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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（1）
【知识重点】
一、一元二次方程的解法——因式分解法：
利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法就是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求解.
二、因式分解法的操作方法(可以分解的二次三项式)：
先将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边分解为两个一次因式的积，再根据两个因式的积等于0，得出这两个因式至少有一个为0，因此这种方法可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
三、常用的因式分解有：提取公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法（选学）
【经典例题】
例题1、解方程：（1） （2）
例题2、解方程：（1）x2+2x=0 （2）x2-4x+4=0
例题3、解方程：（1）； （2）．
例题4、解方程：（1） （2）
例题5、用因式分解法解下列方程：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
例题6、解下列一元二次方程
（十字相乘法选学）（1）x2-4x+3=0 （2）2x2-5x+2=0
例题7、用因式分解法解下列方程：
（1）x(x-2)=0. （2）8x2+8x+2=0.
（3） （4）
【基础训练】
1．方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
2．用因式分解法解方程， 正确的是（ ）
A． 或
B． 或
C． 或
D．
3．已知关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ， 则多项式 可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程的解是 .
5．写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一）
6．解方程：
（1）； （2）．
7．解下列方程：
（1） （2）
8．解方程：
（1）； （2）．
9．以下是小数同学解方程x（x-1）=2（x-1）的过程。
解：方程两边同除以（x-1），得x=2。
根据小数的解题过程，回答下列问题：
（1）小π同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因。
（2）请你写出正确的解答过程。
10．甲、乙两位同学解方程的过程如下框：
甲： 两边同除以得： 则 （ ） 乙： 移项得 提公因式 则或 （ ）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．
【培优训练】
11．若Rt的两边长是方程的两个根，则Rt的斜边长为（ ）
A．6 B．或 C．6或 D．6或
12． 已知方程(x+a)(x+b)=0有M个解，方程(ax+1)(bx+1)=0有N个解，其中a≠b，则（ ）
A．M=N-1或M=N+1 B．M=N-1或M=N+2
C．M=N+1 D．M=N-1
13．若关于x的一元二次方程-k-1=0与仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根。
14．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
15．已知关于x的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5．
（1）若时，请判断的形状并说明理由；
（2）若是等腰三角形，求k的值．
16．定义：如果关于 x 的一元二次方程 (a， b， c 均为常数， ) 有两个实数根，且其中一个根比另一个大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”.
（1） 下列方程中，属于“邻根方程”的是 (填序号).
①； ②； ③.
（2） 若 是“邻根方程”，求 n 的值.
（3） 若一元二次方程 (b， c 均为常数) 为“邻根方程”，请写出 b， c 满足的数量关系，并说明理由.
【期末常考】
17． 方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
18．解方程：
（1）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
（2） ＝x2﹣1.
19．解下列方程
（1） （2）
【课后作业】
1．方程的两个根的和是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
2．已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
3． 已知 ， 则 的值是（ ）
A．1 B．-2 C．2 或 -1 D．-2 或 1
4． 已知关于 的方程 的两个根分别为 ， 则二次三项式 可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
5．如果一元二次方程x(x-8)=4(x-8)的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 .
6．已知一元二次方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
7．阅读某同学解方程的过程， 然后回答问题．
解方程： ．
移项， 得 ． (第一步)
方程两边都除以 ， 得 ． (第二步)
所以，方程 的解为 ． (第三步)
（1）该同学解方程的过程是从第 步开始出错的，出错的原因是
（2）请写出此方程正确的求解过程．
8．小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶
解方程∶
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）请用适当方法给出正确的解答．
9． 由多项式乘法得 ， 将该式从右到左进行运算， 即可得到用 “十字相乘法” 进行因式分解的公式： ．如： 分解因式： ．
（1） 分解因式： ) )．
（2） 请用“十字相乘法”解方程： ．
10． 解方程（1） ； （2） .
11．解方程：（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0； （2）（x+1）（x﹣1）＝6x﹣1
12．解下列方程（1）（3x－1）2＝2（3x－1）
（2）3x2－2 x＋1＝0
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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（1）
【知识重点】
一、一元二次方程的解法——因式分解法：
利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法就是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求解.
