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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.3 一元二次方程根与系数的关系（选学）
【知识重点】
一、一元二次方程根与系数关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2= .（韦达定理）
二、一元二次方程根与系数关系的应用，概括有下面几种：
1．题目中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值；
2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值或求作方程；
3．把两个实数作为方程的两个根，求作方程；
4．不解方程判断两个根的符号.
【经典例题】
例题1、已知是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）若，求的值；
（2）若，求及的值．
【答案】（1）
（2），
例题2、已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为 ， 且 ， 求 的值．
【答案】（1）证明：由题意可知： △=[-（2m-2）]2-4（-2m）=4>0
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）解：
∴=-=10
或m=3.
例题3、已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
【答案】（1）解：∵方程
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：由两根关系得，
∵，
∴，
即
即
解得：；
例题4、已知等腰三角形的三边分别为m、n、4，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则p的值是（ ）
A．64 B．48 C．48或64 D．16或20
【答案】A
【解析】∵m、n是关于x的一元二次方程的两根，
∴m+n=16
∵等腰三角形的三边分别为m、n、4 ，
∴m=n=8，m或n=4不成立
∴p=mn=64
故答案为：A.
例题5、如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）根据上述定义，是“________倍根方程”；
（2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
（3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．
【答案】（1）四
（2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”，
可设这个方程的两个根分别为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设直线解析式为，把代入到中得，
∴，
∴直线解析式为；
∵一个五倍根方程的两个根为和，
∴，
∴点P的坐标为，
∴点P在直线上，
联立，解得，
联立，解得，
∵点在的内部（不包含边界），
∴．
【解析】（1）解：∵，
变形得到，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
故答案为：（1）四；
【基础训练】
1．已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，则m的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或3
【答案】A
【解析】 ∵方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2m-1 ，x1·x2=m2，
∴ (x1+1)(x2+1)=x1·x2+（x1+x2）+1=3，
即m2+2m-1+1=3，
解得m=-3或1，
当m=1时，方程为x2-x+1=0，此方程无实数根，
∴m=-3.
故答案为：A.
2．设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（ ）
A． B．4 C．7 D．
【答案】C
【解析】，是 方程的两个不同的实数根，
，，，
；
故答案为：C．
3． 已知x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为( )
A．9 B．9或11 C．13 D．9或13
【答案】A
【解析】可分为两种情况：①3为底边，则其它两边为腰长，可设 x1=x2=a，
根据根与系数的关系可得：，
解得：，
此时 △ABC周长为 3+3+3=9；
②3为腰长，则其它两边长为3和b，
根据根与系数的关系可得：，
解得：（舍去），
此时 △ABC周长为3+3+3=9.
故答案为：A .
4．若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，且x1=3x2 ，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】 ∵方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=8，
∵x1=3x2 ，
解得x1=6，x2=2，
∴m=x1·x2=6×2=12.
故答案为：C.
5．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】1
【解析】、是一元二次方程的两根，
．
故答案为：1．
【分析】利用一元二次方程根与系数，若x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，据此直接求解即可.
6．设x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则 .
【答案】1
【解析】由韦达定理可知
∴
故答案为：1.
7．若x=1是一元二次方程x2-6x+m=0的根，则方程的另一个根为 .
【答案】x=5
【解析】设方程的另一个根为m，
根据根与系数的关系得1＋m＝6，
解得m＝5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：x＝5．
8．已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】∵是的两个实数根，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
9．设，是方程的两个根，则 ．
【答案】26
【解析】由题意可得：
故答案为：26
10．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
11．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，是一元二次方程的两个根，且，求m的值．
【答案】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜，
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0，
∴m的值为﹣1．
12．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】（1）解：∵该方程有两个实数根，
∴，
解得．
即的取值范围是
（2）解：∵该方程的两个实数根，，
∴，，
∴，
化简得，
解得，
由（1）可知
∴k=5
【培优训练】
13．若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2025 B． C．2026 D．2029
【答案】C
【解析】是方程的两个实数根，，即，则．
故答案为：C．
14．已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（ ）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
【答案】D
【解析】∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
∴，解得，∴正根为1，
∵的另一个根为4，∴，∴，
∵方程有一个正根为1，设另一个根为m，∴则，
∴，∴另一个根为，
∴的两个根分别为1，，
故答案为：D．
15．若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为 .
【答案】4051
【解析】根据题意得：
∵α， β是方程 的两个实数根，
故答案为： 4051.
16．设关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵ 关于的方程有两个不相等的实数根
∴＞0，
∴ (-5a+2)(7a+2)＞0
∴，解得
或无解
∵
∴
即
∴ 9-（-）+1＜0
解得：
综上，a的取值范围是
故答案 为：.
17．已知 ， 且 ， 则 .
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴设m，为一元二次方程两个不相等的实数根，
∴，
∴.
故答案为：.
18．已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 。
【答案】11或9
【解析】∵该方程的根为整数，
∴，，
∴，
∴
，
∴和也是整数，
∴或或或或或或或，
∴代入，得到满足条件的正整数 m 的值为11或9，
故答案为：11或9.
