浙教版数学八年级下册第2章 一元二次方程 培优检测卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2025八下·杭州期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八下·柯桥开学考）方程的二次项系数、一次项系数，常数项分别为（ ）
A．3，5，7 B．3，， C．3，，7 D．3，5，
3．（2025八下·江北期末）用配方法解方程x2+4x-10=0时，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x-2）2=12 B．（x+2）2=12 C．（x-2）2=14 D．（x+2）2=14
4．（2025八下·柯桥月考）方程（x－2）2=4（x-2）（ ）
A．4 B．－2 C．4或－6 D．6或2
5．（2025八下·义乌期中）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
6．（2024八下·金东期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（ ）.
A． B．
C． D．
7．（2023八下·义乌月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
8．（2025八下·杭州月考）关于x的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根x=（ ）
A．2024 B． C．-2024 D．
9．（2025八下·诸暨期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（ ）
A．-4 B．4 C．7 D．-7
10．（2025八下·新昌期末） 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题(每题3分,共18分)
11．（2025八下·鄞州期末）关于x的一元二次方程x2+5x-2p=0的一个根为2，则p的值是 .
12．（2024八下·南浔期中）已知一元二次方程有一个根为1，则另一个根为 ．
13．（2025八下·长兴期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
14．（2025八下·杭州期末）已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程 .
15．（2025八下·北仑期末） 若t是方程的一个根，则的值为 ．
16．（2025八下·嘉兴期末） 如图，正方形 ABCD 的边长为 13，以 BC 为斜边向内作，，， 于点 E，连结 DE.若 ，则 的面积为 .
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．（2025八下·义乌月考） 解方程：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·浙江月考）甲、乙两位同学解方程的过程如下框：
甲： 两边同除以得： 则 （ ） 乙： 移项得 提公因式 则或 （ ）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．
19．（2024八下·诸暨期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值．
20．（2025八下·兰溪期末）五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少.据统计，5月1日的游客人数为1.5万人，5月3月的游客人数为2.16万人.
（1）求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率；
（2）5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？
21．（2025八下·温州期末）已知一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值．
（2）当时，求证：方程有两个实数根．
22．（2025八下·义乌月考）已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
23．（2025八下·永康期末）用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
24．（2025八下·杭州期中）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.当a=0时，2ax2+x+1=0不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.，分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C.xy+x=0中未知数x的最高次数是1，不是关于x一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.x2+x=0是关于x一元二次方程，故本选项符合题意；
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程3x2=5x+7转化为一般形式为3x2-5x-7=0，
其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-5，-7，
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）”其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此移项将原方程化为一般形式，可求解.
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2+4x-10=0，
移项得，x2+4x=10，
配方得，x2+4x+4=10+4，
即 （x+2）2=14 .
故答案为：D.
【分析】先移项，再根据完全平方式配方，即可求得.
4．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x-2)2=4(x-2)，
移项，得(x-2)2-4(x-2)=0，
整理，得(x-2)(x-2-4)=0.
∴x-2=0或x-6=0.
∴x1=2，x2=6.
故答案为：D.
【分析】将方程右边移到左边，整理后提取公因式(x-2)，再利用零乘积定理求解.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程，
，，，
，
∴关于一元二次方程 没有实数根.
故答案为：C.
【分析】根据所给的一元二次方程，通过求出判别式，根据其符号判断根的情况.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，
可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
则k的取值范围是且，
故答案为：B．
【分析】利用已知可得到b2-4ac≥0且 k-1≯0，据此可得到关于k的不等式组 ，然后求出不等式组的解集可得到k的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)一个实数根为2024，
∴20242a+2024b+c=0，
∴
∴
∴是方程cx2+bx+a=0的实数根，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的定义：将x=2024代入方程ax2+bx+c=0中，再两边同时除以2024，可得结论.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x2-7x-4m2=0；
∴由韦达定理得，；
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程，根据韦达定理，两根之和，代入系数即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知ax2-ax+c=0没有实数根，
∴Δ=(-a)2-4ac=a2-4ac=a(a-4c)<0，
∴当a>0时，a-4c<0，
当a<0时，a-4c>0，
故答案为：D.
【分析】一元二次方程没有实数根的条件是判别式Δ<0，通过计算判别式并分析其符号，结合选项中的条件确定正确选项.
11．【答案】7
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入 x2+5x-2p=0可得，4+10-2p=0，
∴ p=7.
故答案为：7.
【分析】将一元二次方程的根代入方程，即可求得.
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程另一个根为t，
由根与系数的关系得1×t=3，
解得，t=3.
