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2025—2026学年九年级上学期期末押题必考卷
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-4章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数.这个事件是( )
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
2．如图，某游乐园要建造一个直径为30m的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱在距池中心6m 处达到最高，高度为9 m，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为( )
A．5m B．6m C．7 m D．8m
3．我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在一个不透明的盒子中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀再从中随机换出一个球……，通过大量重复试验后发现摸出白球的频率逐渐稳定在，则盒子中白球的个数最有可能是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
5．如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
6．如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则与的比是（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数为( )
A．140° B．135° C．130° D．125°
9．如图，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”来估算圆周率，现将半径为a的圆十二等分构造出正方形ADGJ，矩形 BFHL，矩形CEIK，则阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
10．如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②；③；④为正三角形，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为 ．
12．正方形的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 ． （用含的式子表示）．
13．如图，A是函数 图象上的一点，点 B，D 在y 轴正半轴上，△ABD 是△COD关于点 D 的位似图形，且△ABD 与△COD的位似比是1：3，△ABD 的面积为1，则 k的值为 .
14．如图，已知边长为12的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若，则的最大面积为 ．
15．如图，点A的坐标为（0，4），以O点为圆心，以OA为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为 .
16．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am2＋bm＋c≥﹣6；②ac＞0；③若点（），（，y2）在抛物线上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有 （填序号）．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17． 如图， 圆内接四边形ABDC， AB是⊙O的直径， OD⊥BC交BC于点E.
（1） 求证： 点 D为的中点；
（2） 若BE=4， AC=6，求DE 的长.
18．某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
售价（元/本） … 22 23 24 25 …
每天销售量（本） … 80 78 76 74 …
（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元．
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1，0)，且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．
（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．
20．（1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ；
（2）【类比探究】如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，、之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为，，请求出的面积．
21．我们将四个顶点都在三角形边上的正方形，称为该三角形的内接正方形．
（1）如1图，正方形是的内接正方形，请在图中找出一对相似三角形，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若三边分别为是边上的高，试求：
①边上的高的长；
②内接正方形的边长；
（3）如3图，面积为的正方形内接于，如果的面积分别记为，请用含有的式子表示（不用说明理由）．
22．某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 12 30 m 54 9
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ，统计图中n的值为 ；
（2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）喜爱体育电视节目的学生中有4人（甲、乙、丙、丁）在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少．（用列表法或树状图法求概率）
23．如图，过矩形的对角线的中点作的垂线，分别交、于点、，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作的垂线交于点，求证：；
（3）若，，求的长．
24．小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值．
（1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：
解：如图1，过点D作交于H，
是的中点，
，
，
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
（2）如图图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，求证：．
【拓展提高】
（3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积．
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2025—2026学年九年级上学期期末押题必考卷
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-4章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数.这个事件是( )
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是随机事件，
故答案为：D．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
2．如图，某游乐园要建造一个直径为30m的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱在距池中心6m 处达到最高，高度为9 m，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为( )
A．5m B．6m C．7 m D．8m
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：(6，9)，点C(15，0)，
则抛物线的表达式为：
将点C的坐标代入上式得： 则
则抛物线的表达式为：
当x=0时，y=5(cm)，
故答案为：A .
【分析】由待定系数法求出函数表达式，即可求解.
3．我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①令x=0，则y==3，
∴点（0，3）为函数与y轴的交点，
令y=0，则=0，∴x=-1或x=3，
∴点（-1，0）、（3，0）为函数与x轴的交点，故①正确；
②根据函数图象可知，图像具有对称性，对称轴是直线x==1，故②正确；
③由函数图象可知，当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确；
④由①可知，当x=-1或x=3时，函数的最小值是0，故④正确；
⑤由函数图象可知，当x=1时，不是函数的最大值，故⑤错误；
综上，正确的说法有①②③④，共四个，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象与性质，结合“鹊桥”函数的图象逐项进行分析即可得出答案.
