浙江省数学八年级上册期末常考题型真题分类专项特训十一
一、一次函数的增减性
1．（2025八上·上城期末）已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线的，
∴随的增大而增大，
∵，
∴．
∵当时，，即，
∴，A选项正确，B选项错误；
∵当时，，即，
∴，C选项错误，D选项错误；
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大；结合可推出，然后根据可推出，，从而可判断A、B选项；再根据可推出，，据此可判断C、D选项.
2．（2025八上·龙泉期末）若点，在一次函数的图像上，且．则下列的取值符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由点，在一次函数的图像上，且，可知：，
∴，
故选A．
【分析】
对于一次函数，当时，随的增大而减小，则由题意知，，即．
3．（2025八上·鄞州期末）点和都在直线上，且，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵直线中，，
∴该函数值随的增大而减小，
又∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此判断得出答案.
4．（2024八上·慈溪期末）点在正比例函数的图象上，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】因为，所以y随x的增大而减小，所以，即。
故答案为：Ａ.
【分析】由正比例函数的增减性可知：当比例系数为负时，所以y随x的增大而减小；反之，所以y随x的增大而增大.
5．（2025八上·镇海区期末）已知一次函数的图象经过点，则的大小关系是 ．
【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数中，，
∴y随着x的增大而增大．
∵，一次函数的图象过点，，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用一次函数的解析式得出，从而可得出一次函数的增减性，再利用增减性得出的大小关系 ．
6．（2025八上·杭州期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：一次函数的图象不经过第三象限，
，，
随的增大而减小，
当时，，当时，，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先根据一次函数的图象不经过第三象限得，，从而可得出随的增大而减小，再根据当时，取最大值，当时，取最小值，然后利用的最大值与最小值的差为，列出关于k的方程求解．
7．（2025八上·丽水期末）已知一次函数过点
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）当时，求y的取值范围．
【答案】（1）解：一次函数过点，
，
解得，
∴y=2x+2-1=2x+1，
一次函数的表达式为；
（2）解：当时，；当时，，
∵2＞0，
∴ 函数在定义域内单调递增，
当时，.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）设把点代入解析式求出m，再将m的值代入解析式即可求解；
（2） 先求出当，时的y值，再根据一次函数的增减性写出的取值范围即可．
（1）解：一次函数过点，
，
，
，
一次函数的表达式为；
（2）一次函数，当时，；当时，，
当时，
8．（2025八上·柯桥期末）一次函数（k为常数，且）．
（1）若点在一次函数的图象上，
①求k的值；
②设，则当时，求P的最大值．
（2）若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．
【答案】（1）解：①将点（-1，3）代入一次函数y=kx-k+2，得：3=-1×k-k+2，
解得：k=；
②由①得：一次函数表达式为：y=x-（）+2=x+，
∴P=x++x=x+，
由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而增大，
∴当时，时，P的值最大，
当时，，
即P的最大值为5.
（2）解：当时，由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而增大，
当x=m时，函数取得最大值M，，
当x=m-3时，函数取得最小值N，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而减小，
当x=m-3时，函数取得最大值M，，
当x=m时，函数取得最小值N，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
∴一次函数解析式为或．
答：一次函数解析式为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【分析】（1）①将点（-1，3）代入求值即可；
②由①得一次函数表达式为：y=x+，然后用x表示P得到，根据一次函数图象的性质可知时，P取得最大值，即可得出答案；
（2）分k＞0和k＜0两种情况讨论，求的最大值和最小值的代数式，再根据题意列出方程求解即可.
（1）解：①把代入得，
解得；
②当时，，
∴，
∵y随x的增大而增大，
∴当时，时，P的值最大，
当时，，
即P的最大值为5；
（2）解：当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
综上所述，一次函数解析式为或．
9．（2025八上·余姚期末）若点 和点 是一次函数 的图象上的两点， 与 的大小关系是： （填＂＞，＜或 。
【答案】＞
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：y1=-2×（-3）+3=9，y2=-2×2+3=-1，∴y1＞y2
故答案为：＞。
【分析】本题将P和Q点分别代入一次函数中，求出y1和y2的值之后比较大小即可。
二、面积与一次函数
10．（2025八上·长兴期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，并与直线相交于点，点在线段上，过点作轴的垂线与直线交于点，与轴交于点，且，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：联立，
解得：，
∴点C的坐标为；
设，则 ，
，
，
，
解得：，
，
的面积为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，知识点涉及到一次函数的交点坐标、坐标与线段长度的关系以及三角形面积公式．先联立两条直线的解析式求出交点C坐标，再设，进而表示 ，根据EF=ED列方程求出a值，最后结合点坐标计算三角形面积.
11．（2025八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ．
（1）求 的值及直线 的表达式；
（2）若点 是直线 上一点，连接 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时， 求点 的坐标．
【答案】（1）解：设正比例函数解析式为：，
∵与交于点，
∴，，
∴，，
正比例函数解析式为： ．
（2）解：如图，连接，
当 时，，
∴，
∴，
∴，
点 M 的横坐标为 4或，
∴或，
∴ 的坐标为 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
（1）分别利用待定系数法求解即可；
（2）先利用直线上点的坐标特征求出点B的坐标，则OB可得，即 的面积等于点C的横坐标与OB乘积的一半，则当 的面积是 的面积的 2 倍时，点M的横坐标的绝对值等于点C横坐标的2倍，再利用直线上点的坐标特征代值计算即可 ．
（1）解：设正比例函数解析式为：，
∵与交于点，
∴，，
∴，，
正比例函数解析式为： ．
（2）解：如图，连接，
当 时，，
∴，
∴，
∴，
点 M 的横坐标为 4或，
∴或，
∴ 的坐标为 ．
12．（2025八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交．
（1）求直线的表达式．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：令，解得，此时，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即的面积为48．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）用待定系数法将点B和点C的坐标代入计算即可求；
（2）令可得点A的坐标，再由可得答案．
（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：令，
解得，此时，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即的面积为48．
13．（2025八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ．
（1）求 的值及直线 的表达式；
（2）若点 是直线 上一点，连结 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时，求点 的坐标。
【答案】（1）解：设正比例函数解析式为：y=k1x，
∴2k1= 4，2k+ 5=4，
∴k1=2，k=，
∴正比例函数解析式为：y=2x
（2）如图，连接OM，
由条件可知OB=5，
∴S△BOC=×5×2=5，
∴S△BOM= 2S△BOC = 10，
∴点M的横坐标为4或-4，
∴yM=×4+5=3或 yM=×(-4)+5=7，
∴M的坐标为(4，3)，（-4，7）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)设正比例函数解析式为：y=k1x，将点C坐标代入y =k1x，一次函数y =kx+5可得k，k1的值，即可求解；
(2)如图，连接OM，求解S△BOM=2S△BOC，再求解M的横坐标，即可求解纵坐标.
