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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（2）
【知识重点】
一、直接开平方法：
1. 直接开平方法概念：利用平方根的定义直接开平方，可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.直接开平方法适用范围： 直接开平方法适用于解形如(r≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知，mx+n 是r的平方根，当r≥0时，mx+n =,；当r<0时，方程没有实数根.
3.用直接开平方法求一元二次方程的根需要注意：一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
二、配方法(二次项系数为1)：
1. 定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，如(n≥0)形式，然后再用直接开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2.配方法的理论根据：是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2±2bx+b2=(x±b)2 .
【经典例题】
例题1、用直接开平方法解下列方程：
（1） ． （2） ．
例题2、填空：
解方程： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+ =-5+ ，
即 ，
方程两边同时开方， 得 x+3= ，
∴x1= ，x2= .
例题3、用配方法解下列方程：
（1） ． （2） ．
例题4、解方程：
（1）； （2）．
例题5、解下列方程：
（1） （2）
【基础训练】
1．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．方程的两个根是( )
A．， B． C． D．，
3．用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（ ）
A．(x-2)2=1 B．(x+2)2=1 C．(x-2)2=7 D．(x+2)2=7
4．方程 的根是
5．当 时， 代数式 与 的值相等．
6．
（1）用开平方法解x2=16，可得x1= ，x2= .
（2）用开平方法解（x+6）2=5，可得其中一个一元一次方程是x+6=，另一个一元一次方程是 .
7． 小北同学解一元二次方程的过程如下图所示：
解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步
（1）小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误．
（2）请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答．
8．用开平方法解下列方程：
（1）． （2）． （3）． （4）．
9．用配方法解下列方程：
（1）x2-2x=5
（2）1-x2=-3
10．用指定的方法解下列方程：
（1）x2-2x=3（配方法）
（2）（x+1）2=4（1-x）2（因式分解法或开平方法）
11． 解一元二次方程：
（1） ； （2） .
12．选择适当的方法解下列方程：
（1） （2）
【培优训练】
13．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（ ）
A． B． C． D．
14．（1） 若关于 的方程 的两个根分别是 与 ， 则 ．
（2） 若关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ， 则方程 的根是 ．
15．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
16．《代数学》中记载， 形如 的方程，求正数解的几何方法是： 如图 1 ， 先构造一个面积为 的正方形， 再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的长方形， 得到大正方形的面积为 ， 则该方程的正数解为 . 小联按此方法解关于 的方程 时，构造出如图 2 所示的图形. 若阴影部分的面积为 36 ， 求该方程的正数解.
【期末常考】
17． 已知关于的一元二次方程，下列配方法正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．一元二次方程x2-4x-6=0，经过配方可变形为（ ）
A．（x-2）2=10 B．（x-2）2=6 C．（r-4）2=6 D．（x-2）2=2
19．解方程
（1），
（2）．
【课后作业】
1．把方程的左边配方后可得方程（ ）
A． B．
C． D．
2．形如的方程，它的根是（ ）
A． B． C． D．
3．对于方程，下列叙述正确的是（ ）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当时，方程可化为或
D．当时，
4． 如果 ， 那么 的值分别为( )
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程x2=9的解为 .
6．用配方法解一元二次方程x2-6x＝1时，可配方成（x-m）2＝n，则m+n的值是 .
7．完成下列配方过程．
（1）x2+12x+ =(x+6)2；
（2）x2- x+=(x-)2；
（3）x2-x+ =(x- )2
（4）2x2+4x+1= (x+ )2-1．
8．用开平方法解下列方程：
（1） . （2） .
（3） . （4） .
9．用配方法解下列方程：
（1）． （2）．
（3）． （4）．
10．用配方法解下列方程：
（1） . （2） . （3） .
11．解方程：
（1） （2）．
12．解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（2）
【知识重点】
一、直接开平方法：
1. 直接开平方法概念：利用平方根的定义直接开平方，可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2.直接开平方法适用范围： 直接开平方法适用于解形如(r≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知，mx+n 是r的平方根，当r≥0时，mx+n =,；当r<0时，方程没有实数根.