4．在一个不透明的盒子中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀再从中随机换出一个球……，通过大量重复试验后发现摸出白球的频率逐渐稳定在，则盒子中白球的个数最有可能是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：利用频率估计概率可得，摸到白球的概率为，
则这个口袋中白球的个数最有可能是：（个）．
故答案为：B．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得估计摸到白球的概率是0.4，再用盒中小球的个数乘以摸到白球的概率即可估计出盒子中白球的个数.
5．如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，
∴在中，，
故选：A．
【分析】根据垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出OD长解答即可．
6．如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则与的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
故选：B．
【分析】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，因为DE∥AC ，根据两个角对应相等的两个三角形相似， 得，则有，得到。同理得到 根据相似三角形得到，进一步得到，而△BDE和△CDE底分别是BE、EC，高相等，所以．
7．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∵关于的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，
∴二次函数与直线在的范围内有交点，
∵二次函数的对称轴为直线且开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
当时，有，
当时，有，
当时，有，
∴当时，有，
∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点，
故答案为：D．
【分析】先根据抛物线对称轴计算公式求出，根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，根据二次函数的图象与性质可知，开口向下的二次函数中，离对称轴越远函数值越小，据此求出当时，二次函数的函数值的取值范围，即可得到答案．
8．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数为( )
A．140° B．135° C．130° D．125°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： AB是半圆O的直径
（圆周角定理）
（圆内接四边形的对角互补）
故选：C.
【分析】根据圆周角定理的推论得到，然后根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据圆内接四边形的对角互补解答即可.
9．如图，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”来估算圆周率，现将半径为a的圆十二等分构造出正方形ADGJ，矩形 BFHL，矩形CEIK，则阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；圆心角的概念
【解析】【解答】解：设 KC，LH 交于点 M，IE，LH交于点N，过点O作OP⊥MN于点 P，连结OL，OM，ON，OH，如图，
∵A，B，C，D，…，K，L为圆的十二等 分点， 由题意得M为AJ 的中点，N 为JG 的中点，∴OM⊥AJ，ON⊥JG，∵四边形 ADGJ 为圆的内接正方形，∴∠AJG=90°，∴四边形OMJN为正方形，∴∠MON=90°，∴MP=NP= 阴影部分的面积
故答案为：D.
【分析】设KC， LH交于点M， IE， LH交于点N， 过点O作 于点P， 连接OL， OM， ON， OH，利用圆的有关性质，垂径定理，等腰三角形的三线合一的性质，正方形的性质和矩形的判定与性质求得 的度数，利用直角三角形的边角关系定理和等腰直角三角形的性质求得LM，KM，再利用三角形的面积公式求得的面积，再利用阴影部分的面积为解答即可.
10．如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②；③；④为正三角形，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；异侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点M，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即G为中点，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，故②正确；
设，则，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，不是等边三角形，故③错误，④错误；
综上可知，①②正确，③④错误，
故选：B
【分析】
① 过点C作于点M，可由一线三垂直全等模型得，可得，再由正方形的性质结合同角的余角相等可证，由相似比可得，由于E是BC中点，则DF＝2AF，即可得M是DF中点，再由等腰三角形三线合一得CD＝CF，故①正确；
② 由同角的余角相等可得，再由AA可证，故②正确；
③ 为便于计算可设，则， 则由勾股定理可得，则，再由勾股定理可得，由线段的和差关系可得，即，故③错误；
④ 先由等角的余角相等可得DG＝FG，则可得点G是AD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即不是等边三角形，故④错误．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，核心是通过旋转的性质推导相关角的度数。根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，因此，（旋转角），。因为，所以是等腰三角形，等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可求出。在中，，根据三角形内角和定理，，因此。又因为旋转角，在中，利用三角形内角和定理，。
12．正方形的边长为2，分别以四个顶点为圆心，以1为半径作弧形成如图所示的封闭图形（阴影部分）．在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是 ． （用含的式子表示）．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意可得，正方形的面积为，阴影部分的面积为，
∴在正方形上做随机投针试验，针头落在阴影部分的概率是，
故填：．
【分析】先求出正方形的面积与阴影部分的面积，再根据概率公式用阴影部分的面积除以正方形的面积，即可得出答案．
13．如图，A是函数 图象上的一点，点 B，D 在y 轴正半轴上，△ABD 是△COD关于点 D 的位似图形，且△ABD 与△COD的位似比是1：3，△ABD 的面积为1，则 k的值为 .
