第一章 二次函数 期末总复习检测试卷 （含答案）初中数学浙教版九年级上册

第一章二次函数期末总复习检测试卷浙教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列函数中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
3．已知二次函数下列说法错误的是（）
A．对称轴为：直线
B．当时，y随x的增大而减小
C．函数的最小值是
D．顶点坐标为
4．如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
6．根据下列表格的对应值：
判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为、．则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
8．已知二次函数，该函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数m的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知点，，在二次函数（）的图象上，则方程的解为 ．
10．如果抛物线与抛物线关于x轴对称，那么 ， ．
11．如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为 ．
12．已知二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，且点B（﹣2，n）在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件．
14．如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），并在BC边上开一道2m宽的门，现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．
15．2024年巴黎奥运会开幕，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“弗里吉”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“弗里吉”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“弗里吉”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系．
(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)每个毛绒玩具“弗里吉”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？
(3)当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
16．已知二次函数．
(1)当时，
①这个二次函数的顶点坐标为 ；
②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值．
17．已知二次函数，点．
(1)若点P在二次函数的图象上，求m的值；
(2)当点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标；
(3)已知，Q为抛物线对称轴上一点，以为边作矩形，使点E为矩形的对称中心，若抛物线与矩形的边恰有两个公共点时，求m的取值范围．
18．如图，已知二次函数经过点，，与轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P．
(1)求该二次函数的解析式及点B的坐标；
(2)若，求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点E（不与点C重合），使得的面积等于的面积，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点E的坐标．
参考答案
一、选择题
1．C
2．A
3．C
4．B
5．B
6．C
7．D
8．A
二、填空题
9．【解】解：∵点在二次函数的图象上，
∴，
∴二次函数为，
∵，在二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴为直线，
由方程可得，，
∵点为二次函数图象上的点，
∴是方程的一个解，
即为方程的一个解，
设方程的另一个解为，
由可得，，
∴方程的另一个解为，
∴方程的解为或，
故答案为：或．
10．【解】解：∵抛物线与抛物线关于x轴对称，抛物线的顶点为，
∴两抛物线开口大小不变，方向相反，顶点关于x轴对称，坐标为，
∴，
故答案为：，．
11．【解】解：∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵图形是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的表达式为．
故答案为：．
12．【解】解：当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，如图，
抛物线与轴的交点之间的距离为，
二次函数的图象与其向上平移个单位所得的图象都与轴有两个交点，这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
每相邻两点间的距离都为1，
平移后的抛物线与轴的交点坐标为，，如图，
平移后的抛物线解析式为，
即，
抛物线向上平移个单位所得的抛物线解析式为，
．
故答案为：4．
三、解答题
13．【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m＝0，
解得：m＝0或m＝1，
又∵m﹣1≠0，即m≠1．
∴当m＝0时，这个函数是一次函数．
此时，函数y＝﹣x+1，
将点B（﹣2，n）代入y＝﹣x+1得：n＝3；
令x＝0，则y＝1，
令y＝0，则x＝1，
故函数y＝﹣x+1与坐标轴的交点为（0，1）和（1，0），
两交点的距离为，
故原点到直线的距离．
答：m的值为0，n的值为3，原点到直线的距离是；
（2）根据二次函数的定义，得m2﹣m≠0，
解得m≠0且m≠1．
∴当m≠0且m≠1时，这个函数是二次函数．
答：m的值满足的条件m≠0且m≠1．
14【解答】解：（1）设AB的长为x m，则AD＝（38+2﹣2x）m，
根据题意得，x（38+2﹣2x）＝150，
解得：x1＝15，x2＝5，
当x1＝15时，AD＝10，当x2＝5时，AD＝30＞22（不合题意舍去），
∴AB＝15；
（2）设仓库的面积为y平方米，
根据题意得，y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵a＝﹣2＜0，38+2﹣2×10＝20＜22，
∴当x＝10时，y最大值＝200，
答：当AB＝10时，仓库的最大面积为200平方米．
15．【解】（1）解：设，
把点，分别代入解析式，得
，
解得：，
∴，
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，
∴自变量x的取值范围是：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得，，
∵，
∴不合题意，舍去，
答：每个吉祥物“弗里吉”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；
（3）解：设每天获得的利润为w元，根据题意得：
∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，最大值为，
答：当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元．
16．【解】（1）解：①当 时，抛物线解析式为 ，
，
∴顶点坐标为：；
②∵二次函数的对称轴为直线，
∵点( 与 )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∵，
∴，
解得：，
．
（2）解：，
∴抛物线的顶点为 ，
①若 ，将该二次函数图象向右平移 )个单位得到 ，
∴对称轴为直线，而，
∴当时，此时，
∵，
∴当时函数取得最大值，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
当时，此时，
此时当时函数取得最大值，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
②若 ，
∵对称轴为直线，而，，
∴当时，函数取得最大值，则，解得：，不符合题意，舍去；
综上，的值为或．
17．【解】（1）解：∵点P在二次函数的图象上，
∴，
解得；
（2）∵点．
∴点P所在的直线为，
联立得到，
则，
∵点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点，
∴，
解得；
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴点在抛物线的对称轴上，
∵Q为抛物线对称轴上一点，
∴轴，
设，
∴为矩形的对称中心，
∴,轴，轴，
∴，
∴，
①当时，如图①，
∵抛物线与矩形的边恰有两个公共点，
∴抛物线与y轴的交点在点M的上方即可，
在中，
当时，，
∴，即
解得或（不合题意，舍去），
②当时，如图②，同理可知，抛物线与y轴的交点在点N的上方即可，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
综上可知，或．
18．【解】（1）解：∵二次函数经过点，
∴，
解得，
∴，
令，则，
即，
解得，，
∵,
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得，
所以，直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
则，，
∵，
∴，即，
解得，（舍去）
当时，=4，
所以，点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
又，
∴，
设点的坐标为，
在中，边上的高为，
∴，
即，
当时，，
解得（舍去），，
∴此时点的坐标为；
当时，，
解得，，
∴此时点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或．