3.用直接开平方法求一元二次方程的根需要注意：一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
二、配方法(二次项系数为1)：
1. 定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，如(n≥0)形式，然后再用直接开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2.配方法的理论根据：是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2±2bx+b2=(x±b)2 .
【经典例题】
例题1、用直接开平方法解下列方程：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：x2=49，
∴
故答案为：
（2）解：2（2x-1）2=32，
（2x-1）2=16，
∴2x-1=±4，
∴
故答案为：
例题2、填空：
解方程： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+ =-5+ ，
即 ，
方程两边同时开方， 得 x+3= ，
∴x1= ，x2= .
【答案】9；9；±2；-1；-5
【解析】 .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+9=-5+9，即（x+3）2=4，
方程两边同时开方，得x+3=±2，
∴ x1=-1，x2=-5.
故答案为：9；9；±2；-1；-5.
例题3、用配方法解下列方程：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：x2-6x+9=9+9，
（x-3）2=18，
∴x-3=±，
∴
故答案为：
（2）解：x2+10x+25=-9+25，
（x+5）2=16，
∴x+5=±4，
∴
故答案为：
例题4、解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解： ，
∴或，
∴，
（2）解：
，即
∴
∴，
例题5、解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：(x+1)2-4=0
∴(x+1)2=4，
∴x+1=±2，
∴x+1=2或x+1=-2，
∴x1=1，x2=-3；
（2）解：x2-x=3，
∴x2-x+=3+，
(x-)2=
∴.
【基础训练】
1．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、∵x2=0，∴x=0∴此方程有解，故A不符合题意；
B、∵x2-2=0，∴x2=2∴，，故B不符合题意；
C、∵-x2+2=0，∴x2=2，∴，，故C不符合题意；
D、∵x2+2=0，∴x2=-2，故D符合题意；
故答案为：D.
2．方程的两个根是( )
A．， B． C． D．，
【答案】A
【解析】
故答案为：A.
3．用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（ ）
A．(x-2)2=1 B．(x+2)2=1 C．(x-2)2=7 D．(x+2)2=7
【答案】C
【解析】x2-4x-3=0，
x2-4x+4=3+4，
∴（x-2）2=7.
故答案为：C
4．方程 的根是
【答案】
【解析】∵ ，
∴.
∴.
∴
故答案为：.
5．当 时， 代数式 与 的值相等．
【答案】
【解析】根据题意，我们有：，
移项，得到：，
化简，得到：，
即，
解出x的值，得到：，
故答案为：．
6．
（1）用开平方法解x2=16，可得x1= ，x2= .
（2）用开平方法解（x+6）2=5，可得其中一个一元一次方程是x+6=，另一个一元一次方程是 .
【答案】（1）4；-4
（2）x+6=-
【解析】 (1) x2=16，
开平方，得x=±4.
故答案为：4，-4.
(2) （x+6）2=5，
开平方，得x+6=±，
故答案为：x+6=-.
7． 小北同学解一元二次方程的过程如下图所示：
解方程： 解：……第①步 ……第②步 或……第③步 ，……第④步
（1）小北同学选用了 （填“因式分解法”、“配方法”或“公式法”）解该一元二次方程，他的解法从第 步开始出现错误．
（2）请你选用合适的方法完成该一元二次方程的解答．
【答案】（1）配方法；②
（2）（2）解：，
，
或，
，，
故答案为：，.
【解析】（1） 北同学将方程x2-4x-5=0先变形为x2-4x=5，然后试图将左边配成完全平方式，这种做法符合配方法解一元二次方程的特征，所以小北同学选用了配方法；从小北同学的解法，先将常数项移到右边，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方，所以第②步出现错误；
8．用开平方法解下列方程：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）解：方程两边开平方得：
x=±0.8，
∴x1=0.8，x2=-0.8.
（2）解：方程两边同时除以3得：
a2=
方程两边开平方得：
a=±，
∴a1=，a2=-.
（3）解：移项得：4x2=48，
方程两边同时除以4得：
x2=12，
方程两边开平方得：
x=±，
∴x1=，x2=-.
