第1章 二次根式 1.3 二次根式的运算 第3课时 二次根式运算的应用 分值：53分
选择题(每小题3分，共15分)；填空题(每小题3分)
1.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，BD=1，∠A=45°，∠C=30°，则△ABC的面积为( D )
A.1 B.1
C. D.
【解析】 ∵BD=1，BD⊥AC，∠A=45°，∠C=30°，
∴易知AD=1，CD=，
∴AC=1，
∴S△ABC=AC·BD=。
2.现有一个体积为252 cm3的长方体纸盒，若该纸盒的长为3 cm，宽为2 cm，则该纸盒的高为( D )
A.2 cm B.2 cm
C.3 cm D.3 cm
【解析】 由题意得，该纸盒的高为252÷3÷2=(252÷3÷2)×
=42×
=3(cm)。
3.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，图中阴影部分的面积为( B )
A.3－6 B.3－3
C.3－2 D.6－2
【解析】 易知两个正方形的边长分别为，3，
∴阴影部分的面积为(3－)×=3－3。
4.如图，扶梯(手扶电梯)AB的坡比(AC∶BC)为1∶，已知AB的长为12 m，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为( A )
A.6 m B.6 m
C.12 m D.12 m
【解析】 设AC=x(m)，则BC=x(m)。
由勾股定理，得AB==2x=12，
解得x=6，∴AC=6 m。
5.(3分)七巧板是我国广为流传的一种益智玩具，被誉为“东方魔板”。某同学用面积为64 cm2的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为 12 cm2。
【解析】 如答图所示标注字母。
第5题答图
∵正方形的面积为64 cm2，∴正方形的边长为=8(cm)，
∴BD==8(cm)，∴BO=FH=BD=4 cm，
∴OE=OM=BO=2 cm，EF=FH=2 cm。
∵S△OME=S△DGH，
∴S阴影=S△DGH＋S平行四边形BFEM=S△OME＋S平行四边形BFEM=S梯形BOEF=×2=12(cm2)。
6.(8分)交警通常根据刹车后滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式为v=16。其中v(km/h)表示车速，d(m)表示刹车距离，f表示摩擦系数。在一次交通事故中，测得d=20 m，f=1.44，而发生交通事故的路段限速为80 km/h，则肇事汽车是否超速行驶？请说明理由(参考数据：≈1.4，≈2.2)。
解：肇事汽车超速行驶。理由如下：
把d=20，f=1.44代入v=16，
得v=16=16×2.4×≈38.4×2.2=84.48(km/h)＞80 km/h，
∴肇事汽车超速行驶。
7.(8分)如图，有一张边长为6 cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 cm，求：
(1)(4分)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积。
(2)(4分)长方体盒子的容积。
解：(1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积=－4×=96(cm2)。
(2)由题意可知：长方体盒子的容积为××
=4×4×
=48(cm3)，
∴长方体盒子的容积为48 cm3。
8.(3分)如图，一艘快艇以36 km/h的速度从O港出发，向北偏东30°方向行驶45 min到达A地，然后向正南方向行驶到达B地，再向北偏西60°方向行驶回到O港，则该快艇一共行驶了 (1) h。
【解析】 由题意，得∠OAC=30°，∠ABO=60°，AO=36=27(km)，
∴∠AOB=90°。
设BO=x(km)，则AB=2x(km)。
由勾股定理，得AO=x(km)，
∴x=27，解得x=27，
∴AB=54 km，BO=27 km，
∴该快艇一共行驶了(AB＋BO)÷36(1) h。
9.(8分)高空抛物严重影响人们的安全，即便是常见的小物件，一旦从高空落下，也会产生很大的破坏性，而且坠物落地时间很短，常常避之不及。据研究，高空抛物下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式t=(不考虑风速的影响，g≈10 m/s2)。
(1)(4分)求某物体从40 m(约13层楼)高处掉落到地上所用的时间(结果保留根号)。
(2)(4分)已知高空抛物动能E(J)=10×物体质量m(kg)×高度h(m)，某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出后经过3 s落在地上，假设在玩具即将落地时有行人经过，那么这个玩具产生的动能会伤害到行人吗？请说明理由(注：无防护人体受到65 J的动能即会受到伤害)。
解：(1)由题意知h=40 m，
∴t==2(s)，
