第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第2课时 配方法(一) 分值：77分
选择题(每小题3分，共12分)
1.老师提出问题：解方程：x2－8=0。四位同学给出了以下答案，小琪：x=2；子航：x1=x2=2；一帆：x1=x2=－2；萱萱：x1=2，x2=－2。你认为答案正确的是( D )
A.小琪 B.子航
C.一帆 D.萱萱
【解析】 ∵x2－8=0，∴x2=8，
∴x1=2，x2=－2。
2.用配方法解一元二次方程x2－2x－1=0，下列配方正确的是( B )
A.(x－2)2=2 B.(x－1)2=2
C.(x＋2)2=1 D.(x－1)2=1
3.(3分)方程(x＋1)2=4的根为 x1=1，x2=－3 。
4.(3分)(1)(2分)用开平方法解x2=16，可得x1= 4 ，x2= －4(或－4 4) ；
(2)(1分)用开平方法解(x＋6)2=5，可得其中一个一元一次方程是x＋6=，另一个一元一次方程是 x＋6=－ 。
5.(8分)填空：
(1)(1分)x2－20x＋100=(x－ 10 )2；
(2)(1分)x2＋ 18x ＋81=(x＋9)2；
(3)(2分)y2＋5y＋( )2=(y＋ )2；
(4)(2分)x2－x＋( )2=(x－ )2；
(5)(2分)x2＋px＋( )2=(x＋ )2。
6.(5分)解方程：x2＋6x＋5=0(填空)。
移项，得x2＋6x=－5，
配方，得x2＋6x＋ 9 =－5＋ 9 ，
即(x＋3)2=4，
方程两边同时开方，得x＋3= ±2 ，
∴x1= －1 ，x2= －5 。
7.(8分)用开平方法解下列方程：
(1)(2分)x2－81=0；
(2)(2分)(x－1)2=2；
(3)(2分)2(x－2)2－8=0；
(4)(2分)(x)2=(1)2。
解：(1)x2=81，
∴x1=9，x2=－9。
(2)x－1=±，
∴x1=1，x2=1－。
(3)(x－2)2=4，x－2=±2，
∴x1=4，x2=0。
(4)x=±(1)，
∴x1=1，x2=－2－1。
8.(8分)用配方法解下列方程：
(1)(2分)x2－x－=0；
(2)(3分)x2－2x＋1=0；
(3)(3分)(2x－1)2＋2(2x－1)=1。
解：(1)x2－x，
=2，
∴x－=±，
解得x1=，x2=。
(2)x2－2x＋2=－1＋2，
(x－)2=1，
∴x－=±1，
解得x1=1，x2=－1。
(3)(2x－1)2＋2(2x－1)＋1=1＋1，
(2x－1＋1)2=2，即(2x)2=2，
∴2x=±，
解得x1=，x2=－。
9.一元二次方程x2－4x＋m=0可以通过配方转化为(x－p)2=5的形式，则m的值是( A )
A.－1 B.1
C.5 D.9
【解析】 由x2－4x＋m=0配方，
得(x－2)2=－m＋4。
由题意，得－p=－2，－m＋4=5，
∴p=2，m=－1。
10.欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，则该方程的一个正根是( B )
A.AC的长 B.AD的长
C.BC的长 D.CD的长
【解析】 由x2＋ax=b2配方，
得=b2。在Rt△ABC中，AB2=AC2＋BC2，则=b2，故该方程的一个正根是AD的长。
11.(3分)当x满足x＋1＜3x－3时，方程x2－2x－5=0的根为 1 。
【解析】 x2－2x－5=0，x2－2x=5，x2－2x＋1=6，
(x－1)2=6，
∴x－1=±，
∴x1=1，x2=1－。
解不等式x＋1＜3x－3，得x＞2，
∴x=1。
12.(3分)已知a，b为常数，若方程(x－1)2=a的两个根与方程(x－3)(x－b)=0的两个根相同，则b= －1 。
【解析】 由方程(x－3)(x－b)=0得，
x1=3，x2=b。
∵方程(x－1)2=a的两个根与方程(x－3)(x－b)=0的两个根相同，
∴将x=3代入(x－1)2=a，得a=4，
解方程(x－1)2=4，得x1=3，x2=－1，
所以b=－1。
13.(8分)如图，将长和宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形。
(1)(4分)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积。
(2)(4分)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长。
解：(1)纸片剩余部分的面积为ab－4x2。
(2)由题意，得ab－4x2=4x2。
又∵a=6，b=4，∴x2=ab=3。
又∵x＞0，∴x=。
答：正方形的边长为 。
14.(8分)解下列方程：
(1)(4分)=x；
(2)(4分)x＋2=6。
解：(1)=x，
将方程两边同时平方，得18－7x=x2，即x2＋7x－18=0，
∴，
∴x=±，
解得x1=2，x2=－9。
经检验，x2=－9是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=2。
(2)x＋2=6，
