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题型突破01 二次根式 （8大题型）
目录：
一、二次根式的定义
二、二次根式有意义的条件
三、二次根式的性质与化简
四、最简二次根式
五、二次根式的乘除法
六、二次根式的加减法
七、二次根式的混合运算
八、二次根式的应用
一．二次根式的定义（共3小题）
1．（2025秋 呈贡区校级期末）下面是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次根式是指根指数为2的根式，且被开方数非负数．
【解答】解：A、为分数，不是二次根式，选项不符合题意；
B、的根指数为3，不符合题意；
C、根指数为2且被开方数是非负数，选项符合题意；
D、被开方数为﹣4＜0，在实数范围内无意义，不符合题意．
故选：C．
2．（2025秋 公主岭市期末）若是二次根式，则a的值不能是（ ）
A． B．3.14 C．﹣2 D．0
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义得出a≥0，由此判断即可．
【解答】解：若是二次根式，则a≥0，
所以a的值不能是﹣2，
故选：C．
3．（2025秋 遂宁校级期中）给出下列式子：①；②；③；④．其中一定是二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】要判断哪些式子是二次根式，需根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，依次分析每个式子是否符合该定义即可．
【解答】解：①，根指数是3，是三次根式，不是二次根式，不符合题意；
②，根指数为2，其被开方数2≥0，符合二次根式定义，符合题意；
③，根指数为2，其被开方数9≥0，符合二次根式定义，符合题意；
④，根指数为2，其被开方数x2≥0，符合二次根式定义，符合题意．
故选：C．
二．二次根式有意义的条件（共6小题）
4．（2025秋 九台区期末）式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ）
A．﹣3 B．0 C．4 D．6
【答案】D
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此即可求得答案．
【解答】解：式子在实数范围内有意义，
则a﹣5≥0，
解得：a≥5，
则只有6符合题意，
故选：D．
5．（2025秋 安宁区校级期末）若，则代数式xy的值为（ ）
A．4 B． C．﹣4 D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，列出关于x的不等式组，通过解不等式组求得x的值，从而求得y值．将其代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：根据题意，得
，
解得x，
∴y＝﹣2；
∴xy4．
故选：A．
6．（2025秋 黄浦区校级月考）若和（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（ ）
A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件得到﹣xy＞0且x﹣y≥0，则﹣xy＞0得到x、y异号，然后根据x≥y得到x、y的取值范围．
【解答】解：根据题意得﹣xy＞0且x﹣y≥0，
解得x＞0，y＜0．
故选：C．
7．（2025秋 南通校级期末）若代数式有意义，则x的取值范围是 x＜3 ．
【答案】x＜3．
【分析】根据分式和二次根式的定有意义的条件列出不等式，即可得到答案．
【解答】解：代数式有意义的x的取值范围是3﹣x＞0，
解得x＜3，
故答案为：x＜3．
8．（2025秋 洪雅县期中）若实数a和b满足，则a﹣b的算术平方根是 ．
【答案】．
【分析】先根据二次根式有意义的条件可得：，解得：，由此得a＝4，b+2＝0，即可求出b＝2，把a，b的值代入a﹣b求值，最后求算术平方根即可．
【解答】解：由二次根式有意义的条件，可得，
解得：，
∴a＝4．
∴，
∴b+2＝0，
∴b＝﹣2，
∴a﹣b＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
∴6的算术平方根是，即a﹣b的算术平方根是．
故答案为：．
9．（2024秋 衡阳县期末）若x、y均为实数，且，求的平方根．
【答案】±2．
【分析】根据被开方数是非负数可求x，进一步求出y，再代入计算即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
∴2y﹣1＝0，
∴，
∴，
∵4的平方根是±2，
∴的平方根为±2．
三．二次根式的性质与化简（共10小题）
10．（2025 如皋市校级自主招生）根式的值为（ ）
A．﹣3 B．9 C．3 D．﹣9
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故选：C．
11．（2025秋 普陀区期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质、绝对值的定义逐个选项判断即可．
【解答】解：A、a，原计算错误，不符合题意；
B、±a，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、a+b，原计算错误，不符合题意，
