（共3小题）
23．已知二次函数，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1．
（1）求b的值．
（2）已知点A（x1，m）在二次函数的图象上，点B（x2，n）在二次函数的图象上．
①若x2＝2x1+1，求n﹣m的最大值．
②若x2﹣x1＝t，t＜0且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，求t的值．
24．在直角坐标系中，设函数y1＝（x﹣m）（x﹣n）y2＝x2+mx+n，其中m≠n．
（1）若函数y1的图象过点（0，2），函数y2的图象过点（1，4），求m2+n2的值．
（2）若0＜m＜n＜4，判断函数y2与x轴的交点个数，说明理由．
（3）若函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，求m，n的值．
25．等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与x轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0），（1，0），则此抛物线的顶点是 ；
（2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，顶点M（1，2），与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上找一点P，且，请求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使得以A，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
十．勾股定理（共2小题）
26．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB＝10，BC＝6，D为上任意一点，连接AD，DB，DC，若AD与△BCD的一边相等，则CD的长为 ．
27．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
十一．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
28．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可）
十二．四边形综合题（共1小题）
29．如图，菱形ABCD的边长是2，∠DAB＝60°．把菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB'C'D'，设旋转角度∠DAD'＝α（0°＜α＜60°），BC与CD交于点E，连接CB'．
（1）求∠BED′的度数（用含α的代数式表示）．
（2）若BC⊥C'D'，求tan∠BCB′的值．
（3）求证：．
十三．垂径定理的应用（共1小题）
30．综合与实践
探究主题 直角三角板与圆
探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于90°”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况（如图1），具体研究如图1．
探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理： ．
探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为180°．如图2，若∠P＝90°，则180°，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图3，连接AC ∵∠ACD，∠CAB， 又∵∠P＝∠ACD﹣∠CAB＝90°， ∴90°． ∴180°． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论： ．
探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角∠APD并反向延长两边交圆于B，C两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想： ．（可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述） 证明：…
探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦CD⊥AB，BP＝3，DP＝6，CP＝2，求圆的直径． 比赛评分标准如表： 等级评价标准得分☆☆根据条件求出3条以上线段长，但没有求出直径2分☆☆☆☆根据条件求出直径，但没有运用以上探究结论4分☆☆☆☆☆创新运用探究任务4的结论，根据条件求出直径5分
你的解答是：…
十四．圆周角定理（共7小题）
31．如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设∠DAE＝α，∠DCB＝β．若AE⊥BC，BD＝GD，则（ ）
A．3α+β＝270° B．α+β＝180° C．3β﹣α＝270° D．β﹣α＝90°
32．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是BC边上的一点，AB＝2BE，以E为圆心，AE为半径的圆弧交AD于点F，交CD于点G．若F是弧AG的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，以△ABC的边BC为直径的半圆分别交AB，AC于点D，E，O是圆心，连结DE，OE，给出下列结论：①∠DEO＝∠A；②若∠A＝60°，则BD+CE＝BC．其中下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
34．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
36．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α．
①则∠F＝ ，（用含α的代数式表示）；
②当∠F＝3∠PCD时，则 ．
37．如图，在⊙O中，直径BD与弦AC交于点E，且AB＝AC．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD．
（2）若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD．
（3）若AB＝5，BC＝6，求AE．
十五．圆内接四边形的性质（共2小题）
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AB＝AC，AB∥CD，则（ ）
A．2∠BAC+3∠CAD＝180° B．3∠BAC+2∠CAD＝180°
C．4∠BAC+3∠CAD＝360° D．3∠BAC+4∠CAD＝360°
39．已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交于A，B两点，点C，D分别在直线l的异侧，且是⊙O上的两个动点，且∠ACB＝135°，则四边形ACBD面积的最大值是（ ）
A．25 B． C． D．
十六．弧长的计算（共3小题）
40．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C．若，则的长为 ．
41．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的弦AB中点，CD⊥AB，D在上．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB．当CD＝1，AB＝6时，s＝ ．
42．如图，AN是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，与圆相交于点E，AB＝15，D是⊙O上的点，DC⊥BM，与BM交于点C，⊙O的半径为R＝30．
（1）求BE的长．
（2）若BC＝15，求的长．
十七．扇形面积的计算（共1小题）
43．如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC＝45°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，连结AD和DE．若AB＝2，则阴影部分面积为 ．
十八．圆的综合题（共6小题）
44．如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝OA，点D在上，点E是CD中点，连结AD分别交OC，OE于点F，G．
（1）请直接写出∠AOC与∠EGD的度数．
（2）求证：△ACF∽△OGF．
（3）△AFC，△ODG的面积分别记为S1，S2．若CF＝kOF，求的值．（用含k的式子表示）
45．如图，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AB，BC上，AF＝CH，连接BD，FH交于点E，过点F，B，H的圆交DH于点P，连接PF交BD于点K．
（1）证明：∠AFD＝∠PFB．
（2）证明；
（3）当时，求的值．
46．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，F为上一点，连接AC，CF，FB，AF，AF与CD交于点G．
（1）求证：∠AFC＝∠CAB；
（2）连接CB交AF于点H，当AF⊥CB时，△CFG是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BF＝4，AC＝8，求AF的长．
47．已知AB为直径，弦CD⊥AB于E，作点B关于CD的对称点H，连结CH并延长交⊙O于点P，连结PD．
（1）如图1，若对称点H与点O重合，试求∠CPD的度数．
（2）如图2，连结AD交CP于点M，求证：AD⊥CP．
（3）如图3，连结BP交CD于点F，若AB＝3，sin∠CPB，
①试求BE的长；②直接写出PC+PD的值．
48．如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC的延长线于点M，连接CD．
（1）求证：∠ACB＝∠CDM；
（2）若BM＝5，AE＝CM＝3，求CD的长；
（3）如图2，连接BD分别交AF和AC于点G和点H，若∠DAG＝∠DGA，且GH＝n，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）．
49．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：△DOE∽△ABC；
（2）求证：∠ODF＝∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形OCBD的面积为S2，若，用含n的代数式表示．
十九．作图—复杂作图（共1小题）
50．如图，在⊙O上有A，B，C三点，∠A＝80°，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个100°的圆周角，记为∠1．
（2）请在图中作一个20°的圆心角，记为∠2．
（3）请在图中作一个10°的圆周角，记为∠3．
二十．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
51．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，把Rt△ABC沿斜边AB折叠，得到△ABD，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E，过点C作CN∥AD，分别交AB，BD于点M，N，若CM＝3，，则 ．
二十一．平行线分线段成比例（共1小题）
52．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC上的中线，将△ADC沿直线AD翻折得到△ADC′，C′D与AB交于点F，连接CC′与AB，AD分别交于点E，O，连接BC′，则∠CC′B＝ .若，则
二十二．相似三角形的性质（共1小题）