x－5＋21=2，
()2＋21=2，
(1)2=2，
1=±，
解得－1，=－－1(不合题意，舍去)，
∴x=(－1)2＋5=8－2。
经检验，x=8－2是原方程的解。
15.(8分)[推理能力]我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以，当a=0时，有最小值a2=0。
(1)(2分)代数式(x－3)2有最小值时，x= 3 。
(2)(2分)代数式m2＋5的最小值是 5 。
(3)(4分)求代数式n2＋6n＋11的最小值，小明是这样做的：
n2＋6n＋11
=n2＋6n＋9＋2
=(n＋3)2＋2，
∴当n=－3时，代数式n2＋6n＋11有最小值，最小值为2。
请你参照小明的方法，求代数式m2－4m－5的最小值，并求此时m的值。
解：(3)m2－4m－5
=m2－4m＋4－9
=(m－2)2－9，
∴当m=2时，代数式有最小值，最小值为－9。第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第4课时 公式法 分值：88分
选择题(每小题3分，共15分)
1.一元二次方程x2－2x＋1=0根的情况是( B )
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根
2.方程x2＋4x＋3=0的两个根为( D )
A.x1=1，x2=3
B.x1=－1，x2=3
C.x1=1，x2=－3
D.x1=－1，x2=－3
3.一元二次方程x2＋x－1=0的正数解为( D )
A.x=1－ B.x=
C.x= D.x=
4.(7分)用求根公式解一元二次方程9x2=8－6x时，先要把方程化成一般形式： 9x2＋6x－8=0 ，这里的a= 9 ，b= 6 ，c= －8 ，b2－4ac= 324 ，用求根公式解得x1= ，x2= － 。
5.(3分)方程2x2＋1=3x的解为 x1=1，x2= 。
6.(9分)填表：
一元二次方程 b2－4ac的值 根的情况
x2－3x－6=0 33 有两个不相等的实数根
x2＋9=6x 0 有两个相等的实数根
x2－2x＋3=0 －4 没有实数根
2x2－3=x2－2x 16 有两个不相等的实数根
发现：当a，c异号时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的情况是 一定有两个不相等的实数根 。
7.(8分)用公式法解下列方程：
(1)(2分)x2＋2x－1=0；
(2)(2分)2x2＋x－2=0；
(3)(2分)x2－x－2=0；
(4)(2分)－2x2＋2x－1=0。
解：(1)∵a=1，b=2，c=－1，
∴b2－4ac=22－4×1×(－1)=8＞0，
∴x=，
∴x1=－1，x2=－1－。
(2)∵a=2，b=1，c=－2，
∴b2－4ac=12－4×2×(－2)=17，
∴x=，
∴x1=，x2=。
(3)∵a=，b=－1，c=－2，
∴b2－4ac=(－1)2－4××(－2)=13＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=。
(4)原方程可化为2x2－2x＋1=0。
∵a=2，b=－2，c=1，
∴b2－4ac=(－2)2－4×2×1=－4＜0，
∴原方程没有实数根。
8.(8分)解方程：3x2－5x－2=0(用两种不同的方法)。
解：解法一：3x2－5x=2，
3，
，
∴x－=±，
∴x1=2，x2=－。
解法二：∵a=3，b=－5，c=－2，
∴b2－4ac=(－5)2－4×3×(－2)=25＋24=49，
∴x=，∴x1=2，x2=－。
9.(8分)设一元二次方程x2＋bx＋c=0。在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程。
①b=2，c=1；②b=3，c=1；③b=3，c=－1；④b=2，c=2。
解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可。
选②，则这个方程为x2＋3x＋1=0，
∴x=，
∴x1=，x2=；
选③，则这个方程为x2＋3x－1=0，
∴x1=，x2=。
10.若关于x的一元二次方程x2＋x＋m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( C )
A.－4 B.－
C. D.4
【解析】 由题意，得Δ=12－4m=0，解得m=。
11.(3分)已知关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是 0 。
【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴[－2(k－1)] 2－4(k2－1)＞0
整理，得－8(k－1)＞0，
解得k＜1，
∴k的最大整数值是0。
12.(3分)如果关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1=0(a≠0)没有实数根，那么a的取值范围是 a＞9 .