故该物体从40 m高处掉落到地上所用的时间为2 s。
(2)这个玩具产生的动能会伤害到行人。理由如下：
当t=3 s时，3=，∴h=45，
∴这个玩具产生的动能E=10×0.2×45=90(J)＞65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到行人。
10.(8分)如图，大坝横截面的迎水坡AD的坡比为4∶3，背水坡BC的坡比为1∶2，大坝高DE=40米，坝顶宽CD=15米(注：坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值)。求：
(1)(4分)大坝横截面的面积。
(2)(4分)大坝横截面的周长。
解：(1)∵迎水坡AD的坡比为4∶3，DE=40米，
∴，即，
∴AE=30米。
∵背水坡BC的坡比为1∶2，CF=DE=40米，
∴，即，
∴BF=80米，
∴大坝横截面的面积为×(15＋30＋15＋80)×40=2 800(平方米)。
(2)∵DE⊥AB，AE=30米，DE=40米，
∴AD=
==50(米)。
∵CF⊥AB，CF=DE=40米，BF=80米，
∴BC=
=40(米)，
∴周长为15＋50＋30＋15＋80＋40米。
11.[应用意识，模型观念]如图1是一张等腰直角三角形纸片，AC=BC=24 cm，现要求按照图2的方法裁剪几条宽度都为6 cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(如图3，纸条不重叠)，正方形美术作品的面积为( C )
A. cm2 B.12 cm2
C.27 cm2 D. cm2
【解析】 如答图1标注字母。
第11题答图1
∵AC=BC=24 cm，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°。
由题意得，能裁剪的纸条的条数为－1=3(条)，PQ=CU=6 cm，PQ⊥BC，
∴Rt△BPQ是等腰直角三角形，且BP=PQ=6 cm，
∴CP=BC－BP=24－6=18(cm)，
同理可得：另两条纸条的长分别为18－6=12(cm)，12－6=6(cm)，
∴长方形纸条的总长度为18126=36(cm)。
如答图2，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)，
第11题答图2
∴EL=6(cm)，FL=36÷4=9(cm)，
∴EF=FL－EL=3(cm)，
∴正方形美术作品的面积为=27(cm2)。第1章 二次根式 1.3 二次根式的运算 第2课时 二次根式的四则混合运算 分值：81分
选择题(每小题3分，共24分)；填空题(每小题3分)
1.下列二次根式中，能与合并的是( )
A. B.
C. D.
2.计算的结果是( )
A.5 B.
C.3 D.4
3.下列运算正确的是( )
A.
B.5=5
C.=4
D.
4.下列计算中，正确的是( )
A.2－3
B.(1－)(1)=－1
C.(2－)(3)=4
D.()2=5
5.估算3×的值在( )
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
6.计算()×的结果是( )
A. B.1
C. D.3
7.(3分)计算：
(1)(1分)=；
(2)(1分)3=；
(3)(1分)=。
8.(3分)计算：()()=。
9.(8分)计算：
(1)(2分)；
(2)(3分)×()；
(3)(3分)(－3)2 025×(3)2 026。
10.(8分)在计算2的值时，小亮的解题过程如下：
解：2
=2……①
=2……②
=(2－1)……③
=。……④
(1)(2分)老师认为小亮的解法有错，请你指出小亮是从步骤(填序号)开始出错的。
(2)(6分)请你给出正确的解题过程。
11.若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为( )
A.210
B.45
C.410
D.45 或210
12.已知m=1，n=1－，则代数式的值是( )
A.9 B.±3
C.3 D.5
13.(3分)若最简二次根式与可以合并，则x=。
14.(8分)计算：
(1)(2分)(3＋2)2－(4)(4－)；
(2)(2分)÷2；
(3)(2分)()()－()2；
(4)(2分)(－1)(1)。
15.(8分)已知x=2－，求代数式(7＋4)x2＋(2)x的值。
16.(8分)已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2的值。
17.(8分)[运算能力]阅读材料，并解决问题：
定义：将分母中的根号化去的过程叫作分母有理化。如：
将分母有理化。
解：原式=
=。
运用以上方法解决问题：
已知：m=，n=。
(1)(4分)化简m，n。
(2)(4分)求m2－mn－n2的值。第1章 二次根式 1.3 二次根式的运算 第2课时 二次根式的四则混合运算 分值：81分
选择题(每小题3分，共24分)；填空题(每小题3分)
1.下列二次根式中，能与合并的是( D )
A. B.
C. D.
2.计算的结果是( C )
A.5 B.