【答案】8
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点 A 作 AE⊥x轴，垂足为 E.∵ △ABD 是△COD关于点 D 的位似图形，且△ABD 与△COD 的位似比是1：3， .设BD=x，AB=y，则OD=3x.
易得四边形OBAE 是矩形，∴ OE=AB=y，AE=OB=BD+OD=4x.∵△ABD 的面积为 ∴xy=2.∴ AB·AE=4xy=8.∴ k=8.
故答案为：8 .
【分析】根据 是 关于点D的位似图形，且 与 的位似比是1： 3， 得出 进而得出假设EBD=x，AE=4x，DO=3x，AB=y，根据 的面积为1，求出xy=2即可得出答案.
14．如图，已知边长为12的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若，则的最大面积为 ．
【答案】18
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；余角
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，∴AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∵，，
，
∴∠B，
，，
，
，
，
设，，则，
∵平分，
∴，
∵，
，
∵∠FGC=90°，
∴∠CFG=，
，，
，
∴，
，
∴当时，的面积最大，即．
故答案为：18．
【分析】先根据同角的余角相等得，再根据AA证明，则可得，设、，则可得、，整理可得．根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的最值即可得出答案.
15．如图，点A的坐标为（0，4），以O点为圆心，以OA为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，作，连接，
轴，
，
点I为△OCD的内心，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故点I在上，当点A、I、P在同一直线上时，AI有最小值，
.
故答案为：.
【分析】利用角平分线的性质可得，通过SAS判定得到，因此可得点I在的外接圆上运动，利用圆周角定理可得，进而求得点P坐标及半径长度，当点A、I、P在同一直线上时，AI有最小值，通过两点之间距离公式求得AP的长度，即可得到AI的最小值.
16．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am2＋bm＋c≥﹣6；②ac＞0；③若点（），（，y2）在抛物线上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有 （填序号）．
【答案】①④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为（﹣3，﹣6），
∴当x＝﹣3时，y最小值＝﹣6，
∴对于任意的x＝m，其函数值y＝am2＋bm＋c≥﹣6，
因此①正确；
∵开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0，
因此②不正确；
∵点（），（，y2）在对称轴右侧的抛物线上，根据在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，
因此③不正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（﹣1，﹣4），由对称轴为x＝﹣3，根据对称性可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c还过点（﹣5，﹣4），
∴当y＝﹣4时，即方程ax2＋bx＋c＝﹣4有两个不相等的实数根﹣1和﹣5，
因此④正确；
∵对称轴x＝﹣＝﹣3，
∴b﹣6a＝0，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有①④⑤，
故答案为：①④⑤.
【分析】抛物线开口向上，其顶点坐标为(-3，-6)，故当x=3时，函数y有最小值-6，据此可判断①；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线交y轴的负半轴得c＜0，从而结合有理数乘法法则可判断②；由于抛物线开口向上，且对称轴直线为x=-3，故当x＞-3时，y随x的增大而增大，当x＜-3时，y随x的增大而减小，据此可判断③；根据抛物线的对称性，可得抛物线经过点（-5，-4）与（-1，-4）两点，而方程ax2+bx+c=-4的解就是抛物线与直线y=-4交点的横坐标，据此可判断④；由对称轴直线公式可得b-6a=0，据此可判断⑤.
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17． 如图， 圆内接四边形ABDC， AB是⊙O的直径， OD⊥BC交BC于点E.
（1） 求证： 点 D为的中点；
（2） 若BE=4， AC=6，求DE 的长.
【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
即点D为BC的中点
（2）解：∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
∴BE=EC=4， ∴BC=8，
∵AB是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，
∴DE=OD-OE=5-3=2.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由垂径定理可得；
(2)先根据垂径定理求出BC=8，圆周角定理得∠ACB=90°，根据勾股定理得到AB，得到半径OD=OB=5，由勾股定理求出OE=3，由DE=OD-OE求解即可.
