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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.4 一元二次方程的应用（2）
【知识重点】
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤.
(1)审：审清题意，弄清已知量与未知量；
(2)找：找出等量关系；
(3)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
(4)列：列出一元二次方程；
(5)解：求出所列方程的解；
(6)验：①检验方程的解是否正确，②是否符合题意；
(7)答：作答.
二、列方程解决实际生活中有关面积计算问题：
1.不规则图形面积的求法一般转化为规则图形来计算，常用的方法是割补法；平移、旋转等几何变换在平面图形面积计算问题中也常常用到，主要起到转化作用.
2.平面内距离计算问题主要是构造直角三角形，利用勾股定理进行计算.
【经典例题】
例题1、把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．
例题2、如图，某海军基地位于处，其正南方向200海里处有一个重要目标，在的正东方向200海里处有一重要目标．小岛位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛位于BC上，且恰好处于小岛的正南方向．一艘军舰从出发，经到匀速巡航，一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛和小岛相距多少海里
（2）已知军舰的速度是补给船速度的2倍，军舰在由到航行的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里 （结果精确到0.1海里，）
例题3、如图，中，，点从点出发沿边向点B以的速度移动，点Q从B出发沿边BC向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为．
（1）若两点的距离为时，求的值？
（2）当为何值时， BPQ的面积最大？并求出最大面积．
例题4、饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F在线段BC上．
（1）设EF的长为x米，则DE＝ 米；（用含x的代数式表示）
（2）若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（3）所围成的饲养场BDEF的面积能否为171平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
【基础训练】
1．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，有5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，则每个小矩形的长为 ．
6．如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2个点， ，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和为10.若三角形点阵中前a行的点数和为300，则a的值为 .
7．如图是我市将要开发的一块长方形土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分成甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园．若已知丙地的面积为，则的值是 ．
8．用篱笆围成如图的矩形ABCD菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米），已知篙笆的总长为60米（篙笆全部用完），设AB长x米.
（1）用含x的代数式表示BC的长.
（2）矩形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由.
9．小明准备进行如下实验操作：把一根长为 32cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于 ，则这两个正方形的边长各是多少？
（2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于 . 你认为他的说法正确吗？请说明理由.
10． 某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃.花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米.下面是小高和小周两位同学设计的方案（篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计）：
（1）如图1是小高同学设计的方案，花圃ABCD的一边AD靠墙（AD \leq 8米），另三边用篱笆围成.设AB的长为x米，①求BC的长（用含x的代数式表示）；
②当花圃ABCD面积为42平方米时，求x的值；
（2）如图2是小周同学设计的方案，花圃EFGH的一边EH由围墙（EM）和部分篱笆（MH）组成，另三边由剩余的篱笆围成.问花圃EFGH面积能达到50平方米吗？请通过计算说明.
11．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm．
（1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示）
（2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
12． 如图， 学校为了对学生进行劳动教育， 用总长为 77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形种植园， 每个长方形都有一个 1 米宽的门，墙的最大可用长度为 30 米．
（1）如果种植园的总面积为 300 平方米，求边 的长．
（2） 种植园的总面积能为 500 平方米吗 若能， 请求出边 的长； 若不能， 说明理由．
【培优训练】
13．瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有2人参加，共赛一局；若有3人参加，共赛3局；若有4人参加，共赛6局……并且规定：每局赢者得2分，输者得0分，如果平局，两个选手各得1分.经统计，全部选手总分为2070分，试问如果选手A这次比赛共得90分，A有无可能成为冠军？（ ）.
A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能
14．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
16．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为 .
17．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
18．已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
（1）方程与互为“同根轮换方程”吗？
（2）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
（3）已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
19． 根据以下素材，探索完成任务．
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量．
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长AD比宽AB多10米．
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统．
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米．
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程： ▲ ．
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案．
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值．
20．根据以下素材，探索完成任务
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为 ▲ （）
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
【期末常考】
21．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
22．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）若花圃的面积为，求花圃的一边的长；
（2）花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【课后作业】
1． 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（ ）
A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
2．如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是，设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去四个角的两个小正方形和两个小长方形（阴影部分）后，恰好折成如图2所示的有盖的长方体纸盒，且它的底面积是．设纸盒的高为，则可列出方程为（ ）
图1 图2
A． B．
C． D．
4．空地上有一段长为20米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园DCBA(如图)，已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为 198平方米，则AB的长为 （ ）
A．9米 B．11米 C．(10+ )米 D．9米或11米
5．金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则x满足的方程是( )
A． B．
C． D．
6．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
7．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步 ”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步 若设宽为x步，则根据题意可列方程为 ．
8．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m.