53．如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连结AE，将△ADE顺时针旋转90°得到△ABF，连结EF，分别交AB，AC于点G，H．若△AFG与△AEC相似，则 ．
二十三．相似三角形的判定（共2小题）
54．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE
55．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，AD＜AE，连接CD，BE，交于点F．若CD＝BE，则图中与△ABE相似的三角形是 ．
二十四．相似三角形的判定与性质（共3小题）
56．如图是由边长为1的小正方形组成的5×3网格，△ABC的顶点及点M，N都是格点，AB与格线CN交于点D，AC与MN交于点E．则有以下四个结论：①；②CE＝2AE；③∠ADE＝∠ACB；④∠ACB＝45°．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①②③
57．如图，点A，B，C在直线l上，AD⊥l，AD∥BE∥CF，且过点D，E，F三点的圆的圆心在直线l上．若AD＝CF＝1，BE＝2，则AB BC的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
58．如图，点D在△ABC的边AB上，作DE∥BC交AC于点E，EF∥AB交BC于点F．点G在线段EF上，连结CG并延长，交线段DF于点M，交线段DB于点N．若，则的值是 ．
二十五．相似形综合题（共1小题）
59．【综合与实践】
小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作．将矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形AB'C'D'，边C'D'与直线AB交于点M，边AD'，B'C'分别与直线BC交于点P，Q．已知AB＝6，BC＝8．
【特例研究】
如图1，当点M与点C′重合时，①求证：△MQB∽△AC′D′．②求．
【结论拓展】
如图2，当点M与点C′不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由．
二十六．解直角三角形（共1小题）
60．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为 ．
杭州市2025~2026学年度九上期末压轴题真题分类演练
一．选择题（共21小题）
题号 1 3 4 7 8 9 10 13 14 18 19
答案 C A C B B D B B B A A
题号 31 32 33 34 35 38 39 54 56 57
答案 A B B C B B D C D A
一．函数的图象（共1小题）
1．数学课上，李老师让同学们利用学习函数获得的经验去研究函数的图象特征．甲同学认为：该函数图象一定不经过第二象限．乙同学认为：该函数图象关于直线x＝﹣1对称．以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲乙都正确 B．甲乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】根据所给函数解析式，分别对甲、乙两位同学的结论作出判断即可．
【解答】解：由题知，
因为函数解析式为，
所以当x＜0（x≠﹣1）时，y一定小于零，
所以该函数图象一定不经过第二象限．
故甲正确．
当x＝0时，y＝0，
即该函数图象经过点（0，0）．
点（0，0）关于直线x＝﹣1的对称点坐标为（﹣2，0）．
当x＝﹣2时，y＝﹣4≠0，
所以（﹣2，0）不在此函数图象上，
所以该函数图象不关于直线x＝﹣1对称．
故乙错误．
故选：C．
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y的图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y1＜y3 ．
【分析】首先根据函数关系式画出草图，然后根据图象可直接得到y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：如图所示：
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
三．二次函数的性质（共4小题）
3．在直角坐标系中，设函数，．（ ）
A．若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点
B．若函数y1和y2的值互为相反数，则x＝﹣1
C．当x＝1时，函数y1和y2的值相等
D．函数y1和y2的图象必经过同一个定点
【分析】依据题意，对于A，令y1＝y2，从而x2+ax+b＝﹣x2+bx+a，则2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0，进而Δ＝（a﹣b）2﹣8（b﹣a）＝（a﹣b）2+8（a﹣b），结合a＞b，故Δ＝（a﹣b）2+8（a﹣b）＞0，进而可以判断A；又对于B，由函数y1和y2的值互为相反数，从而x2+ax+b+（﹣x2+bx+a）＝0，则（a+b）x+（a+b）＝0，故（a+b）（x+1）＝0，进而a+b＝0或x+1＝0，故可判断B；又对于C，令y1＝y2，则x2+ax+b＝﹣x2+bx+a，从而2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0，又当x＝1时，2+a﹣b+b﹣a＝2≠0，进而可得当x＝1时，函数y1和y2的值不相等，故可判断C；对于D，令y1＝y2，则x2+ax+b＝﹣x2+bx+a，结合A可得，两个图象有两个公共点，且不能确定是不是定点，故可判断D．
【解答】解：由题意，对于A，令y1＝y2，
∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a．
∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0．
∴Δ＝（a﹣b）2﹣8（b﹣a）
＝（a﹣b）2+8（a﹣b）．
∵a＞b，
∴Δ＝（a﹣b）2+8（a﹣b）＞0．
∴若a＞b，则函数y1和y2的图象有两个交点，故A正确．
对于B，∵函数y1和y2的值互为相反数，
∴x2+ax+b+（﹣x2+bx+a）＝0．
∴（a+b）x+（a+b）＝0．
∴（a+b）（x+1）＝0．
∴a+b＝0或x+1＝0，故B错误．
对于C，令y1＝y2，
∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a．
∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0．
又∵当x＝1时，2+a﹣b+b﹣a＝2≠0，
∴当x＝1时，函数y1和y2的值不相等，故C错误．
对于D，令y1＝y2，
∴x2+ax+b＝﹣x2+bx+a．
∴2x2+（a﹣b）x+b﹣a＝0．
∴结合A可得，两个图象有两个公共点，且不能确定是不是定点，故D错误．
故选：A．
4．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，p＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴h，
∴x1+x2＞2h．
故选：C．
5．设函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0），若函数y1＝a（x+h﹣2）2+m+2025（a＞0），则y1＜0时自变量x的取值范围是 ﹣1＜x＜4 ．
【分析】根据题意先求得h的值，然后根据二次函数的平移性质求得y1＝a（x+h﹣2）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点，最后根据二次函数性质求得答案即可．
【解答】解：∵函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（2，0），
∴该函数的对称轴为直线h﹣1，
解得：h，
则y1＝a（x）2+m+2025（a＞0），
那么函数y1＝a（x）2+m+2025（a＞0）的图象是由函数y＝a（x﹣h+1）2+m+2025（a＞0）的图象向右平移2个单位长度所得，
则函数y1＝a（x）2+m+2025（a＞0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（4，0），
∵该函数图象开口向上，
∴y1＜0时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜4，
故答案为：﹣1＜x＜4．
6．已知抛物线（b为常数），直线L：y＝b+4，当时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，则b的值是 1或4 ．
【分析】依据题意，由抛物线为yx2+bx+4（x﹣b）2b2+4，从而抛物线开口向下，对称轴是直线x＝b，且当x≤b时，y随x的增大而增大，当x＞b时，y随x的增大而减小，再分bb和bb两种情形进行讨论计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线为yx2+bx+4（x﹣b）2b2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝b，且当x≤b时，y随x的增大而增大，当x＞b时，y随x的增大而减小．
①当bb时，则b≤0，
∴当x≤b时，y随x的增大而增大，当b＜xb时，y随x的增大而减小．
∴当x＝b时，y取最大值为yb2+4．
∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，
∴|b2+4﹣（b+4）|＝2．
∴b＝1（舍去）或b＝1．
②当bb时，则b＞0，
∴当xb时，y随x的增大而增大．
∴当xb时，y取最大值为yb2+4．
∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，
∴|b2+4﹣（b+4）|＝2．
∴b（舍去）或b＝4．
综上，b＝1或b＝4．
故答案为：1或4．
四．二次函数图象与系数的关系（共6小题）
7．已知点（x1，m），（x2，n），（x3，p）均在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，若n＝c﹣a，则（ ）
A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则n≥m≥p
B．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|
C．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则n≥m≥p
D．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|
【分析】依据题意，由二次函数为y＝ax2+2ax+c，从而对称轴是直线x1，又（x2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+c上，且n＝c﹣a，故x2＝﹣1，则（x2，n）为二次函数的顶点，进而结合二次函数的性质逐个判断可以得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝ax2+2ax+c，
∴对称轴是直线x1．
又∵（x2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+c上，且n＝c﹣a，
∴x2＝﹣1．
∴（x2，n）为二次函数的顶点．
∴①当|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|时，点（x1，m）到顶点的距离比（x3，p）到顶点的距离小，则若a＞0时，则n≤m≤p；若a＜0时，则n≥m≥p；
②当|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|时，点（x1，m）到顶点的距离比（x3，p）到顶点的距离大，则若a＞0时，则n≤p≤m；若a＜0时，则n≥p≥m；