（4）解：方程两边同时除以16得：
（a+0.25）2=
方程两边开平方得：
a+0.25=±，
∴a1=-0.25=0.5，a2=--0.25=1.
9．用配方法解下列方程：
（1）x2-2x=5
（2）1-x2=-3
【答案】（1）解：方程的两边同加上1，得x2-2x+1=5+1即（x-1）2=6，
则x-1= 或x-1=- ，
∴x1=1+ ，x2=1-
（2）解：移项，得x2-3x=1，
方程的两边同加上（ ）2，
得x2-3x+（ ）2=1+（ ）2，
即（x- ）2= ，
则x- = 或x- =-
∴x1= ，x2=
10．用指定的方法解下列方程：
（1）x2-2x=3（配方法）
（2）（x+1）2=4（1-x）2（因式分解法或开平方法）
【答案】（1）解：x2-2x+1=3+1，∴（x-1）2=4，
∴x-1=±2，∴x1=3，x2=-1
（2）解：因式分解法：（x+1）2-4（1-x）2=0，
∴[（x+1）-2（1-x）][（x+1）+2（1-x）]=0，
开平方法：x+1=±2（1-x），
∴x1= ，x2=3.
11． 解一元二次方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵
∴4
∴x1=1，x2=5
（2）解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
12．选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：或
，
（2）解：
或
，
【培优训练】
13．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴x-1=0或x-m=0，
∴x1=1，x2=m；
∵ ，
∴，
∴，
∴x1=，x2=，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得m-2n=-1.
故答案为：D.
14．（1） 若关于 的方程 的两个根分别是 与 ， 则 ．
（2） 若关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ， 则方程 的根是 ．
【答案】（1）1
（2）
【解析】（1）根据题意可得方程的两个和互为相反数，
∴m+1+2m-4=0，
解得：m=1，
故答案为：1；
（2）∵方程可变形为：，
∵ 关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ，
∴2x-1=3或2x-1=7，
解得：x=2或x=4，
故答案为：.
15．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
【答案】（1）-3
（2）4
（3）解：由题意，原式可化为
解得.
【解析】（1）∵x2+6x+5=（x+3）2-4，
当x+3=0时，多项式x2+6x+5有最大值．
∴多项式x2+6x+5关于x=-3对称，
故答案为：-3；
（2）∵x2-2ax+4=（x-a）2-a2+4，
当x-a=0时，多项式x2-2ax+4有最大值，
∴多项式x2-2ax+4关于x=a对称，
又∵关于x的多项式x2-2ax+4关于x=4对称，
∴a=4，
故答案为：4；
16．《代数学》中记载， 形如 的方程，求正数解的几何方法是： 如图 1 ， 先构造一个面积为 的正方形， 再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的长方形， 得到大正方形的面积为 ， 则该方程的正数解为 . 小联按此方法解关于 的方程 时，构造出如图 2 所示的图形. 若阴影部分的面积为 36 ， 求该方程的正数解.
【答案】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的长方形，得到大正方形的面积为x2+4×+4×()2=36+9=45，则该方程的整数解为-2×=.
【期末常考】
17． 已知关于的一元二次方程，下列配方法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】x2-4+3=0，
x2-4x=-3，
x2-4x+4=-3+4，
(x-2)2=1.
故答案为：B.
18．一元二次方程x2-4x-6=0，经过配方可变形为（ ）
A．（x-2）2=10 B．（x-2）2=6 C．（r-4）2=6 D．（x-2）2=2
【答案】A
【解析】∵ x2-4x-6=0
∴x2-4x-6=0
则x2-4x+
∴
故答案为：A.
19．解方程
（1），
（2）．
【答案】（1）解：
∴x1=3，x2=-3
解：
∴，
【课后作业】
1．把方程的左边配方后可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
，
，
.
故选：.
2．形如的方程，它的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵（x+m）2=n（n≥0），
∴x+m=，
∴x=-m，
故答案为：D．
3．对于方程，下列叙述正确的是（ ）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当时，方程可化为或
D．当时，
【答案】C
【解析】当时，根据偶数次幂的非负性，可得方程没有实数根，故A选项错误；
当时，方程有实数根，则，解得，，故C选项正确，B选项错误；
当时，解得，故D选项错误．
故答案为：C．
4． 如果 ， 那么 的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
，
∴ a=4，4=4m，c=m2，
即a=4，m=1，c=1
故答案为：C.