【解析】 ∵关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1=0没有实数根，
∴Δ＜0，即62－4a＜0，且a≠0，解得a＞9。
13.(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋2m－2=0(m为常数)。
(1)(4分)若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根。
(2)(4分)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根。
解：(1)把x=1代入方程可得1－(m＋1)＋2m－2=0，
解得m=2，
当m=2时，原方程为x2－3x＋2=0，
解得x1=1，x2=2，
即方程的另一根为2。
(2)∵a=1，b=－(m＋1)，c=2m－2，
∴Δ=[－(m＋1)]2－4×1×(2m－2)
=m2－6m＋9=(m－3)2≥0，
∴不论m为何值，方程总有两个实数根。
14.(8分)已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＋2k=0。
(1)(2分)求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根。
(2)(3分)求出方程的根(用含k的代数式表示)。
(3)(3分)若等腰三角形ABC的周长为14，其中两边长恰好是这个方程的两个根，求k的值。
解：(1)∵Δ=b2－4ac=4(k＋1)2－4(k2＋2k)=4＞0，
∴不论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根。
(2)∵x=，
∴x1=k＋2，x2=k。
(3)∵x1≠x2，故由等腰三角形ABC的周长为14，得
①2(k＋2)＋k=14，解得k=，
∴三边长分别为，符合题意；
②k＋2＋2k=14，∴k=4，
∴三边长分别为4，4，6，符合题意。
综上所述，k=4或。
15.(8分)已知关于x的方程(2k－1)x2－2(k＋1)x＋3=0。
(1)(4分)求证：该方程总有实数根。
(2)(4分)若该方程的根都为正整数，求整数k的值。
解：(1)分两种情况讨论：
①当2k－1=0，即k=时，该方程为一元一次方程，
解方程，得x=1，该方程有实数根；
②当2k－1≠0，即k≠时，该方程为一元二次方程，
Δ=[－2(k＋1)]2－4(2k－1)×3=4(k－2)2≥0，
该方程有实数根。
综上所述，该方程总有实数根。
(2)∵k为整数，
∴易知该方程为一元二次方程。
(2k－1)x2－2(k＋1)x＋3=0，
∴x=
=，
解得x1=，x2=1。
∵方程的根都为正整数，
∴2k－1=1或2k－1=3，
∴k=1或k=2。
16.[推理能力]对于代数式ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)，下列说法正确的是( B )
①若b2－4ac=0，则ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根；
②存在三个实数m≠n≠h，使得am2＋bm＋c=an2＋bn＋c=ah2＋bh＋c；
③若ax2＋bx＋c＋2=0与方程(x＋2)(x－3)=0的解相同，则a＋b=0。
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
【解析】 ①∵Δ=b2－4ac=0，
∴方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，①正确；
②∵一元二次方程ax2＋bx＋c=k(k为常数)最多有两个解，
∴m=n或m=h或n=h，与m≠n≠h矛盾，②错误；
③方程(x＋2)(x－3)=0的解为x1=－2，x2=3。
将x=－2代入ax2＋bx＋c＋2=0，得a·(－2)2＋b·(－2)＋c＋2=0，即4a－2b=－2－c。
将x=3代入ax2＋bx＋c＋2=0，得32·a＋3b＋c＋2=0，即9a＋3b=－2－c，
∴4a－2b=9a＋3b，则9a－4a＋3b＋2b=0，即a＋b=0，③正确。
综上所述，正确的说法是①③。第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第3课时 配方法(二) 分值：78分
选择题(每小题3分，共15分)；填空题(每小题3分)
1.用配方法解方程2x2－x－1=0时，变形结果正确的是( )