③若n≥m≥p，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|．
故选：B．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＞0
【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：B．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），则P＝a+b+c的值的范围是（ ）
A．﹣1＜P＜0 B．﹣1＜P＜1 C．1＜P＜2 D．0＜P＜2
【分析】由抛物线的顶点在第一象限及过点（0，1）和（﹣1，0），即可得出﹣1＜a＜0、0＜b＜1，再由P＝a+b+c＝2b，即可得出P的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），
∴，
∴b＝a+1＞0，
∴﹣1＜a＜0，0＜b＜1．
∵P＝a+b+c＝2b，
∴0＜P＜2．
故选：D．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+4（a，b是常数，a≠0），过点A（﹣3m，0），B（m，0），C（n，4），若﹣4＜n＜﹣2，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜﹣1 B．1＜m＜2 C．m＜1或m＞2 D．m＜﹣2
【分析】根据所给点的坐标，结合抛物线的对称性即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将x＝0代入抛物线解析式得，
y＝4，
所以抛物线经过点（0，4）．
又因为点C（n，4）在抛物线上，
则点（0，4）和点（n，4）关于抛物线的对称轴对称．
同理可得，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，
所以，
则n＝﹣2m．
又因为﹣4＜n＜﹣2，
所以﹣4＜﹣2m＜﹣2，
解得1＜m＜2．
故选：B．
11．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣2m﹣6（m为常数）的图象与x轴有交点，且当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ﹣3≤m≤1 ．
【分析】根据二次函数图象与x轴有交点得出所对应的一元二次方程根的判别式大于等于零，再由x≥1时，y随x的增大而增大，得出抛物线的对称轴在直线x＝1或它的左边，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣2m﹣6（m为常数）的图象与x轴有交点，
所以方程x2﹣2mx+m2﹣2m﹣6＝0有实数根，
则Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣2m﹣6）≥0，
解得m≥﹣3．
又因为当x≥1时，y随x的增大而增大，
所以，
解得m≤1，
所以m的取值范围是：﹣3≤m≤1．
故答案为：﹣3≤m≤1．
12．已知二次函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（1，0），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点（k，m），求k﹣m的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），对于x1＝t，x2＝t+1，总有y1＜y2，求t的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把点（k，m）代入y＝（x﹣m）2+k得到（k﹣m）2+k﹣m＝0，即（k﹣m）（k﹣m+1）＝0，即可求得k﹣m的值为0或﹣1；
（3）根据题意对称关于t的不等式解不等式即可求解．
【解答】解：（1）∵函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）图象的对称轴为直线x＝﹣1，
∴m＝﹣1，
∵经过点（1，0），
∴（1+1）2+k＝0，
∴k＝﹣4，
∴二次函数表达式为y＝（x+1）2﹣4；
（2）∵二次函数y＝（x﹣m）2+k（其中m，k为常数）图象经过点（k，m），
∴m＝（k﹣m）2+k，
∴（k﹣m）2+k﹣m＝0，即（k﹣m）（k﹣m+1）＝0，
∴k﹣m＝0或k﹣m+1＝0，
∴k﹣m的值为0或﹣1；
（3）∵二次函数为y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵二次函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），对于x1＝t，x2＝t+1，总有y1＜y2，
∴，
∴t．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
13．已知：二次函数y＝ax（x﹣2）+2（a≠0）的图象上有三点的坐标分别为（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）．若在y1，y2，y3这三个实数中，有且只有两个是正数，则a的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】先求出y1＝3a+2，y2＝﹣a+2，y3＝8a+2，根据题意列出不等式组解出a的取值范围，再结合选项判断即可．
【解答】解：二次函数y＝ax（x﹣2）+2＝a（x﹣1）2﹣a+2，对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝2，
∴函数图象过点（0，2），
∵二次函数的图象上有三点的坐标分别为（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3），且y1，y2，y3这三个实数中，有且只有两个是正数，
∴y1＝3a+2，y2＝﹣a+2，y3＝8a+2，
当a＜0时，y1＞0，y2＞0，y3＜0，
∴，解得，
当a＞0时，y1＞0，y2＜0，y3＞0，
∴，解得a＞2，（选项中没有该范围的数），
∵，
∴a不可能等于，排除选项A，
∵，
∴a满足条件．
故选：B．
14．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0），
∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m，
∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x，
当a＞0时，当x1+x2＜1时，
∴，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＞0；
当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时，
∴，
∴当时，y1＜y2，
则a（y1﹣y2）＞0；
当时，y1＞y2，
则a（y1﹣y2）＜0；
故选：B．
15．已知两个不同的点A（a，﹣1），B（b，﹣1）都在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，则代数式的值为 1 ．
【分析】利用根与系数的关系求出ab，根据抛物线对称轴求出a+b，最后化简所求代数式即可得到结果．
【解答】解：a、b是方程x2﹣3x+1＝0两个根，
∴ab＝1，
∵点A（a，﹣1），B（b，﹣1）纵坐标相等，
∴即a+b＝3．
∵点A（a，﹣1），B（b，﹣1）都在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，
∴a2﹣3a＝﹣1，即a2+1＝3a，b2﹣3b＝﹣1，即b2+1＝3b，
∴1．
故答案为：1．
16．在直角坐标系中，二次函数y＝2x2﹣4x+c的图象过点A（2，y1），点B（﹣2，y2），点C（m，n）．若y1＜n＜y2，则m的取值范围是 ﹣2＜m＜0或2＜m＜4 ．
【分析】利用二次函数的对称性和增减性得出关于m的不等式组，解不等式即可．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵二次函数y＝2x2﹣4x+c的图象过点A（2，y1），点B（﹣2，y2），点C（m，n），
∴点C（m，n）关于直线x＝1的对称点（2﹣m，n）在二次函数y＝2x2﹣4x+c的图象上，
∵y1＜n＜y2，
∴当m＜1时，则，解得﹣2＜m＜0；
当m＞1时，则，解得2＜m＜4，
综上，m的取值范围是﹣2＜m＜0或2＜m＜4．
故答案为：﹣2＜m＜0或2＜m＜4．
六．二次函数图象与几何变换（共1小题）
17．已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）．
（1）若抛物线经过点（﹣6，4），求该抛物线的对称轴．
（2）若将抛物线上的点（﹣3，﹣5）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式．
（3）若抛物线的对称轴为直线，点（﹣1，m），（1，n）在抛物线上，求证：mn≤18．
【分析】（1）将点（﹣6，4）代入抛物线解析式，得出关于a，b的等式，再结合抛物线对称轴的公式即可解决问题．
（2）先求出平移之后的点，再将点（﹣3，﹣5）和平移之后的点代入函数解析式即可．
（3）先根据抛物线的对称轴得出a，b之间的关系，再用a分别表示出m和n，最后表示出mn，再进行配方即可解决问题．
【解答】（1）解：由题知，
将（﹣6，4）代入y＝ax2+bx+4得：
36a﹣6b+4＝4，
则b＝6a，
所以抛物线的对称轴为直线x．
（2）解：由题知，
将点（﹣3，﹣5）先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得点的坐标为（﹣1，﹣1），
则，
解得，
所以抛物线的解析式为y＝x2+6x+4．
（3）证明：因为抛物线的对称轴为直线x，
所以，
则b＝﹣3a，
所以抛物线的解析式可表示为y＝ax2﹣3a+4．
将（﹣1，m）和（1，n）分别代数抛物线的解析式得：
m＝4a+4，n＝﹣2a+4，
所以mn＝（4a+4）（﹣2a+4）＝﹣8a2﹣8a+16＝﹣8（）2+18，
因为0，
所以﹣8（）2+18≤18，
即mn≤18．
七．抛物线与x轴的交点（共3小题）
18．已知二次函数y＝kx2+2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＞0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2﹣2x+c的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象分析即可．
【解答】解：∵当y＞0时，﹣1＜x＜2，
∴函数与x轴的交点为（﹣1，0）和（2，0），且开口向下，
∴y＝kx2+2x+c的图象为选项C，
∵y＝kx2+2x+c与二次函数y＝kx2﹣2x+c关于y轴对称，
∴选项A为y＝kx2﹣2x+c的图象，
故选：A．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴只有一个交点，且图象过（2，n）和（2m，n）两点，设p＝m+n，则（ ）
A．p的最小值为 B．p的最小值为1
C．p的最大值为 D．p的最大值为1
【分析】由抛物线与x轴只有一个交点可得c，由抛物线的对称性可得对称轴为直线1+m，可用含m的代数式表示b，进而得出函数为y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，代入（2，n）得含m的代数式表示n，进一步得出p＝m+n＝m2﹣m+1＝（m）2，利用二次函数的性质即可求得p有最小值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴b2﹣4c＝0，
∴c，
∴y＝x2+bx，
∵抛物线经过过（2，n）和（2m，n）两点，
∴抛物线对称轴为直线1+m，
∴1+m，
∴b＝﹣2﹣2m，
∴y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，