（1）若花圃的面积为，求花圃一边AB的长；
（2）花圃的面积能达到吗 说明理由.
9．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
（1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，的长度等于？
（3）是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
10．如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙，用篱笆围成一个长方形花园。现有可用的篱笆长为60m（全部用完）。设AB的长为。
（1）如图1，用含的代数式表示BC的长。
（2）如图1，当长方形花园ABCD的面积为时，求的值。
（3）如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND，构成长方形ABCD，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成。长方形花园ABCD的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由。
11．根据以下素材，探索完成任务．
如何计算工厂生产线数量？
素材1 科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产400万个．
素材2 经调查发现，1条生产线的最大产量与生产线数量有关，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产量将减少20万个/天．
问题解决
任务1 确定最大产量 为了新生产线的适应，前三天1条生产线的产量按日平均增长率50%增加至最大产量，求1条生产线的最大产量
任务2 拟定初方案 现该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，在增加一定数量生产线的同时又要节省投入（生产线越多，投入越大），求增加的生产线数量．
任务3 优化方案 该厂想使每天生产一次性注射器达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
12．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝ 尺，EB＝ 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．
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数学八年级下册第2章一元二次方程
2.4 一元二次方程的应用（2）
【知识重点】
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤.
(1)审：审清题意，弄清已知量与未知量；
(2)找：找出等量关系；
(3)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
(4)列：列出一元二次方程；
(5)解：求出所列方程的解；
(6)验：①检验方程的解是否正确，②是否符合题意；
(7)答：作答.
二、列方程解决实际生活中有关面积计算问题：
1.不规则图形面积的求法一般转化为规则图形来计算，常用的方法是割补法；平移、旋转等几何变换在平面图形面积计算问题中也常常用到，主要起到转化作用.
2.平面内距离计算问题主要是构造直角三角形，利用勾股定理进行计算.
【经典例题】
例题1、把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．
【答案】解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm，
则(40－2x)2＝484，
即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.
②侧面积有最大值．
设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x，
即y＝－8x2＋160x，
改写为y＝－8(x－10)2＋800，∴当x＝10时，y最大＝800.
(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm，
2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，
解得x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.
∴剪掉的正方形的边长为15 cm.
答：(1)剪掉的正方形的边长为9 cm；
(2)当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.
(3)此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.
例题2、如图，某海军基地位于处，其正南方向200海里处有一个重要目标，在的正东方向200海里处有一重要目标．小岛位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛位于BC上，且恰好处于小岛的正南方向．一艘军舰从出发，经到匀速巡航，一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛和小岛相距多少海里
（2）已知军舰的速度是补给船速度的2倍，军舰在由到航行的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里 （结果精确到0.1海里，）
【答案】（1）解：连结BD，如图
由题意可知：△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形
又∵D是AC中点
∴△BDC是以BC为斜边的等腰直角三角形
∵DF⊥BC，∠C=45°
答：小岛和小岛相距100海里。
（2）解：设相遇时补给船航行了x海里，则军舰航行了2x海里。
①若E在F左侧时，EF=300-2x，DF=100，DE=x，得：（300-2x）2+1002=x2
解方程得： （舍去）；
②若E在F右侧时，EF=2x-300，DF=100，DE=x，得：（2x-300）2+1002=x2
解方程得：，两者都不符合题意，舍去；
答：相遇时补给船航行了118.4海里
例题3、如图，中，，点从点出发沿边向点B以的速度移动，点Q从B出发沿边BC向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为．
（1）若两点的距离为时，求的值？
（2）当为何值时， BPQ的面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1）解：依题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵两点的距离为，
∴，
解得：或2；
（2）解：设的面积为，根据题意得：
，
∴当时，S取得最大值，最大值为9，
即当为时，的面积最大，最大面积为．
例题4、饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F在线段BC上．
（1）设EF的长为x米，则DE＝ 米；（用含x的代数式表示）
（2）若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；
（3）所围成的饲养场BDEF的面积能否为171平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）（45﹣3x）
（2）解：依题意得：x（45﹣3x）＝132，
整理得：x2﹣15x+44＝0，
解得：x1＝4，x2＝11．
当x＝4时，45﹣3x＝45﹣3×4＝33＞15，不合题意，舍去；
当x＝11时，45﹣3x＝45﹣3×11＝12＜15，符合题意．
答：饲养场的宽EF的长为11米．
（3）解：不能达到，理由如下：
设EF的长为y米，则DE＝米，
依题意得：y ＝171，
整理得：y2﹣19y+＝0，
∵Δ＝（﹣19）2﹣4×1×＝﹣75＜0，
∴该方程没有实数根．
【解析】(1)设的长为米，则（米）．
故答案为：．
【基础训练】
1．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：．
故答案为：A．
2．如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设小路的宽度为，
则草坪的总长度和总宽度应该为，
根据题意，得，
故选：B
3．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故答案为：A．
4．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得等量关系：油菜地的面积=总面积×，可列方程：
，
即．
故答案为：D
5．如图，有5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，则每个小矩形的长为 ．
【答案】
【解析】设小矩形的长为x，
根据题意，得，
解得（负值舍去），
故答案为：．
6．如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2个点， ，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和为10.若三角形点阵中前a行的点数和为300，则a的值为 .