故答案为：3.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数可得，据此建立方程，可求出方程的另一个根.
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：1．
【分析】
根据一元二次方程根的定义，将 代入原方程即可得到，再由根与系数的关系得，代入即可解答.
14．【答案】x(x+2)=143
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设较小的奇数为x，
根据题意得x(2+x)=143，
故答案为：x(x+2)=143.
【分析】设较小的奇数为x，那么较大的奇数为x+2，则这两个数的积是x(2+x)即可列出方程求得这两个奇数.
15．【答案】8
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：(t-1)(2t+1)=2t2+t-2t-1=2t2-t-1，
∵t是方程-2x2+x+9=0的根，
∴将x=t代入方程可得2t2-t=9，
把2t2-t=9代入2t2-t-1，可得9-1=8，
故答案为：8.
【分析】先将(t-1)(2t+1)展开化简，再利用已知方程-2x2+x+9=0（因为t是方程的根，所以-2t2+t+9=0，变形得到2t2-t=9)进行整体代入求值.
16．【答案】72
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥AE，
易证△AEB≌△BFC，且△AEB≌△DMA，
不妨假设BF=AE=DM=a，FC=BE=b，
∴EF=BF-BE=a-b=7，
又∵∠AEB=90°，
∴a2+b2=132=169，
解方程组，
解得，
∴AE=MD=12，
又∵MD⊥AE，
∴.
故答案为：72 .
【分析】作DM⊥AE于点M，得到△AEB与△BFC与△DMA均全等，从而BF-BE=5，BE2+AE2=132，可以解得AE=BF=MD=12，又MD⊥AE，进而可以表示的面积.
17．【答案】（1）解： ，变形为（x+5）（x-4）=0
∴，
（2）解：x=
∴，
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】本题考查求解一元一次方程和一元二次方程，需要利用因式分解和求根公式。
（1）先提取公因式x-4，此时可以将原方程因式分解，即可求出x的两个值；
（2）利用求根公式x=，将a=1、b=4、c=-1代入即可计算出x的两个值。
18．【答案】解：（×） （×）
解答如下：
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】甲同学两边同时除以(x-2)，没有考虑x-2=0的情况，因此错了；乙同学提公因式时去括号时括号前面是负号，去括号未变号，因此错了.
19．【答案】（1）解：∵方程 有两个实数根，
∴
∴，
答：的取值范围为：.
（2）解：根据题意可得：
，，
又∵
∴6+2m=0
∴m=-3，且-3＞-9，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用判别式判断方程有实数根的条件，建立不等式求解m的范围；
（2）根据一元二次方程中根与系数的关系可得：，，结合已知条件即可得到关于的一元一次方程，求解即可，注意验证结果是否满足（1）题条件．
（1）解：根据题意得：
，
解得：，
即的取值范围为：；
（2）解：根据题意得：
，，
，
，
解得：（符合题意），
即的值为．
20．【答案】（1）解：设增长率为x，则 1.5(1+x)2=2.16
解得：x1=0.2，x2=-2.2 （舍去）
∴日平均增长率为20%。
（2）解：设平均每天游客人数为m人，则
2m≤(1.5+1.5×1.2+2.16)
解得：m≤0.91
∴平均每天游客人数不超过0.91万人
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】(1)设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为x，利用5月3日的游客人数=5月1日的游客人数 月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天是m万人，根据5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的 可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论.
21．【答案】（1）解：∵ 方程的一个根为2 ，
把代入一元二次方程中，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）把代入方程，变形得到，然后代入求解即可；
（2）将变形得到，然后由判别式b2-4ac≥0即可证明．
（1）把代入，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
22．【答案】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k）
＝4k2+4k+1﹣16k+8，
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根
（2）解：①当b＝c时，Δ＝（2k﹣3）2＝0，
解得k，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，
∵2+2＝4，
∴此种情况不成立；
②当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k）＝0，
解得：k，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，
即三边为4，4，2，能够成三角形，
则周长＝4+4+2＝10，
所以这个等腰三角形的周长是10
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)先计算判别式的值得到Δ=4k2-12k+9，配方得到Δ=(2k-3)2，根据非负数的性质易得Δ≥ 0，则根据判别式的意义即可得到结论；
(2)分类讨论：当b=c时，则Δ=(2k-3)2=0，解得，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符合条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k的值，则代入方程可解答.