14．（2025八上·温州期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C．
（1）求b的值和，的长．
（2）在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值．
【答案】（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴点B为，
把点代入，得，
∴，
把代入，得，
即；
（2）解：记交x轴于点F，如图
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴把x=6代入y=x+4，得y=6+4=10，
∴E(4，10)
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点，令中的y=0，算出对应的x的值，可得OA长度，令中的x=0，算出对应的y的值，求出点B的坐标，进而将点B的坐标代入求出，令中的y=0，算出对应的x的值，求出OC的长度；
（2）记DE交x轴于点F，利用AAS判断出，由全等三角形的对应边相等得CF=OC=3，DF=OB=4，进而可算出OF的长，进而可求得点E的坐标得出EF的长，从而可算出DE的长，根据三角形面积计算公式求出、，即可求解.
（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴点B为，
把点代入，得，
∴，
把代入，得，
即；
（2）解：记交x轴于点F，如图：
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
15．（2025八上·杭州期末）如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D．
（1）求直线的函数关系式；
（2）点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 直线：经过点，与x轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线的函数关系式为；
（2）解：，
解得：，
∴点的坐标为；
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，此时的最小值为，
则点即为所作，其坐标为，
∵，
∴，
∵，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴当的值为时，的值最小．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式即可求出、；
（2）先求出直线和直线交点的坐标，再求出的面积，从而得到的面积，再根据三角形面积计算公式，求出点P的纵坐标即可；
（3）先利用待定系数法求出其解析式，再根据点在直线上求出的值．
（1）解：∵点，点在直线：上，
∴，
解得：，
∴直线的函数关系式为；
（2）解：联立，
解得：，
∴点的坐标为；
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，此时的最小值为，
则点即为所作，其坐标为，
∵，
∴，
∵，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴当的值为时，的值最小．
三、应用
16．（2025八上·鄞州期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象， 则下列说法错误的是 （ ）
A．乙车前6秒行驶的路程为48米
B．在0到6秒内甲车的速度每秒增加米
C．当两车速度相等时， 乙车行驶19.6米
D．在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、根据图象可得，乙前6秒的速度不变，为8米/秒，则行驶的路程为米，故正确，本选项不符合题意；
B、根据图象得：在0到9秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到30米/秒，则每秒增加米/秒，故B正确，本选项不符合题意；
C、当两车速度相等时的时间为秒，乙车行驶米，故C错误，本选项符合题意；
D、由图象知，3秒时甲的速度为米/秒，则在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，故D正确，本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
A、乙车前6秒以8米/秒的速度匀速行驶，则6秒共行驶48米；
B、甲车匀加速行驶，9秒速度增加了30米/秒，则每秒增加了米/秒；
C、两车速度相等时可得乙车行驶时间为2.4秒，则乙车行驶了19.2米；
D、从第3秒到第9秒内，甲车的函数图象一直在乙车的函数图象上方，则甲车速度大于乙车速度．
17．（2024八上·杭州期末）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
（1）当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；
（2）若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算 请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，得，
；
（2）解：选择乙方案更划算，理由如下：
当时，有，，
∵，
∴选择乙方案更划算．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据甲，乙两种收费方案列式求解即可；
（2）令，分别求出，的函数值，最后再比较结果即可求解.
（1）解：由题意得：，
；
（2）选择乙方案更划算
理由：当时，
，
．
∵，
∴选择乙方案更划算．
18．（2025八上·丽水期末）某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用y由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元/张，黑白页元/张．印刷费与印数的关系如下表．
印数（千册）
彩色（元/张）
黑白（元/张）
（1）印制这批纪念册需制版费多少元？
（2）求出关于的函数表达式．
（3）如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围（精确到千册）
【答案】（1）解：(元)，
答：印制这批纪念册的制版费为元；
（2）解：当时，；
当时，，
∴；
（3）解：当时，，
解得：，
；
当时，，
解得，
，
印数的取值范围为或．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】根据纪念册中彩面的数量和黑白面的数量，计算求出制版费即可；
根据印数的取值范围分，列出关于的函数表达式并化简即可；
因为印数至少为千册，所以应分当时和当时，两种情况分别求的取值范围．
（1）解：制版费：(元)，
答：印制这批纪念册的制版费为元；
（2）解：当时，；
当时，，
关于的函数表达式为；
（3）解：当时，，
解得：，
；
当时，，
解得，
，
印数的取值范围为或．
19．（2025八上·鄞州期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元．
（1）写出（元）关于 （件）的函数关系式；
（2）若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案．
【答案】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件，
由题意可得：总利润，即．
（2）解：由题意可得：，解得：，
∵x为整数，
∴，，
所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件．
【知识点】列一次函数关系式；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设购进A商品件，则购进B商品件，再根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可；
（2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组并求不等式组的整数解即可．
（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件，
由题意可得：总利润，即．
（2）解：由题意可得：，
解得：，
∵x为整数，
∴，，
所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件．
20．（2025八上·宁波期末）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛。甲无人机从地面起飞乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）甲无人机的速度是 米/秒，乙无人机的速度是 米/秒；
（2）线段PQ对应的函数表达式；
（3）请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间
【答案】（1）6；3
（2）解：由题意可得，甲无人机表演的时间为20-6×2=8秒，
∴P(14，36)，
设 PQ的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将P(14，36)和Q(20，72)分别代入上式，得
， 解得 ，
∴PQ的函数表达式为y=6x-48(14≤x≤20)
(x的取值范围不写不扣分)
（3）解：1秒或11秒或17秒.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】(1)甲无人机的速度是 (米/秒)，乙无人机的速度是( (米/秒)。故答案为： 6， 3.