二、因式分解法的操作方法(可以分解的二次三项式)：
先将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边分解为两个一次因式的积，再根据两个因式的积等于0，得出这两个因式至少有一个为0，因此这种方法可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
三、常用的因式分解有：提取公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法（选学）
【经典例题】
例题1、解方程：（1）（2）
【答案】（1）解：（x+2）(x-2)=0，
∴，
（2）解：(x-2)(x-2-1)=0，
(x-2)(x-3)=0，
x-2=0或x-3=0，
∴
例题2、解方程：（1）x2+2x=0（2）x2-4x+4=0
【答案】（1）解：提公因式得x(x+2)=0，
解得x1=0或x2=-2.
（2）解：原方程化为(x-2)2=0，
解得x1=x2=2.
例题3、解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，
，
∴，；
解：，
，
或，
∴，．
例题4、解方程．
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或，
解得，；
（2）解：
整理得，
，
解得．
例题5、用因式分解法解下列方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）解：，
，
即，
，
∴；
（2）解： ，
，
，
x-3=0或x-6=0，
∴；
（3）解：4x2+12x+9=24x，
4x2-12x+9=0，
．
∴；
（4）解：令2x+1=y，
y2-4y+4=0，
(y-2)2=0，
∴，
∴.
例题6、解下列一元二次方程
（1）x2-4x+3=0
（2）2x2-5x+2=0
【答案】（1）解：因式分解得(x-1)(x-3)=0，
解得
（2）解：因式分解得(2x-1)(x-2)=0，
解得
例题7、用因式分解法解下列方程：
（1）x(x-2)=0.
（2）8x2+8x+2=0.
（3）
（4）
【答案】（1）解：∵x(x-2)=0.
∴x=0或x-2=0，
解之：x =0，x =2
（2）解：将原方程转化为
2（4x2+4x+1）=0
∴2（2x+1）2=0，
∴2x+1=0
解之：x =x =-
（3）解：将原方程转化为
（x-3）（x+2）=0
∴x-3=0或x+2=0
x =3，x =-2
（4）解：价格原方程转化为
2x+3=±（3x+2）
∴2x+3=3x+2或2x+3=-（3x+2）
解之：x =-1，x =1
【基础训练】
1．方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
x （x-1）=0
x=0，或x-1=0
∴x1=0，x2=1
故答案为：C
2．用因式分解法解方程， 正确的是（ ）
A． 或
B． 或
C． 或
D．
【答案】A
【解析】
A：两因式积为0，则两因式至少有一个为0，A正确；
B：用因式分解法需要先把原方程化为左边为因式的积，方程右边为0的形式，B错误；
C：用因式分解法需要先把原方程化为左边为因式的积，方程右边为0的形式，C错误；
D：，其中也又可能x=0 ，D错误。
故答案为：A
3．已知关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ， 则多项式 可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为3和-4，
∴x2+px+q=(x-3)(x+4)=0，
∴x2+px+q=(x-3)(x+4).
故答案为：C.
4．一元二次方程的解是 .
【答案】，
【解析】，
，
或，
∴，.
故答案为：，.
5．写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一）
【答案】
【解析】 已知方程的两个根为x1=4和x2=5，根据因式分解法，可将方程表示为：
(x - 4)(x - 5) = 0，
故答案为：(x - 4)(x - 5) = 0.
6．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
或，
，．
7．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
∴，
即或，
解得，
（2）解：，
∴，
整理得，，
则，
解得，
8．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
∴，
∴，
解得：.
（2）解：，
，
，
∴x+1=0，x-1=0，
解得：，．
9．以下是小数同学解方程x（x-1）=2（x-1）的过程。
解：方程两边同除以（x-1），得x=2。
根据小数的解题过程，回答下列问题：
（1）小π同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因。
（2）请你写出正确的解答过程。
【答案】（1）解：两边同乘以不为0的数或式，等式依然成立，而(x-1)可能为0.
