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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（4）
【知识重点】
一、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：(b24ac≥0).
二、使用求根公式的条件：求根公式是专门用来解一元二次方程的.
1.把方程化成一般形式；2.要求a≠0； 3. b24ac≥0因为开平方运算时，被开方数必须是非负数；即求根公式使用的前提条件是a≠0且b24ac≥0.
三、判别式与一元二次方程的根的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由代数式b24ac的值来决定，因此b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，判别式的值与一元二次方程的根的关系是：
1. b24ac>0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
2. b24ac=0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
3. b24ac<0 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
【经典例题】
例题1、用公式法解下列方程．
（1）4x2-x=1； （2）3x2-5x-1=0．
例题2、用公式法解下列方程：
（1）．（2）．（3）．（4）．
例题3、关于 的方程 有两个不相等的实数根， 求 的取值范围．
例题4、已知关于x的一元二次方程x2+kx-k-3=0（k为常数）.
（1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根；
（2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
【基础训练】
1．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
2．关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
3． 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0无实数根，则c的取值范围是 .
5．方程：的解为 .
6．用公式法解下列方程：
（1） ． （2） ．
7．解下列方程
（1）； （2）；
（3）； （4）．
8．用公式法解下列方程：
（1） （2） （3）
9．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若方程的一个根为2，求的值，
（2）当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根.
10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
11．已知一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值．
（2）当时，求证：方程有两个实数根．
12．对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
（1）代数式的不变值是______，______．
（2）说明：代数式没有不变值；
（3）已知代数式，若，求的值．
【培优训练】
13．如图，欧几里得的《原本》中记载了形如x2+ax=b2（其中a>0，b>0）的方程的图解法：作出Rt△ABC，使两条直角边 AC和 BC的长分别为b和，再在斜边 AB上截取 BD=，则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD 的长 C．BC的长 D．CD 的长
14．关于的一元二次方程，下列说法：若，则方程一定有两个不相等的实数根；若，则方程没有实数根；若是方程的一个根，则；若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是( )
A． B． C． D．
15．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
16．已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，其中.以下说法中错误的是（ ）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解
D．若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或-1
17．已知等腰三角形的一边长为2，它的其他两条边长恰好是关于x的一元二次方程x2-6x+m=0 的两个实数根，则m的值为 .
18． 将关于 的一元二次方程 变形为 ， 就可以将 表示为关于 的一次多项式， 从而达到“降次”的目的， 又如 ， 我们将这种方法称为 “降次法”， 通过这种方法可以化简次数较高的代数式. 根据“降次法”， 已知： ，且 ， 则 的值为 .
19．如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则 ．
20．已知关于 的方程 ．
（1） 求证： 无论 取何值， 方程总有实数根．
（2） 若 的两边 的长是这个方程的两个实数根， 第三边 的长为 4 ， 当 是直角三角形时，求 的值．
21．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac-b2的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”．
（1）“友好方程”的“超强代码”是 ；
（2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
（3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且m≠n）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值.
22．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
【期末常考】
23．已知方程x2-6x+9=0，那么这个方程（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
24．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
25．若非零实数b，c满足b2=4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为（ ）
A．-b B．c C．b+c D．0
【课后作业】
1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
2． 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（ ）.
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
3． 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
4．关于x的一元二次方程x2+x-2=m，下列说法正确的是（ ）
A．当m=0时，此方程有两个相等的实数根
B．当m<0时，此方程没有实数根
C．当m>0时，此方程有两个不相等的实数根
D．此方程的根的情况与m的值无关
5．已知一元二次方程和.在探究两个方程的根的情况时，甲同学认为：若＜0，则两个方程都有两个不相等的实数根；乙同学认为：若m是其中一个方程的根，则是另一个方程的根；以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲乙都正确 B．甲乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
6． 已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为 ．
7．定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是 ．
8．用公式法解一元二次方程，得x= ，则该一元二次方程是 。
9．已知x2-2 x+1=0，则x- = 。
10．用公式法解方程
（1）x2+4x-1=0
（2）5x2- x-6=0 （3） x2-2x-6=0
11．已知关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-2=0（m为常数）.
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根.
12．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（4）
【知识重点】
一、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：(b24ac≥0).
二、使用求根公式的条件：求根公式是专门用来解一元二次方程的.
1.把方程化成一般形式；2.要求a≠0； 3. b24ac≥0因为开平方运算时，被开方数必须是非负数；即求根公式使用的前提条件是a≠0且b24ac≥0.