19．若关于的一元二次方程有实数根，．
（1）实数的取值范围为 ；
（2）设，则的最小值是 ．
【答案】（1）k≤-1
（2）-6
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程有两实数根，
∴，
∴k≤-1，
∴实数k的取值范围为k≤-1．
（2）∵α、β为方程的两实数根，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴t的最小值为-6．
20．若，且，，则的值是 .
【答案】
【解析】，
∴，
.
把两边都除以，得.
，
，
，是方程的两个不相等的实数根，
.
故答案为：.
21．先阅读材料，再回答问题.
我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”.例如： 为可分解分式方程，可化为
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若 为可分解分式方程，则： x1= ，x2= .
（2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值.
（3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为x1、x2(k为实数)，且 求k的值.
【答案】（1）6；-2
（2）解：∵可分解分式方程 的两个解分别为
∴，
∵
∴
（3）解：方程 是可分解分式方程，
可化为
∵k为实数，不妨设
∴
(舍去)
【解析】 (1) ∵方程 是可分解分式方程，可化为 故答案为： 6， -2.(-2， 6亦可以)
22． 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
【答案】（1）③
（2）解：解方程得，
∵方程是“邻根方程”，
∴，
解得m=或，
故答案为：或；
（3）解：设，是一元二次方程的两个根 ，
∴，，，
∵，
∴4c=b2-1，
∴.
【解析】【解答】
解：(1)解①得，x1=1，x2=-1，，故不符合条件；
解②得：，，故不符合条件；
解③得：，，故符合条件；
故答案为：③
23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a+0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1=0(a、b是常数，a>0）是“邻根方程”，令t=8a-b2，试求t的最大值.
【答案】（1）解： ∵x2-x-6=0，
∴（x-3）（x+2）=0，
∴x1=3，x2=-2，
∵3≠-2+1，
∴x2-x-6=0不是“邻根方程”
（2）解： x2-（m-1）x-m=0，
（x-m）（x+1）=0，
∴x1=m，x2=-1，
∵方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m=-1+1或m=-1-1，
∴m=0或-2．
（3）解： 若关于x的方程ax2+bx+1=0 是邻根方程，则方程必有2个不同实根，则
设该方程的两根为x1，x2，且x1>x2
由韦达定理得
∴x1-x2==
∵a>0
∴
当a=2时取等号
∴t最大值=4
24．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程的解为_______________________；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】（1），，，
（2）或
（3）15
【解析】（1）
（x2-2）（x2-3）=0
，，，
（2）当≠时，+= ，=
=（+）2-2=
【期末常考】
25．已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，是方程的两个根，
∴，，
∴=，
故答案为：B．
26．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，．
，
，
，
，
．
故答案为：．
27．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值．
（2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值．
【答案】（1）解：根据题意得，
解得，；
即b的值为或；
（2）解：当时，方程化为，
根据根与系数的关系得，
所以．
【课后作业】
1． 已知 是方程 的两个实数根， 则
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】∵ 是方程 的两个实数根，
∴m+n=-2，mn=-5，m2+2m=5，
∴m2+2m-mn+m+n =5-（-5）-2=8.
故答案为：C。
2．已知是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
【答案】1
【解析】∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：1．
3． 已知m，n是方程x2+2x-3=0的两个根，则 .
【答案】
【解析】由题意，∵m，n是方程x2+2x-3=0的两个根，
∴m+n=-2，mn=-3
∴
故答案为：.
4．已知一个一元二次方程的二次项系数是 -2 ， 它的两根之和为 ， 两根之积为 2 ， 请写出这个方程：
【答案】-2x2+x-4=0
【解析】∵一元二次方程的两根之和为 ， 两根之积为 2 ，
∴当这个一元二次方程的二次项系数x为1时，此方程为x2-x+2=0，
∵且二次项系数为-2，
此方程为-2x2+x-4=0
故答案为：-2x2+x-4=0.
5． 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
【答案】（1）解：∵方程，，
∴，
∴，
解得．
（2）解：∵的两个实数根分别是，，且，
∴，
∵，
∴，
∵为符合条件的最小整数，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴或，
∴或（舍去），
故．
6．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
（3）若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
7．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根：
（2）若一元二次方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0满足|x1-x2|=2，求k的值.
【答案】（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1：
当k+1≠0，即k≠-1时，△=(3k-1)2-4(k+1)(2k-2)=k2-6k+9=(k-3)2 ≥0，
∴方程有实数根.
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根.
（2）解：，且，，
（其它方法亦可）
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故的值为-5或
8．已知关于x的方程
（1）求证：该方程总有两个实数根：
（2）记该方程的两个实数根为，，求代数式
（3）若，，比较M与N的大小.
