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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（3）
【知识重点】
一、配方法解一元二次方程的一般步骤(二次项系数不为1)：
1.将方程化成一般式；
2.方程的两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
3.移项：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项；
4.配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；
5.求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用开平方法求解，如果右边是负数，则指出原方程无解.
二、配方法的重要性：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.
【经典例题】
例题1、（1）请用配方法解方程；
（2）请用配方法解一元二次方程．
例题2、用配方法解下列方程：
（1） （2）
例题3、求多项式 的最小值．
例题4、在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，
移项，得（2x）2﹣6×2x＝1．
配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，
即（2x﹣3）2＝10．
由此可得2x﹣3＝± ∴x1 ，x2 ．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
例题5、上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0．
．
当时，的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当 时，代数式的最小值是 ；
（2）知识运用：若，当 时，有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
例题6、阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵，
∴，
因此，代数式有最小值，
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式的最小值为 ；
（2）试比较与的大小关系，并说明理由；
（3）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，求点的坐标．
【基础训练】
1．用配方法解方程，变形结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2． 如果 ， 那么 的值分别为( )
A． B． C． D．
3．如图，用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．已知为任意实数)，则M，N的大小关系为（ ）
A．MB．M=N
C．M>N
D．因为含有字母a，所以M，N的大小不能确定
5．若 的三边长a、b、c满足 ，那么 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
6． 若 ( 为实数)， 则 的大小关系为 Q． (填“>” “ ”或
7．一元二次方程 变形为 ， 则 ，
8．用配方法解方程： ．
9．解下列方程：
（1）
（2）3x(x1)=22x
（3）x(2x4)=58x.
10．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题．
例如：
．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是．
请用配方法解答下列问题：
（1）用配方法分解因式：；
（2）已知，求的值．
（3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
【培优训练】
11．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （ ）
A． B． C． D．1
12．已知 则x+y的值为（ ）
A． B． C． D．
13．对于五个整式，：；：；：；：；：有以下几个结论：若为正整数，则多项式的值一定是正数；存在实数，，使得的值为；若关于的多项式为常数不含的一次项，则该多项式的值一定不小于；若，则上述结论中，正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
14．若 为任意实数，且 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．84 C．100 D．121
15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
16．已知：，则的值为
17．在平面直角坐标系中，若点A、B的坐标分别为（0，2）和（n，n＋4），则线段AB长的最小值为 ．
18．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+6m+8的最小值等于 ．
19．已知实数a，b，c满足a2+b2-4a≤1，b2+c2-8b≤-3，且c2+a2-12c≤-26，则(a+b)c的值为 ．
20． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
（1）【解决问题】
已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式 ；
（2）若可配方成（、为常数），则 ；
（3）探究问题】
已知，则 ；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
（5）【拓展结论】
已知实数、满足，求的最小值．
21． 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ 求代数式x2﹣6x+12的最小值为 ；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，求△ABC的周长。
22．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
解决问题：
（1）若可配方成（m、n为常数），则 ；
探究问题：
（2）已知，求的值；
（3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为3，试求出k的值．
【期末常考】
23．用配方法解一元一次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【课后作业】
1．用配方法解方程 ， 则方程可变形为( )
A． B． C． D．
2．把方程 化为 的形式， 则 的值是( )
A．2 B．1 C．-1 D．-2
3．把方程配方成的形式，则m、n的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．用配方法解下列方程时，错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
5．代数式的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．已知M= a-1，N=a2- a（a为任意实数），则M，N的大小关系为（ ）
A．MN D．不能确定
7．已知，则的值为 ．
8．若W= 5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x，y为实数) ，则W的最小值为 .
9．若a为实数，则代数式 的最小值为 ．
10．设实数，，满足，则的最大值为 ．
11． 用配方法解下列方程：（1） ． （2） ．
12．用配方法解下列方程：
（1） （2） （3）
（4）2x2-5x-7=0. （5） （6）
13．配方法解方程：．
14．已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．
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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（3）
【知识重点】
一、配方法解一元二次方程的一般步骤(二次项系数不为1)：
1.将方程化成一般式；
2.方程的两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
3.移项：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项；
4.配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；
5.求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用开平方法求解，如果右边是负数，则指出原方程无解.
二、配方法的重要性：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.