（2）解：x(x-1)-2(x-1)=0
(x-1)(x-2)=0
X1=2，x2=1
10．甲、乙两位同学解方程的过程如下框：
甲： 两边同除以得： 则 （ ） 乙： 移项得 提公因式 则或 （ ）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：（×） （×）
解答如下：
或
【培优训练】
11．若Rt的两边长是方程的两个根，则Rt的斜边长为（ ）
A．6 B．或 C．6或 D．6或
【答案】C
【解析】x2-10x+24=0，
(x-4)(x-6)=0，
∴x1=4，x2=6，
∵Rt△ABC的两直角边的长都是方程x2-10x+24=0的根，
∴有以下情况：
(1)两直角边是4，6，由勾股定理得：
斜边为：，
(2)一直角边是4，一斜边是6，
令一直角边为：，
故答案为：C.
12． 已知方程(x+a)(x+b)=0有M个解，方程(ax+1)(bx+1)=0有N个解，其中a≠b，则（ ）
A．M=N-1或M=N+1 B．M=N-1或M=N+2
C．M=N+1 D．M=N-1
【答案】C
【解析】(x+a)(x+b)=0，
可得x+a=0或x+b=0，即x=-a或x =-b，
∵a≠b，
∴M=2，
当a=0， b≠0时， 方程变为bx+1=0.1解得 此时N=1，
当a≠0， b=0时， 方程变为 ax+1=0， 解得 此时N=1，
当a≠0， b≠0时， 方程变为 ax+1=0或bx+1=0，解得 或 此时N=2，
∴当a=0或b=0时， M =2， N =1，
M = N+1； 当a≠0且b≠0时， M =2， N =2， M = N.
∴M=N或M =N+1.
故答案为：C.
13．若关于x的一元二次方程-k-1=0与仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根。
【答案】解：∵若关于x的一元二次方程-k-1=0与仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根，
∴x2-6x-k-1=x2-kx-7
kx-6x-k+6=0
∴x（k-6）-（k-6）=0
∴（x-1）（k-6）=0
当k≠6时，则x-1=0
解之：x=1；
∴1-6-k-1=0
解之：k=-6；
当k=6时，则x≠1
∴x2-6x-6-1=0
解之：x1=7，x2=-1，
k=-6，公共的实数根为x=1
而x2-6x-7=0与上述方程是同一方程，
∴当k=-6时，方程的公共解为x=1
14．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∵，
故该方程不是“邻2根方程”．
（2）解：∵
∴．
∴．
由题意得：或，
解得：或．
15．已知关于x的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5．
（1）若时，请判断的形状并说明理由；
（2）若是等腰三角形，求k的值．
【答案】（1）解：为直角三角形，理由如下：
当时， 关于x的一元二次方程为：，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰三角形，
①当AB=AC时，方程有两个相等的实数根，
故，
可得：1=0，等式不成立，故AB=AC不成立；
②AB=BC=5或AC=BC=5时，5是方程的一个根，
代入可得：，即
解得：，
当k=4时，原方程可化为：，故，满足题意；
当k=4时，原方程可化为：，故，满足题意；
故是等腰三角形时，k=4或k=5．
16．定义：如果关于 x 的一元二次方程 (a， b， c 均为常数， ) 有两个实数根，且其中一个根比另一个大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”.
（1） 下列方程中，属于“邻根方程”的是 (填序号).
①； ②； ③.
（2） 若 是“邻根方程”，求 n 的值.
（3） 若一元二次方程 (b， c 均为常数) 为“邻根方程”，请写出 b， c 满足的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）③
（2）解：解方程得，，
∵原方程为邻根方程，
∴
解得：或
（3）解：设的两个根为，，
由韦达定理得，，
为“邻根方程”.
，可得，
即，
代入得
【解析】（1）①的两个根为1和－1，不满足邻根方程定义；
②原方程根为3，不满足邻根方程定义；
③两个根为－2和－1，满足邻根方程定义；
故答案为：③．
【期末常考】
17． 方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【解析】(x-1)(x+2)=0，即x+1=0或x-2-0，
解得x1=1，x2=-2.
故答案为：C.
18．解方程：
（1）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
（2） ＝x2﹣1.