【答案】（1）证明：
∴该方程总有两个实数根
（2）解：由韦达定理得：，
∴代求式为：
=
=0
（3）解：
代入韦达定理得：
∴
9．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求的值．
【答案】（1）解：对于方程：
，
当时，方程有两个不相等的实数根，
当时，方程有两个相等的实数根；
故不论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两实数根为且，由题意得：，
对于，
x1+x2=m+2，x1·x2=m+1，
∵，
，
或，
故的值为2或．
10．已知在关于 的分式方程 ① 和一元二次方程②中， 均为实数，方程①的根为非负数．
（1） 求 的取值范围．
（2） 当 为整数， 且 ， 方程②有两个整数解 时， 求方程②的整数解．
（3） 当方程②有两个实数解 ， 满足 ，且 为负整数时， 试判断 是否成立， 并说明理由．
【答案】（1）解：关于 的分式方程 的根为非负数，
∴
∴X≥0，且x≠1，即，且，解得k≥-1且k≠1.
∵一元二次方程中2-k≠0，
∴k≠2，
综上所述，k≥-1且k≠1，k≠2.
（2）解：把k=m+2，n=1代入方程②得- mx2+ 3mx+(1- m)=0，即mx2- 3mx+m-1=0.
∵，即，且m≠0，解得m＞0或m≤，
∵x1，x2是整数，k，m都是整数.
∴为整数，
∴m=1或-1.由（1）知k≠1，则m+2≠1，
∴.m≠-1，
∴m=1.把m=1代入方程mx2- 3mx+m-1=0，得x2- 3x+1-1=0，解得x1= 0， x2=3.
（3）解： 成立，理由如下，
由（1）知k≥-1，又∵k是负整数，
∴k= - 1.
∵（2- k）x2+ 3mx+（3- k）n= 0有两个实数解
整理得即
又
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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.3 一元二次方程根与系数的关系（选学）
【知识重点】
一、一元二次方程根与系数关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2= .（韦达定理）
二、一元二次方程根与系数关系的应用，概括有下面几种：
1．题目中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值；
2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值或求作方程；
3．把两个实数作为方程的两个根，求作方程；
4．不解方程判断两个根的符号.
【经典例题】
例题1、已知是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）若，求的值；
（2）若，求及的值．
例题2、已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为 ， 且 ， 求 的值．
例题3、已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
例题4、已知等腰三角形的三边分别为m、n、4，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则p的值是（ ）
A．64 B．48 C．48或64 D．16或20
例题5、如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）根据上述定义，是“________倍根方程”；
（2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值；
（3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．
【基础训练】
1．已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，则m的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或3
2．设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（ ）
A． B．4 C．7 D．
3． 已知x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为( )
A．9 B．9或11 C．13 D．9或13
4．若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，且x1=3x2 ，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
6．设x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则 .
7．若x=1是一元二次方程x2-6x+m=0的根，则方程的另一个根为 .
8．已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为 ．
9．设，是方程的两个根，则 ．
10．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
11．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，是一元二次方程的两个根，且，求m的值．
12．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根，满足，求的值．
【培优训练】
13．若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2025 B． C．2026 D．2029
14．已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（ ）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
15．若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为 .
16．设关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么实数的取值范围是 .
17．已知 ， 且 ， 则 .
18．已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 。
19．若关于的一元二次方程有实数根，．
（1）实数的取值范围为 ；
（2）设，则的最小值是 ．
20．若，且，，则的值是 .
21．先阅读材料，再回答问题.
我们定义：形如 (m、n为非零实数)，且两个解分别为 的方程称为“可分解分式方程”.例如： 为可分解分式方程，可化为
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若 为可分解分式方程，则： x1= ，x2= .
（2）若可分解分式方程方程： 的两个解分别为 求 的值.
（3）若关于的可分解分式方程 的两个解分别为x1、x2(k为实数)，且 求k的值.
22． 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a+0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1=0(a、b是常数，a>0）是“邻根方程”，令t=8a-b2，试求t的最大值.
24．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程的解为_______________________；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【期末常考】
25．已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
26．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ．
27．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值．
（2）设，是方程的两个实数根，当时，求的值．
【课后作业】
1． 已知 是方程 的两个实数根， 则
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
3． 已知m，n是方程x2+2x-3=0的两个根，则 .
4．已知一个一元二次方程的二次项系数是 -2 ， 它的两根之和为 ， 两根之积为 2 ， 请写出这个方程：
5． 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
6．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
（3）若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
7．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根：
（2）若一元二次方程（k+1）x2+（3k-1）x+2k-2=0满足|x1-x2|=2，求k的值.
8．已知关于x的方程
（1）求证：该方程总有两个实数根：
（2）记该方程的两个实数根为，，求代数式
（3）若，，比较M与N的大小.
9．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求的值．
10．已知在关于 的分式方程 ① 和一元二次方程②中， 均为实数，方程①的根为非负数．
（1） 求 的取值范围．
（2） 当 为整数， 且 ， 方程②有两个整数解 时， 求方程②的整数解．
（3） 当方程②有两个实数解 ， 满足 ，且 为负整数时， 试判断 是否成立， 并说明理由．
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