故选：C．
12．（2025春 抚宁区期末）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为2，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】C
【分析】根据题意列式计算后估算其大小，然后确定其在数轴上的位置即可．
【解答】解：若“勾”为2，“股”为3，
则，
∵9＜13＜16，
∴34，
则“弦”在如图所示数轴上可表示在C点，
故选：C．
13．（2025秋 高新区校级月考）已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（ ）
A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a
【答案】B
【分析】先根据数轴判断出a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简．
【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，
∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a，
故选：B．
14．（2025秋 静安区校级期末）化简： ．
【答案】．
【分析】，据此求解即可．
【解答】解：∵a3b＝a2 ab≥0，a2≥0，
∴ab≥0，
∴．
故答案为：．
15．（2025秋 闵行区校级月考）化简二次根式（a﹣1） ．
【答案】．
【分析】先由得a＜1，从而确定a﹣1的符号；再将a﹣1变形为负的形式，移到根号内进行化简．
【解答】解：根据题意可知，，
∴1﹣a＞0，即a＜1，
∴a﹣1＜0．
原式．
故答案为：．
16．（2024秋 怀化期末）若，则a的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据二次根式的性质得到3﹣2a≥0，据此求解即可．
【解答】解：根据二次根式的性质可知：3﹣2a≥0，
解得，
故答案为：．
17．（2025秋 顺义区校级期中）实数a、b、c在数轴上对应点如图．
（1）化简： 2﹣c ， ﹣0.5﹣b ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．
【分析】（1）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2，再根据有理数的加减法则判断2﹣c和0.5+b的正负，最后根据二次根式的性质化简即可；
（2）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2，再根据有理数的加减法则判断c﹣a和b﹣c的正负，最后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2，
∴2﹣c＞0，0.5+b＜0，
∴，
故答案为：2﹣c，﹣0.5﹣b；
（2）观察数轴可知：a＜﹣1＜b＜﹣0.5＜0＜1＜c＜2，
∴c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴
＝﹣a﹣（c﹣a）+c﹣b
＝﹣a﹣c+a+c﹣b
＝﹣b．
18．（2024秋 新宁县期末）同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如；，下面我们观察：，反之，，∴，∴．根据以上材料，求：
（1）；
（2）；
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
【分析】（1）将5拆分为2+3，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（2）将4拆分为3+1，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式1；
（3）m+n＝a，mn＝b，
理由：
∵，
∴，
∴，
∴m+n＝a，mn＝b．
19．（2025秋 赣州月考）阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索：
设（其中x，y，m，n均为正整数），则有，
∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x，y，m、n均为正整数且时，请用含m、n的式子分别表示x，y：x＝m2+5n2 ；y＝ 2mn ；
（2）若，且x，m，n均为正整数，求x的值；
（3）①填空： 1 ；
②化简：．
【分析】（1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可；
（2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可；
（3）①根据完全平方公式进行求解即可；
②根据完全平方公式进行求解即可．
【解答】解：（1），
∴x＝m2+5n2，y＝2mn；
故答案为：m2+5n2，2mn；
（2），
∴x＝m2+3n2，4＝2mn，
∴mn＝2，
∵m，n均为正整数，
∴当m＝1时，n＝2，
此时，x＝m2+3n2＝1+3×4＝13；
当m＝2时，n＝1；
此时，x＝m2+3n2＝4+3×1＝7；
∴x＝7或x＝13；
（3）①；
故答案为：1；
②
．