C.3 D.4
3.下列运算正确的是( D )
A.
B.5=5
C.=4
D.
4.下列计算中，正确的是( B )
A.2－3
B.(1－)(1)=－1
C.(2－)(3)=4
D.()2=5
【解析】 2－3=－，A错误。
(1－)(1)=12－()2=1－2=－1，B正确。
(2－)(3)
=6＋2－3－2
=4－，C错误。
()2=5＋2，D错误。
5.估算3×的值在( C )
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
【解析】 3×=3=3。
∵36＜45＜49，
∴6＜＜7，即6＜3＜7。
故选C。
6.计算()×的结果是( B )
A. B.1
C. D.3
7.(3分)计算：
(1)(1分)= ；
(2)(1分)3= 2 ；
(3)(1分)= － 。
8.(3分)计算：()()= 1 。
9.(8分)计算：
(1)(2分)；
(2)(3分)×()；
(3)(3分)(－3)2 025×(3)2 026。
解：(1)原式=2=3。
(2)原式=。
(3)原式=[(－3)(3)]2 025×(3)=(10－9)2 025×(3)=3。
10.(8分)在计算2的值时，小亮的解题过程如下：
解：2
=2……①
=2……②
=(2－1)……③
=。……④
(1)(2分)老师认为小亮的解法有错，请你指出小亮是从步骤 ③ (填序号)开始出错的。
(2)(6分)请你给出正确的解题过程。
解：(2)原式=2=2=6－2=4。
11.若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为( A )
A.210
B.45
C.410
D.45 或210
【解析】 当腰长为时，则三角形的三边长分别为=4，不满足三角形的三边关系；
当腰长为时，则三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时周长为210。
综上所述，这个三角形的周长为210。
12.已知m=1，n=1－，则代数式的值是( C )
A.9 B.±3
C.3 D.5
【解析】 原式=
==3。
13.(3分)若最简二次根式与可以合并，则x= 5 。
【解析】 由题意得，x－2=3，
解得x=5。
14.(8分)计算：
(1)(2分)(3＋2)2－(4)(4－)；
(2)(2分)÷2；
(3)(2分)()()－()2；
(4)(2分)(－1)(1)。
解：(1)原式=9＋1220－(16－5)=18＋12。
(2)原式=÷2。
(3)原式=(3－2)－(3－22)
=1－5＋2=－4＋2。
(4)原式=[(－1)][－(－1)]
=3－(－1)2=3－(2－21)=2。
15.(8分)已知x=2－，求代数式(7＋4)x2＋(2)x的值。
解：当x=2－时，原式=(7＋4)(2－)2＋(2)(2－)
=(7＋4)(7－4)＋4－3=49－48＋1
=2。
16.(8分)已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2的值。
解：由题意，得a=3，b=－3，
∴a2(b－)
=32×(－3－)
=9×(－3)
=－27。
17.(8分)[运算能力]阅读材料，并解决问题：
定义：将分母中的根号化去的过程叫作分母有理化。如：
将分母有理化。
解：原式=
=。
运用以上方法解决问题：
已知：m=，n=。
(1)(4分)化简m，n。
(2)(4分)求m2－mn－n2的值。
解：(1)m=；
n=。
(2)由(1)知，m=，n=，
∴m2－mn－n2=(m＋n)(m－n)－mn=×
－
=3×
=－3。第1章 二次根式 1.3 二次根式的运算 第3课时 二次根式运算的应用 分值：53分
选择题(每小题3分，共15分)；填空题(每小题3分)
1.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，BD=1，∠A=45°，∠C=30°，则△ABC的面积为( )