18．某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
售价（元/本） … 22 23 24 25 …
每天销售量（本） … 80 78 76 74 …
（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；
（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元．
①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；
②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，
依题意得，
解得，
答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
（2）解：①设A款纪念册每本降价m元，则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32-m)元，则每册利润为32-m-20=12-m（元），
∵这两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n，
∴，
解得，
∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=-2x+124，
由①得：B款纪念册销售量为(80-2m)本，
售价为80-2m =-2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m-14=8+m(元)，
设该店每天所获利润为w元，
则w=(40+2m)(12-m)+ (80-2m)(8+m)
=-4m2+48m+1120
=-4(m-6)2+1264，
∵-4<0，
∴当m=6时，w有最大值，最大值为1264元，
此时A款纪念册售价为32-6=26(元)，
答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，根据题意列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）①设A款纪念册每本降价m元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②先利用待定系数法求得B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每本的利润×每周的销售数量可得w与m之间的二次函数解析式，并将解析式配成顶点式，再根据二次函数的性质可求解．
（1）解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，
依题意得，
解得，
答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；
（2）解：①设A款纪念册每本降价m元，
则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32-m)元，则每册利润为32-m-20=12-m（元），
∵这两款纪念册每天销售总数不变，
∴B款纪念册销售量为(80-2m)本；
②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n，
∴，
解得，
∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=-2x+124，
由①得：B款纪念册销售量为(80-2m)本，
售价为80-2m =-2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m-14=8+m(元)，
设该店每天所获利润为w元，
则w=(40+2m)(12-m)+ (80-2m)(8+m)
=-4m2+48m+1120
=-4(m-6)2+1264，
∵-4<0，
∴当m=6时，w有最大值，最大值为1264元，
此时A款纪念册售价为32-6=26(元)，
答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1，0)，且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．
（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．
【答案】解：（1）∵二次函数的图像经过点，且当和时所对应的函数值相等，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）联立，
解得：或，
∴，，
∴；
（3）四边形是矩形，证明如下：
如图，
∵是的中点，
∴，
∵点绕点旋转180°得到点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）结合二次函数的对称性，利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）联立抛物线与直线，可得方程组，解方程组可得点坐标，根据坐标系中两点距离公式即可求解；
（3）先证明四边形是平行四边形，利用坐标系中两点距离公式得到的值，然后根据勾股定理的逆定理证明，即可解答．
20．（1）【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ；
（2）【类比探究】如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，、之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为，，请求出的面积．
【答案】解：（1）
（2），理由如下：
在上截取，连接、，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中
，
（），
，，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
故；
（3）解：，，
将逆时针旋转至，连接，作交于，
，，，，
，，
，
在和中
，
（），
，
，
，
的面积为，
，即，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中
，
（），
，，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
；
故答案为：（1）；
【分析】（1）利用正方形的性质，并结合先得出，由全等三角形的性质得，， 同样利用SAS证明，由全等三角形的性质得，此时即可列出，替换即可得出答案；
（2）做出辅助线后，由证明，从而得出，；同样利用SAS证明，继而得出，最后列式替换即可得出答案；
（3）将逆时针旋转至，做辅助线后，由可判定，由全等三角形的性质得，由三角形的面积及等腰三角形的性质得，设，则有，由勾股定理然后变形得到，最后代入计算即可求解．
21．我们将四个顶点都在三角形边上的正方形，称为该三角形的内接正方形．
（1）如1图，正方形是的内接正方形，请在图中找出一对相似三角形，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若三边分别为是边上的高，试求：
①边上的高的长；
②内接正方形的边长；
（3）如3图，面积为的正方形内接于，如果的面积分别记为，请用含有的式子表示（不用说明理由）．
【答案】（1）解：，理由如下：
如图1，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，，
∴.
（2）解：①如图2，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴.
②如图2，
∵，，
∴，
∴为边上的高，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设正方形的边长为a，则，，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴正方形的边长为．
（3）解：如图3，
，
过点A作于点H，交于点I，
由（2）得：为边上的高，
设正方形的边长为a，
∴，，，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
整理得：，
∴，负值舍去．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，结合四边形为正方形得，进一步得，，即可证明.