（3）当 时，甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为 ∴甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为
乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为
当 时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得|
解得： 或 (不符合题意，舍去)；
当 时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得|
解得 (不符合题意，舍去)或
当 时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得
解得：
∴当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间为1秒或11秒或17秒.
【分析】(1)根据速度=路程÷时间计算即可；
(2)根据时间=路程÷速度求出乙无人机飞行PQ段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段PQ对应的函数表达式即可；
(3)分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可.
21．（2025八上·西湖期末）某校开设了内容丰富的社团活动，其中“编织中国结”社团为布置校园环境组织学生编织A、B两种中国结．已知编织1个A种中国结和2个B种中国结需用绳；编织2个A种中国结和3个B种中国结需用绳．
（1）求编织1个A种、1个B种中国结分别需要绳子的长度．
（2）为满足校园环境的布置需求，需要编织两种中国结共100个，其中A种中国结的数量不少于B种中国结数量的一半．当编织A种中国结多少个时所需的总用绳量最少？最少用绳量是多少？
【答案】（1）解：设编织1个A种中国结需要绳子xcm，编织1个B种中国结需要绳子ycm，
由题意得：，
解得：
答：编织1个A种中国结需要绳子80cm，编织1个B种中国结需要绳子50cm.
（2）解：设编织A种中国结m个，则编织B种中国结(100-m)个，
由题意得：，
解得：，
设编织100个中国结总用绳量为wcm，
则w=80m+50(100-m)=30m+5000，
∵30>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵，且m为正整数，
∴当m=34时，w取最小值，
w最小值=30×34+5000=6020(cm)，
答：当编织A种中国结34个时所需的总用绳量最少，最少用绳量是6020cm.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)设编织1个A种中国结需要绳子xcm，编织1个B种中国结需要绳子ycm，根据题中的两个相等关系"编织1个A种中国结和2个B种中国结需用绳180cm，编织2个A种中国结和3个B种中国结需用绳310cm"可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
(2)设编织A种中国结m个，则编织B种中国结(100-m)个，根据题中的不等关系"A种中国结的数量不少于B种中国结数量的一半"可列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的范围，再设编织100个中国结总用绳量为wcm，结合(1)的结果，列出一次函数式，根据一次函数的性质即可求解.
（1）解：设编织1个A种中国结需要用绳x米，编织1个B种中国结需要用绳y米，根据题意：
，
解得：，
答：编织1个A种中国结需要绳子，1个B种中国结需要绳子；
（2）解：设学校编织m个A种中国结，则编织个B种中国结，根据题意：
解得：，
两种中国结共需要的绳子长度为：，
，
∴y随m的增大而增大，
∵m为正整数，
当时，有最小值为，
答：当编织A种中国结个时所需的总用绳量最少，最少用绳量是．
22．（2025八上·宁波期末）根据以下素材，探索完成任务．
背景 小宁和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时小宁用所学过的知识来记录他们的行程．
素材1 小宁从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①．
素材2 小宁通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，她乘坐1号观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后乘坐2号观光车继续行驶到达终点．折线表示观光车离终点的路程与小宁从入口出发的时间之间的关系．
素材3 小宁在去往终点的途中，遇到了游玩结束从终点返回的小波．通过交流，小宁获得了一些信息，如图②，线段EF表示小波从终点乘坐的3号观光车离终点的距离与小宁从入口出发的时间之间的关系．
问题解决
任务1 从景点甲到终点的2号观光车的速度是________，从终点返回的3号观光车的速度是________．
任务2 小宁出发多少时间后，与小波相遇？
任务3 小宁出发多少时间后，两人相距？
【答案】解：（1）16；24，
（2）设段解析式为，把代入，得
，
解得，
∴．
设段解析式为，把代入，得
，
解得，
∴．
解，得，
∴小宁出发多后，与小波相遇
（3）相遇前：
当时，，
，
∴，
解得．
相遇后：
，
解得．
综上可知，小宁出发小时或小时，两人相距．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）从景点甲到终点的2号观光车的速度是，
从终点返回的3号观光车的速度是．
故答案为：16；24；
【分析】（1）根据图象提供的信息，2号观光车从景点甲到达终点用时(4.5-2)小时，景点甲离终点的距离为40km，根据速度=路程÷时间计算即可；根据图象提供的信息，3号观光车从终点到达入口用时(4-1.5)小时，景点入口离终点的距离为60km，根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）利用待定系数法求出CD段和EF段的函数解析式，然后联立求解即可；
（3）首先判断出当x=2时，两人相距的距离小于30km， 然后分相遇前，由40减去小波距离终点得距离等于他们之间的距离建立方程，求解即可；相遇后，小波距离终点的距离-小宁距离终点的距离等于两人之间的距离建立方程，求解即可.
四、动点
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点 A，B，点C 在线段OB 上，将△ABC 沿AC 翻折，点B 恰好落在x轴上的点 D 处，直线 DC 交AB 于点E.
（1）求点 C 的坐标.