三、判别式与一元二次方程的根的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由代数式b24ac的值来决定，因此b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，判别式的值与一元二次方程的根的关系是：
1. b24ac>0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
2. b24ac=0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
3. b24ac<0 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
【经典例题】
例题1、用公式法解下列方程．
（1）4x2-x=1；（2）3x2-5x-1=0．
【答案】（1）解：4x2-x=1
4x2-x-1=0
∴∴
（2）解：3x2-5x-1=0
∴
例题2、用公式法解下列方程：
（1）．（2）．（3）．（4）．
【答案】（1）解：∵a=1，b=2，c=-3，
∴b2-4ac=22-4×1×(-3)=16，
∴，
∴x1=-3，x2=1.
（2）解：原方程可化为：2m2-3m-4=0，
∵a=2，b=-3，c=-4，
∴b2-4ac=（-3）2-4×2×(-4)=41，
∴，
∴x1=，x2=.
（3）解：∵a=，b=-1，c=，
∴b2-4ac=（-1）2-4××()=，
∴=，
∴a1=，a2=.
（4）解：∵a=2，b=，c=-1，
∴b2-4ac=()2-4×2×(-1)=10，
∴，
∴y1=，y2=.
例题3、 关于 的方程 有两个不相等的实数根， 求 的取值范围．
【答案】解：∵关于x 的方程（ 有两个不相等的实数根.
解得：k>-3且k≠1.
例题4、已知关于x的一元二次方程x2+kx-k-3=0（k为常数）.
（1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根；
（2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
【答案】（1）解：把代入方程 x2+kx-k-3=0 ，得，∴；
把代入方程 x2+kx-k-3=0 ，得，∴，，即另一个根为-1.
（2）证明：∵ x2+kx-k-3=0 ，
∴，
∴无论k取何值，，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根.
【基础训练】
1．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
则k的取值范围是且，
故答案为：B．
2．关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】A
【解析】∵ x2+kx+k-1=0，
∴b2-4ac=k2-4（k-1）=k2-4k+4=（k-2）2，
当k为任意实数时，（k-2）2≥0即b2-4ac≥0，
∴方程有两个实数根.
故答案为：A
3． 关于x的一元二次方程 没有实数根，则系数a， c 可能满足（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】∵已知ax2-ax+c=0没有实数根，
∴Δ=(-a)2-4ac=a2-4ac=a(a-4c)<0，
∴当a>0时，a-4c<0，
当a<0时，a-4c>0，
故答案为：D.
4．若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0无实数根，则c的取值范围是 .
【答案】c＞1
【解析】由条件可知Δ=(-2)2-4c<0，
解得c>1.
故答案为：c>1.
5．方程：的解为 .
【答案】
【解析】用求根公式解一元二次方程 时， 先要把方程化成一般形式：
用求根公式可求得：
故答案为：
6．用公式法解下列方程：
（1） ．（2） ．
【答案】（1）解：
∴
∴
（2）解：
∴
∴
7．解下列方程
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）解：，
∴，
∴，.
（2）解：∵a=2，b=-4， c=-1
∴，
∴，.
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴a=5，b=-18，c=9，
∴，
∴，
（4）解：∵，
∴，
∴a=1，b=8，c=-16，
∴，
∴，.
8．用公式法解下列方程：（1）（2）（3）
【答案】（1）解：
用求根公式可求得：
方程的根为：
（2）解：
用求根公式可求得：
方程的根为：
（3）解：方程可化为：
用求根公式可求得：
方程的根为：
9．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若方程的一个根为2，求的值，
（2）当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根.
【答案】（1）解：把代入，得，
∴，
∴
（2）证明：∵，∴，
∴，
∴方程有两个实数根
10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
【答案】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
整理得，且，
解得：且；
（2）解：∵且；
∴满足条件的最小正整数值是，
此时方程为，
解得：，．
11．已知一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值．
（2）当时，求证：方程有两个实数根．
【答案】（1）解：∵ 方程的一个根为2 ，
把代入一元二次方程中，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
12．对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
（1）代数式的不变值是______，______．
（2）说明：代数式没有不变值；
（3）已知代数式，若，求的值．
【答案】（1）和4，7
（2）解：依题意，得：即，
，
没有实数根，
代数式没有不变值；
（3）解：依题意，得：即有两个相等的实数根，
，
整理得：，
解得．
【解析】（1）解：依题意，得：，即
解得：，，
，
故答案为：和4，7；
【培优训练】
13．如图，欧几里得的《原本》中记载了形如x2+ax=b2（其中a>0，b>0）的方程的图解法：作出Rt△ABC，使两条直角边 AC和 BC的长分别为b和，再在斜边 AB上截取 BD=，则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD 的长 C．BC的长 D．CD 的长
【答案】B
【解析】∵
∴
∴
用求根公式得：，
∴ 方程的正根为：
对比AD的表达式可知，AD的长度恰好等于方程的正根。
故答案为：B.