（2）①根据为边上的高，得，根据勾股定理得出，代入数据求出，再根据勾股定理求出即可得边上的高的长.
②根据，，得，根据已知条件得，设正方形的边长为a，则，，根据得，代入数据求出，即可.
（3）过点A作于点H，交于点I，设正方形的边长为a，得出，，，得出，根据，得
，求出结果即可．
（1）解：，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，
∴；
（2）解：①∵为边上的高，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②∵，，
∴，
∴为边上的高，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设正方形的边长为a，则，，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
解得：，
∴正方形的边长为．
（3）解：过点A作于点H，交于点I，如图所示：
根据解析（2）可知：为边上的高，
设正方形的边长为a，
∴，，，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
整理得：，
∴，负值舍去．
22．某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 12 30 m 54 9
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ，统计图中n的值为 ；
（2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）喜爱体育电视节目的学生中有4人（甲、乙、丙、丁）在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少．（用列表法或树状图法求概率）
【答案】（1）150，45，36
（2）21.6°
（3）解：画树状图，如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，
∴甲丙同时被选中的概率为＝．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人），
则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%，
∴n＝36，
故答案为：150，45，36；
（2）解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°，
故答案为：21.6°；
【分析】（1）用B类别人数除以占比得到被调查学生的总数，然后用总人数减去喜爱其它类型的人数得到m值，再求出喜爱娱乐节目的占比即可求出n；
（2）用360°乘以E类别人数占比解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能结果数，找出符合条件的结果数，根据概率公式解答．
（1）解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人），
则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%，
∴n＝36，
故答案为：150，45，36；
（2）解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°，
故答案为：21.6°；
（3）解：画树状图，如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，
∴甲丙同时被选中的概率为＝．
23．如图，过矩形的对角线的中点作的垂线，分别交、于点、，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作的垂线交于点，求证：；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵过角线的中点作的垂线，
∴，．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）解：∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴．
设，则．
在中，，
∴，解得：，即．
由（2），得．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由题意可得，，根据矩形性质可得，则，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：∵过角线的中点作的垂线，
∴，．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（3）解：∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴．
设，则．
在中，，
∴，解得：，即．
由（2），得．
24．小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连结，交于点G，求的值．
（1）小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：
解：如图1，过点D作交于H，
是的中点，
，
，
请你补全余下的证明过程．
【尝试应用】
（2）如图图2，在中，E、F分别是、的中点，连接分别交、于M、N，求证：．
【拓展提高】
（3）如图图3，点D、E分别是、边的中点，、交于F，，，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图1，过点D作交于H，
是的中点，
，
，
是的中点
．
又
（2）证明：连接交于点，则点为的中点，点为的中点．
为的中点，根据（1）问可得
．
同理可得
点为的中点
．
（3）由第（1）问可知
，
同理可得，
．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的性质及三角形面积的综合计算。