四．最简二次根式（共8小题）
20．（2025秋 长春期末）下列式子中，是最简二次根式的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【解答】解：A.是最简二次根式，故不符合题意；
B.不是最简二次根式，故符合题意；
C.10不是最简二次根式，故符合题意；
D.不是最简二次根式，故符合题意．
故选：A．
21．（2024秋 上海校级期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式，依据此两项要求进行判断即可．
【解答】解：A、不是最简二次根式，不符合题意；
B、不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
22．（2025春 玉溪期末）请写出一个能与合并的最简二次根式 （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】将化简，写出与它被开方数相同的最简二次根式即可．
【解答】解：能与合并的最简二次根式为．
故答案为：．
23．（2025秋 梅县区期中）下列各式中是最简二次根式的有 1 个．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【解答】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
2，不是最简二次根式；
则只有是最简二次根式．
故答案为：1．
24．（2025秋 灯塔市期中）若最简二次根式与相等，则a＝ 1 ．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式的定义得到a+1＝2，2a+5＝4a+3b，然后解关于a、b的方程组即可．
【解答】解：根据题意得a+1＝2，2a+5＝4a+3b，
所以a＝1，b＝1．
故答案为1．
25．（2025秋 五华县期中）若是最简二次根式，则整数a的最小值为 2 ．
【答案】2．
【分析】先根据二次根式的定义得出：3a﹣4≥0，解得：，进而求出整数a的最小值．
【解答】解：∵是最简二次根式，
∴3a﹣4≥0，
解得：．
当a＝2时，，是最简二次根式，
∴整数a的最小值为2．
故答案为：2．
26．（2025春 利津县月考）化成最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据最简二次根式的性质进行计算，即可解答；
（2）根据最简二次根式的性质进行计算，即可解答；
（3）根据最简二次根式的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝6；
（2）
＝5a；
（3）
．
27．（2025春 莱阳市期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求代数式的值．
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得3x﹣1＝x+3，解得x的值后根据A+B＝C求得y的值，然后将其代入原式计算即可．
【解答】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且A+B＝C，
则3x﹣1＝x+3，
解得：x＝2，
那么A，B＝3，
则A+B＝4，
那么7x+6y＝80，
即14+6y＝80，
解得：y＝11，
原式3．
五．二次根式的乘除法（共10小题）
28．（2025秋 长春期末）计算所得的结果是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘除法进行计算即可．
【解答】解：原式＝8．
故选：D．
29．（2025秋 南山区校级期中）已知a，b，用含a、b的代数式表示（ ）
A．a+b B．2a C．2b D．ab
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法法则即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴ab．
故选：D．
30．（2025秋 顺义区校级期中）下列运算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘除法则、分式的性质、二次根式的性质与化简分别计算判断即可．
【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、2，故此选项不符合题意；
故选：C．
31．（2025春 泰山区期中）已知x+y＝0，则化简的结果为（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
【答案】B
【分析】根据x+y＝0，可以得到y＝﹣x，即可得到x2＝y2，再根据利用平方差公式求解即可．
【解答】解：由条件可知y＝﹣x，即x2＝y2，利用平方差公式可得：
，
故选：B．
32．（2024秋 鼓楼区校级期末）若m＝20222﹣2021×2022，，，则m，n，k的大小关系是（ ）
A．m＜n＜k B．m＜k＜n C．n＜k＜m D．k＜n＜m
【答案】D
【分析】将各数进行化简，然后根据实数的大小比较法则即可求出答案．
【解答】解：m＝20222﹣2021×2022＝2022×（2022﹣2021）＝2022×1＝2022，
∵m＝2022，
∴，