【经典例题】
例题1、（1）请用配方法解方程；
（2）请用配方法解一元二次方程．
【答案】（1）解：
两边同时除以2得：，
移项得：，
两边同时加上得：，
配方得：，
解得：
（2）解：
两边同时除以得：，
移项得：，
两边同时加上得：，
配方得：，
当时，
解得：，
当时，
，
当时，
该方程无实数根．
例题2、用配方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
x+4=1或x+4=-1；
解得 ；
（2）解：，
，
，
解得 .
例题3、求多项式 的最小值．
【答案】解：根据题意可得：
=x2-2x+y2+6y+15
=（x2-2x+1）+（y2+6y+9）+5
=（x-1）2+（y+3）2+5
∵（x-1）≥0，（y+3）≥0，
∴（x-1）2+（y+3）2+5≥5，
∴多项式的最小值为5.
例题4、在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，
移项，得（2x）2﹣6×2x＝1．
配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，
即（2x﹣3）2＝10．
由此可得2x﹣3＝± ∴x1 ，x2 ．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
【答案】解：不同意晓强的想法， 当二次项系数不为 1 时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方．
例题5、上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0．
．
当时，的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当 时，代数式的最小值是 ；
（2）知识运用：若，当 时，有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
【答案】（1）3；3
（2）1；大；
（3）解：，
，
，
，
当时，的最小值为．
【解析】（1）∵，
∴当x=3时，代数式的最小值是3；
故答案为：3；3.
（2）∵，
∴当x=1时，y有最大值为-2；
故答案为：1；大；-2.
例题6、阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵，
∴，
因此，代数式有最小值，
根据以上材料，解决下列问题：
（1）代数式的最小值为 ；
（2）试比较与的大小关系，并说明理由；
（3）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，求点的坐标．
【答案】（1）1
（2）解：；理由如下，
，
∵，，
∴，
∴，
∴。
（3）解：∵点和点，
∴，
∵，
∴，
∴有最小值，
∵，
∴线段最长为，
∴点的坐标为．
【解析】【解答】（1）解：
∵，
∴，
∴代数式有最小值，
故答案为：（1）；
【基础训练】
1．用配方法解方程，变形结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
∴
∴
∴
故答案为：D.
2． 如果 ， 那么 的值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
，
∴ a=4，4=4m，c=m2，
即a=4，m=1，c=1
故答案为：C.
3．如图，用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】①等式两边同时乘以2，可得，即，①正确；
②配方得，，②正确；
③写成完全平方式，，③正确；
④开方可得，x=或，题目中缺少一个解，④错误，符合题意.
故答案为：D.
4．已知为任意实数)，则M，N的大小关系为（ ）
A．MB．M=N
C．M>N
D．因为含有字母a，所以M，N的大小不能确定
【答案】A
【解析】N-M=≥＞0；
∴N-M＞0，即N＞M.
故答案为：A.
5．若 的三边长a、b、c满足 ，那么 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】 ，
移项得， ，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故答案为：B.
6． 若 ( 为实数)， 则 的大小关系为 Q． (填“>” “ ”或
【答案】
【解析】，
∵，
∴，即Q-P＞0，
∴ P＜Q.
故答案为：
7．一元二次方程 变形为 ， 则 ，
【答案】1；
【解析】将方程的二次项系数化为1，即除以3，得到方程：
.
将方程左边的常数项移到右边，得到：
.
等式两边同时加上1，得到：
.
化简得到：
.
通过比较 ，可以得出：
，.
故答案为：1；.
8．用配方法解方程： ．
【答案】解：
∴
∴
∴
∴
∴
∴
9．解下列方程：（1） （2）3x(x1)=22x （3）x(2x4)=58x.
【答案】（1）解： ，
，
，
；
（2）解：3x(x-1)=2-2x，
，
，
，
，
，
；
（3）解： x(2x4)=58x ，
，
，
，
，
，
∴
10．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题．
例如：
．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是．
请用配方法解答下列问题：
（1）用配方法分解因式：；
（2）已知，求的值．
（3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
；
（3）解：
，
，
时，有最小值，最小值是．
【培优训练】
11．已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】，，
，，
设，则，
则，的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：B．
12．已知 则x+y的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
(2x-1)2+=0，
∵ (2x-1)2≥0，≥0，
∴ 2x-1=0，3y-2=0，
∴ x=0.5，y=，
∴ x+y=.