代入（2，n）得，n＝4﹣4（m+1）+（m+1）2＝（m﹣1）2，
∴p＝m+n＝m2﹣m+1＝（m）2，
∴当m时，p有最小值．
故选：A．
20．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是直线x1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
八．二次函数的应用（共2小题）
21．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28m，其余三边AB，BC，CD用60m长的铁质栅栏．有下列结论：
①AB的长可以为15m；
②当农场ABCD面积为200m2时，满足条件的AB的长只有一个值；
③农场ABCD面积的最大值为450m2；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560m2．
其中，正确结论的是 ② ．（只需填序号）
【分析】依据题意，设AD边长为xm，则AB边长为长为m，当AB＝15时，15，解得x＝30，故可判断①；当菜园ABCD面积为200m2，由题意得x 200，从而x＝30±10，又x≤28，故可判断②；又设矩形菜园的面积为ym2，从而y＝x （x﹣30）2+450，结合0，x≤28，从而当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2，故可判断③；依据题意，直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60，进而设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a．求得a≈6.2，最后得农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560，故可判断④．
【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为m，
当AB＝15时，15，
解得x＝30，
∵AD的长不能超过28m，
∴x≤28，
故①不正确．
∵菜园ABCD面积为200m2，
∴x 200．
∴x＝30±10．
又x≤28，
∴x＝30﹣10．
∴满足条件的AB的长只有一个值，故②正确．
由题意，设矩形菜园的面积为ym2，
根据题意得：y＝x （x﹣30）2+450，
∵0，x≤28，
∴当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2．
故③不正确．
∵直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60，
∴设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a．
∴a≈6.2．
∴农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560．
∴农场的面积不超过560m2．
故④错误．
故答案为：②．
22．如图，一小球从斜坡O点以一定方向弹出球的飞行路线可用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）可与小球飞行高度y（米）变化规律如表：
x 0 1 2 3 4 n 6 7 …
y 0 m 6 7.5 8 7.5 6 3.5 …
（1）填空：
①m＝ 3.5 ；n＝ 5 ；②小球落点A的坐标为 （7，3.5） ．
（2）求小球在飞行过程中离斜坡OA的最大高度（垂直于地面）．
（3）计划在斜坡上B点种一棵树，设B点横坐标为m，树高为3米，要使小球飞过这棵树，问m的取值范围是多少？
【分析】（1）①取表格中任意两点代入二次函数可得a和b的值，进而取x＝1可得m的值，取y＝7.5，求得合适的解即为n的值；
②把二次函数和一次函数联立，求得合适的解即为点A的坐标；
（2）点C为抛物线上的一点，作CN⊥x轴于点N，交OA于点M，用含x的代数式表示出CM的长，进而求得CM的最大值即可；
（3）取（2）的二次函数的函数值为3，求得相应的x的值，进而根据二次函数的开口方向和所得x的值判断出m的取值范围．
【解答】解：（1）①∵二次函数经过点（2，6），（4，8），
∴，
解得：，
∴yx2+4x，
当x＝1时，y＝3.5，
∴n＝3.5，
当y＝7.5时，7.5x2+4x，
整理得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3（不合题意，舍去），x2＝5，
∴n＝5，
故答案为：3.5，5；
②，
∴x2+4xx，
x2﹣7x＝0，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝7，
当x＝7时，y＝3.5，
∴点A的坐标为（7，3.5），
故答案为：（7，3.5）；
（2）如图：点C为抛物线上的一点，作CN⊥x轴于点N，交OA于点M，设CM＝y，点C坐标为（x，x2+4x），则点M的坐标为（x，x），
yx2+4xxx2x，
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x，
∴当x时，y最大，y最大，
答：小球在飞行过程中离斜坡OA的最大高度为；
（3）小树高3m，则x2x＝3，
整理得：x2﹣7x+6＝0，
解得：x1＝1，x2＝6，
∵小球在飞行过程中离斜坡的高度的抛物线的开口向下，B点横坐标为m，小树在B处，小球飞过这棵树，
∴1＜m＜6．
九．二次函数综合题（共3小题）
23．已知二次函数，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1．
（1）求b的值．
（2）已知点A（x1，m）在二次函数的图象上，点B（x2，n）在二次函数的图象上．
①若x2＝2x1+1，求n﹣m的最大值．
②若x2﹣x1＝t，t＜0且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，求t的值．
【分析】（1）分别求出两个函数的对称轴，建立方程求解即可；
（2）①先表示出m＝m4x1+c，n2x2+c，再利用x2＝2x1+1代入n表达式中，然后表示出n﹣m＝﹣34x1+1＝﹣3（x1）2，利用二次函数最值求解即可；
②同①表示出n﹣m＝﹣2tx1﹣2x1﹣t2+2t＝3t，建立关于t的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵函数（x）2c，（x﹣1）2+c+1，
∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为1，
∵二次函数，c为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1，
∴，
∴b＝4；
（2）①∵点A（x1，m）在二次函数的图象上，点B（x2，n）在二次函数的图象上，
∴m4x1+c，n2x2+c，
∴n﹣m2（x2﹣2x1），
∵x2＝2x1+1，
∴n﹣m＝﹣34x1+1＝﹣3（x1）2，
∴x1时，n﹣m有最大值；
②∵x2﹣x1＝t，
∴x2＝x1+t，
n2x2+c
＝﹣（x1+t）2+2（x1+t）+c
2tx1+2xt2+2t+c，
∵m4x1+c，
∴n﹣m2tx1+2xt2+2t+c4x1﹣c
＝﹣2tx1﹣2x1﹣t2+2t＝3t，
整理得，t2+（2x1+1）t+2x1＝0，
即（t+2x1）（t+1）＝0，
∴t1＝﹣2x1，t2＝﹣1，
∵x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，
∴n﹣m的值不会随x1的变化而变化，
∴t＝﹣1．
24．在直角坐标系中，设函数y1＝（x﹣m）（x﹣n）y2＝x2+mx+n，其中m≠n．
（1）若函数y1的图象过点（0，2），函数y2的图象过点（1，4），求m2+n2的值．
（2）若0＜m＜n＜4，判断函数y2与x轴的交点个数，说明理由．
（3）若函数y1和函数y2与x轴的交点均相同，求m，n的值．
【分析】（1）将点分别代入函数，求出m+n＝3，mn＝2，再利用完全平方公式得出m2+n2的值；
（2）求出Δ，再根据0＜m＜n＜4进行判断即可；
（3）先求出函数y1与x轴的交点为（m，0）和（n，0），再利用韦达定理列出方程，求出m，n的值．
【解答】解：（1）将（0，2）代入y1＝（x﹣m）（x﹣n），将（1，4）代入y2＝x2+mx+n，
得：，
∴m+n＝3，mn＝2，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝32﹣2×2＝5；
（2）∵Δ＝m2﹣4n，0＜m＜n＜4，
∴Δ＜0，
∴函数y2与x轴无交点；
（3）∵y1＝（x﹣m）（x﹣n），
∴函数y1与x轴的交点为（m，0）和（n，0），
∴m+n＝﹣m，mn＝n，
∴m＝1，n＝﹣2或m＝0，n＝0（舍去）．
25．等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与x轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”．
（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0），（1，0），则此抛物线的顶点是 （﹣1，2）或（﹣1，﹣2） ；
（2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c是“美丽抛物线”，顶点M（1，2），与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上找一点P，且，请求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使得以A，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由新定义知，AB＝4，AB的中垂线为x＝﹣1，则yMAB＝2，即可求解；
（2）求出抛物线的表达式为：yx2+x，由，则直线PB的表达式为：y（x﹣3），即可求解；
（3）当AB为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当AM或AQ为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）设抛物线与x轴的两个交点坐标为A（﹣3，0），B（1，0），顶点为M，
则AB＝4，AB的中垂线为x＝﹣1，则yMAB＝2，即点M（﹣1，2）或（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）；
（2）由新定义知，AB的中垂线为直线x＝1，AB＝2yM＝4，则点A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
将点M的坐标代入上式得：2＝a（1﹣2﹣3），则a，
则抛物线的表达式为：yx2+x，
∵，则直线PB的表达式为：y（x﹣3），
联立PB和抛物线的表达式得：x2+x（x﹣3），
解得：x＝3（舍去）或2，即点P（2，）；
（3）存在，理由：
设点Q（s，t），
当AB为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：，即点Q（1，﹣2）；
当AM或AQ为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点Q（﹣3，2）或（5，2），
综上，Q（1，﹣2）或（﹣3，2）或（5，2）．
十．勾股定理（共2小题）
26．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB＝10，BC＝6，D为上任意一点，连接AD，DB，DC，若AD与△BCD的一边相等，则CD的长为 或2或 ．
【分析】分AD＝BC，AD＝CD，AD＝BD三种情况进行讨论求解，
当AD＝BC时，圆周角定理结合勾股定理求出BD的长，过点O作OF⊥CD，垂径定理结合锐角三角函数进行求解，
当AD＝CD时，连接AC，取AC的中点G，连接OG，DG，利用三角形的中位线定理结合勾股定理进行求解，
