1.2.2二次根式的性质（2） 教案

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分课时教学设计
第3课时《1.2.1二次根式的性质（2） 》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节是二次根式性质的延伸拓展，教材通过实例推导、例题示范、变式练习，强化性质的条件约束与化简应用，重点是利用性质进行二次根式的化简与变形，难点是把握字母取值范围，避免忽略正数、非负数的限制条件，为后续二次根式的乘除运算夯实基础。
学习者分析 学生已掌握二次根式性质（1）的核心内容，具备初步的根式化简能力，但对性质的条件约束仍需强化。在化简时，部分学生易混淆性质的正向与逆向应用，也常因未对被开方数进行合理拆分而出现错误。
教学目标 理解并掌握二次根式的积、商性质，能运用性质进行二次根式的化简与变形。 2. 过程与方法经历性质的探究、推导过程，体会 “特殊到一般” 的数学思想，提升观察、归纳和代数推理能力。
教学重点 1.理解并掌握二次根式的积和商性质。 2. 能熟练运用积、商性质对二次根式进行正确化简与变形。 3. 明确两个性质成立的取值范围约束条件，区分积、商性质与性质（1）的应用场景。
教学难点 掌握积、商性质的双向应用，既能正向拆分根式进行化简，也能逆向合并根式，灵活处理含数字、字母的根式变形问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课 议一议 二次根式有哪些性质 性质1： =a（a≥0） 性质2： == ( )2=10 (- )2=10 =10 合作探究： 填空(可用计算器计算): =　　　　， ×=　　　　； =　　　　， ×=　　　　； =　　 　　， =　　 ； =　　 　　， =　　 ； 合作交流：比较左右两边的等式，你发现了什么 你能用字母表示发现的规律吗 比较左右两边的等式,你有什么发现 能用字母表示你所发现的规律吗 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题. ? 带着问题参与新课. 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，理解学生思考，二次根式化简的结果应为最简二次根式。 环节二：新知探究教师活动2： 一般地,二次根式有下面的性质: =(a≥0，b≥0) =(a≥0，b>0) 思考：你能证明二次根式积和商的性质吗？ 教师讲授： （1）证明：∵()2= ( )2()2=ab, 又∵ 0，0， ∴是ab的算术平方根， 即=(a≥0，b≥0). 证明：∵()2= =, 又∵ 0，0， ∴是的算术平方根， 即=(a≥0，b>0). 文字表达： 1、积的算术平方根等于算术平方根的积. 2、商的算术平方根等于算术平方根的商. 辨一辨: (1)错 （2）错 （3）错 (1)二次根式化简： ①预备阶段：包括分解质因数；化带分数为假分数；处理好被开方数的符号；根号内分数的分子、分母同乘一个数，使分母成为一个整数的平方等等；②运用二次根式的性质化简． (2)对化简结果的要求：①根号内不再含有分母；②根号内不再含有开得尽方的因数或因式． 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生自主解答，教师适时的进行提示 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，让学生在小组内共同合作． 环节三：典例精析 提炼概念 一般地,二次根式有下面的性质 文字表达： 1、积的算术平方根等于算术平方根的积. 2、商的算术平方根等于算术平方根的商. 辨一辨: (1)错 （2）错 （3）错 (1)二次根式化简： ①预备阶段：包括分解质因数；化带分数为假分数；处理好被开方数的符号；根号内分数的分子、分母同乘一个数，使分母成为一个整数的平方等等；②运用二次根式的性质化简． (2)对化简结果的要求：①根号内不再含有分母；②根号内不再含有开得尽方的因数或因式． 三、典例精讲 例3 化简：（1）（2）. （3）. （4） . 解：（1） = × =11×15=165. （2） = × =4 . （3） = = . （4） = = 注意：一般地,二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数,且在该自然数的因数中,不含有除1以外的自然数的平方数. 例4 化简 解：（1）=== × =12 （2）原式 === （3）原式== 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，掌握根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.化简：（1） （2） （1） （2） 选做题： 2.已知 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. C 【综合拓展类作业】 3.已知等边三角形的边长为4cm，求它的高线长。 cm
课堂总结 1．积的算术平方根 性质：＝________(a≥0，b≥0) 说明：积的算术平方根等于各个因式的算术平方根的积． 注意：a，b的条件是a≥0，b≥0. 2．商的算术平方根 性质：＝________(a≥0，b＞0)． 说明：商的算术平方根等于分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 注意：a，b的条件是a≥0，b＞0. 3．最简二次根式 定义：在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式． 注意：二次根式化简的结果应为最简二次根式．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知是整数,则满足条件的最小正整数n为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 D 选做题： 2.若=a,则用含a的代数式表示为　　　　. 100a 3.能使等式 成立的 的取值范围是 ． a≥0 【综合拓展类作业】 4.王聪学了商的算术平方根后,做了下面这道题: =====3,你认为他的化简过程对吗 若不对,请说明理由,并写出正确的化简过程. 解：不对.正确的化简过程如下:.
教学反思 在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式．难点是把握字母取值范围，避免忽略正数、非负数的限制条件．
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