A. B.
C. D.
2.用配方法解下列方程时，错误的是( )
A.2x2－7x－4=0化为
B.2t2－4t＋2=0化为(t－1)2=0
C.4y2＋4y－1=0化为
D.x2－x－4=0化为
3.若2x2＋ax＋32是一个完全平方式，则实数a的值为( )
A.8 B.±8
C.16 D.±16
4.如图，用配方法解方程x2－x－2=0的四个步骤中，出现错误的是( )
A.① B.②
C.③ D.④
5.(12分)用配方法解下列方程：
(1)(2分)2x2－7x＋6=0；
(2)(2分)4x2－6x－3=0；
(3)(2分)2x2＋6x＋1=0；
(4)(2分)2x2－5x－7=0；
(5)(2分)3x2=－1－5x；
(6)(2分)x2＋5x=－。
6.(8分)有一根20 m长的绳子，怎样用它恰好围成一个面积为24 m2的长方形？
7.(8分)用配方法解一元二次方程：2x2＋3x＋1=0，小明同学的解题过程如下：
解：x2x=0，
，
x=±，
x1=－，x2=－。
小明的解题过程是否正确？若不正确，请写出正确的解题过程。
8.已知M=a－1，N=a2－a(a为任意实数)，则M，N的大小关系为( )
A.M＜N
B.M=N
C.M＞N
D.因为含有字母a，所以M，N的大小不能确定
9.(3分)(1)(1.5分)已知4x2－8nx＋16n(n≠0)是一个关于x的完全平方式，则常数n的值为。
(2)(1.5分)已知x2－2(n＋1)x＋4n是一个关于x的完全平方式，则常数n的值为。
10.(8分)用配方法解下列方程：
(1)(4分)0.1x2＋0.8x＋1.5=0；
(2)(4分)x2－x=0。
11.(8分)一名跳水运动员从10 m高的跳台上跳下，设他在起跳后第x(s)时离水面y(m)，y与x具有如下关系：y=－5x2＋5x＋10。求运动员从起跳到入水所用的时间。
12.(8分)(1)(2分)求代数式－y2－6y＋2的最大值。
(2)(3分)求代数式－2a2＋8a－3的最大值。
(3)(3分)若x2－3x＋y－10=0，求y－x的最大值。
13.(8分)[创新意识]【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法。以x2＋3x－10=0为例，大致方法如下：
第一步：将原方程变形为x2＋3x=10，即x(x＋3)=10；
第二步：如图1，构造一个长为x＋3，宽为x的长方形，且面积为10；
第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形，则大正方形的边长为2x＋3，小正方形的边长为3；
第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到(2x＋3)2=49。虽然在几何图形中x的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得2x＋3=±7，即可求得方程的两个根x1=2，x2=－5。
【方法理解】(1)(4分)在图3的三个构图中，能体现方程x2－x－6=0的解法的是(填序号)，观察图形可知(2x－1)2=。
【灵活应用】(2)(4分)仿照上述方法，画出两种能够求出方程2x2＋5x－3=0的解的图示(标注必要数据)。第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第4课时 公式法 分值：88分
选择题(每小题3分，共15分)
1.一元二次方程x2－2x＋1=0根的情况是( )
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根
2.方程x2＋4x＋3=0的两个根为( )
A.x1=1，x2=3
B.x1=－1，x2=3
C.x1=1，x2=－3
D.x1=－1，x2=－3
3.一元二次方程x2＋x－1=0的正数解为( )
A.x=1－ B.x=
C.x= D.x=
4.(7分)用求根公式解一元二次方程9x2=8－6x时，先要把方程化成一般形式：，这里的a=，b=，c=，b2－4ac=，用求根公式解得x1=，x2=。
5.(3分)方程2x2＋1=3x的解为。
6.(9分)填表：
一元二次方程 b2－4ac的值 根的情况
x2－3x－6=0
x2＋9=6x
x2－2x＋3=0
2x2－3=x2－2x
发现：当a，c异号时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)根的情况是。
7.(8分)用公式法解下列方程：
(1)(2分)x2＋2x－1=0；
(2)(2分)2x2＋x－2=0；
(3)(2分)x2－x－2=0；
(4)(2分)－2x2＋2x－1=0。
8.(8分)解方程：3x2－5x－2=0(用两种不同的方法)。
9.(8分)设一元二次方程x2＋bx＋c=0。在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程。
①b=2，c=1；②b=3，c=1；③b=3，c=－1；④b=2，c=2。
10.若关于x的一元二次方程x2＋x＋m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A.－4 B.－
C. D.4
11.(3分)已知关于x的一元二次方程x2－2(k－1)x＋k2－1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是。
12.(3分)如果关于x的一元二次方程ax2＋6x＋1=0(a≠0)没有实数根，那么a的取值范围是.
