浙教版八上专练：全等带来角的转移，线段的转移（含解析）

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全等带来边、角的转移：一个三角形的边或角以全等关系转移到另一个三角形上，实现相等关系的传递(1)
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，已知B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．AC与DE交于点G，（1）求证△ABC≌△DEF；（2）若∠B＝50°，∠ACB＝60°，求∠EGC的度数．
2.如图，为了测量凹槽的宽度，把一块等腰直角三角板放置在凹槽内，三个顶点，，分别落在凹槽内壁上，若，测得，，（1）求证：≌（2）求该凹槽的宽度的长．
3．如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知∠BAC=900，AB=AC，，且之间的距离为2，之间的距离为3，求的面积
连续递推，豁然开朗
4.已知和都是等腰直角三角形，若D为AB上一动点如图①，①求证：≌；②若AD=5，BD=12，求线段DE的长．
思维拓展，更胜一筹
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，BC＝3，AC＝4，分别以AB，AC为边在△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD．求CD的长．
等带来边、角的转移：一个三角形的边或角以全等关系转移到另一个三角形上，实现相等关系的传递(2)
夯实基础，稳扎稳打
1．已知：如图，点，在线段上，，，．
（1）求证：；（2）若，求的度数．
2．如图，点E，F在CD上，且∠AEC＝∠BFD＝90°，AC＝BD，CF＝DE．
（1）求证：Rt△AEC≌Rt△BFD．（2）连结AF，若BD＝5，AE＝3，CF＝1，求AF的长度．
3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，求EC的长．
连续递推，豁然开朗
4.如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．
（1）证明：△ADC≌△BCE．（2）若CF＝2，CE＝3，求DE的长．
思维拓展，更胜一筹
5．如图，AO⊥OM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE．
（1）连接AF、OE，求证AF＝OE；（2）连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度的会变化吗？若会变化，请说明理由；若不变，请求出PB的长度．
全等带来边、角的转移：一个三角形的边或角以全等关系转移到另一个三角形上，实现相等关系的传递(3)
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，D是△ABC的边上一点，，交于点E，DE=EF．
(1)求证：．(2)若AB=10,CF=7，求的长．
2．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，，点，分别在，上，连接，．已知BC=BD，∠CDE=450．(1)求证：．(2)若AC=1，求的长．
3．如图，在长方形ABCD中，BC＝4，CD＝2，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，求线段AE的长
连续递推，豁然开朗
4.已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，．（1）求证：；（2）点为的中点，，求∠FDH的度数．
思维拓展，更胜一筹
5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，2)，点B从坐标原点O出发，沿轴负半轴运动，以为边作等边三角形（A，B，C按逆时针顺序排列），当点B在原点O时，记此时的等边三角形为．(1)求点的坐标；(2)连接，求证：；(3)求动点C的函数表达式．
全等带来边、角的转移：一个三角形的边或角以全等关系转移到另一个三角形上，实现相等关系的传递(4)
夯实基础，稳扎稳打
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BF．（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠BAE＝13°，求∠ACF的度数．
2．如图，AD=AC，∠1=∠2=400，∠C=∠D，点E在线段上．
(1)求证：；(2)求∠AEC的度数．
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，连结BD，求线段AD的长
连续递推，豁然开朗
4．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，求OD的长
思维拓展，更胜一筹
5．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE．
(1)【尝试证明】如图1，连结、，求证：BE=CD；
(2)【变式探究】如图2，连结、，若∠BAC=∠DAE=600，CD⊥AE，AD=6，CD=8求的长；
全等带来边、角的转移：一个三角形的边或角以全等关系转移到另一个三角形上，实现相等关系的传递(1)
1.（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
∵AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）；
解：由（1）知，△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠DEF＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠EGC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°
2.解：是等腰直角三角形，，，，
，，，
在和中，，≌，
，，．
3. 6.5
4. 解：①证明：因为和都是等腰直角三角形，，
所以，，，所以
在和中，因为所以≌
②因为是等腰直角三角形，，所以
因为≌，所以，，
所以，所以，即DE=13
5．∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC＝CE＝4，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，
过点E作EF⊥BC于点F，
∵∠BCE＝120°，∴∠CEF＝∠BCE﹣∠F＝120°﹣90°＝30°，∴，
∴，BF＝BC+CF＝3+2＝5，
∴
全等带来边、角的转移：一个三角形的边或角以全等关系转移到另一个三角形上，实现相等关系的传递(2)
1.（1）证明：∵，．在和中 ．