（2）若点 P 在直线 DC 上，点 Q 是y轴上一点(不与点 B 重合)，当△CPQ 和△CBE 全等时，点 P 的坐标为 (不包括这两个三角形重合的情况).
【答案】（1）解：因为 ，令x=0，则y=4，令y=0，则x=3，所以A(3，0)，B(0，4)，所以OA=3，OB=4.因为∠AOB=90°，所以由勾股定理得.因为将△ABC 沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处所以AD=AB=5，所以OD=2.设OC=x，则BC=DC=4-x.在Rt△OCD中，由勾股定理得，解得x=2所以c(0， ).
（2）(-2，0)或(2，3)或
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；全等三角形中对应边的关系；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：(2)设直线 CD 的表达式为y= kx+b(k≠0).
将C点坐标 代入得
再将D点坐标(-2，0)代入 解得
所以直线CD的表达式为
因为将△ABC沿AC翻折，点 B 恰好落在x轴上的点 D 处，所以BC=CD，∠ABO=∠CDO.
因为
所以
由(1)得
①当点 D 与P 重合，点Q 与O 重合时，易知 此时P(-2，0).
②由①易知BE=2，CE= 如图(1)，
当
即点Q 的纵坐标为 时，
所以 解得
所以
所以
③如图(2)，当PQ=BE=2，
时， 所以 所以 所以P(2，3).
综上，点P 的坐标为(-2，0)或(2，3)或
故答案为(-2，0)或(2，3)或
【分析】（1）求出点A，B的坐标，然后根据勾股定理求出AB的长，再根据翻折的性质得到AD=AB=5，进而根据勾股定理解答即可；
(2)首先求出直线 CD的表达 式，证 分①点 D与 P，点 Q 与O重合；②CQ= ③PQ=BE=2， = 三种情况讨论，再分别求出点 P 的坐标即可.
24．（2024八上·义乌期末）如图，直线的解析式为分别与，轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，在轴上方存在点，使以点为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】全等三角形中对应边的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在直线：上，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，当时，，解得，
点坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
以点为顶点的三角形与全等，
当时，如图所示，
此时，且，
，即，
点的横坐标为3，纵坐标为4，
点的坐标为：；
当时，如图所示，
此时，，
，
点的横坐标为4，纵坐标为3，
点的坐标为：，
综上所述：点的坐标为或．
故答案为：或.
【分析】把点的坐标代入关系式，可求得的解析式为，然后计算的长，再分为或两种情况进行分类讨论解题即可．
25．（2024八上·宁波期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当x=0时，y=4，∴C（0，4）；
当y=0时，-2x+4=0，解得，
∴A（2，0）；
∴A（2，0）；C（0，4）．
（2）解：由折叠知：．
设则，
根据题意得：解得：
此时，，D（2，）
设直线CD为，把代入得 解得：
∴设直线CD解析式为；
（3）解：①当点P与点O重合时，，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由得，
则点P在直线CD上．过P作于点Q，
在Rt△ADP中，
由得：
∴
∴，把代入得
此时P（，）
③当点P在第二象限时，如图，
由（2）同理可求得：
∴在Rt△PQC中，根据勾股定理
∴
此时
综合得，满足条件的点P有三个，分别为：（0，0）；（）；（－）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据x、y轴上点的特点求得A和C的坐标；
（2）由折叠可得，再根据勾股定理可求出AD长，然后得到D点坐标，最后利用待定系数法求出CD的解析式；
（3）分为 点P与点O重合 ，点P在第一象限，点P在第二象限三种情况，根据全等三角形的判定和勾股定理得到点P的坐标即可．
五、待定系数
26．（2025八上·嵊州期末）一次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：由图象可知直线经过，两点，
∴根据题意得：，
解得：，
则这个函数的表达式是：，
故答案为：C．
【分析】根据图象得到点的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可．
27．（2025八上·余杭期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由一次函数与直线平行，可设一次函数的表达式为，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为，
故答案为：．
【分析】由一次函数与直线平行，得k=2，可设一次函数的表达式为，把点代入计算即可求解．
28．（2025八上·柯城期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）若点在该一次函数图象上，求代数式的值．
【答案】（1）解：设一次函数解析式为，
根据题意得，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：把代入得，即n-m=3
所以-m+n+2025=n-m+2025=3=2025=2028.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）中的解析式可得n-m=3，从而整体代入待求式子，根据有理数加法法则计算可得答案.