13.(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋2m－2=0(m为常数)。
(1)(4分)若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根。
(2)(4分)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根。
14.(8分)已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＋2k=0。
(1)(2分)求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根。
(2)(3分)求出方程的根(用含k的代数式表示)。
(3)(3分)若等腰三角形ABC的周长为14，其中两边长恰好是这个方程的两个根，求k的值。
15.(8分)已知关于x的方程(2k－1)x2－2(k＋1)x＋3=0。
(1)(4分)求证：该方程总有实数根。
(2)(4分)若该方程的根都为正整数，求整数k的值。
16.[推理能力]对于代数式ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)，下列说法正确的是( )
①若b2－4ac=0，则ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根；
②存在三个实数m≠n≠h，使得am2＋bm＋c=an2＋bn＋c=ah2＋bh＋c；
③若ax2＋bx＋c＋2=0与方程(x＋2)(x－3)=0的解相同，则a＋b=0。
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第3课时 配方法(二) 分值：78分
选择题(每小题3分，共15分)；填空题(每小题3分)
1.用配方法解方程2x2－x－1=0时，变形结果正确的是( A )
A. B.
C. D.
【解析】 由2x2－x－1=0，得2x2－x=1，
∴x2－x=，
x2－x，
∴。
2.用配方法解下列方程时，错误的是( D )
A.2x2－7x－4=0化为
B.2t2－4t＋2=0化为(t－1)2=0
C.4y2＋4y－1=0化为
D.x2－x－4=0化为
3.若2x2＋ax＋32是一个完全平方式，则实数a的值为( D )
A.8 B.±8
C.16 D.±16
4.如图，用配方法解方程x2－x－2=0的四个步骤中，出现错误的是( D )
A.① B.②
C.③ D.④
5.(12分)用配方法解下列方程：
(1)(2分)2x2－7x＋6=0；
(2)(2分)4x2－6x－3=0；
(3)(2分)2x2＋6x＋1=0；
(4)(2分)2x2－5x－7=0；
(5)(2分)3x2=－1－5x；
(6)(2分)x2＋5x=－。
解：(1)方程的两边同除以2，
得x2－x＋3=0，
x2－x=－3，
即，则x－=±，
解得x1=2，x2=。
(2)方程的两边同除以4，
得x2－x－=0，
x2－x，
即，
则x－=±，
解得x1=，x2=。
(3)方程的两边同除以2，
得x2＋3x=0，
x2＋3x=－，
即，
则x=±，
解得x1=，x2=。
(4)方程的两边同除以2，
得x2－x－=0，
x2－x，
即，
则x－=±，
解得x1=，x2=－1。
(5)3x2＋5x＋1=0，
方程的两边同除以3，
得x2x=0，
x2x=－，即，
则x=±，
解得x1=，x2=。
(6)方程的两边同除以，
得x2＋10x=－9，
x2＋10x＋25=16，
即(x＋5)2=16，则x＋5=±4，
解得x1=－1，x2=－9。
6.(8分)有一根20 m长的绳子，怎样用它恰好围成一个面积为24 m2的长方形？
解：设围成的长方形的长为x(m)，则宽为(10－x)m。
由题意，得x(10－x)=24，
则－x2＋10x=24，
x2－10x＋25=－24＋25，
(x－5)2=1，
∴x－5=±1，
解得x1=6，x2=4。
∵x＞10－x，∴x＞5，
∴x2=4不合题意，舍去，∴x=6，
∴10－6=4(m)。
答：围成的长方形的长为6 m，宽为4 m。
7.(8分)用配方法解一元二次方程：2x2＋3x＋1=0，小明同学的解题过程如下：
解：x2x=0，
，
x=±，
x1=－，x2=－。
小明的解题过程是否正确？若不正确，请写出正确的解题过程。