∴n＜m，
∵n＝2021，
∴，
∴k＜n＜m．
故选：D．
33．（2025 广东一模）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算．
【解答】解：，
故答案为：．
34．（2024秋 武威期末）计算 ．
【答案】
【分析】先将原式变形（）2009（），再根据同底数幂乘法的逆运算即可．
【解答】解：原式（）2009（）
＝[（）（）]2009（）
＝（）．
故答案为（）．
35．（2025秋 浦东新区校级月考）等式成立的x的取值范围是 ﹣1＜x≤3 ．
【答案】﹣1＜x≤3．
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，列出不等式，进而得出答案．
【解答】解：∵3﹣x≥0且1+x＞0，
∴﹣1＜x≤3．
故答案为：﹣1＜x≤3．
36．（2024秋 双清区校级期末）小明在写作业时，不慎将墨水滴在作业上，有一道题的数据被沾染后看不清了，题目为：“当x＝▇时，．“小明查看答案发现该题的结果为，请你求出x的值，并说明理由．
【分析】利用二次根式的性质化简式子得到，根据题意可知，再分x﹣3＞0和x﹣3＜0两种情况解分式方程，求出x的值即可得出答案．
【解答】解：x的值为0，理由如下：
原式，
又∵，
∴当x﹣3＞0，即x＞3时，
则，
解得：x＝﹣3（舍去）；
当x﹣3＜0，即x＜3时，
则，
解得：x＝0；
综上所述，x的值为0．
37．（2025秋 滨江区校级期中）阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
① 8 ， 8 ；
② 15 ， 15 ；
推理：运用（1）中的结果可以得到：；；
（2）通过（1），完成下列问题：
①化简： ；
②化简： ．
【分析】（1）①利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
②利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
（2）利用得出的规律化简各式即可．
【解答】解：（1）①原式8，
原式＝2×4＝8．
②原式15，
原式＝3×5＝15．
故答案为：①8；8；②15；15；
（2）①；
②．
故答案为：①；②．
六．二次根式的加减法（共9小题）
38．（2025秋 公主岭市期末）若，则x的值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．15
【答案】B
【分析】根据加数＝和﹣另一个加数，列出算式求出，从而求出x即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴x＝3，
故选：B．
39．（2025秋 呈贡区校级期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝a B．（a3）2＝a5
C． D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【答案】A
【分析】根据整式的运算和二次根式的运算及幂的乘方、二次根式加减和完全平方公式逐项运算判断即可．
【解答】解：A：根据合并同类项的法则可知 3a﹣2a＝a，故A选项计算正确，符合题意；
B：根据幂的乘方的法则可知（a3）2＝a2×3＝a6，故B选项计算错误，不符合题意；
C：根据合并同类二次根式的法则可知，故C选项计算错误，不符合题意；
D：根据完全平方公式可知（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故D选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
40．（2025秋 岳阳楼区校级期中）有下列算式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②④ B．①③ C．③④ D．①④
【答案】A
【分析】根据二次根式的运算法则进行判断即可．
【解答】解：不是同类项，①计算错误；
，②计算正确；
，③计算错误；
，④计算正确，
故选：A．
41．（2025秋 榆树市校级期末）计算： ．
【答案】．
【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．
【解答】解：原式
，
故答案是：．
42．（2024秋 怀化期末）化简的结果为 ．
【答案】．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式加减运算．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
43．（2025秋 黄浦区校级月考）定义运算“*”的运算法则为a*b＝2，则18*32＝ ．
【答案】．
【分析】根据新定义运算，利用二次根式的加减运算求解即可．
【解答】解：由题意得，，
故答案为：．
44．（2025春 葫芦岛月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再算加减法即可；
（2）先去括号，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
＝（）+（）
．
45．（2025秋 周至县校级月考）计算：．
【分析】先根据去掉绝对值，再运算．
【解答】解：原式1...