当AD＝BD时，连接AC，交BD于点H，利用勾股定理结合相似三角形的判定和性质进行求解即可．
【解答】解：①当AD＝BC＝6时，
则，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴CD∥AB，
∵AB为直径，
∴，∠ADB＝90°，
∴BD8，
过点O作OF⊥CD，则：FO⊥AB，CD＝2DF，
∴cos∠ABD，即：，
∴BE，
∴DE＝BD﹣BE，
在Rt△DFE中，cos∠BDC＝cos∠ABD，
∴，
∴DF，
∴CD；
②当AD＝CD时，连接AC，取AC的中点G，连接OG，DG，
则OG⊥AC，DG⊥AC，，
∴O，D，G三点共线，
，
∴DG＝OD﹣OG＝2，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴，
∴；
③当AD＝BD时，
则△ABD为等腰直角三角形，
∴AD＝BDAB＝5，
连接AC，交BD于点H，
由②知AC＝8，
∵∠DAC＝∠DBC，∠ADH＝∠ACB＝90°，
∴△DAH∽△CBH，
∴，
∴设，CH＝6x，
∴AH＝AC﹣CH＝8﹣6x，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2+DH2，
即：，
解得：或x＝﹣7（舍去），
∴，CH，
∴BH＝DB﹣DH，
∵∠HAB＝∠BDC，∠AHB＝∠DHC，
∴△AHB∽△DHC，
∴，
∴；
综上，CD或2或；
故答案为：或2或．
27．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3.6或4.32或4.8 ．
【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC＝5、S△ABC＝6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC5，S△ABCAB BC＝6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S等腰△ABPS△ABC6＝3.6；
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，
作△ABC的高BD，则BD2.4，
∴AD＝DP1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴S等腰△ABPS△ABC6＝4.32；
③当CB＝CP＝4时，如图③所示，
S等腰△BCPS△ABC6＝4.8．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
十一．平面镶嵌（密铺）（共1小题）
28．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号（4，8，8）表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 （3，3，6，6）或（3，3，3，3，6）
（答案不唯一） ．（写出一种即可）
【分析】根据在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，分别判断即可．
【解答】解：∵正三角形一个内角为60°，正六边形一个内角为120°，
又∵2×60°+2×120°＝360°，4×60°+120°＝360°，
∴可以用记号（3，3，6，6）或（3，3，3，3，6）表示．
故答案为：（3，3，6，6）或（3，3，3，3，6）（答案不唯一）．
十二．四边形综合题（共1小题）
29．如图，菱形ABCD的边长是2，∠DAB＝60°．把菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB'C'D'，设旋转角度∠DAD'＝α（0°＜α＜60°），BC与CD交于点E，连接CB'．
（1）求∠BED′的度数（用含α的代数式表示）．
（2）若BC⊥C'D'，求tan∠BCB′的值．
（3）求证：．
【分析】（1）∠D＝∠D′＝120°，∠BAD′＝60°﹣α，在四边形ABED′中，根据四边形的内角和得出结果；
（2）延长C′E，交CD的延长线于点F，延长CB，交AB′与点G，设AD和EF交于点O，B′C和C′D′交于H，∠BAG＝∠DAC ＝30°，从而得出点D′在AC上，解直角三角形ABD和直角三角形ACG，可得出AG和CG的长，进一步得出结果；
（3）作AG⊥C′D，交C′D′的延长线点G，作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，连接AC，AC′，AE的延长线交CC′于点F，设BD′交AE于点W，可依次证明△AGD′≌△AHB，Rt△AEH≌Rt△AEG，△D′AE≌△BAE，从而得出∠D′AE＝∠BAE30°，进而得出∠CAF＝∠C′AF＝（30°）﹣（30°﹣α），解直角三角形ACF和直角三角形ACW，求得CF和BW，进一步得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝180°﹣60°＝120°，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB'C'D'，
∴∠D′＝120°，
在四边形ABED′中，∠B＝∠D′＝120°，∠BAD′＝60°﹣α，
∴∠BED′＝360°﹣120°×2﹣（60°﹣α）＝60°+α；
（2）解：如图1，
延长C′E，交CD的延长线于点F，延长CB，交AB′与点G，设AD和EF交于点O，B′C和C′D′交于H，
∴∠CED′＝90°，
∵四边形ABCD和四边形AB′C′D是菱形，
∴∠BCD＝∠DAB＝60°，∠ADC＝∠AD′C′＝120°，
∴∠F＝30°，∠ADF＝∠AD′O＝60°，
∵∠AOD′＝∠DOF，
∴∠DAD′＝∠F＝30°，
∴∠BAG＝30°，
∵∠DAC ＝30°，
∴点D′在AC上，
∵C′D′∥AB′，BC⊥C′D′，
∴AG⊥CG，
∴AG＝AB cos∠BAG＝2cos30°，CG＝AC sin∠CAB′，
∴GB′＝AB′﹣AG＝2，
∵ACAB＝2，
∴CG＝2 sin60°＝3，
∴tann∠BCB′；
（3）证明：如图2，
作AG⊥C′D，交C′D′的延长线点G，作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，连接AC，AC′，AE的延长线交CC′于点F，设BD′交AE于点W，
∴∠G＝∠H＝90°，AC＝AC′，
∵∠AD′G＝∠ABH＝60°，AD′＝AB，
∴△AGD′≌△AHB（AAS），
∴AG＝AH，D′G＝BH，
∵AE＝AE，
∴Rt△AEH≌Rt△AEG（HL），
∴EH＝EG，
∴EH﹣BH＝EG﹣ED′，
∴EB＝EG′，
∴△D′AE≌△BAE（SSS），
∴∠D′AE＝∠BAE30°，
∵∠BAC＝∠D′AC′＝30°，∠BAD′＝60°﹣α，
∴∠D′AC＝∠BAE＝（60°﹣α）﹣30°＝30°﹣α，
∴∠CAF＝∠C′AF＝（30°）﹣（30°﹣α），
∴AF⊥CC′，AF⊥BD′，CC′＝2CF，BD′＝2BW，
∴BD′∥CC′，
∴，
∵CF＝AC sin∠CAF＝2 sin，
BW＝AB sin∠BAE＝2sin（30°），
∴．
十三．垂径定理的应用（共1小题）
30．综合与实践
探究主题 直角三角板与圆
探究背景 学习了《圆周角》中的推论：“直径所对的圆周角等于90°”后，全班各研究小组用直角三角板开启了数学探究之旅——研究直角三角板的直角顶点在圆上、圆外和圆内三种情况（如图1），具体研究如图1．
探究任务1 找到画直径的简单方法：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径．请你说出其中原理： 直角所对的弦是直径 ．
探究任务2 用电脑作图工具，对直角顶点在圆外的情况进行动态模拟，发现：无论直角顶点在圆外如何运动，只要两直角边与圆有两个交点，两条直角边所夹的两段弧的度数差不变，为180°．如图2，若∠P＝90°，则180°，研究小组对提出的结论进行证明： 证：如图3，连接AC ∵∠ACD，∠CAB， 又∵∠P＝∠ACD﹣∠CAB＝90°， ∴90°． ∴180°． 探究任务：运用以上研究结论，请用没有刻度的直尺，在图2的圆上截取一段弧等于，根据作图写出结论： ．
探究任务3 当直角顶点运动到圆内时如图4，直角∠APD并反向延长两边交圆于B，C两点，形成互相垂直的弦．请观察图4类比探究任务2，对直角及其对顶角所对两段弧的数量关系，提出自己的猜想，并证明． 你的猜想： ．（可以用文字描述，也可以结合图形用几何语言描述） 证明：…
探究任务4 各研究小组进行拓展研究比赛，其中高斯研究小组提出问题：如图5，若弦CD⊥AB，BP＝3，DP＝6，CP＝2，求圆的直径． 比赛评分标准如表： 等级评价标准得分☆☆根据条件求出3条以上线段长，但没有求出直径2分☆☆☆☆根据条件求出直径，但没有运用以上探究结论4分☆☆☆☆☆创新运用探究任务4的结论，根据条件求出直径5分
你的解答是：…
【分析】探究任务1：根据直角所对的弦是直径即可求解；
探究任务2：连接DO并延长，交⊙O于点F，则；
探究任务3：根据180°，180°，即可求解；
探究任务4：如图所示，作直径DG，作GH∥CD交⊙O于点H，连接DH，设AB，GH交于点Q，证明△BDP∽△CAP得出AB＝7，CD＝8，根据平行弦的性质得出CG＝DH＝1，进而根据勾股定理，即可求解．
【解答】解：探究任务1：把直角顶点放在圆上，连接两直角边与圆的两个交点，连两交点的连线是直径，理由是：直角所对的弦是直径；
故答案为：直角所对的弦是直径．
探究任务2：如图2所示，
连接DO并延长，交⊙O于点F，则，
理由如下，连接CF，AC，
∵DF是直径，
∴∠FCD＝90°，
∴∠P＝∠FCD，
∴FC∥AP，
∴∠ACF＝∠BAC；
∴．
故答案为：．
探究任务3：结论：，
如图，连接BC，OA，OC，OB，OD，
∵∠PBC∠AOC，∠PCB∠BOD，
∴∠APC∠AOC∠BOD（∠AOC+∠BOD）＝90°，
∴180°，
则：180°，
∴；
故答案为：．
探究任务4：如图所示，作直径DG，作GH∥CD交⊙O于点H，连接DH，设AB，GH交于点Q，则四边形CGHD是矩形；
∵，，
∴∠BDC＝∠BAC，∠DBA＝∠DCA，
∴△BDP∽△CAP，
∴，
∵BP＝3，DP＝6，CP＝2，
∴PA4，则AB＝7，CD＝8，
∵CD⊥AB，GH∥CD，
∴AB⊥GH，
∵CD∥GH，
∴∠CDG＝∠DGH，
∴，
∴CG＝DH，
又∵四边形CGHD是矩形，
∴CD＝GH，
∵矩形和圆都是轴对称图形，
∴BP＝AQ，
∴CG＝DH＝PQ＝AB﹣2PB＝7﹣6＝1，
在RtGDH中，
GD，
即圆的直径为．
十四．圆周角定理（共7小题）
31．如图，线段AE是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，设∠DAE＝α，∠DCB＝β．若AE⊥BC，BD＝GD，则（ ）
A．3α+β＝270° B．α+β＝180° C．3β﹣α＝270° D．β﹣α＝90°
【分析】由垂径定理推出，得到∠ADB＝∠ABC，由圆内接四边形的性质推出∠CDG＝∠ABC，得到∠CDG＝ADB，由等腰三角形的性质推出∠G＝DBG，由三角形的外角性质推出∠ADB＝2∠G，求出∠G＝90°﹣α，得到∠ADB＝180°﹣2α，由三角形的外角性质推出3α+β＝270°．
【解答】解：∵直径AB⊥BC，
∴，
∴∠ADB＝∠ABC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠CDG+∠ADC＝180°，
∴∠CDG＝∠ABC，
∴∠CDG＝ADB，
∵BD＝CD，
∴∠G＝DBG，
∴∠ADB＝∠G+∠DBG＝2∠G，
∵AB⊥BC，
∴∠G＝90°﹣∠DAE＝90°﹣α，
∴∠ADB＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α，
∴∠CDG＝180°﹣2α，
∴∠BCD＝∠G+∠CDG＝90°﹣α+180°﹣2α，
∴β＝270°﹣3α，
∴3α+β＝270°．
故选：A．