解：小明的解题过程不正确。
正确的解题过程如下：
2x2＋3x＋1=0，
x2x=0，
x2x=－，
x2x=－，
，
x=±，
x，或x=－，
解得x1=－，x2=－1。
8.已知M=a－1，N=a2－a(a为任意实数)，则M，N的大小关系为( A )
A.M＜N
B.M=N
C.M＞N
D.因为含有字母a，所以M，N的大小不能确定
【解析】 N－M=a2－a－=a2－a＋1=。
∵≥0，
∴＞0，
∴N＞M，即M＜N。
9.(3分)(1)(1.5分)已知4x2－8nx＋16n(n≠0)是一个关于x的完全平方式，则常数n的值为 4 。
(2)(1.5分)已知x2－2(n＋1)x＋4n是一个关于x的完全平方式，则常数n的值为 1 。
【解析】 (1)∵4x2－8nx＋16n(n≠0)是一个关于x的完全平方式，
即4(x2－2nx＋4n)是一个关于x的完全平方式，
∴4n=n2，
解得n1=0(不合题意，舍去)，n2=4，
∴常数n的值为4。
(2)∵x2－2(n＋1)x＋4n是一个关于x的完全平方式，
∴(n＋1)2=4n，解得n1=n2=1，
∴常数n的值为1。
10.(8分)用配方法解下列方程：
(1)(4分)0.1x2＋0.8x＋1.5=0；
(2)(4分)x2－x=0。
解：(1)方程的两边同乘10，
得x2＋8x＋15=0，
x2＋8x＋42=－15＋42，
即(x＋4)2=1，
∴x＋4=±1，
解得x1=－3，x2=－5。
(2)方程的两边同乘，
得x2－2x=0，
x2－2x＋12=－12，
即(x－1)2=，
∴x－1=±，
解得x1=1，x2=1－。
11.(8分)一名跳水运动员从10 m高的跳台上跳下，设他在起跳后第x(s)时离水面y(m)，y与x具有如下关系：y=－5x2＋5x＋10。求运动员从起跳到入水所用的时间。
解：运动员入水时，y=0，
即－5x2＋5x＋10=0，
∴x2－x－2=0，∴，
∴x－=±，∴x1=2，x2=－1。
又∵x≥0，∴x=2。
答：运动员从起跳到入水所用的时间为2 s。
12.(8分)(1)(2分)求代数式－y2－6y＋2的最大值。
(2)(3分)求代数式－2a2＋8a－3的最大值。
(3)(3分)若x2－3x＋y－10=0，求y－x的最大值。
解：(1)－y2－6y＋2=－(y＋3)2＋11。
∵－(y＋3)2≤0，
∴－(y＋3)2＋11≤11，
∴－y2－6y＋2的最大值是11。
(2)－2a2＋8a－3=－2(a2－4a＋4－4)－3=－2(a－2)2＋5。
∵－2(a－2)2≤0，
∴－2(a－2)2＋5≤5，
∴－2a2＋8a－3的最大值是5。
(3)∵x2－3x＋y－10=0，
∴y－x=－x2＋2x＋10=－(x－1)2＋11。
∵－(x－1)2≤0，
∴－(x－1)2＋11≤11，
∴y－x的最大值是11。
13.(8分)[创新意识]【阅读材料】三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了借助几何图形对一元二次方程进行求解的方法。以x2＋3x－10=0为例，大致方法如下：
第一步：将原方程变形为x2＋3x=10，即x(x＋3)=10；
第二步：如图1，构造一个长为x＋3，宽为x的长方形，且面积为10；
第三步：如图2，用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间空白部分恰好是一个小正方形，则大正方形的边长为2x＋3，小正方形的边长为3；
第四步：观察图形可知：大正方形的面积等于四个长方形与一个小正方形的面积之和，得到(2x＋3)2=49。虽然在几何图形中x的值不能取负数，但事实上，通过构图完成了关键的配方步骤，只要开平方得2x＋3=±7，即可求得方程的两个根x1=2，x2=－5。
【方法理解】(1)(4分)在图3的三个构图中，能体现方程x2－x－6=0的解法的是 ③ (填序号)，观察图形可知(2x－1)2= 25 。
【灵活应用】(2)(4分)仿照上述方法，画出两种能够求出方程2x2＋5x－3=0的解的图示(标注必要数据)。
解：(1)∵x2－x－6=0，
∴x2－x=x(x－1)=6，
∴能体现方程x2－x－6=0的解法的是③，
∴(2x－1)2=6×4＋[x－(x－1)]2=25。
(2)∵2x2＋5x－3=0，
∴x(2x＋5)=3，
∴2x(2x＋5)=6或x，
∴能够求出方程2x2＋5x－3=0的解的图示如答图：