【答案】24
【解析】∵第一行有1个点，第二行有2个点， ，第n行有n个点
∴前4行的点数之和=1+2+3+ 4=10
∴前a行的点数之和=1+2+3+ +a=300，可得；
整理可得，解得a=24或-25（舍去）；
∴a的值为24
故答案为：24.
7．如图是我市将要开发的一块长方形土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分成甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园．若已知丙地的面积为，则的值是 ．
【答案】4或5
【解析】由题意得：丙的长为，丙的宽为，
∵丙地的面积为，列方程得：，即，
解得：，，
所以x的值为4或5 ．
故答案为：4或5
8．用篱笆围成如图的矩形ABCD菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米），已知篙笆的总长为60米（篙笆全部用完），设AB长x米.
（1）用含x的代数式表示BC的长.
（2）矩形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：BC=60-3x
（2）解：矩形菜地的总面积能为225平方米.
x(60-3x)=225，
x2-20x+75=0，
解得x1=5，x2=15.
当x=5时，60-3×5=45>40，不符合题意，舍去.
但x=15时，60-3×15=15<40，符合题意.
∴x=15
所以矩形菜地的总面积能为225平方米，此时x=15.
9．小明准备进行如下实验操作：把一根长为 32cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于 ，则这两个正方形的边长各是多少？
（2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于 . 你认为他的说法正确吗？请说明理由.
【答案】（1）解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为.依题意列方程得.
整理得：，
，
解方程得，，
因此这两个正方形的边长分别是3cm，5cm.
（2）解：两个正方形的面积之和不可能等于.理由：
若两个正方形的面积和为，则
，
，
，
此方程无解，
两个正方形的面积之和不可能等于.
10． 某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃.花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米.下面是小高和小周两位同学设计的方案（篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计）：
（1）如图1是小高同学设计的方案，花圃ABCD的一边AD靠墙（AD \leq 8米），另三边用篱笆围成.设AB的长为x米，①求BC的长（用含x的代数式表示）；
②当花圃ABCD面积为42平方米时，求x的值；
（2）如图2是小周同学设计的方案，花圃EFGH的一边EH由围墙（EM）和部分篱笆（MH）组成，另三边由剩余的篱笆围成.问花圃EFGH面积能达到50平方米吗？请通过计算说明.
【答案】（1）解：① 米
②根据题意，得： ，
解得：，，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 x 的值为 7
（2）解： 设MH=m，EF=GH=x，则FG=20-2x-m，根据题意有，
x（20-2x-m）=50，整理得：2x2+（m-20）x+50=0，
若面积能达到50，则方程有解，则Δ≥0，
∴Δ=（m-20）2-4×2×50=m2-40m≥0，解得：m≥40或m≤0，
显然，无论是m≥40还是m≤0，均不符合题意
11．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm．
（1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示）
（2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为x m，
∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m
（2）解：根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450，
整理得：x2﹣25x+150＝0，
解得：x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去；
当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意．
答：车棚的长为30m，宽为15m
（3）解：不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下：
假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m，
根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525，
整理得：y2﹣25y+175＝0，
∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即不能围成面积为525m2的自行车车棚
12． 如图， 学校为了对学生进行劳动教育， 用总长为 77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形种植园， 每个长方形都有一个 1 米宽的门，墙的最大可用长度为 30 米．
（1）如果种植园的总面积为 300 平方米，求边 的长．
（2） 种植园的总面积能为 500 平方米吗 若能， 请求出边 的长； 若不能， 说明理由．
【答案】（1）解：设AB=x米， 由题意得BC=(80-4x)米，
∴x(80-4x)=300，
解得x1=15， x2=5，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，BC=60米>30米，
∴x=15.