故答案为：B.
13．对于五个整式，：；：；：；：；：有以下几个结论：若为正整数，则多项式的值一定是正数；存在实数，，使得的值为；若关于的多项式为常数不含的一次项，则该多项式的值一定不小于；若，则上述结论中，正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①∵，∴当y=1时，，∴①不正确；
②∵，∴2x2+y2+2（2x-y）=-3，∴2（x+1）2+（y-1）2=0，解得：x=-1，y=1，∴②正确，符合题意；
③∵，M不含x的一次项，
∴-3-2m=0，解得：m=-1.5，
∴M=9x2-3≥-3，
∴③正确，符合题意；
④∵，∴2×2x2-y2=（2x-y）（4x+4-2x），即（2x-y）（y-4）=0，解得：2x=y或y=4，
∴④不正确；
综上，正确的结论是②③，共2个，
故答案为：B.
14．若 为任意实数，且 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．84 C．100 D．121
【答案】C
【解析】
，
，
的最大值为100.
故答案为：C.
15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【答案】2024
【解析】 关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得，
，
，
，
最小值是2024．
故答案为：2024．
16．已知：，则的值为
【答案】
【解析】∵a＞b＞0，∴a-b＞0，a+b＞0.
∵a +b =3ab.
∴（a-b） =ab，（a+b） =5ab.
即：a-b=，a+b=.
∴
故答案为：.
17．在平面直角坐标系中，若点A、B的坐标分别为（0，2）和（n，n＋4），则线段AB长的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵点A、B的坐标分别为（0，2）和（n，n＋4），
∴AB=，
∵≥0，
∴当n=-1时，AB的最小值为，
故答案为：．
18．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+6m+8的最小值等于 ．
【答案】15
【解析】∵m﹣n2=1，∴n2=m﹣1，m≥1，
∴m2+2n2+6m+8=m2+2m﹣2+6m+8=m2+8m+6=（m+4）2﹣10，
∵（m+4）2≥25，
∴（m+4）2﹣10≥15，
即代数式m2+2n2+6m+8的最小值等于15．
故答案为15．
19．已知实数a，b，c满足a2+b2-4a≤1，b2+c2-8b≤-3，且c2+a2-12c≤-26，则(a+b)c的值为 ．
【答案】27
【解析】由条件知(a2 +b2 -4a) +(b2+c2-8b) +(c2+a2-12c)≤-28，
则2a2-4a +2b2 -8b+2c2-12c≤-28，
即2(a2-2a+1)+2(b2-4b+4)+2(c2-6c+9)≤0．
∴(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2≤0，
∴a=1，b=2，c=3．
(a+b)c=33=27．
故答案为：27.
20． 我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
（1）【解决问题】
已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式 ；
（2）若可配方成（、为常数），则 ；
（3）探究问题】
已知，则 ；
（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
（5）【拓展结论】
已知实数、满足，求的最小值．
【答案】（1）（2）-12（3）-1
（4）解：当时，为“完美数”，理由如下：
，
当时，，则，为完美数时；
（5）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时， 有最大值，最小值为1.
【解析】（1），
故答案为：；
（2）；
∴，，
∴，
故答案为：-12；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：-1；
21． 如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ 求代数式x2﹣6x+12的最小值为 ；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，求△ABC的周长。
【答案】（1）解：；3
（2）解：1；大；﹣2
（3）解：∵a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣10b+25）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣3）2≥0，
∴ a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，
∴ a＝3，b＝5，c＝3，
∴ △ABC的的周长＝；
【解析】（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4-4-5=（m-2)2-9=(m-2+3)(m-2-3)=(m+1)(m-5)；
x2﹣6x+12 =x2﹣6x+9-9+12=(x-3)2+3
∵（x-3）2≥0，
∴当x=3时，x2﹣6x+12有最小值，最小值是3.