第13题答图2.2 一元二次方程的解法
第1课时 因式分解法
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.方程x2＋5x=0的解为( )
A.x=5 B.x=－5
C.x1=0，x2=5 D.x1=0，x2=－5
2.方程x2－49=0的解为( )
A.x1=7，x2=－7 B.x1=1，x2=7
C.x1=x2=7 D.x1=x2=－7
3.下列说法正确的是( )
A.(3x－3)(3x－4)=0，于是3x－3=0或3x－4=0
B.(x＋3)(x－1)=1，于是x＋3=1或x－1=1
C.(x－2)(x－3)=6，于是x－2=2或x－3=3
D.x(x＋2)=0，于是x＋2=0
4.(3分)一元二次方程2x(x－1)=3(x－1)的解是。
5.(3分)方程x2－12x＋36=0的解为。
6.(8分)用因式分解法解下列方程：
(1)(2分)2x2－8x=0；
(2)(2分)x2＋2x＋1=25；
(3)(2分)x(2x－3)=4x－6；
(4)(2分)(2x＋3)2=(3x＋2)2。
7.已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x－6)(x－10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是( )
A.24或2 B.24
C.2 D.8或24
8.(8分)(1)(4分)若实数x，y满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)=0，求x2＋y2的值。
(2)(4分)若(2m＋n)2＋3(2m＋n)=0，求2m＋n的值。
9.(8分)对于实数m，n，定义新运算“※”：m※n=mn＋m＋n。
(1)(4分)化简：(a＋b)※(a－b)。
(2)(4分)解关于x的方程：x※(1※x)=－1。
10.(8分)[创新意识]若关于x的一元二次方程x2－6x－k－1=0与x2－kx－7=0仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根。2.2 一元二次方程的解法
第1课时 因式分解法
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.方程x2＋5x=0的解为( D )
A.x=5 B.x=－5
C.x1=0，x2=5 D.x1=0，x2=－5
2.方程x2－49=0的解为( A )
A.x1=7，x2=－7 B.x1=1，x2=7
C.x1=x2=7 D.x1=x2=－7
3.下列说法正确的是( A )
A.(3x－3)(3x－4)=0，于是3x－3=0或3x－4=0
B.(x＋3)(x－1)=1，于是x＋3=1或x－1=1
C.(x－2)(x－3)=6，于是x－2=2或x－3=3
D.x(x＋2)=0，于是x＋2=0
4.(3分)一元二次方程2x(x－1)=3(x－1)的解是 x1=1，x2= 。
5.(3分)方程x2－12x＋36=0的解为 x1=x2=6 。
【解析】 ∵x2－12x＋36=0，∴(x－6)2=0，解得x1=x2=6。
6.(8分)用因式分解法解下列方程：
(1)(2分)2x2－8x=0；
(2)(2分)x2＋2x＋1=25；
(3)(2分)x(2x－3)=4x－6；
(4)(2分)(2x＋3)2=(3x＋2)2。
解：(1)2x2－8x=0，
2x(x－4)=0，
x=0或x－4=0，
∴x1=0，x2=4。
(2)(x＋1)2=25，
∴x＋1=±5，
∴x1=4，x2=－6。
(3)x(2x－3)=2(2x－3)，
x(2x－3)－2(2x－3)=0，
(x－2)(2x－3)=0，
x－2=0或2x－3=0，
∴x1=2，x2=。
(4)(2x＋3)2=(3x＋2)2，
(2x＋3)2－(3x＋2)2=0，
(2x＋3＋3x＋2)(2x＋3－3x－2)=0，
(5x＋5)(－x＋1)=0，
5x＋5=0或－x＋1=0，
解得x1=－1，x2=1。
7.已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程(x－6)(x－10)=0的一个实数根，则该三角形的面积是( D )
A.24或2 B.24
C.2 D.8或24
【解析】 (x－6)(x－10)=0，