（1）要完成的求解，已知D是BC中点，，由平行线分线段成比例定理得；又因为E是AC中点，所以，进而推出；由于，再次应用平行线分线段成比例定理，可得；
（2）要证明，连接BD交AC于O，平行四边形中对角线互相平分，所以O是BD和AC的中点；E是AB中点，结合（1）的结论，在△ABD中，DE交AC于M，有；同理F是CD中点，BF交AC于N，有；因为，所以，，进而推出，故；
（3）要求四边形CDFE的面积，由（1）可知，已知，所以，；同理可得，已知，所以，；因为，所以△ABE的面积；E是AC中点，所以△BEC的面积=△ABE的面积=18，且△ADC的面积△ABC的面积=18；△AEF的面积；四边形CDFE的面积=△ADC的面积 - △AEF的面积=18 - 6=12。
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2025—2026学年九年级上学期期末押题必考卷
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-4章）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 36.0(30.0%)
主观题（占比） 84.0(70.0%)
题量分布 客观题（占比） 12(50.0%)
主观题（占比） 12(50.0%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(41.7%) 30.0(25.0%)
填空题 6(25.0%) 18.0(15.0%)
解答题 8(33.3%) 72.0(60.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (58.3%)
2 容易 (8.3%)
3 困难 (33.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 圆内接正多边形 3.0(2.5%) 9
2 圆内接四边形的性质 3.0(2.5%) 8
3 二次函数图象与系数的关系 3.0(2.5%) 16
4 二次函数的实际应用-喷水问题 3.0(2.5%) 2
5 三角形全等的判定-SAS 11.0(9.2%) 15,20
6 相似三角形的判定-AA 6.0(5.0%) 6,10
7 解直角三角形—三边关系（勾股定理） 8.0(6.7%) 21
8 利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 3.0(2.5%) 16
9 余角 3.0(2.5%) 14
10 几何概率 3.0(2.5%) 12
11 坐标系中的两点距离公式 3.0(2.5%) 15
12 二次函数与一元二次方程的综合应用 3.0(2.5%) 7
13 待定系数法求一次函数解析式 8.0(6.7%) 18
14 等腰三角形的性质-三线合一 3.0(2.5%) 10
15 二次函数y=ax +bx+c的性质 9.0(7.5%) 3,7,16
16 二元一次方程组的实际应用-销售问题 8.0(6.7%) 18
17 解直角三角形—边角关系 3.0(2.5%) 9
18 一线三等角相似模型（K字型相似模型） 3.0(2.5%) 14
19 菱形的判定 10.0(8.3%) 23
20 旋转的性质 19.0(15.8%) 11,19,20
21 相似三角形的性质-对应面积 3.0(2.5%) 6
22 三角形的面积 15.0(12.5%) 6,24
23 利用顶点式求二次函数解析式 3.0(2.5%) 2
24 相似三角形的判定 8.0(6.7%) 21
25 扇形面积的计算 3.0(2.5%) 9
26 二次函数-特殊四边形存在性问题 8.0(6.7%) 19
27 三角形全等及其性质 10.0(8.3%) 23
28 相似三角形的判定预备定理（利用平行） 12.0(10.0%) 24
29 角平分线的概念 3.0(2.5%) 15
30 矩形的性质 10.0(8.3%) 23
31 三角形内角和定理 3.0(2.5%) 11
32 二次函数的最值 6.0(5.0%) 3,14
33 利用频率估计概率 3.0(2.5%) 4
34 等腰三角形的性质 3.0(2.5%) 11
35 待定系数法求二次函数解析式 8.0(6.7%) 19
36 矩形的判定与性质 8.0(6.7%) 21
37 异侧一线三垂直全等模型 3.0(2.5%) 10
38 垂径定理 11.0(9.2%) 5,17
39 位似图形的性质 3.0(2.5%) 13
40 圆周角定理 14.0(11.7%) 8,15,17
41 二次函数图象与坐标轴的交点问题 3.0(2.5%) 3
42 圆心角的概念 3.0(2.5%) 9
43 旋转全等模型 8.0(6.7%) 20
44 二次函数y=ax +bx+c的图象 6.0(5.0%) 3,7
45 勾股定理 32.0(26.7%) 5,10,17,20,23
46 等腰三角形的判定与性质 3.0(2.5%) 10
47 反比例函数图象上点的坐标特征 3.0(2.5%) 13
48 统计表 10.0(8.3%) 22
49 正方形的性质 22.0(18.3%) 10,14,20,21
50 二次函数的实际应用-销售问题 8.0(6.7%) 18
51 直角三角形的两锐角互余 3.0(2.5%) 8
52 扇形统计图 10.0(8.3%) 22
53 用列表法或树状图法求概率 10.0(8.3%) 22
54 事件的分类 3.0(2.5%) 1
55 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 12.0(10.0%) 24
56 平行四边形的判定与性质 12.0(10.0%) 24
57 相似三角形的性质-对应边 21.0(17.5%) 6,21,23
58 二次函数的对称性及应用 14.0(11.7%) 3,16,19
59 正方形的判定与性质 3.0(2.5%) 9
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