32．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是BC边上的一点，AB＝2BE，以E为圆心，AE为半径的圆弧交AD于点F，交CD于点G．若F是弧AG的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AG，过E作EH⊥AD于点H，先证明∠FAG＝∠FGA＝∠AEH＝∠BAE，进而得△ABE和△ADG相似，则，再根据AB＝2BE，AD＝8得DG＝4，设BE＝x，则AB＝2x，CG＝2x﹣4，CE＝8﹣x，在Rt△ABE和Rt△ECG中，由勾股定理得5x2＝（8﹣x）2+（2x﹣4）2，由此解得x＝2.5，则CG＝1，CE＝5.5，据此即可得出的值．
【解答】解：连接AG，过点E作EH⊥AD于点H，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，AD＝8，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝8，AB＝CD，
∴AB⊥AD，
∴AB∥EH，
∴∠AEH＝∠BAE，
∵F是弧AG的中点，
∴弧AF＝弧FG，
∴FA＝FH，∠AEF＝∠GEF，
∴∠FAG＝∠FGA∠AEF，
∵EA＝EF＝EG，EH⊥AD，
∴∠AEH∠AEF，
∴∠FAG＝∠FGA＝∠AEH＝∠BAE，
又∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△ADG，
∴，
∵AB＝2BE，AD＝8，
∴，
∴DG＝4，
设BE＝x，
∴AB＝2x，CG＝CD﹣DG＝2x﹣4，CE＝BC﹣BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：EA2＝AB2+BE2＝5x2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：EG2＝CE2+CG2＝（8﹣x）2+（2x﹣4）2，
∵EA＝EG，
∴5x2＝（8﹣x）2+（2x﹣4）2，
解得：x＝2.5，
∴CG＝2x﹣4＝1，CE＝8﹣x＝5.5，
∴．
故选：B．
33．如图，以△ABC的边BC为直径的半圆分别交AB，AC于点D，E，O是圆心，连结DE，OE，给出下列结论：①∠DEO＝∠A；②若∠A＝60°，则BD+CE＝BC．其中下列判断正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
【分析】连接CD，OD，先证明∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC，可得出∠BOD+∠COE＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A再得出，∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠COE）＝180°﹣2∠A，再由OD＝OE，得出∠DEO＝∠EDO，最后由三角形内角和得出结论，从而判断①；证明△DOE是等边三角形，则DE＝OD，即BC＝2DE，但根据题目现有条件不能推导出BD+CE＝2DE，再判断②．
【解答】解：连接CD，OD，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A，
∵∠B+∠ODB+∠BOD＝180°，∠C+∠OEC+∠COE＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠B﹣∠ODB，∠COE＝180°﹣∠C﹣∠OEC，
∵OB＝OD，OC＝OE，
∴∠B＝∠ODB，∠C＝∠OEC，
∴∠BOD+∠COE＝360°﹣2∠B﹣2∠C＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，
∴∠DOE＝180°﹣（∠BOD+∠COE）＝180°﹣2∠A，
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴，
故①正确；
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠A＝60°，则∠ACD＝30°，
∴∠DOE＝2∠DCE＝60°，
又因为OD＝OE，
所以△DOE是等边三角形，则DE＝OD，即BC＝2DE，
但根据题目现有条件不能推导出BD+CE＝2DE，
即不能推导出BD+CE＝BC，
故②错误．
故选：B．
34．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（ ）
A．20° B．40° C．70° D．80°
【分析】根据OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，DE＝OD，分三种情况画图进行计算即可．
【解答】解：
连接OC，
①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，
设∠OCE＝x，
∵OC＝OD，
∴∠OCE＝∠D＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∵DE＝OD，
∴∠DOE＝∠DEO＝30°+x+30°＝60°+x
∴2（60°+x）+x＝180°
解得x＝20°．
∴∠OCE的大小为20°；
②如图2，
设∠OEC＝x，
∵DE＝OD，
∴∠EOD＝∠E＝x，
∵DO＝CO，
∴∠ODC＝∠OCD＝2x，
∠EOC＝2∠A＝60°
∴在△OCE中，
x+60°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠OCE＝2x＝80°；
③如图3，
设∠ACE＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°+x，
∵OD＝DE
∴∠EODC＝15°x，
∴15°x+x＝30°
解得x＝10°，
∴∠OCE＝30°+x＝40°．
综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．
故选：C．
35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
【分析】设CD垂直平分OB于点F，连接AD，根据OBOC可知∠OCF＝30°，则∠COB＝60°，进而求出∠AOC＝120°，∠BAD＝30°，根据圆周角定理求出∠E＝60°，根据CE平分∠OCD求出∠EAD＝∠ECD＝15°，则∠EAB＝45°，求出比值即可．
【解答】解：设CD垂直平分OB于点F，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，
∴OFOBOC，
∴∠OCF＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，∠BAD＝30°，
∴∠E＝60°，
∵CE平分∠OCD，
∴∠EAD＝∠ECD＝15°，
∴∠EAB＝∠BAD+∠EAD＝45°，
∴∠BAE：∠E＝45°：60°＝3：4．
故选：B．
36．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α．
①则∠F＝ 60°﹣α ，（用含α的代数式表示）；
②当∠F＝3∠PCD时，则 ．
【分析】①连接OD，BD，PO，由线段垂直平分线的性质得到△ODB是等边三角形，由圆周角定理得到∠A∠POB＝30°+α，由直角三角形的性质即可求出∠PFE＝60°﹣α．
②设圆的半径是r，OM＝x，由∠AFE＝3∠PCD，求出α＝15°，得到∠POB＝90°，因此OP∥CE，推出△POM∽△CEM，得到OM：EM＝OP：CE，代入有关数据即可求出OM的长，得到AM，BM的长，即可得到答案．
【解答】解：①连接OD，BD，PO，
∵弦CD⊥AB于点E，OE＝BE，
∴OD＝BD，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠PCD＝α，
∴∠POD＝2α，
∴∠POB＝60°+2α，
∴∠A∠POB＝30°+α，
∴∠PFE＝90°﹣∠A＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α；
②∵∠AFE＝3∠PCD，
∴60°﹣α＝3α，
∴α＝15°，
∴∠POD＝2∠PCD＝30°，
∴∠POB＝90°，
∴OP∥CE，
∴△POM∽△CEM，
∴OM：EM＝OP：CE，
∵直径AB⊥CD，
∴DE＝CE，
∴OM：EM＝OP：ED，
设圆的半径是r，OM＝x，
∴EMr﹣x，DEr，
∴x：（r﹣x）＝r：r，
∴x＝（2）r，
∴OM＝（2）r，
∴AM＝AO+OM＝3rr，BM＝OB﹣OMr﹣r，
∴．
故答案为：．
37．如图，在⊙O中，直径BD与弦AC交于点E，且AB＝AC．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD．
（2）若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD．
（3）若AB＝5，BC＝6，求AE．
【分析】（1）连接OA并延长交BC于H点，如图，利用垂径定理的推论得到AH垂直平分BC，则根据等腰三角形的性质得到AH平分∠BAC，即∠BAC＝2∠BAH，然后利用∠ABD＝∠BAH得到结论；
（2）设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，∠AED＝3α，根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，当AD＝AE时，∠ADB＝∠AED＝3α，所以α+3α＝90°；当DA＝DE时，∠DAE＝∠AED＝3α，则2α+3α＝90°，然后分别据解方程求出α即可；
（3）利用垂径定理得到BH＝CH＝3，则利用勾股定理可计算出AH＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝4﹣r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4﹣r）2＝r2，解得r，所以BD，接着在Rt△ABD中计算出AD，在Rt△BCD中计算出C，然后证明△AEO∽△CED，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出AE的长．
【解答】（1）证明：连接OA并延长交BC于H点，如图，
∵AB＝AC，
∴，
∴AH垂直平分BC，
∴AH平分∠BAC，
即∠BAC＝2∠BAH，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAH，
∴∠BAC＝2∠ABD；
（2）解：设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，
∴∠AED＝∠ABD+∠BAC＝α+2α＝3α，
∵AB为直径，
∴∠BAD＝90°，
当AD＝AE时，∠ADB＝∠AED＝3α，
∴α+3α＝90°，
解得α＝22.5°；
当DA＝DE时，∠DAE＝∠AED＝3α，
∴2α+3α＝90°，
解得α＝18°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或22.5°；
（3）解：∵AH⊥BC，
∴BH＝CHBC＝3，
在Rt△ABH中，AH4，
设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝4﹣r，
在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，
解得r，
∴BD＝2r，
在Rt△ABD中，AD，
在Rt△BCD中，CD，
∵AH∥CD，
∴△AEO∽△CED，
∴，
∴，
∴AE5．
十五．圆内接四边形的性质（共2小题）
38．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若AB＝AC，AB∥CD，则（ ）
A．2∠BAC+3∠CAD＝180° B．3∠BAC+2∠CAD＝180°
C．4∠BAC+3∠CAD＝360° D．3∠BAC+4∠CAD＝360°