答：边AB的长为15米.
（2）解：设AB=x米，则x(80-4x)=500，
化简得x2-20x+125=0，
∵，
∴种植园的总面积不能为500平方米.
【培优训练】
13．瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有2人参加，共赛一局；若有3人参加，共赛3局；若有4人参加，共赛6局……并且规定：每局赢者得2分，输者得0分，如果平局，两个选手各得1分.经统计，全部选手总分为2070分，试问如果选手A这次比赛共得90分，A有无可能成为冠军？（ ）.
A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能
【答案】D
【解析】设共有名选手参赛，由题意列方程得：
解方程得：（舍去）
共有46名选手参赛
每名选手的比赛局数为：
每局最多积2分
即选手A每局都获胜，则他一定是冠军
故答案为：D.
14．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
【答案】C
【解析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意可得，
，
将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③，
将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11，
整理得：，
解得：或（舍），
则x=y+1=6，
则矩形的宽为5cm，长为6cm，
按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：，
故答案为：C．
15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【答案】
【解析】与是“同族二次方程”
故答案为：2019.
16．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为 .
【答案】或
【解析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为(2t，0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t，3)，C点坐标为(-3，0)，A点坐标为(0，3)，
∴Q点坐标为(t-3，0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，.
故答案为：，.
17．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【答案】（1）解：根据题意可得， 每位选手与其他选手各比赛1局 ，因此，5个人需比赛的局数为；
（2）解：小哲说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
解得：，
x不是整数，
所以方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）解：设有人报名参赛，有一人参加了n场比赛后中途退出，此时，剩下（x-1）人，
根据题意，可列方程为：=70，
整理得：，
解得：，
因为x为正整数， 且参赛者少于15人 ，
所以，当x=4时，x=13，符合题意，
当x=15时，x=12，符合题意，
所以，报名本次比赛的参赛者有12或13名.
18．已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
（1）方程与互为“同根轮换方程”吗？
（2）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
（3）已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：在方程中，，
∴方程无实数根，
∴方程与不互为“同根轮换方程”；
（2）解：∵方程与互为“同根轮换方程”，
∴
设t是公共根，则有，，
解得，．
∵，
∴．
∴．
∴（0值舍去）．
（3）解：当公共解为时，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为时，，，，
同理可得，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为，
由题意可得：，，，
同理可得，，，，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”．
19． 根据以下素材，探索完成任务．
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量．
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长AD比宽AB多10米．
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统．
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米．
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程： ▲ ．
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案．
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值．
【答案】解：（1）（x+10）；x（x+10）＝1200；
（2）任务2：该设计达标．理由如下：
由题意，结合任务1，x（x+10）＝1200，
∴x2+10x﹣1200＝0．
∴x＝﹣40（不合题意，舍去）或x＝30．
∴AD＝40m，AB＝30m．
∴对角线BD＝50m．
∴AP＝BP＝CP＝DP＝25m．
∵当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，
∴该设计达标．
（3）任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
∴（30﹣2a）（40﹣2a）＝24．
∴a＝14或a＝21（此时30﹣2a＜0，不合题意，舍去）．
【解析】（1）任务1：由题意，∵矩形大棚的宽为x米，则长为 （x+10）米，
∴x（x+10）＝1200．
故答案为：x（x+10）＝1200．
20．根据以下素材，探索完成任务
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为 ▲ （）
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
【答案】解：（1）40
（2）将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，设裁剪小长方形的宽为2n，长为n，
则折成储物盒底面长=原纸板长-4n，底面宽=原纸板宽-2n，
由（1）知a=40cm，
故折成储物盒底面长=60-4n，底面宽=40-2n，
当储物盒的底面积是时 ，有（60-4n）（40-2n）=832，化简得，
解得n=7或n=28，
当n=28时，折成储物盒底面长=60-4n=60-4x28=-52<0不符合题意，故n=28舍去，即n=7，
分析图5可知， 储物盒的高即为n，即h=n=7，
故体积；
（3）（70-40）=10，
∴40×30=1200.
∴ 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为1200cm2
【解析】 （1）根据素材1图2，储物区底面为长方形，尺寸为长40cm，宽30cm，
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，则设裁剪小长方形的宽为2m，长为m，则折成储物盒底面长=原纸板长-4m，底面宽=原纸板宽-2m，
因按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，
则，
解得m=5，，符合题意，
故a=40；
故答案为：40.