（1）解：设一次函数解析式为，
根据题意得，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：把代入得，
所以
29．（2025八上·吴兴期末）一次函数的图象过点和点．
（1）求该函数的表达式；
（2）判断点是否在该函数的图象上．
【答案】（1）解：设一次函数的表达式为，
把点和点代入，得：
，
解得：，
所以该函数的表达式为
（2）解：将代入得，
，
所以点P不在该函数的图象上
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设一次函数的表达式为，将点M、N的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）将点代入（1）中所求函数解析式进行验证即可．
（1）解：设一次函数的表达式为，
把点和点代入，得：
，
解得：，
所以该函数的表达式为．
（2）解：将代入得，
，
所以点P不在该函数的图象上．
30．（2025八上·嘉兴期末）已知，是一次函数图象上的两点．
（1）若，两点的坐标分别是，，求这个一次函数的表达式；
（2）若，两点的坐标分别是，，求的值．
【答案】（1）解：将，代入，得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：将，代入，得
，
解得
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将，两点的坐标代入（1）中的解析式求出值即可．
（1）解：将，代入，得
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：将，代入，得
，
解得．
1 / 1浙江省数学八年级上册期末常考题型真题分类专项特训十一
一、一次函数的增减性
1．（2025八上·上城期末）已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2025八上·龙泉期末）若点，在一次函数的图像上，且．则下列的取值符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·鄞州期末）点和都在直线上，且，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·慈溪期末）点在正比例函数的图象上，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．且
5．（2025八上·镇海区期末）已知一次函数的图象经过点，则的大小关系是 ．
6．（2025八上·杭州期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ．
7．（2025八上·丽水期末）已知一次函数过点
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）当时，求y的取值范围．
8．（2025八上·柯桥期末）一次函数（k为常数，且）．
（1）若点在一次函数的图象上，
①求k的值；
②设，则当时，求P的最大值．
（2）若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．
9．（2025八上·余姚期末）若点 和点 是一次函数 的图象上的两点， 与 的大小关系是： （填＂＞，＜或 。
二、面积与一次函数
10．（2025八上·长兴期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，并与直线相交于点，点在线段上，过点作轴的垂线与直线交于点，与轴交于点，且，则的面积为 ．
11．（2025八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ．
（1）求 的值及直线 的表达式；
（2）若点 是直线 上一点，连接 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时， 求点 的坐标．
12．（2025八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，并与正比例函数的图象相交．
（1）求直线的表达式．
（2）求的面积．
13．（2025八上·鄞州期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 轴交于 两点，正比例函数的图象与 交于点 ．
（1）求 的值及直线 的表达式；
（2）若点 是直线 上一点，连结 ，当 的面积是 的面积的 2 倍时，求点 的坐标。
14．（2025八上·温州期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C．
（1）求b的值和，的长．
（2）在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值．
15．（2025八上·杭州期末）如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D．
（1）求直线的函数关系式；
（2）点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
三、应用
16．（2025八上·鄞州期末）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象， 则下列说法错误的是 （ ）
A．乙车前6秒行驶的路程为48米
B．在0到6秒内甲车的速度每秒增加米
C．当两车速度相等时， 乙车行驶19.6米
D．在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度
17．（2024八上·杭州期末）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
（1）当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；
（2）若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算 请说明理由．
18．（2025八上·丽水期末）某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用y由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元/张，黑白页元/张．印刷费与印数的关系如下表．
印数（千册）
彩色（元/张）
黑白（元/张）
（1）印制这批纪念册需制版费多少元？
（2）求出关于的函数表达式．
（3）如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围（精确到千册）
19．（2025八上·鄞州期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元．
（1）写出（元）关于 （件）的函数关系式；
（2）若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案．
20．（2025八上·宁波期末）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛。甲无人机从地面起飞乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）甲无人机的速度是 米/秒，乙无人机的速度是 米/秒；
（2）线段PQ对应的函数表达式；
（3）请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间
21．（2025八上·西湖期末）某校开设了内容丰富的社团活动，其中“编织中国结”社团为布置校园环境组织学生编织A、B两种中国结．已知编织1个A种中国结和2个B种中国结需用绳；编织2个A种中国结和3个B种中国结需用绳．
（1）求编织1个A种、1个B种中国结分别需要绳子的长度．
（2）为满足校园环境的布置需求，需要编织两种中国结共100个，其中A种中国结的数量不少于B种中国结数量的一半．当编织A种中国结多少个时所需的总用绳量最少？最少用绳量是多少？
22．（2025八上·宁波期末）根据以下素材，探索完成任务．
背景 小宁和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时小宁用所学过的知识来记录他们的行程．
素材1 小宁从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①．
素材2 小宁通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，她乘坐1号观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后乘坐2号观光车继续行驶到达终点．折线表示观光车离终点的路程与小宁从入口出发的时间之间的关系．
素材3 小宁在去往终点的途中，遇到了游玩结束从终点返回的小波．通过交流，小宁获得了一些信息，如图②，线段EF表示小波从终点乘坐的3号观光车离终点的距离与小宁从入口出发的时间之间的关系．
问题解决
任务1 从景点甲到终点的2号观光车的速度是________，从终点返回的3号观光车的速度是________．
任务2 小宁出发多少时间后，与小波相遇？
任务3 小宁出发多少时间后，两人相距？
四、动点
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点 A，B，点C 在线段OB 上，将△ABC 沿AC 翻折，点B 恰好落在x轴上的点 D 处，直线 DC 交AB 于点E.
（1）求点 C 的坐标.
（2）若点 P 在直线 DC 上，点 Q 是y轴上一点(不与点 B 重合)，当△CPQ 和△CBE 全等时，点 P 的坐标为 (不包括这两个三角形重合的情况).
24．（2024八上·义乌期末）如图，直线的解析式为分别与，轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，在轴上方存在点，使以点为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ．
25．（2024八上·宁波期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
五、待定系数
26．（2025八上·嵊州期末）一次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
27．（2025八上·余杭期末）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为 ．
28．（2025八上·柯城期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）若点在该一次函数图象上，求代数式的值．
29．（2025八上·吴兴期末）一次函数的图象过点和点．
（1）求该函数的表达式；
（2）判断点是否在该函数的图象上．
30．（2025八上·嘉兴期末）已知，是一次函数图象上的两点．
（1）若，两点的坐标分别是，，求这个一次函数的表达式；
（2）若，两点的坐标分别是，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线的，
∴随的增大而增大，
∵，
∴．
∵当时，，即，
∴，A选项正确，B选项错误；
∵当时，，即，
∴，C选项错误，D选项错误；
故答案为：．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)中，当k＞0时，y随x的增大而增大；结合可推出，然后根据可推出，，从而可判断A、B选项；再根据可推出，，据此可判断C、D选项.
2．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由点，在一次函数的图像上，且，可知：，
∴，
故选A．
【分析】
对于一次函数，当时，随的增大而减小，则由题意知，，即．
3．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵直线中，，
∴该函数值随的增大而减小，
又∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随x的增大而减小，据此判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】因为，所以y随x的增大而减小，所以，即。
故答案为：Ａ.
【分析】由正比例函数的增减性可知：当比例系数为负时，所以y随x的增大而减小；反之，所以y随x的增大而增大.