【分析】根据AB＝AC得∠B＝∠ACB＝90°∠BAC，再根据AB∥CD得∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠BAC+∠CAD），然后根据圆内接四边形的性质得∠B+∠D＝180°，即90°∠BAC+180°﹣（∠BAC+∠CAD）＝180°，由此即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠BAC+∠CAD），
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∴90°∠BAC+180°﹣（∠BAC+∠CAD）＝180°，
整理得：3∠BAC+2∠CAD＝180°．
故选：B．
39．已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交于A，B两点，点C，D分别在直线l的异侧，且是⊙O上的两个动点，且∠ACB＝135°，则四边形ACBD面积的最大值是（ ）
A．25 B． C． D．
【分析】作直径MN⊥AB，连接MA，OB，NA，NB，OA，OB，过点C作CE⊥AB与E，DF⊥AB与F，根据∠ACB＝135°得∠ADB＝45°，则∠AOB＝90°，进而得AB＝5，则四边形ACBD面积为 （CE+DF），由此得当CE+DF为最大时，四边形ACBD面积为最大，进而得当点D与点M重合，同时点C与点N重合时，CE+DF为最大，最大值是线段MN的长为10，由此可得四边形ACBD面积的最大值．
【解答】解：作直径MN⊥AB，连接OA，OB，过点C作CE⊥AB与E，DF⊥AB与F，如图所示：
∵⊙O的半径是5，
∴OA＝OB＝5，MN＝10，
∵点A，B，C，D都在⊙O上，
∴四边形ACBD是⊙O内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB＝180°，
∵∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB，
∵S△ABCAB CE CE，S△ABDAB DF DF，
∴S四边形ACBD面积＝S△ABC+S△ABD，
∴S四边形ACBD面积 （CE+DF），
当CE+DF为最大时，四边形ACBD面积为最大，
∴当点D与点M重合，同时点C与点N重合时，CE+DF为最大，最大值是线段MN的长，
即CE+DF的最大值为10，
∴四边形ACBD面积的最大值是：．
故选：D．
十六．弧长的计算（共3小题）
40．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C．若，则的长为 π ．
【分析】连接OD，由折叠得出△OBD是等边三角形，进一步得出∠AOD的度数，再结合OC的长度得出OB的长即可解决问题．
【解答】解：连接OD，
由折叠可知，
BO＝DO，∠DBC＝∠OBC，
又∵OD＝OB，
∴BD＝BO＝DO，
∴△BDO是等边三角形，
∴∠DBO＝∠DOB＝60°，
∴∠OBC＝30°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣60°＝30°．
在Rt△BOC中，
tan∠OBC，
∴，
∴BO＝6，
∴的长为．
故答案为：π．
41．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的弦AB中点，CD⊥AB，D在上．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB．当CD＝1，AB＝6时，s＝ ．
【分析】连接OC，根据垂径定理，知OC⊥AB，设圆的半径为r，根据勾股定理求出r＝OA＝5，计算求出答案．
【解答】解：连接OC，如图：
∵C是的弦AB中点，CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴C，D，O共线，
∵AB＝6，
∴AC＝3，
设圆的半径为r，则OC＝r﹣1，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，
得OA2＝AC2+OC2，
即r2＝32+（r﹣1）2，
解得r＝5，
∴OA＝5，
∴s＝AB6．
故答案为：．
42．如图，AN是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，与圆相交于点E，AB＝15，D是⊙O上的点，DC⊥BM，与BM交于点C，⊙O的半径为R＝30．
（1）求BE的长．
（2）若BC＝15，求的长．
【分析】（1）连接OE，过O作OF⊥BM于F，在Rt△OEF中，由勾股定理得出EF的长，进而求得EB的长．
（2）连接OD，则在直角三角形ODQ中，可求得∠QOD＝60°，过点E作EH⊥AO于H，在直角三角形OEH中，可求得∠EOH＝30°，则得出的长度．
【解答】解：（1）连接OE，过O作OF⊥BM于F，
在Rt△OEF中，EF15，
BF＝AO＝30，
∴BE＝30﹣15．
（2）连接OD，
在直角三角形ODQ中，∵OD＝30，OQ＝30﹣15＝15，
∴∠ODQ＝30°，
∴∠QOD＝60°，
过点E作EH⊥AO于H，在直角三角形OEH中，
∵OE＝30，EH＝15，
∴∠EOH＝30°，
∴∠DOE＝90°，
∴π 60＝15π．
十七．扇形面积的计算（共1小题）
43．如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC＝45°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，连结AD和DE．若AB＝2，则阴影部分面积为 ．
【分析】取AB的中点M，连接MD，ME，先由∠ADB＝90°得出点D是BC的中点，进而利用三角形的中位线得出DM∥AC，最终将阴影部分的面积转化为扇形MAE的面积即可解决问题．
【解答】解：取AB中点M，连接MD，ME，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ADB＝90°．
又∵AB＝AC，
∴点D为BC中点，
∴MD为△ABC的中位线，
∴MD∥AC，
∴S△ADE＝S△AME，
∴S阴影＝S扇形MAE．
∵∠BAC＝45°，MA＝ME，
∴∠MEA＝∠BAE＝45°，
∴∠AME＝90°．
∵AB＝2，
∴MA，
∴，
∴．
故答案为：．
十八．圆的综合题（共6小题）
44．如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝OA，点D在上，点E是CD中点，连结AD分别交OC，OE于点F，G．
（1）请直接写出∠AOC与∠EGD的度数．
（2）求证：△ACF∽△OGF．
（3）△AFC，△ODG的面积分别记为S1，S2．若CF＝kOF，求的值．（用含k的式子表示）
【分析】（1）先证明△OAC为等边三角形，则∠AOC＝60°，再根据圆周角定理得到，再根据垂径定理推论得到OE⊥CD，继而由直角三角形两锐角互余求解；
（2）证明∠ACF＝∠OGF＝60°，再结合对顶角相等即可求解；
（3）过点C作CM⊥AD于点M，过点F作FH⊥AO于点H，由CF＝kOF，不妨设OF＝1，则CF＝k，则AC＝AO＝OC＝k+1，那么，，，在Rt△AFH中，由勾股定理得，，由△ACF∽△OGF，求得，而在Rt△CMD中，，故，再代入求解即可．
【解答】（1）解：∵AC＝OA，OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝∠ACF＝60°，
∴，
∵点E是CD中点，OE经过圆心，
∴OE⊥CD，
∴∠EGD＝90°﹣∠ADC＝60°；
（2）证明：∵∠EGD＝60°，
∴∠FGO＝∠EGD＝60°，
∵∠ACF＝60°，
∴∠ACF＝∠OGF，
∵∠AFC＝∠OFG，
∴△ACF∽△OGF；
（3）解：过点C作CM⊥AD于点M，过点F作FH⊥AO于点H，
由CF＝kOF，不妨设OF＝1，则CF＝k，
∴AC＝AO＝OC＝k+1，
∵∠AOC＝60°，
∴，，
∴，
∴在Rt△AFH中，由勾股定理得，，
∵△ACF∽△OGF，
∴，
∴，
∴，
∵∠CDA＝30°，
∴在Rt△CMD 中，，
∴，，
∴．
45．如图，在正方形ABCD中，点F，H分别在边AB，BC上，AF＝CH，连接BD，FH交于点E，过点F，B，H的圆交DH于点P，连接PF交BD于点K．
（1）证明：∠AFD＝∠PFB．
（2）证明；
（3）当时，求的值．
【分析】证明：根据四边形BFPH是圆的内接四边形，得出∠AFP＝∠DHB，可证明△ADF≌△CDH，从而得出DF＝DH，可证明△DBF≌△DBH，从而∠DFB＝∠DHB，从而∠AFP＝∠DFB，进一步得出结果；
（2）作KW∥DF，交AB于W，可推出∠AFD＝∠KWF，△BWK∽△BFD，从而得出，KF＝KW，进一步得出结果；
（3）延长FP，交CD于V，作FX⊥CD于X，可证得DF＝VF，从而DX＝XV，进而得出AF＝DX＝XV，可证得△DVK∽△BFK，从而，进而可证得，不妨设CH＝AF＝DX＝XV＝1，则BF＝4，DV＝2，依次计算CD，CV，DH的值，可证得△DPV∽△DCH，进而可求得DP，进一步的呼出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形BFPH是圆的内接四边形，
∴∠AFP＝∠DHB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，
∵AF＝CH，
∴△ADF≌△CDH（SAS），BF＝BH，
∴DF＝DH，
∵BD＝BD，
∴△DBF≌△DBH（SSS），
∴∠DFB＝∠DHB，
∴∠AFP＝∠DFB，
∴∠AFP﹣∠DFP﹣∠DFB﹣∠DFP，
∴∠AFD＝∠PFB；
（2）证明：如图1，
作KW∥DF，交AB于W，
∴∠AFD＝∠KWF，△BWK∽△BFD，
∴，
由（1）知，
∠AFD＝∠PFB，
∴∠PFB＝∠KWF，
∴KF＝KW，
∴；
（3）解：如图2，
延长FP，交CD于V，作FX⊥CD于X，
∴∠DXF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，∠C＝∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠AFD＝∠CDF，∠PFB＝∠DVF，
∴∠CDF＝∠DVF，
∴DF＝VF，
∴DX＝XV，
∵∠A＝∠ADC＝∠FXD＝90°，
∴四边形ADXF是矩形，
∴AF＝DX＝XV，
∵CD∥AB，
∴△DVK∽△BFK，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
不妨设CH＝AF＝DX＝XV＝1，则BF＝4，DV＝2，
∴CD＝AB＝AF+BF ＝5，
∴CV＝3，
∴DH，
∵FH是圆的直径，
∴∠DPV＝∠FPH＝90°，
∴∠DPV＝∠C，
∵∠PDV＝∥CDH，
∴△DPV∽△DCH，
∴，
∴，
∴DP，
∴PH＝DH﹣DP，
∴．
46．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，F为上一点，连接AC，CF，FB，AF，AF与CD交于点G．
（1）求证：∠AFC＝∠CAB；
（2）连接CB交AF于点H，当AF⊥CB时，△CFG是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若BF＝4，AC＝8，求AF的长．
【分析】（1）根据垂径定理得出，从而得出∠AFC＝∠CAB；
（2）设AF，BC交于点H，可推出∠BCF+∠AFC＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∠ABC＝∠AFC，从而∠BCD＝∠BCF，进而得出∠CGH＝∠AFC，进一步得出结论；
（3）连接BG，AD，可推出BG＝BF＝4，△AEG∽△CEA，从而，根据AE2+EG2＝AG2，得出（2EG）2+EG2＝42，从而得出EG，进而依次求得BE，CE，CG，可证得△AED∽△CEB，从而得出DE CE＝AE BE，从而求得DE，DG，可同理证得AG FG＝DG CG，从而求得FG的长，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵弦AB⊥直径CD，
∴，
∴∠AFC＝∠CAB；
（2）解：如图1，
△CFG是等腰三角形，理由如下：
设AF，BC交于点H，
∵AF⊥BC，