1．
46．（2025秋 太和区期中）阅读下述解题过程：
例：若代数式的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案
（1）当2≤a≤5时，化简： 3 ；
（2）若等式成立，则a的取值范围是 3≤a≤7 ；
（3）若，求a的值．
【分析】（1）根据已知可得a﹣2≥0，a﹣5≤0，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案．
【解答】解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5），
＝a﹣2﹣a+5
＝3，
故答案为：3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3．
当3＜a＜7时，3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7．
当a≥7时，3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7．
综上，a的取值范围是3≤a≤7，
故答案为：3≤a≤7；
（3）由题意得，，
∴当a≤﹣1时，a+1≤0，a﹣5＜0，
∴，
∴．
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5，不符合题意；
当a≥5时，a+1＞0，a﹣5≥0，
∴，
∴．
综上，或．
七．二次根式的混合运算（共8小题）
47．（2025秋 朝阳区期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的相关运算法则计算各式并判断即可．
【解答】解：，则A不符合题意，
，则B不符合题意，
，则C不符合题意，
，则D符合题意，
故选：D．
48．（2025秋 静安区校级期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性．
【解答】解：根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算逐项分析判断如下：
①，正确，不符合题意；
②，正确，不符合题意；
③，正确，不符合题意；
④，错误，符合题意；
故选：A．
49．（2025秋 重庆校级月考）估计的值在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间
C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【分析】先通过二次根式的乘法法则进行化简，然后通过估算无理数的大小的方法解答即可．
【解答】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴的值在10和11之间，
故选：C．
50．（2025秋 市中区校级月考）阅读下列解题过程：
；
；
观察上面解题过程，的值为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】根据材料中的分母有理化方法计算即可得到答案．
【解答】解：原式
，
故选：B．
51．（2024秋 威远县校级期末）计算的结果为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可．
【解答】解：原式
，
故选：A．
52．（2025秋 常德校级期中）学习小组设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽 B．小红和小亮
C．小明和小亮 D．小丽和小红
【答案】D
【分析】利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可．
【解答】解：根据二次根式的运算法则逐步进行判断如下：
由可得，小丽出现错误；
由可得小红出现错误；
出现错误的是小丽和小红．
故选：D．
53．（2025秋 朝阳区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据乘法分配律计算，再算加减法即可；
（2）先化简，然后计算加减法即可．
【解答】解：（1）
＝3﹣22
＝3；
（2）
＝243
．
54．（2025秋 浑南区期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用立方根的定义，二次根式及绝对值的性质计算后再算加减即可；
（2）利用完全平方公式展开后再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣（2）﹣（1）+3
＝32﹣13
＝7；
（2）原式＝3+48﹣3+48
＝8．
八．二次根式的应用（共6小题）
55．（2025秋 灯塔市期中）三角形的一边长是cm，这边上的高是cm，则这个三角形的面积是（ ）
A．6cm2 B．3cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】B
【分析】直接利用：三角形的面积一边的长×这边上的高，计算面积．
【解答】解：这个三角形的面积为 3 cm2．
故选：B．
56．（2024秋 遂宁期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从50m高空抛物到落地所需时间为t1．从100m高空抛物到落地所需时间为t2，则t2：t1的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】将h＝50代入进行计算即可；将h＝100代入进行计算，再计算t2与t1的比值即可得出结论．
【解答】解：当h＝50时，（秒）；
当h＝100时，（秒）；
，
故选：C．
57．（2025秋 上海校级期中）不等式的解集为 ．
【答案】．
【分析】根据无理数的运算，移项、合并同类项，并有理化分母，按步骤依次计算即可．
【解答】解：原不等式移项得，
合并同类项得，
由于，
两边同时除以 得：，
有理化分母得，
故解集为．
故答案为：．
58．（2025秋 成华区校级期中）北师大版八年级（上）数学教材指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式），请选择合适的公式解决以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是，这个三角形的面积为 ；
（2）若一个三角形边长依次为5、6、7，这个三角形三条边上的高之和为 ．
【分析】（1）利用秦九韶公式计算即可；
（2）利用海伦公式求出三角形的面积，再利用三角形面积公式求出这个三角形三条边上的高，即可求解．