5．【答案】
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵一次函数中，，
∴y随着x的增大而增大．
∵，一次函数的图象过点，，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用一次函数的解析式得出，从而可得出一次函数的增减性，再利用增减性得出的大小关系 ．
6．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：一次函数的图象不经过第三象限，
，，
随的增大而减小，
当时，，当时，，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先根据一次函数的图象不经过第三象限得，，从而可得出随的增大而减小，再根据当时，取最大值，当时，取最小值，然后利用的最大值与最小值的差为，列出关于k的方程求解．
7．【答案】（1）解：一次函数过点，
，
解得，
∴y=2x+2-1=2x+1，
一次函数的表达式为；
（2）解：当时，；当时，，
∵2＞0，
∴ 函数在定义域内单调递增，
当时，.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）设把点代入解析式求出m，再将m的值代入解析式即可求解；
（2） 先求出当，时的y值，再根据一次函数的增减性写出的取值范围即可．
（1）解：一次函数过点，
，
，
，
一次函数的表达式为；
（2）一次函数，当时，；当时，，
当时，
8．【答案】（1）解：①将点（-1，3）代入一次函数y=kx-k+2，得：3=-1×k-k+2，
解得：k=；
②由①得：一次函数表达式为：y=x-（）+2=x+，
∴P=x++x=x+，
由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而增大，
∴当时，时，P的值最大，
当时，，
即P的最大值为5.
（2）解：当时，由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而增大，
当x=m时，函数取得最大值M，，
当x=m-3时，函数取得最小值N，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而减小，
当x=m-3时，函数取得最大值M，，
当x=m时，函数取得最小值N，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
∴一次函数解析式为或．
答：一次函数解析式为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【分析】（1）①将点（-1，3）代入求值即可；
②由①得一次函数表达式为：y=x+，然后用x表示P得到，根据一次函数图象的性质可知时，P取得最大值，即可得出答案；
（2）分k＞0和k＜0两种情况讨论，求的最大值和最小值的代数式，再根据题意列出方程求解即可.
（1）解：①把代入得，
解得；
②当时，，
∴，
∵y随x的增大而增大，
∴当时，时，P的值最大，
当时，，
即P的最大值为5；
（2）解：当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
综上所述，一次函数解析式为或．
9．【答案】＞
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：y1=-2×（-3）+3=9，y2=-2×2+3=-1，∴y1＞y2
故答案为：＞。
【分析】本题将P和Q点分别代入一次函数中，求出y1和y2的值之后比较大小即可。
10．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：联立，
解得：，
∴点C的坐标为；
设，则 ，
，
，
，
解得：，
，
的面积为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，知识点涉及到一次函数的交点坐标、坐标与线段长度的关系以及三角形面积公式．先联立两条直线的解析式求出交点C坐标，再设，进而表示 ，根据EF=ED列方程求出a值，最后结合点坐标计算三角形面积.
11．【答案】（1）解：设正比例函数解析式为：，
∵与交于点，
∴，，
∴，，
正比例函数解析式为： ．
（2）解：如图，连接，
当 时，，
∴，
∴，
∴，
点 M 的横坐标为 4或，
∴或，
∴ 的坐标为 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
（1）分别利用待定系数法求解即可；
（2）先利用直线上点的坐标特征求出点B的坐标，则OB可得，即 的面积等于点C的横坐标与OB乘积的一半，则当 的面积是 的面积的 2 倍时，点M的横坐标的绝对值等于点C横坐标的2倍，再利用直线上点的坐标特征代值计算即可 ．
（1）解：设正比例函数解析式为：，
∵与交于点，
∴，，
∴，，
正比例函数解析式为： ．
（2）解：如图，连接，
当 时，，
∴，
∴，
∴，
点 M 的横坐标为 4或，
∴或，
∴ 的坐标为 ．
12．【答案】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：令，解得，此时，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即的面积为48．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）用待定系数法将点B和点C的坐标代入计算即可求；
（2）令可得点A的坐标，再由可得答案．
（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：令，
解得，此时，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
即的面积为48．
13．【答案】（1）解：设正比例函数解析式为：y=k1x，
∴2k1= 4，2k+ 5=4，
∴k1=2，k=，
∴正比例函数解析式为：y=2x
（2）如图，连接OM，
由条件可知OB=5，
∴S△BOC=×5×2=5，
∴S△BOM= 2S△BOC = 10，
∴点M的横坐标为4或-4，
∴yM=×4+5=3或 yM=×(-4)+5=7，
∴M的坐标为(4，3)，（-4，7）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)设正比例函数解析式为：y=k1x，将点C坐标代入y =k1x，一次函数y =kx+5可得k，k1的值，即可求解；
(2)如图，连接OM，求解S△BOM=2S△BOC，再求解M的横坐标，即可求解纵坐标.
14．【答案】（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴点B为，
把点代入，得，
∴，
把代入，得，
即；
（2）解：记交x轴于点F，如图
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴把x=6代入y=x+4，得y=6+4=10，
∴E(4，10)
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点，令中的y=0，算出对应的x的值，可得OA长度，令中的x=0，算出对应的y的值，求出点B的坐标，进而将点B的坐标代入求出，令中的y=0，算出对应的x的值，求出OC的长度；
（2）记DE交x轴于点F，利用AAS判断出，由全等三角形的对应边相等得CF=OC=3，DF=OB=4，进而可算出OF的长，进而可求得点E的坐标得出EF的长，从而可算出DE的长，根据三角形面积计算公式求出、，即可求解.