∴∠CHF＝90°，
∴∠BCF+∠AFC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵，
∴∠ABC＝∠AFC，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠CGH＝∠AFC，
∴CG＝CF，
∴△CFG是等腰三角形；
（3）解：如图2，
连接BG，AD，
由（2）知，
CG＝CF，AF⊥BC，∠BCF＝∠BAF，
∴CH＝FH，∠BDC＝∠BCF，
∴BG＝BF＝4，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE，∠DAC＝∠BCD，
∴AG＝BG＝4，∠BAF＝∠ACD，
∴∠AEG＝∠AEC，
∴△AEG∽△CEA，
∴，
∵AE2+EG2＝AG2，
∴（2EG）2+EG2＝42，
∴EG，
∴BE＝AE＝2EG，
∴CE＝2AE
∴CG＝CE﹣EG，
∵，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△AED＝∠BEC，
∴△AED∽△CEB，
∴，
∴DE CE＝AE BE，
，
∴DE，
∴DG＝DE+EG，
同理可得，
AG FG＝DG CG，
∴4FG，
∴FG
∴AF＝AG+FG．
47．已知AB为直径，弦CD⊥AB于E，作点B关于CD的对称点H，连结CH并延长交⊙O于点P，连结PD．
（1）如图1，若对称点H与点O重合，试求∠CPD的度数．
（2）如图2，连结AD交CP于点M，求证：AD⊥CP．
（3）如图3，连结BP交CD于点F，若AB＝3，sin∠CPB，
①试求BE的长；②直接写出PC+PD的值．
【分析】（1）连接OD，由垂径定理可得∠OEC＝90°，BE＝OE，从而∠C＝30°，由圆周角定理推论知∠CDP＝90°，进而∠CPD＝60°；
（2）连接BD，证明△CEH≌△DEB（SAS），进而判定PC∥BD，再由圆周角定理推论及平行线性质可证得AD⊥CP；
（3）①连接AC、BC，由条件可得CD为BH的中垂线，从而判定CH＝CB，由三线合一性质可知∠PCD＝∠BCD，由垂径定理知，所以∠PCD＝∠DCB＝∠CAB＝∠CPB，进而sin∠PCD＝sin∠DCB＝sin∠CAB＝sin∠CPB，故BC＝sin∠CAB×AB3，BE＝sin∠DCB×BC；
②连接BC、OD、AP，AB＝3，故OD＝OB，OE＝OB﹣BE1，由勾股定理得DE，故CD，CH.再证明△CHB∽△AHP，列比例式，可得PH，从而PC＝PH+CH，又∠PCD＝∠DCB，所以PD＝BC，PC+PD．
【解答】解：（1）连接OD，如图4所示，
∵AB为直径，弦CD⊥AB于E，
故∠OEC＝90°，
∵BE＝OE，
∴∠C＝30°，
又∵CP为直径，
∴∠CDP＝90°，
∴∠CPD＝60°．
（2）证明：连接BD，如图5所示，
由对称性可知，BE＝HE，
由垂径定理可知CE＝DE，∠CEH＝∠DEB＝90°，
在△CEH和△DEB中，
∵，
∴△CEH≌△DEB（SAS），
∴∠HCE＝∠EDB，
∴PC∥BD，
又∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AMC＝90°，
即AD⊥CP．
（3）①连接AC、BC，如图6所示：
由CD⊥AB于E，BE＝HE，
从而可得CD为BH的中垂线，
∴CH＝CB，由三线合一性质可知∠PCD＝∠BCD，
由垂径定理知，
∴∠PCD＝∠DCB＝∠CAB＝∠CPB，
∴sin∠PCD＝sin∠DCB＝sin∠CAB＝sin∠CPB，
∴BC＝sin∠CAB×AB3，
∴BE＝sin∠DCB×BC．
②连接BC、OD、AP，如图7所示：
∵AB＝3，
∴OD＝OB，OE＝OB﹣BE1，
∴DE，CD，
∴CH．
∵∠BCP＝∠PAB，∠CHB＝∠AHP，
∴△CHB∽△AHP，
∴，
∴AH BH＝CH PH，即2×1PH，PH，
∴PC＝PH+CH，
∵∠PCD＝∠DCB，
∴PD＝BC，
∴PC+PD．
48．如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC的延长线于点M，连接CD．
（1）求证：∠ACB＝∠CDM；
（2）若BM＝5，AE＝CM＝3，求CD的长；
（3）如图2，连接BD分别交AF和AC于点G和点H，若∠DAG＝∠DGA，且GH＝n，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）．
【分析】（1）根据等边对等角可得：∠B＝∠ACB，由圆内接四边形的性质得：∠CDM＝∠B，由此可得结论；
（2）先根据垂径定理得：AF⊥BC，BE＝CE，由勾股定理得：AM5，AC，证明△ACD∽△AMC，即可解答；
（3）如图3，连接CG，过点G作GK⊥AC于K，设∠ADB＝∠ACB＝∠ABC＝2x，先证明CG平分∠ACB，由三角形的面积的比可得：，，化简等量代换后即可解答．
【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠CDM+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠CDM，
∴∠ACB＝∠CDM；
（2）解：∵AB＝AC，
∴，
∴AF⊥BC，
∴BE＝CE，
∵BM＝5，CM＝3，
∴BC＝5﹣3＝2，
∴BE＝CE＝1，
∴EM＝3+1＝4，
由勾股定理得：AM5，AC，
∵∠ACB＝∠CDM，
∴∠ADC＝∠ACM，
∵∠CAD＝∠CAM，
∴△ACD∽△AMC，
∴，即，
∴CD；
（3）解：如图3，连接CG，过点G作GK⊥AC于K，
设∠ADB＝∠ACB＝∠ABC＝2x，
∵∠DAG＝∠DGA，
∴AD＝DG，∠DAG＝∠DGA90°﹣x，∠CAE＝90°﹣2x，
∴∠CAD＝∠DAG﹣∠CAE＝（90°﹣x）﹣（90°﹣2x）＝x，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠GCB＝x，
∴∠GCH＝∠BCG＝x，
∴CG平分∠ACB，
设△BCH中BH边上的高为h，
∵EG⊥BC，GK⊥AC，CG平分∠ACB，
∴GK＝EG，
∴，
∴，
∵∠ABD＝∠ACD＝∠CAD＝∠ACG＝x，
∴AD＝CD＝DG，AC平分∠DCG，
同理得：，
∵AD＝CD，BG＝CG，
∴，
∴，
∵AD＝DG，
∴1，
∴，
∵GH＝n，
∴．
49．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．
（1）求证：△DOE∽△ABC；
（2）求证：∠ODF＝∠BDE；
（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形OCBD的面积为S2，若，用含n的代数式表示．
【分析】（1）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO＝∠ACB，根据平行得出∠DOE＝∠ABC，根据相似三角形的判定得△DOE∽△ABC，根据圆周角定理得出∠A＝∠BDC，推出∠ODE＝∠BDC即可；
（2）根据圆周角定理和垂直求出∠DEO＝∠ACB，根据平行得出∠DOE＝∠ABC，根据相似三角形的判定得出结论；
（3）根据△DOE∽△ABC，求出S△ABC＝4S△DOE＝4S1，进而求解．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠ABC，
∴△DOE∽△ABC；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∴∠DEO＝∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE＝∠ABC，
∴△DOE∽△ABC；
∴∠ODE＝∠A，
∵∠A和∠BDC是所对的圆周角，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠ODE＝∠BDC，
∴∠ODF＝∠BDE；
（3）解：∵△DOE∽△ABC，
∴（）2，
即S△ABC＝4S△DOE＝4S1，
∵OA＝OB，
∴S△BOCS△ABC，即S△BOC＝2S1，
∵，S2＝S△BOC+S△DOE+S△DBE＝2S1+S1+S△DBE，
∴S△DBES1，
∴BE＝（）OE，
即OEOBDO，
∴sinA＝sin∠ODE．
十九．作图—复杂作图（共1小题）
50．如图，在⊙O上有A，B，C三点，∠A＝80°，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
（1）请在图中作一个100°的圆周角，记为∠1．
（2）请在图中作一个20°的圆心角，记为∠2．
（3）请在图中作一个10°的圆周角，记为∠3．
【分析】（1）弧BC上取一点E，连接BE，CE，∠BEC即为所求；
（2）作直径BF，连接AF，OC，∠FOC即为所求；
（3）如图，∠CAF即为所求．
【解答】解：（1）如图，∠1即为所求；
（2）如图，∠2即为所求；
（3）如图，∠3即为所求．
二十．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
51．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，把Rt△ABC沿斜边AB折叠，得到△ABD，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E，过点C作CN∥AD，分别交AB，BD于点M，N，若CM＝3，，则 ．
【分析】连接DM并延长交BC于点F，首先证明四边形ACMD为平行四边形，AD＝CM＝3，再证明四边形DFCE为矩形，用勾股定理计算出FM＝1，由折叠图形性质、平行线性质及角平分线性质定理可得NM＝FM＝1，最后证明△BNM∽△BDA，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：如图所示，连接DM并延长交BC于点F，
∵CM∥AD，
∴∠DAM＝∠CMA，
又由折叠性质可得CA＝AD，∠DAM＝∠CAM，
∴∠CAM＝∠CMA，
∴CA＝CM，
∴CM＝AD，
∴四边形ACMD为平行四边形，AD＝CM＝3，
∴DM∥EC，DF∥EC，
又∵∠ECB＝90°，
∴∠DFC＝90°，
又∵∠E＝90°，
∴四边形DFCE为矩形．
∴DE＝FC＝2，
∴FM1，
由折叠性质可得∠ADB＝∠ACB＝90°，
又CM∥AD，
∴∠BNM＝∠ADB＝90°．
又MF⊥BC，BA为∠DBC的角平分线，
∴NM＝FM＝1，
由MN∥AD，
∴△BNM∽△BDA，
∴，
设BM＝k，BA＝3k，则AM＝3k﹣k＝2k，
∴．
故答案为：．
二十一．平行线分线段成比例（共1小题）
52．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC上的中线，将△ADC沿直线AD翻折得到△ADC′，C′D与AB交于点F，连接CC′与AB，AD分别交于点E，O，连接BC′，则∠CC′B＝ 90° .若，则
【分析】证明BC′∥AD，ODBC′，设OD＝m，则BC′＝2m，利用平行线分线段成比例定理求出AOm，再求出BF：AF＝6：11，设BE＝3k，AE＝4k，则AB＝7k，求出EF可得结论．
【解答】解：∵△ADC沿直线AD翻折得到△ADC′，
∴AD垂直平分线段CC′，DC＝DC′，
∴∠DOC＝90°，
∵AD为BC上的中线，
∴DB＝DC＝DC′，
∴∠CC′B＝90°，
∴∠DOC＝∠CC′B，
∴AD∥BC′，
∵DC＝DB，CO＝OC′，
∴ODBC′，
设OD＝m，则BC′＝2m，
∵BC′∥OA，
∴BC′：OA＝BE：AE＝3：4，
∴OAm，
∴AD＝OD+OAm，
∵BC′∥AD，
∴，
∵BE：AE＝3：4，
∴可以假设BE＝3k，AE＝4k，则AB＝7k，
∴BFABk，
∴EF＝BE﹣BF＝3kkk，
∴．
故答案为：90．
二十二．相似三角形的性质（共1小题）
53．如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连结AE，将△ADE顺时针旋转90°得到△ABF，连结EF，分
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