，，，
2.（1）证明：∵CF＝DE，∴CF+EF＝DE+EF，∴CE＝DF，
在Rt△AEC和Rt△BFD中，，∴Rt△AEC≌Rt△BFD（HL）．
（2）解：∠AEC＝90°，AC＝5，AE＝3，∴CE＝＝＝4，
∵CF＝1，∴EF＝CE﹣CF＝4﹣1＝3，∴AF＝＝＝3，
解：设EC＝x，则BE＝8﹣x，AE＝EC＝x，42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴EC＝5，
4．（1）证明：∵AD∥EB，∴∠A＝∠B，在△ADC和△BCE中，，∴△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△BCE，∴CD＝CE，∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE，DF＝EF．
EF，∴．
5.（1）证明：∵△OBF、△ABE都是等腰直角三角形，∴BF＝BO，BA＝BE，∠OBF＝∠ABE＝90°，∴∠ABF＝∠EBO＝90°+∠ABO，
在△ABF和△EBO中，，∴△ABF≌△EBO（SAS），∴AF＝OE；
（2）解：PB的长度不变，理由如下：过E作ED⊥OM于点D，∵AO⊥OM，BF⊥OM，∴∠BDE＝∠AOB＝∠PBF＝90°，∴∠EBD＝90°﹣∠ABO＝∠BAO，
在△EBD和△BAO中，，∴△EBD≌△BAO（AAS），
∴DE＝OB，DB＝OA＝8，∵OB＝BF，∴DE＝BF，
在△DPE和△BPF中，，∴△DPE≌△BPF（AAS），∴PD＝PB，
∴PB＝DB＝×8＝4，∴PB的长度不变，PB的长度为4．
全等带来边、角的转移：一个三角形的边或角以全等关系转移到另一个三角形上，实现相等关系的传递(3)
1．（1）证明：∵，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
在△ADE和中，∵，∴；
（2）解：由（1）可知，
∵，AD=CF=7，∴BD=-10-7=3，
2．（1）证明：∵AC=BC，BC=CD，∴AC=BD，
∵∠ACB=900，∴∠A=∠B=450，
∵∠CDE=450，∴∠A=∠CDE=450，
∵∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，∴∠ACD=∠BDE，
在△ACD和△BDE中，，∴；
（2）解：∵AC=1=BC，∠ACB=900，∴AB=，
∵BD=AC=1，∴AB-DB=AD=-1，∵，∴BE=AD=-1．
3解：设ED＝x，则AE＝4﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，
由题意得：∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED＝x，
由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，即x2＝4+（4﹣x）2，解得：x＝2.5，即ED＝2.5，
∴AE＝1.5．
4．（1）解：∵，，∴，
在和中，，∴（HL）．
（2）解：∵，∴，∵，∴，
∵点为的中点，∴，∴，∴是等边三角形，
∠FDH=600
5．（1）解：过点作C1H⊥AO于点H，∵点A的坐标是（0,2），∴OA=2，
∵是等边三角形，∴OA=OC1=AC1=2，∠C1OA=∠AC1O=∠OAC1=600，
∵C1H⊥AO，
∴OH=1/2OA=1，C1H=，∴点的坐标是( ,1)．
（2）证明：∵等边△ABC，
∴∠CBA=∠ACB=∠BAC=600，AB=AC=BC，
∵是等边三角形，
∴OA=OC1=AC1=2，∠C1OA=∠AC1O=∠OAC1=600，，
∴∠BAC+∠OAC=∠OAC1+∠OAC，∴∠BAO=∠CAC1，∴，
在△ABO和△ACC1中，，∴．
（3）解：∵，∴∠BOA=∠AC1C=900，，
∵是等边三角形，设直线于y轴交点为M，如图所示，
∴∠AMC1=300，∴AM=2AC1=4，∴OM=OA=2，∴点M的坐标是(0，-2)，
设直线的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，解得，故直线的解析式为y=-x-2，．
全等带来边、角的转移：一个三角形的边或角以全等关系转移到另一个三角形上，实现相等关系的传递(4)
1．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
△ABE≌△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝13°，∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+13°＝58°，
2．（1）证明：∵∠1=∠2=400，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，，
在△ABC和中，，∴；
（2）解：由(1)得：，∴AB=AE，∴∠B=∠AEB=700，∠AEC=1100．
3.解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∵AC＝4，∴AD+DC＝AD+BD＝4，∴BD＝4﹣AD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD2＝AB2+AD2，即（4﹣AD）2＝32+AD2，AD＝，
4∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，∴A（1，0），B（0，2）．∴OA＝1，OB＝2．
∴AB＝．
∵AP⊥AB，点C是射线AP上，
∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°，
∵∠OAB＋∠OBA＝90°，∴∠CAD＝∠OBA，
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°，
即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB，
∴OD＝AD＋OA＝＋1；
如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．综上所述，OD的长为3或＋1．
5．（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∵∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，
∴在和中，，∴，∴BE=CD．
（2）∵CD⊥AE，AD=AE，∠DAE=600，∴在等边三角形中，平分∠ADE，
∴∠ADC=300，∠AED=600， BE=CD=8，∠AEB=∠ADC=300，
∴∠BED=900，又∵在等边中，DE=AD=8，∴在中，由勾股定理得，BD=10，
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