（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴点B为，
把点代入，得，
∴，
把代入，得，
即；
（2）解：记交x轴于点F，如图：
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
15．【答案】（1）解：∵ 直线：经过点，与x轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线的函数关系式为；
（2）解：，
解得：，
∴点的坐标为；
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，此时的最小值为，
则点即为所作，其坐标为，
∵，
∴，
∵，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴当的值为时，的值最小．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式即可求出、；
（2）先求出直线和直线交点的坐标，再求出的面积，从而得到的面积，再根据三角形面积计算公式，求出点P的纵坐标即可；
（3）先利用待定系数法求出其解析式，再根据点在直线上求出的值．
（1）解：∵点，点在直线：上，
∴，
解得：，
∴直线的函数关系式为；
（2）解：联立，
解得：，
∴点的坐标为；
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，此时的最小值为，
则点即为所作，其坐标为，
∵，
∴，
∵，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴当的值为时，的值最小．
16．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、根据图象可得，乙前6秒的速度不变，为8米/秒，则行驶的路程为米，故正确，本选项不符合题意；
B、根据图象得：在0到9秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到30米/秒，则每秒增加米/秒，故B正确，本选项不符合题意；
C、当两车速度相等时的时间为秒，乙车行驶米，故C错误，本选项符合题意；
D、由图象知，3秒时甲的速度为米/秒，则在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，故D正确，本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
A、乙车前6秒以8米/秒的速度匀速行驶，则6秒共行驶48米；
B、甲车匀加速行驶，9秒速度增加了30米/秒，则每秒增加了米/秒；
C、两车速度相等时可得乙车行驶时间为2.4秒，则乙车行驶了19.2米；
D、从第3秒到第9秒内，甲车的函数图象一直在乙车的函数图象上方，则甲车速度大于乙车速度．
17．【答案】（1）解：根据题意，得，
；
（2）解：选择乙方案更划算，理由如下：
当时，有，，
∵，
∴选择乙方案更划算．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据甲，乙两种收费方案列式求解即可；
（2）令，分别求出，的函数值，最后再比较结果即可求解.
（1）解：由题意得：，
；
（2）选择乙方案更划算
理由：当时，
，
．
∵，
∴选择乙方案更划算．
18．【答案】（1）解：(元)，
答：印制这批纪念册的制版费为元；
（2）解：当时，；
当时，，
∴；
（3）解：当时，，
解得：，
；
当时，，
解得，
，
印数的取值范围为或．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】根据纪念册中彩面的数量和黑白面的数量，计算求出制版费即可；
根据印数的取值范围分，列出关于的函数表达式并化简即可；
因为印数至少为千册，所以应分当时和当时，两种情况分别求的取值范围．
（1）解：制版费：(元)，
答：印制这批纪念册的制版费为元；
（2）解：当时，；
当时，，
关于的函数表达式为；
（3）解：当时，，
解得：，
；
当时，，
解得，
，
印数的取值范围为或．
19．【答案】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件，
由题意可得：总利润，即．
（2）解：由题意可得：，解得：，
∵x为整数，
∴，，
所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件．
【知识点】列一次函数关系式；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设购进A商品件，则购进B商品件，再根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可；
（2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组并求不等式组的整数解即可．
（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件，
由题意可得：总利润，即．
（2）解：由题意可得：，
解得：，
∵x为整数，
∴，，
所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件．
20．【答案】（1）6；3
（2）解：由题意可得，甲无人机表演的时间为20-6×2=8秒，
∴P(14，36)，
设 PQ的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
将P(14，36)和Q(20，72)分别代入上式，得
， 解得 ，
∴PQ的函数表达式为y=6x-48(14≤x≤20)
(x的取值范围不写不扣分)
（3）解：1秒或11秒或17秒.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】(1)甲无人机的速度是 (米/秒)，乙无人机的速度是( (米/秒)。故答案为： 6， 3.
（3）当 时，甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为 ∴甲无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为
乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为
当 时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得|
解得： 或 (不符合题意，舍去)；
当 时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得|
解得 (不符合题意，舍去)或
当 时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时，得
解得：
∴当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为9米时的时间为1秒或11秒或17秒.
【分析】(1)根据速度=路程÷时间计算即可；
(2)根据时间=路程÷速度求出乙无人机飞行PQ段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段PQ对应的函数表达式即可；
(3)分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可.
21．【答案】（1）解：设编织1个A种中国结需要绳子xcm，编织1个B种中国结需要绳子ycm，
由题意得：，
解得：
答：编织1个A种中国结需要绳子80cm，编织1个B种中国结需要绳子50cm.
（2）解：设编织A种中国结m个，则编织B种中国结(100-m)个，
由题意得：，
解得：，
设编织100个中国结总用绳量为wcm，
则w=80m+50(100-m)=30m+5000，
∵30>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵，且m为正整数，
∴当m=34时，w取最小值，
w最小值=30×34+5000=6020(cm)，
答：当编织A种中国结34个时所需的总用绳量最少，最少用绳量是6020cm.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)设编织1个A种中国结需要绳子xcm，编织1个B种中国结需要绳子ycm，根据题中的两个相等关系"编织1个A种中国结和2个B种中国结需用绳180cm，编织2个A种中国结和3个B种中国结需用绳310cm"可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
(2)设编织A种中国结m个，则编织B种中国结(100-m)个，根据题中的不等关系"A种中国结的数量不少于B种中国结数量的一半"可列出关于m的一元一次不等式，解不等式求出m的范围，再设编织100个中国结总用绳量为wcm，结合(1)的结果，列出一次函数式，根据一次函数的性质即可求解.