A.1 B.1
C. D.
2.现有一个体积为252 cm3的长方体纸盒，若该纸盒的长为3 cm，宽为2 cm，则该纸盒的高为( )
A.2 cm B.2 cm
C.3 cm D.3 cm
3.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，图中阴影部分的面积为( )
A.3－6 B.3－3
C.3－2 D.6－2
4.如图，扶梯(手扶电梯)AB的坡比(AC∶BC)为1∶，已知AB的长为12 m，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为( )
A.6 m B.6 m
C.12 m D.12 m
5.(3分)七巧板是我国广为流传的一种益智玩具，被誉为“东方魔板”。某同学用面积为64 cm2的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为cm2。
6.(8分)交警通常根据刹车后滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式为v=16。其中v(km/h)表示车速，d(m)表示刹车距离，f表示摩擦系数。在一次交通事故中，测得d=20 m，f=1.44，而发生交通事故的路段限速为80 km/h，则肇事汽车是否超速行驶？请说明理由(参考数据：≈1.4，≈2.2)。
7.(8分)如图，有一张边长为6 cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 cm，求：
(1)(4分)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积。
(2)(4分)长方体盒子的容积。
8.(3分)如图，一艘快艇以36 km/h的速度从O港出发，向北偏东30°方向行驶45 min到达A地，然后向正南方向行驶到达B地，再向北偏西60°方向行驶回到O港，则该快艇一共行驶了h。
9.(8分)高空抛物严重影响人们的安全，即便是常见的小物件，一旦从高空落下，也会产生很大的破坏性，而且坠物落地时间很短，常常避之不及。据研究，高空抛物下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式t=(不考虑风速的影响，g≈10 m/s2)。
(1)(4分)求某物体从40 m(约13层楼)高处掉落到地上所用的时间(结果保留根号)。
(2)(4分)已知高空抛物动能E(J)=10×物体质量m(kg)×高度h(m)，某质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出后经过3 s落在地上，假设在玩具即将落地时有行人经过，那么这个玩具产生的动能会伤害到行人吗？请说明理由(注：无防护人体受到65 J的动能即会受到伤害)。
10.(8分)如图，大坝横截面的迎水坡AD的坡比为4∶3，背水坡BC的坡比为1∶2，大坝高DE=40米，坝顶宽CD=15米(注：坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值)。求：
(1)(4分)大坝横截面的面积。
(2)(4分)大坝横截面的周长。
11.[应用意识，模型观念]如图1是一张等腰直角三角形纸片，AC=BC=24 cm，现要求按照图2的方法裁剪几条宽度都为6 cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(如图3，纸条不重叠)，正方形美术作品的面积为( )
A. cm2 B.12 cm2
C.27 cm2 D. cm2第1章 二次根式 1.3 二次根式的运算 第1课时 二次根式的乘除运算 分值：97分
选择题(每小题3分，共15分)
1.计算的结果是( )
A. B.
C.2 D.3
2.下列计算中，正确的是( )
A.8×2=16
B.5×5=5
C.4×2=16
D.2×2=24
3.下列计算中，正确的是( )
A.= =4
B.
C.=13
D.=400
4.(4分)计算：
(1)(2分)
==；
(2)(2分)
==。
5.(3分)计算的结果为。
6.(3分)计算的结果为。
7.(3分)若一个长方形的长和面积分别为和4，则这个长方形的宽为。
8.(14分)计算：
(1)(2分)； (2)(2分)；
(3)(2分)； (4)(2分)；
(5)(2分)；
(6)(2分)2×3；
(7)(2分)3÷2。
9.(8分)解下列方程：
(1)(4分)； (2)(4分)3x=－。
10.(8分)用两种不同的方法化简：
(1)(4分)； (2)(4分)。
11.计算 ÷3的结果是( )
A.1 B.
C.5 D.9
12.若a=，b=，则 =( )
A.2 B.
C.1 D.22
13.(3分)如果·是整数，那么整数x的值是。
14.(8分)(1)(4分)已知a=，求代数式4a(a＋3)＋9的值。
(2)(4分)当x=－3，y=时，求代数式x2＋6x＋y2的值。
15.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，S△ABC=3 cm2，BC= cm，CD⊥AB于点D。求AC，CD的长。
16.(10分)【阅读材料】先来看一个有趣的现象：
=2，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”。具有这种现象的数还有许多，例如：
=3， =4……
【猜想】(1)(4分)=，并给出证明。
【推理证明】(2)(4分)请你用一个正整数n(n为“穿墙”数，n≥2)表示含有上述规律的等式，并给出证明。
【创新应用】(3)(2分)按此规律，若=a(a，b为正整数)，则a＋b的值为。
17.(10分)[模型观念]如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫作格点，顶点在格点上的三角形为格点三角形，按下列要求画图。
(1)(5分)请你在网格图中画出边长为，2的格点三角形。
(2)(5分)在(1)的条件下，求三角形最长边上的高。第1章 二次根式 1.3 二次根式的运算 第1课时 二次根式的乘除运算 分值：97分
选择题(每小题3分，共15分)
1.计算的结果是( B )