【解答】本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，理解题意是解题的关键．本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，理解题意是解题的关键．本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，理解题意是解题的关键．解：（1）由题意得，，，，
∴a2b2＝5×6＝30，a2+b2﹣c2＝5+6﹣7＝4，
∴这个三角形的面积；
故答案为：；
（2）由题意得，a＝5，b＝6，c＝7，
∴，
∴这个三角形的面积，
∴这个三角形三条边上的高之和为；
故答案为：．
59．（2025秋 朝阳区校级期末）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
【分析】（1）依据题意，先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可；
（2）依据题意，由矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可；
【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：，
∴，．
∴矩形ABCD木板的面积为．
（2）木工乙的想法可行，理由如下：
从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为，
∴裁出长为：，
由（1）得长方形ABCD的长为宽为，
∵4，6，，
∴，，
∴可以裁出所求的长方形木料．
∴木工乙的想法可行．
60．（2024秋 邯郸校级期末）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ．
那么便有：（a＞b），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．
∴，
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；
（2）．
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．
【分析】（1）根据模型，得m＝6，n＝5，进而求得a和b分别为1和，代入求解即可；
（2）将原式化为．根据模型，得m＝13，n＝40，进而求得a和b分别为和2，代入求解即可；
（3）根据勾股定理，求得BC边的长度，再根据模型化简即可．
【解答】解：（1）m＝6，n＝5．
∵1+5＝6，1×5＝5，
∴（）2+（）2＝6，，
∴1．
（2）∵．
∴m＝13，n＝40，
∵5+8＝13，5×8＝40，
∴（）2+（）2＝13，，
∴2．
（3）BC．
∵，
∴m＝16，n＝48，
∵4+12＝16，4×12＝48，
∴（）2+（）2＝16，，
∴BC22．
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题型突破01 二次根式（8大题型）
目录：
一、二次根式的定义
二、二次根式有意义的条件
三、二次根式的性质与化简
四、最简二次根式
五、二次根式的乘除法
六、二次根式的加减法
七、二次根式的混合运算
八、二次根式的应用
一．二次根式的定义（共3小题）
1．（2025秋 呈贡区校级期末）下面是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋 公主岭市期末）若是二次根式，则a的值不能是（ ）
A． B．3.14 C．﹣2 D．0
3．（2025秋 遂宁校级期中）给出下列式子：①；②；③；④．其中一定是二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．二次根式有意义的条件（共6小题）
4．（2025秋 九台区期末）式子在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ）
A．﹣3 B．0 C．4 D．6
5．（2025秋 安宁区校级期末）若，则代数式xy的值为（ ）
A．4 B． C．﹣4 D．
6．（2025秋 黄浦区校级月考）若和（x≠0，y≠0），两个二次根式有意义，则（ ）
A．x＞0，y＞0 B．x＜0，y＜0 C．x＞0，y＜0 D．x＜0，y＞0
7．（2025秋 南通校级期末）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
8．（2025秋 洪雅县期中）若实数a和b满足，则a﹣b的算术平方根是 ．
9．（2024秋 衡阳县期末）若x、y均为实数，且，求的平方根．
三．二次根式的性质与化简（共10小题）
10．（2025 如皋市校级自主招生）根式的值为（ ）
A．﹣3 B．9 C．3 D．﹣9
11．（2025秋 普陀区期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025春 抚宁区期末）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为2，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
13．（2025秋 高新区校级月考）已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（ ）
A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a
14．（2025秋 静安区校级期末）化简： ．
15．（2025秋 闵行区校级月考）化简二次根式（a﹣1） ．
16．（2024秋 怀化期末）若，则a的取值范围是 ．
17．（2025秋 顺义区校级期中）实数a、b、c在数轴上对应点如图．
（1）化简： ， ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．
18．（2024秋 新宁县期末）同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如；，下面我们观察：，反之，，∴，∴．根据以上材料，求：
（1）；
（2）；
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
19．（2025秋 赣州月考）阅读材料：
小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索：
设（其中x，y，m，n均为正整数），则有，
∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当x，y，m、n均为正整数且时，请用含m、n的式子分别表示x，y：x＝ ；y＝ ；
（2）若，且x，m，n均为正整数，求x的值；
（3）①填空： ；
②化简：．
四．最简二次根式（共8小题）
20．（2025秋 长春期末）下列式子中，是最简二次根式的有（ ）
A． B． C． D．