【答案】（1）解：∵7x（5x+2）＝6（5x+2），
∴（5x+2）（7x﹣6）＝0，
则5x+2＝0或7x﹣6＝0，
解得x1＝﹣ ，x2＝
（2）解：∵ （x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），
∴（x﹣1）（ ﹣x﹣1）＝0，
则x﹣1＝0或 ﹣x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣
19．解下列方程
（1） （2）
【答案】（1）解：x（x-2）=0
x=0或x=2
（2）解：3x2-x-2=0
（x-1）（3x+2）=0
x=1或
【课后作业】
1．方程的两个根的和是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【解析】∵，
∴或，
∴，，
∴，
故答案为：C．
2．已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】解方程，得或，
当第三边长为或时，都可以构成三角形，
①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形，
过点作于点，
设，，
，
在中，，
，
；
②当第三边长为时，，
此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或．
故答案为：D．
3． 已知 ， 则 的值是（ ）
A．1 B．-2 C．2 或 -1 D．-2 或 1
【答案】A
【解析】
，
，
其中不合题意舍去。
故答案为：A
4． 已知关于 的方程 的两个根分别为 ， 则二次三项式 可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
∵ 关于 的方程 的两个根分别为 ，
∴
故答案为：D.
5．如果一元二次方程x(x-8)=4(x-8)的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 .
【答案】20
【解析】由题意得： x(x-8)=4(x-8)，
移项合并得：(x－4)(x-8)=0，
解得： ，。
∵方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，
∴有两种情况：
①边长为8、8、4，此时满足三角形三边关系，这个三角形的周长为：8+8+4=20；
②边长为4、4、8，此时4+4=8，无法构成三角形，可舍去。
故答案为：20.
6．已知一元二次方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
【答案】解：将x=0代入 得，3a=6，
∴ a=2，
∴，
即2x2-7x+6=6，
2x2-7x=0，
x(2x-7)=0，
∴ x1=2，x2=，
∴ a=2，另一个根为.
7．阅读某同学解方程的过程， 然后回答问题．
解方程： ．
移项， 得 ． (第一步)
方程两边都除以 ， 得 ． (第二步)
所以，方程 的解为 ． (第三步)
（1）该同学解方程的过程是从第 步开始出错的，出错的原因是
（2）请写出此方程正确的求解过程．
【答案】（1）二；有可能3x+2=0.
（2）解：因式分解，得（3x+2）（x-6）=0，于是，得3x+2=0或x-6=0，
解得
【解析】（1） 该同学解方程的过程是从二步开始出错的，因为3x+2有可能等于0.
故填：二；有可能3x+2=0.
8．小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶
解方程∶
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）请用适当方法给出正确的解答．
【答案】（1）4
（2）
【解析】（1）小明的解法从第4步开始出现错误，
理由：第4步应为：(x-5)(x-1)=0.
故答案为：4．
（2）
9． 由多项式乘法得 ， 将该式从右到左进行运算， 即可得到用 “十字相乘法” 进行因式分解的公式： ．如： 分解因式： ．
（1） 分解因式： ) )．
（2） 请用“十字相乘法”解方程： ．
【答案】（1）2；4
（2）∴x-4=0或x+1=0，
解得x1=4，x2=-1.
【解析】（1）
故答案为：2，4
10． 解方程
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：移项， 得，
解得，.
（2）解：移项， 得，
提取公因式， 得，
解得，.
11．解方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）（x+1）（x﹣1）＝6x﹣1
【答案】（1）解：∵x（x-2）+x-2=0，
∴（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，
解得x1=2，x2=-1；
（2）解：整理为一般式，得：x2-6x=0，
则x（x-6）=0，
∴x=0或x-6=0，
解得x1=0，x2=6.
12．解下列方程
（1）（3x－1）2＝2（3x－1）
（2）3x2－2 x＋1＝0
【答案】（1）（3x－1）2＝2（3x－1）
（3x－1）2-2（3x－1）＝0
（3x－1）[（3x－1）-2]＝0
（3x－1）（3x－3）＝0
∴3x－1=0，3x－3=0
解得， ， ；
（2）3x2－2 x＋1＝0
这里a=3，b=- ，c=1
∴△=b2-4ac=(- )2-4×3×1=0
∴
∴ ．
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