5．关于x的一元二次方程x2=9的解为 .
【答案】x1=3； x2=-3
【解析】∵x2=9，
∴x=
∴x=±3，
∴x1=3，x2=-3.
故答案为：x1=3，x2=-3.
6．用配方法解一元二次方程x2-6x＝1时，可配方成（x-m）2＝n，则m+n的值是 .
【答案】13
【解析】∵ x2-6x＝1，
∴ x2-6x+9＝1+9，
∴(x-3)2=10，
∵ x2-6x＝1可配方成（x-m）2＝n ，
∴m=3，n=10，
∴m+n=13.
故答案为：13.
7．完成下列配方过程．
（1）x2+12x+ =(x+6)2；
（2）x2- x+=(x-)2；
（3）x2-x+ =(x- )2
（4）2x2+4x+1= (x+ )2-1．
【答案】（1）36
（2）
（3）2；
（4）2；1
【解析】（1） x2+12x+36=(x+6)2；
故答案为：36；
（2）；
故答案为：；
（3） x2-x+2=(x-)2；
故答案为：2，；
（4） 2x2+4x+1=2(x+1 )2-1．
故答案为：1.
8．用开平方法解下列方程：
（1） .（2） .（3） .（4） .
【答案】（1）解：x2-81=0，
移项得，x2=81，
开方得，x=±9，
∴x =9，x =-9；
（2）解：（x-1）2=2，
开方得，x-1=±，
∴；
（3）解：2（x-2）2-8=0，
系数化为1得，（x-2）2-4=0，
移项得，（x-2）2=4，
开方得，x-2=±2，
∴；
（4）解：，
开方得，x+=±（1+），
∴.
9．用配方法解下列方程：（1）．（2）．（3）．（4）．
【答案】（1）解：方程两边同时加9得：
x2-6x+9=-5+9，
(x-3)2=4，
两边开平方得：
x-3=±2，
x-3=2或x-3=-2，
∴x1=5，x2=1.
（2）解：方程两边同时加4得：
x2+4x+4=7+4，
(x+2)2=11，
两边开平方得：
x+2=±，
x+2=或x+2=-，
∴x1=-2，x2=--2.
（3）解：原方程可化为：x2-x=5，
方程两边同时，3得：
x2-x+3=5+3，
(x-)2=8，
两边开平方得：
x-=±，
x-=或x-=-，
∴x1=+，x2=-+.
（4）解：原方程可化为：x2-4x=-3，
方程两边同时加4得：
x2-4x+4=-3+4，
(x-2)2=1，
两边开平方得：
x-2=±1，
x-2=1或x-2=-1，
∴x1=3，x2=1.
10．用配方法解下列方程：
（1） .
（2） .
（3） .
【答案】（1）解：x2-x-=0，
移项得，x2-x=，
配方得，x2-x+=+，
即（x-）2=2，
开方得，x-=±，
∴；
（2）解：x2-x+1=0，
移项得，x2-x=-1，
配方得，x2-x+2=-1+2，
即（x-）2=1，
开方得，x-=1，
∴；
（3）解： ，
令 2x-1=y，
则原方程化为： y2+2y=1，
配方得， y2+2y+1=1+1，
即=2，
开方得，y+1=±，
∴ y=±-1，即2x-1=±-1，
∴.
11．解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：，，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，．
12．解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：(2x-1)2-9=0，
∴(2x-1)2=9，
∴2x-1=±3，
∴2x-1=3或2x-1=-3，
解得x1=2，x2=-1；
（2）解：方程x2-5x+2=0
∴
∴
（3）解：∵2(x-2)=3x(x-2)
∴2(x-2)-3x(x-2)=0
∴(x-2)(2-3x)=0，
∴x-2=0或2-3x=0，
∴；
（4）解：
∴
∴
∴.
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