23．【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
24．【答案】（1）
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，解得：；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
∴的值为2．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
【分析】（1）利用“最值码”定义求解．
（2）利用 “全整根伴侣方程” 定义可得，转化为关于a的方程求解．
（3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值．
（1）解：在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
故的值为2．
1 / 1浙教版数学八年级下册第2章 一元二次方程 培优检测卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2025八下·杭州期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.当a=0时，2ax2+x+1=0不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.，分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C.xy+x=0中未知数x的最高次数是1，不是关于x一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.x2+x=0是关于x一元二次方程，故本选项符合题意；
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程.
2．（2021八下·柯桥开学考）方程的二次项系数、一次项系数，常数项分别为（ ）
A．3，5，7 B．3，， C．3，，7 D．3，5，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：方程3x2=5x+7转化为一般形式为3x2-5x-7=0，
其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-5，-7，
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）”其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此移项将原方程化为一般形式，可求解.
3．（2025八下·江北期末）用配方法解方程x2+4x-10=0时，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x-2）2=12 B．（x+2）2=12 C．（x-2）2=14 D．（x+2）2=14
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2+4x-10=0，
移项得，x2+4x=10，
配方得，x2+4x+4=10+4，
即 （x+2）2=14 .
故答案为：D.
【分析】先移项，再根据完全平方式配方，即可求得.
4．（2025八下·柯桥月考）方程（x－2）2=4（x-2）（ ）
A．4 B．－2 C．4或－6 D．6或2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x-2)2=4(x-2)，
移项，得(x-2)2-4(x-2)=0，
整理，得(x-2)(x-2-4)=0.
∴x-2=0或x-6=0.
∴x1=2，x2=6.
故答案为：D.
【分析】将方程右边移到左边，整理后提取公因式(x-2)，再利用零乘积定理求解.
5．（2025八下·义乌期中）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程，
，，，
，
∴关于一元二次方程 没有实数根.
故答案为：C.
【分析】根据所给的一元二次方程，通过求出判别式，根据其符号判断根的情况.
6．（2024八下·金东期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，
可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程．
7．（2023八下·义乌月考）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
则k的取值范围是且，
故答案为：B．
【分析】利用已知可得到b2-4ac≥0且 k-1≯0，据此可得到关于k的不等式组 ，然后求出不等式组的解集可得到k的取值范围.
8．（2025八下·杭州月考）关于x的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根x=（ ）
A．2024 B． C．-2024 D．
【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)一个实数根为2024，
∴20242a+2024b+c=0，
∴
∴
∴是方程cx2+bx+a=0的实数根，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的定义：将x=2024代入方程ax2+bx+c=0中，再两边同时除以2024，可得结论.
9．（2025八下·诸暨期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（ ）
A．-4 B．4 C．7 D．-7
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x2-7x-4m2=0；
∴由韦达定理得，；
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程，根据韦达定理，两根之和，代入系数即可得出答案.
10．（2025八下·新昌期末） 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知ax2-ax+c=0没有实数根，
∴Δ=(-a)2-4ac=a2-4ac=a(a-4c)<0，
∴当a>0时，a-4c<0，
当a<0时，a-4c>0，
故答案为：D.
【分析】一元二次方程没有实数根的条件是判别式Δ<0，通过计算判别式并分析其符号，结合选项中的条件确定正确选项.
二、填空题(每题3分,共18分)
11．（2025八下·鄞州期末）关于x的一元二次方程x2+5x-2p=0的一个根为2，则p的值是 .
【答案】7
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入 x2+5x-2p=0可得，4+10-2p=0，
∴ p=7.
故答案为：7.
【分析】将一元二次方程的根代入方程，即可求得.
12．（2024八下·南浔期中）已知一元二次方程有一个根为1，则另一个根为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程另一个根为t，
由根与系数的关系得1×t=3，
解得，t=3.
故答案为：3.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数可得，据此建立方程，可求出方程的另一个根.
13．（2025八下·长兴期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：1．
【分析】
根据一元二次方程根的定义，将 代入原方程即可得到，再由根与系数的关系得，代入即可解答.
14．（2025八下·杭州期末）已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程 .
【答案】x(x+2)=143
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设较小的奇数为x，
根据题意得x(2+x)=143，
故答案为：x(x+2)=143.
【分析】设较小的奇数为x，那么较大的奇数为x+2，则这两个数的积是x(2+x)即可列出方程求得这两个奇数.
15．（2025八下·北仑期末） 若t是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】8
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：(t-1)(2t+1)=2t2+t-2t-1=2t2-t-1，
∵t是方程-2x2+x+9=0的根，
∴将x=t代入方程可得2t2-t=9，
把2t2-t=9代入2t2-t-1，可得9-1=8，
故答案为：8.