14．关于的一元二次方程，下列说法：若，则方程一定有两个不相等的实数根；若，则方程没有实数根；若是方程的一个根，则；若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时，
方程一定有两个不相等的实数根，故结论正确；
当时，
当时，，方程没有实数根；
当时，，方程有两个实数根；故结论错误；
是方程的一个根
或，即，故结论正确；
是方程的一个根且
利用方程解的概念把代入到方程中得：
即是方程的一个根
故结论正确；
故答案为：C.
15．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
16．已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，其中.以下说法中错误的是（ ）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解
D．若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或-1
【答案】D
【解析】设方程甲的判别式为，乙的判别式为
若甲有两个不相等的实数解，则
即4a2<4b2此时
则乙没有实数解，故A不符合题意；
若甲有两个相等的实数解，则即4a2=4b2
此时则乙也有两个相等的实数解，故B不符合题意；
若x=1是甲的解，代入方程甲得2a+2b=0
将x=1代入方程乙，可得2b+2a=0，所以x=1也是乙的解，故C不符合题意；
将x=n分别代入甲，乙方程，得
①-②得：
∵a≠b两边同时约去a-b
∴n2-2n+1=0
（n-1）2=0
∴n=1
故D符合题意.
故答案为：D.
17．已知等腰三角形的一边长为2，它的其他两条边长恰好是关于x的一元二次方程x2-6x+m=0 的两个实数根，则m的值为 .
【答案】9
【解析】当2为腰长时，将x=2代入x2-6x+m=0，
得：22-6×2+m=0，
解得：m=8，
当m=8时，原方程为x2-6x+8-0，
解得：x1=2，x2=4，
∵2+2=4，
∴2，2，4不能组成三角形，
∴m=8舍去；
当2为底边长时，关于x的一元二次方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根，
∴ =(-6)2-4×1×m=0，
解得：m=9，
当m=9时，原方程为x2-6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
∵2，3，3能组成三角形，
∴m=9符合题意，
∴m的值为9.
故答案为：9.
18． 将关于 的一元二次方程 变形为 ， 就可以将 表示为关于 的一次多项式， 从而达到“降次”的目的， 又如 ， 我们将这种方法称为 “降次法”， 通过这种方法可以化简次数较高的代数式. 根据“降次法”， 已知： ，且 ， 则 的值为 .
【答案】
【解析】∵
∴
∵=
=
=
=
=
=
∵
∴
∵
∴
∴原式=
故答案为.
19．如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则 ．
【答案】3或6或11
【解析】∵ 一元二次方程有两个有理根，
∴，
∵该方程有2个有理根，其中为自然数，
∴是完全平方数，
令（m为整数），
∴，
∴将该方程看作关于的一元二次方程，
∴，
∴为完全平方数，
令（k为整数），
∴，
∴或
解得：或
当，，解得：或（舍）；
当，，解得或，
综上：或或，
故答案为：3或6或11．
20．已知关于 的方程 ．
（1） 求证： 无论 取何值， 方程总有实数根．
（2） 若 的两边 的长是这个方程的两个实数根， 第三边 的长为 4 ， 当 是直角三角形时，求 的值．
【答案】（1）证明：△=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×3(m-1)
=m2-8m+16
=(m-4)2，
∵无论m取何值，(m-4)2≥0，
∴ 无论 取何值， 方程总有实数根．
（2）解：x==，
x1=m-1，x2=3，
当BC为直角边时，32+42=52，
∴m-1=5，解得：m=6；
当BC为斜边时，32+（m-1）2=42，
解得：m1=1+，m2=1-（不合题意，舍去），
答：m的值为6或1+.
21．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac-b2的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”．
（1）“友好方程”的“超强代码”是 ；
（2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
（3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且m≠n）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值.
【答案】（1）-25
（2）∵是“友好方程”，
∴由题意可知，且为完全平方数，
∵，∴，
∴=36或49或64，∴或或，
∵为整数，∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超级代码”为；
（3）方程①：的“超级代码”为：
，
由∵，
∴
∴
方程②：的“超级代码”为：
，
∴
∴
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，∴，即，
又∵方程①的一个解是方程②的一个解的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，.
【解析】（1），故答案为-25；
22．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，解得：；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
∴的值为2．
【解析】（1）在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
【期末常考】
23．已知方程x2-6x+9=0，那么这个方程（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【答案】B
【解析】∵ x2-6x+9=0，
∴a=1，b=-6，c=9，
∴判别式，
∴当时，方程有两个相等的实数根.
故答案为：B.