A. B.
C.2 D.3
2.下列计算中，正确的是( C )
A.8×2=16
B.5×5=5
C.4×2=16
D.2×2=24
3.下列计算中，正确的是( D )
A.= =4
B.
C.=13
D.=400
4.(4分)计算：
(1)(2分)
== 6 ；
(2)(2分)
== 2 。
5.(3分)计算的结果为 。
6.(3分)计算的结果为 2 。
【解析】 =2。
7.(3分)若一个长方形的长和面积分别为和4，则这个长方形的宽为 2 。
【解析】 由题意得，长方形的宽为=2。
8.(14分)计算：
(1)(2分)； (2)(2分)；
(3)(2分)； (4)(2分)；
(5)(2分)；
(6)(2分)2×3；
(7)(2分)3÷2。
解：(1)原式=3=3。
(2)原式=3×5=30。
(3)原式= =4。
(4)原式= =5。
(5)原式==10。
(6)原式=2=2×3=6。
(7)原式=。
9.(8分)解下列方程：
(1)(4分)； (2)(4分)3x=－。
解：(1)x=。
(2)x=－=－ =－=－。
10.(8分)用两种不同的方法化简：
(1)(4分)； (2)(4分)。
解：(1)方法一：=2。
方法二：=2。
(2)方法一：= = 。
方法二：。
11.计算 ÷3的结果是( B )
A.1 B.
C.5 D.9
12.若a=，b=，则 =( A )
A.2 B.
C.1 D.22
【解析】 ∵a＞0，b＞0，
∴原式==()×
=()×=2。
13.(3分)如果·是整数，那么整数x的值是 18或2 。
【解析】 ∵·= 是整数，且x是整数，
∴ =1或 =3，
解得x=18或2。
14.(8分)(1)(4分)已知a=，求代数式4a(a＋3)＋9的值。
(2)(4分)当x=－3，y=时，求代数式x2＋6x＋y2的值。
解：(1)4a(a＋3)＋9=4a2＋12a＋9=(2a＋3)2。
当a=时，原式=(2－3＋3)2=28。
(2)原式=(x＋3)2－9＋y2。
当x=－3，y=时，
原式=(－3＋3)2－9＋()2=()2－9＋6=2－9＋6=－1。
15.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，S△ABC=3 cm2，BC= cm，CD⊥AB于点D。求AC，CD的长。
解：由题意，得S△ABC=AC·BC=AB·CD，
∴AC==2(cm)，
∴AB=
==3(cm)，
∴CD=(cm)，
∴AC的长为2 cm，CD的长为 cm。
16.(10分)【阅读材料】先来看一个有趣的现象：
=2，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”。具有这种现象的数还有许多，例如：
=3， =4……
【猜想】(1)(4分)= 5 ，并给出证明。
【推理证明】(2)(4分)请你用一个正整数n(n为“穿墙”数，n≥2)表示含有上述规律的等式，并给出证明。
【创新应用】(3)(2分)按此规律，若=a(a，b为正整数)，则a＋b的值为 71 。
解：(1)证明如下：
=5。
(2)=n。证明如下：
=n。
(3)由条件可知a=8，b=a2－1，
∴b=82－1=63，
∴a＋b=8＋63=71。
17.(10分)[模型观念]如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫作格点，顶点在格点上的三角形为格点三角形，按下列要求画图。
(1)(5分)请你在网格图中画出边长为，2的格点三角形。
(2)(5分)在(1)的条件下，求三角形最长边上的高。
第17题答图
解：(1)如答图，AC=，AB==2，BC=。
(2)∵=10，=10，即AB2＋AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且斜边为BC，
∴BC边上的高为。