【分析】先将(t-1)(2t+1)展开化简，再利用已知方程-2x2+x+9=0（因为t是方程的根，所以-2t2+t+9=0，变形得到2t2-t=9)进行整体代入求值.
16．（2025八下·嘉兴期末） 如图，正方形 ABCD 的边长为 13，以 BC 为斜边向内作，，， 于点 E，连结 DE.若 ，则 的面积为 .
【答案】72
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥AE，
易证△AEB≌△BFC，且△AEB≌△DMA，
不妨假设BF=AE=DM=a，FC=BE=b，
∴EF=BF-BE=a-b=7，
又∵∠AEB=90°，
∴a2+b2=132=169，
解方程组，
解得，
∴AE=MD=12，
又∵MD⊥AE，
∴.
故答案为：72 .
【分析】作DM⊥AE于点M，得到△AEB与△BFC与△DMA均全等，从而BF-BE=5，BE2+AE2=132，可以解得AE=BF=MD=12，又MD⊥AE，进而可以表示的面积.
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．（2025八下·义乌月考） 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解： ，变形为（x+5）（x-4）=0
∴，
（2）解：x=
∴，
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】本题考查求解一元一次方程和一元二次方程，需要利用因式分解和求根公式。
（1）先提取公因式x-4，此时可以将原方程因式分解，即可求出x的两个值；
（2）利用求根公式x=，将a=1、b=4、c=-1代入即可计算出x的两个值。
18．（2024八下·浙江月考）甲、乙两位同学解方程的过程如下框：
甲： 两边同除以得： 则 （ ） 乙： 移项得 提公因式 则或 （ ）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：（×） （×）
解答如下：
或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】甲同学两边同时除以(x-2)，没有考虑x-2=0的情况，因此错了；乙同学提公因式时去括号时括号前面是负号，去括号未变号，因此错了.
19．（2024八下·诸暨期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值．
【答案】（1）解：∵方程 有两个实数根，
∴
∴，
答：的取值范围为：.
（2）解：根据题意可得：
，，
又∵
∴6+2m=0
∴m=-3，且-3＞-9，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用判别式判断方程有实数根的条件，建立不等式求解m的范围；
（2）根据一元二次方程中根与系数的关系可得：，，结合已知条件即可得到关于的一元一次方程，求解即可，注意验证结果是否满足（1）题条件．
（1）解：根据题意得：
，
解得：，
即的取值范围为：；
（2）解：根据题意得：
，，
，
，
解得：（符合题意），
即的值为．
20．（2025八下·兰溪期末）五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少.据统计，5月1日的游客人数为1.5万人，5月3月的游客人数为2.16万人.
（1）求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率；
（2）5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？
【答案】（1）解：设增长率为x，则 1.5(1+x)2=2.16
解得：x1=0.2，x2=-2.2 （舍去）
∴日平均增长率为20%。
（2）解：设平均每天游客人数为m人，则
2m≤(1.5+1.5×1.2+2.16)
解得：m≤0.91
∴平均每天游客人数不超过0.91万人
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】(1)设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为x，利用5月3日的游客人数=5月1日的游客人数 月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天是m万人，根据5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的 可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论.
21．（2025八下·温州期末）已知一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值．
（2）当时，求证：方程有两个实数根．
【答案】（1）解：∵ 方程的一个根为2 ，
把代入一元二次方程中，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）把代入方程，变形得到，然后代入求解即可；
（2）将变形得到，然后由判别式b2-4ac≥0即可证明．
（1）把代入，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
22．（2025八下·义乌月考）已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【答案】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k）
＝4k2+4k+1﹣16k+8，
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根
（2）解：①当b＝c时，Δ＝（2k﹣3）2＝0，
解得k，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，
∵2+2＝4，
∴此种情况不成立；
②当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k）＝0，
解得：k，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，
即三边为4，4，2，能够成三角形，
则周长＝4+4+2＝10，
所以这个等腰三角形的周长是10
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)先计算判别式的值得到Δ=4k2-12k+9，配方得到Δ=(2k-3)2，根据非负数的性质易得Δ≥ 0，则根据判别式的意义即可得到结论；
(2)分类讨论：当b=c时，则Δ=(2k-3)2=0，解得，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符合条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k的值，则代入方程可解答.
23．（2025八下·永康期末）用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
24．（2025八下·杭州期中）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，解得：；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
∴的值为2．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
【分析】（1）利用“最值码”定义求解．
（2）利用 “全整根伴侣方程” 定义可得，转化为关于a的方程求解．
（3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值．
（1）解：在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
故的值为2．
1 / 1