24．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以 =0，
即(-2)2- 4×1×(k + 1)=0 ，解得k = 0 ，
故答案为： A，
25．若非零实数b，c满足b2=4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为（ ）
A．-b B．c C．b+c D．0
【答案】D
【解析】∵b2=4c，
，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为0．
故答案为：D.
【课后作业】
1． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】由题意可知：
m+1≠0，解得m≠-1，
=b2 4ac=4-4（m+1）=4-4m-4=-4m＞0，解得m＜0，
综上所述答案为：A.
2． 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（ ）.
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【答案】B
【解析】∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2，
∴ac<0，
∴a≠0.
在方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
3． 已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2-2ax+2=0的两个实数根相等，
∴a≠0，Δ=（-2a）2-4×a×2=0，
解得：a=2．
故答案为： C.
4．关于x的一元二次方程x2+x-2=m，下列说法正确的是（ ）
A．当m=0时，此方程有两个相等的实数根
B．当m<0时，此方程没有实数根
C．当m>0时，此方程有两个不相等的实数根
D．此方程的根的情况与m的值无关
【答案】C
【解析】x2+x-2=m，即x2+x-2-m=0
∴
当9+4m=0，即时，方程有两个相等的实数根，A错误
当9+4m>0，即时，方程有两个不相等的实数根，C正确
当9+4m<0，即时， 方程没有实数根，D错误
故答案为：C
5．已知一元二次方程和.在探究两个方程的根的情况时，甲同学认为：若＜0，则两个方程都有两个不相等的实数根；乙同学认为：若m是其中一个方程的根，则是另一个方程的根；以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲乙都正确 B．甲乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【解析】甲同学：一元二次方程 和 的根的判别式
即
∴两个方程都有两个不相等的实数根，甲同学的看法正确；
乙同学：
不是两方程的解，
当m是一元二次方程 的解时，将 代入原方程得：
∵方程两边同时除以 得：
是一元二次方程 的根， 乙同学的看法正确；
当m是一元二次方程 的解时，将 =m代入原方程得：
∵方程两边同时除以 得：
是一元二次方程 的根， 乙同学的看法正确.
综上所述， 甲乙都正确.
故答案为：A.
6． 已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为 ．
【答案】且
【解析】关于x的方程(k-2)x2-x+1=0(k为常数)有两个实数根，
∴Δ=(-1)2-4(k-2)x1≥0且k-2≠0，
解得且k≠2，
故答案为：且k≠2.
7．定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是 ．
【答案】
【解析】∵关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，
∴a-b+c=0，
∴b=a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴a=c，
故答案为：a=c
8．用公式法解一元二次方程，得x= ，则该一元二次方程是 。
【答案】3x +5x+1=0
【解析】∵ 用公式法解一元二次方程，得x= ，
∴x=
∴2a=2×3，-b=-5，4ac=4×3×1
∴a=3，b=5，c=1
∴这个一元二次方程是：3x +5x+1=0.
故答案为：3x +5x+1=0.
9．已知x2-2 x+1=0，则x- = 。
【答案】±4
【解析】
∴
∴
当x=5+2，时；
当x=5-2，时
综上：x-1x=±4
故答案为： ±4 .
10．用公式法解方程
（1）x2+4x-1=0
（2）5x2- x-6=0 （3） x2-2x-6=0
【答案】（1）解：∵a=1，b=4，c=-1，
∴b2-4ac=42-4×1×（-1）=20>0
∴x= = ，
∴x=-2± ，
即x1=-2+ ，x2=-2-
（2）解：∵a=5，b=- ，c=-6，
∴b2-4ac=5-4×5×（-6）=125>0，
∴x= =
∴x1= ，x2=- .
（3）解：化简方程，得x2-4x-12=0则a=1，b=-4
∴b2-4ac=（-4）2-4×1×（-12）=64>0
∴x= = ，
∴x=-2±4，
即x1=6，x2=-2
11．已知关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-2=0（m为常数）.
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根.
【答案】（1）解：把x=1代入方程可得1-(m+1)+2m-2=0，
解得m=2，
当m=2时，原方程为x2-3x+2=0，
∴(x-1)(x-2)=0，
解得x1=1，x2=2，
即方程的另一根为2
（2）证明：∵a=1， b=-(m+1)， c=2m-2，
∴△=[-(m+1)]2-4×1×(2m-2)
=m2-6m+9
=(m-3)2 ≥0，
∴不论m为何值时，方程总有两个实数根.
12．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：方程，
∴，
∵，∴，
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13是完全平方数，∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为可化为：，
∴，
故其“快乐数”数是；
（3）解：∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设，a为整数，
则，
∴或或或或或或或
解得或或（舍）或(舍)，∴方程为：或；
∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，∴，
解得：或（舍），
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：，
综上，n的值为0或3．
【解析】（1）由定义可得：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
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