故第1空答案为：(m+1)(m-5)；第2空答案为：3；
（2）y＝﹣x2+2x﹣3 =-（x2-2x+1-1）-3=-（x-1）2-2，
∵（x-1）2≥0，
∴-（x-1）2≤0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为-2，
故第1空答案为：1；第2空答案为：大；第3空答案为：-2；
22．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
解决问题：
（1）若可配方成（m、n为常数），则 ；
探究问题：
（2）已知，求的值；
（3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为3，试求出k的值．
【答案】解：（1）；
（2）
∵，，
∴，，
，，
解得：，
∴；
（3），
，
，
∵，，S的最小值为3，
∴，
．
【解析】（1）∵，
∴，，
即，
故答案为：.
【期末常考】
23．用配方法解一元一次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】二次项系数化1得，
配方得
∴
故答案为：C.
24．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【答案】A
【解析】∵当时，该多项式的值为，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
可知只有A符合，
故答案为：A．
【课后作业】
1．用配方法解方程 ， 则方程可变形为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，
则，
即，
故答案为：B.
2．把方程 化为 的形式， 则 的值是( )
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】C
【解析】 ，
，
，
，即，
∴ m=-1.
故答案为：C.
3．把方程配方成的形式，则m、n的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
系数化为1得：
移项得：
配方得：
即
故
故答案为：A.
4．用配方法解下列方程时，错误的是（ ）
A．化为 B．化为
C．化为 D．化为
【答案】D
【解析】A、等式两边同时除以2，再配方后可得，正确，不符合题意；
B、等式两边同时除以2，再配方后可得，正确，不符合题意；
C、等式两边同时除以4，再配方后可得，正确，不符合题意；
D、等式两边同时乘以3，再配方后可得，错误，符合题意.
故答案为：D.
5．代数式的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】 =x2-4x+4+1=（x-2）2+1，
∵（x-2）2≥0，
∴（x-2）2+1≥1，
∴ 代数式的最小值为1，
故答案为：C.
6．已知M= a-1，N=a2- a（a为任意实数），则M，N的大小关系为（ ）
A．MN D．不能确定
【答案】A
【解析】N-M=a2-a-（a-1）=a2-a+1=（a-）2+，
∵（a-）2≥0，
∴（a-）2+＞0，
∴M＜N.
故答案为：A.
7．已知，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵，
∴．
∴．
∴，解得：，
∴
故答案为：．
8．若W= 5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x，y为实数) ，则W的最小值为 .
【答案】-2
【解析】原式可化为：5x2+（8-4y）x+（y2-2y+3-W）=0，
∵x为实数，
∴（8-4y）2-20（y2-2y+3-W）≥0，
即5W≥（y+3）2-10≥-10，
∴W≥-2，
∴W的最小值为：-2.
故答案为：-2.
9．若a为实数，则代数式 的最小值为 ．
【答案】3
【解析】∵ = = ≥3，
∴代数式 的最小值为3，
故答案为：3
10．设实数，，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】∵
∴
∴
=
=
=
=
=
=
∵
∴≤
∴的最大值为
故答案为：．
11． 用配方法解下列方程：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：，
移项得，，
两边同除以2得，，
配方得，，即，
开方得，，即，
∴；
（2）解： ，
移项得，，
两边同除以3得，，
配方得，，即，
开方得，，即，
∴
12．用配方法解下列方程：
（1）（2）（3）
（4）2x2-5x-7=0.（5）（6）
【答案】（1）解：等式两边同时除以2，可得；
配方，可得；
开方后，可得x==2或；
∴方程的解为x1=2，x2=；
（2）解：等式两边同时除以4，可得；
配方，可得，即，
开方后，可得x=；
∴方程的解为x1=，x2=；
（3）解：等式两边同时除以2，可得；
配方，可得，即；
开方后，可得x=；
∴方程的解为x1=，x2=；
（4）解：等式两边同时除以2，可得；
配方后，可得，即；
开方后，可得x=；
∴方程的解为x1=，x2=-1；
（5）解：移项，等式两边同时除以3，可得；
配方后，可得，即；
开放后，可得x=；
∴方程的解为x1= ，x2=；
（6）解：去分母，等式两边同时乘以2，可得；
配方后，可得，即；
开方后，可得x=-5+4或-5-4=-1或-9；
∴方程的解为x1=-1，x2=-9.
13．配方法解方程：．
【答案】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
14．已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．
【答案】解：x2-2mx-m2+5m-5=(x-m)2-2m2+5m-5
∵代数式x2-2m-m2+5m-5的最小值是-23，
∴-2m2+5m-5=-23
解得m=-2或m=
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