（1）解：设编织1个A种中国结需要用绳x米，编织1个B种中国结需要用绳y米，根据题意：
，
解得：，
答：编织1个A种中国结需要绳子，1个B种中国结需要绳子；
（2）解：设学校编织m个A种中国结，则编织个B种中国结，根据题意：
解得：，
两种中国结共需要的绳子长度为：，
，
∴y随m的增大而增大，
∵m为正整数，
当时，有最小值为，
答：当编织A种中国结个时所需的总用绳量最少，最少用绳量是．
22．【答案】解：（1）16；24，
（2）设段解析式为，把代入，得
，
解得，
∴．
设段解析式为，把代入，得
，
解得，
∴．
解，得，
∴小宁出发多后，与小波相遇
（3）相遇前：
当时，，
，
∴，
解得．
相遇后：
，
解得．
综上可知，小宁出发小时或小时，两人相距．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）从景点甲到终点的2号观光车的速度是，
从终点返回的3号观光车的速度是．
故答案为：16；24；
【分析】（1）根据图象提供的信息，2号观光车从景点甲到达终点用时(4.5-2)小时，景点甲离终点的距离为40km，根据速度=路程÷时间计算即可；根据图象提供的信息，3号观光车从终点到达入口用时(4-1.5)小时，景点入口离终点的距离为60km，根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）利用待定系数法求出CD段和EF段的函数解析式，然后联立求解即可；
（3）首先判断出当x=2时，两人相距的距离小于30km， 然后分相遇前，由40减去小波距离终点得距离等于他们之间的距离建立方程，求解即可；相遇后，小波距离终点的距离-小宁距离终点的距离等于两人之间的距离建立方程，求解即可.
23．【答案】（1）解：因为 ，令x=0，则y=4，令y=0，则x=3，所以A(3，0)，B(0，4)，所以OA=3，OB=4.因为∠AOB=90°，所以由勾股定理得.因为将△ABC 沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处所以AD=AB=5，所以OD=2.设OC=x，则BC=DC=4-x.在Rt△OCD中，由勾股定理得，解得x=2所以c(0， ).
（2）(-2，0)或(2，3)或
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；全等三角形中对应边的关系；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：(2)设直线 CD 的表达式为y= kx+b(k≠0).
将C点坐标 代入得
再将D点坐标(-2，0)代入 解得
所以直线CD的表达式为
因为将△ABC沿AC翻折，点 B 恰好落在x轴上的点 D 处，所以BC=CD，∠ABO=∠CDO.
因为
所以
由(1)得
①当点 D 与P 重合，点Q 与O 重合时，易知 此时P(-2，0).
②由①易知BE=2，CE= 如图(1)，
当
即点Q 的纵坐标为 时，
所以 解得
所以
所以
③如图(2)，当PQ=BE=2，
时， 所以 所以 所以P(2，3).
综上，点P 的坐标为(-2，0)或(2，3)或
故答案为(-2，0)或(2，3)或
【分析】（1）求出点A，B的坐标，然后根据勾股定理求出AB的长，再根据翻折的性质得到AD=AB=5，进而根据勾股定理解答即可；
(2)首先求出直线 CD的表达 式，证 分①点 D与 P，点 Q 与O重合；②CQ= ③PQ=BE=2， = 三种情况讨论，再分别求出点 P 的坐标即可.
24．【答案】或
【知识点】全等三角形中对应边的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在直线：上，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，当时，，解得，
点坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
以点为顶点的三角形与全等，
当时，如图所示，
此时，且，
，即，
点的横坐标为3，纵坐标为4，
点的坐标为：；
当时，如图所示，
此时，，
，
点的横坐标为4，纵坐标为3，
点的坐标为：，
综上所述：点的坐标为或．
故答案为：或.
【分析】把点的坐标代入关系式，可求得的解析式为，然后计算的长，再分为或两种情况进行分类讨论解题即可．
25．【答案】（1）解：当x=0时，y=4，∴C（0，4）；
当y=0时，-2x+4=0，解得，
∴A（2，0）；
∴A（2，0）；C（0，4）．
（2）解：由折叠知：．
设则，
根据题意得：解得：
此时，，D（2，）
设直线CD为，把代入得 解得：
∴设直线CD解析式为；
（3）解：①当点P与点O重合时，，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由得，
则点P在直线CD上．过P作于点Q，
在Rt△ADP中，
由得：
∴
∴，把代入得
此时P（，）
③当点P在第二象限时，如图，
由（2）同理可求得：
∴在Rt△PQC中，根据勾股定理
∴
此时
综合得，满足条件的点P有三个，分别为：（0，0）；（）；（－）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据x、y轴上点的特点求得A和C的坐标；
（2）由折叠可得，再根据勾股定理可求出AD长，然后得到D点坐标，最后利用待定系数法求出CD的解析式；
（3）分为 点P与点O重合 ，点P在第一象限，点P在第二象限三种情况，根据全等三角形的判定和勾股定理得到点P的坐标即可．
26．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：由图象可知直线经过，两点，
∴根据题意得：，
解得：，
则这个函数的表达式是：，
故答案为：C．
【分析】根据图象得到点的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可．
27．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由一次函数与直线平行，可设一次函数的表达式为，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为，
故答案为：．
【分析】由一次函数与直线平行，得k=2，可设一次函数的表达式为，把点代入计算即可求解．
28．【答案】（1）解：设一次函数解析式为，
根据题意得，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：把代入得，即n-m=3
所以-m+n+2025=n-m+2025=3=2025=2028.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）中的解析式可得n-m=3，从而整体代入待求式子，根据有理数加法法则计算可得答案.
（1）解：设一次函数解析式为，
根据题意得，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：把代入得，
所以
29．【答案】（1）解：设一次函数的表达式为，
把点和点代入，得：
，
解得：，
所以该函数的表达式为
（2）解：将代入得，
，
所以点P不在该函数的图象上
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设一次函数的表达式为，将点M、N的坐标分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）将点代入（1）中所求函数解析式进行验证即可．
（1）解：设一次函数的表达式为，
把点和点代入，得：
，
解得：，
所以该函数的表达式为．
（2）解：将代入得，
，
所以点P不在该函数的图象上．
30．【答案】（1）解：将，代入，得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：将，代入，得
，
解得
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将，两点的坐标代入（1）中的解析式求出值即可．
（1）解：将，代入，得
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：将，代入，得
，
解得．
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