21．（2024秋 上海校级期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2025春 玉溪期末）请写出一个能与合并的最简二次根式 ．
23．（2025秋 梅县区期中）下列各式中是最简二次根式的有 个．
24．（2025秋 灯塔市期中）若最简二次根式与相等，则a＝ ．
25．（2025秋 五华县期中）若是最简二次根式，则整数a的最小值为 ．
26．（2025春 利津县月考）化成最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）．
27．（2025春 莱阳市期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求代数式的值．
五．二次根式的乘除法（共10小题）
28．（2025秋 长春期末）计算所得的结果是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
29．（2025秋 南山区校级期中）已知a，b，用含a、b的代数式表示（ ）
A．a+b B．2a C．2b D．ab
30．（2025秋 顺义区校级期中）下列运算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
31．（2025春 泰山区期中）已知x+y＝0，则化简的结果为（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
32．（2024秋 鼓楼区校级期末）若m＝20222﹣2021×2022，，，则m，n，k的大小关系是（ ）
A．m＜n＜k B．m＜k＜n C．n＜k＜m D．k＜n＜m
33．（2025 广东一模）计算： ．
34．（2024秋 武威期末）计算 ．
35．（2025秋 浦东新区校级月考）等式成立的x的取值范围是 ．
36．（2024秋 双清区校级期末）小明在写作业时，不慎将墨水滴在作业上，有一道题的数据被沾染后看不清了，题目为：“当x＝▇时，．“小明查看答案发现该题的结果为，请你求出x的值，并说明理由．
37．（2025秋 滨江区校级期中）阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
① ， ；
② ， ；
推理：运用（1）中的结果可以得到：；；
（2）通过（1），完成下列问题：
①化简： ；
②化简： ．
六．二次根式的加减法（共9小题）
38．（2025秋 公主岭市期末）若，则x的值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．15
39．（2025秋 呈贡区校级期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝a B．（a3）2＝a5
C． D．（a﹣1）2＝a2﹣1
40．（2025秋 岳阳楼区校级期中）有下列算式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②④ B．①③ C．③④ D．①④
41．（2025秋 榆树市校级期末）计算： ．
42．（2024秋 怀化期末）化简的结果为 ．
43．（2025秋 黄浦区校级月考）定义运算“*”的运算法则为a*b＝2，则18*32＝ ．
44．（2025春 葫芦岛月考）计算：
（1）；
（2）．
45．（2025秋 周至县校级月考）计算：．
46．（2025秋 太和区期中）阅读下述解题过程：
例：若代数式的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案
（1）当2≤a≤5时，化简： ；
（2）若等式成立，则a的取值范围是 ；
（3）若，求a的值．
七．二次根式的混合运算（共8小题）
47．（2025秋 朝阳区期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
48．（2025秋 静安区校级期末）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
49．（2025秋 重庆校级月考）估计的值在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间
C．10和11之间 D．11和12之间
50．（2025秋 市中区校级月考）阅读下列解题过程：
；
；
观察上面解题过程，的值为（ ）
A． B． C． D．10
51．（2024秋 威远县校级期末）计算的结果为（ ）
A． B． C．1 D．3
52．（2025秋 常德校级期中）学习小组设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽 B．小红和小亮
C．小明和小亮 D．小丽和小红
53．（2025秋 朝阳区校级期末）计算：
（1）；
（2）．
54．（2025秋 浑南区期末）计算：
（1）；
（2）．
八．二次根式的应用（共6小题）
55．（2025秋 灯塔市期中）三角形的一边长是cm，这边上的高是cm，则这个三角形的面积是（ ）
A．6cm2 B．3cm2 C．cm2 D．cm2
56．（2024秋 遂宁期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从50m高空抛物到落地所需时间为t1．从100m高空抛物到落地所需时间为t2，则t2：t1的值是（ ）
A． B． C． D．2
57．（2025秋 上海校级期中）不等式的解集为 ．
58．（2025秋 成华区校级期中）北师大版八年级（上）数学教材指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式），请选择合适的公式解决以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是，这个三角形的面积为 ；
（2）若一个三角形边长依次为5、6、7，这个三角形三条边上的高之和为 ．
59．（2025秋 朝阳区校级期末）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
60．（2024秋 邯郸校级期末）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ．
那么便有：（a＞b），
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．
∴，
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；
（2）．
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．
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