【期末常考】
21．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
22．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）若花圃的面积为，求花圃的一边的长；
（2）花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设的长为米，则米
由题意可得：，
解得：，，
，即：，
，
∴的长为10米
（2）花圃的面积不能达到．理由如下：
设的长为米，
由题意可得：，
化简得，
△，
方程无解，
花圃的面积不能达到
【课后作业】
1． 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（ ）
A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
【答案】D
【解析】设仓库的宽为x米 米)，则仓库的长为 米，
根据题意得：
故答案为：D.
2．如图，在一块长、宽的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是，设小路的宽度为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设小路的宽度为，
根据题意，可列出方程为：，
故选：D．
3．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去四个角的两个小正方形和两个小长方形（阴影部分）后，恰好折成如图2所示的有盖的长方体纸盒，且它的底面积是．设纸盒的高为，则可列出方程为（ ）
图1 图2
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设该有盖纸盒的高为，由题意及图可得两个小正方形的边长也为，则有该纸盒的底面的长和宽分别为，
由题意得，，
故选：B．
4．空地上有一段长为20米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园DCBA(如图)，已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为 198平方米，则AB的长为 （ ）
A．9米 B．11米 C．(10+ )米 D．9米或11米
【答案】B
【解析】设AB=x，则BC=40-2x，
根据题意得x（40-2x）=198，
解得x1=9，x2=11，
由题意得40-2x≤20，解得x≥10，
∴x=11，即AB=11米.
故答案为：B.
5．金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则x满足的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，
根据题意可得出方程为：，
故答案为：C．
6．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【解析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
7．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步 ”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步 若设宽为x步，则根据题意可列方程为 ．
【答案】x（60-x）＝864
【解析】设宽为x步，则长为（60-x）步，根据题意得：x（60-x）＝864．
故答案为：x（60-x）＝864．
8．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m.
（1）若花圃的面积为，求花圃一边AB的长；
（2）花圃的面积能达到吗 说明理由.
【答案】（1）解：设AB=x，则CD=x，BC=18-2x，则有
（32-2x)x=120，解得x1=6，x2=10；
当x=6时，32-2x=20>18，故舍去；
故AB=10米
（2）解：由(1)令（32-2x)x=130，得x2-16x+65=0，△=162-4×65=256-260=-4<0
故原方程无解，故 花圃 的面积不能达到130m2.
9．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
（1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，的长度等于？
（3）是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）解：在中，由勾股定理，得，
解得：，；
（3）解：由题意，得，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，的面积等于．
四边形的面积．
答：当时，四边形的面积等于．
【解析】（1）解：由题意，得，．
故答案为：，；
10．如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙，用篱笆围成一个长方形花园。现有可用的篱笆长为60m（全部用完）。设AB的长为。
（1）如图1，用含的代数式表示BC的长。
（2）如图1，当长方形花园ABCD的面积为时，求的值。
（3）如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND，构成长方形ABCD，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成。长方形花园ABCD的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由。
【答案】（1）解：设AB的长为xm，则BC的长为(60-2x)m.
（2）解：由题意可得，
解得（舍去），，
答：当为20时，可使长方形花园ABCD的面积为．
（3）解：不能，理由如下：
由题意可知
整理得，
，
该方程无实数根
长方形花园MBCD的面积不可能为
11．根据以下素材，探索完成任务．
如何计算工厂生产线数量？
素材1 科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产400万个．
素材2 经调查发现，1条生产线的最大产量与生产线数量有关，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产量将减少20万个/天．
问题解决
任务1 确定最大产量 为了新生产线的适应，前三天1条生产线的产量按日平均增长率50%增加至最大产量，求1条生产线的最大产量
任务2 拟定初方案 现该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，在增加一定数量生产线的同时又要节省投入（生产线越多，投入越大），求增加的生产线数量．
任务3 优化方案 该厂想使每天生产一次性注射器达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【答案】解：任务1：（万个），答：1条生产线的最大产量为900万个；
任务2：设增加的生产线数量为x条，根据题意得：
，
解得：，，
∵生产线越多，投入越大，
∴在增加一定数量生产线的同时又要节省投入，舍去，
答：增加的生产线数量为4条；
任务3：设增加的生产线数量为y条，根据题意得：
，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，
∴每天生产一次性注射器不能达到10900万个．
12．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝ 尺，EB＝ 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．
【答案】（1）1，5；
（2）解 ：设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，
根据题意得：，解得：x=13，
13-1=12（尺），
答：芦苇长13尺，则水的深度为12尺．
【解析】（1）根据题意：DE是芦苇高出水面部分，即DE=1尺，EB是水面边长的一半，即EB=AB=5尺，
故答案是：1，5。
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