x－6=0或x－10=0，
∴x1=6，x2=10。
当第三边的长为6时，三角形为等腰三角形，则易知底边上的高线长是=2，此时该三角形的面积是×8×2=8；
当第三边的长为10时，三角形为直角三角形，此时三角形的面积是×8×6=24。
综上所述，该三角形的面积是8或24。
8.(8分)(1)(4分)若实数x，y满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)=0，求x2＋y2的值。
(2)(4分)若(2m＋n)2＋3(2m＋n)=0，求2m＋n的值。
解：(1)令x2＋y2=t，则(t＋2)(t－1)=0，
∴t1=－2，t2=1，
即x2＋y2=－2或x2＋y2=1。
又∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2的值为1。
(2)令2m＋n=t，则t2＋3t=0，
∴t(t＋3)=0，
∴t1=－3，t2=0，
∴2m＋n的值为－3或0。
9.(8分)对于实数m，n，定义新运算“※”：m※n=mn＋m＋n。
(1)(4分)化简：(a＋b)※(a－b)。
(2)(4分)解关于x的方程：x※(1※x)=－1。
解：(1)∵m※n=mn＋m＋n，
∴(a＋b)※(a－b)=(a＋b)(a－b)＋a＋b＋a－b=a2－b2＋2a。
(2)∵x※(1※x)=－1，
∴x※(2x＋1)=－1，
∴2x2＋x＋x＋2x＋1=－1，
∴x2＋2x＋1=0，
解得x1=x2=－1。
10.(8分)[创新意识]若关于x的一元二次方程x2－6x－k－1=0与x2－kx－7=0仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根。
解：设公共的实数根为m，则
①－②，得(k－6)m－(k－6)=0，
∴(k－6)(m－1)=0，
∴k－6=0或m－1=0，
解得k=6或m=1。
当k=6时，两个方程都为x2－6x－7=0，这两个方程有两个公共的实数根，不合题意，舍去；
当m=1时，12－6×1－k－1=0，
解得k=－6，经验证，符合题意。
综上所述，k=－6，公共的实数根为x=1。第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第2课时 配方法(一) 分值：77分
选择题(每小题3分，共12分)
1.老师提出问题：解方程：x2－8=0。四位同学给出了以下答案，小琪：x=2；子航：x1=x2=2；一帆：x1=x2=－2；萱萱：x1=2，x2=－2。你认为答案正确的是( )
A.小琪 B.子航
C.一帆 D.萱萱
2.用配方法解一元二次方程x2－2x－1=0，下列配方正确的是( )
A.(x－2)2=2 B.(x－1)2=2
C.(x＋2)2=1 D.(x－1)2=1
3.(3分)方程(x＋1)2=4的根为。
4.(3分)(1)(2分)用开平方法解x2=16，可得x1=，x2=；
(2)(1分)用开平方法解(x＋6)2=5，可得其中一个一元一次方程是x＋6=，另一个一元一次方程是。
5.(8分)填空：
(1)(1分)x2－20x＋100=(x－)2；
(2)(1分)x2＋＋81=(x＋9)2；
(3)(2分)y2＋5y＋()2=(y＋)2；
(4)(2分)x2－x＋()2=(x－)2；
(5)(2分)x2＋px＋()2=(x＋)2。
6.(5分)解方程：x2＋6x＋5=0(填空)。
移项，得x2＋6x=－5，
配方，得x2＋6x＋=－5＋，
即(x＋3)2=4，
方程两边同时开方，得x＋3=，
∴x1=，x2=。
7.(8分)用开平方法解下列方程：
(1)(2分)x2－81=0；
(2)(2分)(x－1)2=2；
(3)(2分)2(x－2)2－8=0；
(4)(2分)(x)2=(1)2。
8.(8分)用配方法解下列方程：
(1)(2分)x2－x－=0；
(2)(3分)x2－2x＋1=0；
(3)(3分)(2x－1)2＋2(2x－1)=1。
9.一元二次方程x2－4x＋m=0可以通过配方转化为(x－p)2=5的形式，则m的值是( )
A.－1 B.1
C.5 D.9
10.欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，则该方程的一个正根是( )
A.AC的长 B.AD的长
C.BC的长 D.CD的长
11.(3分)当x满足x＋1＜3x－3时，方程x2－2x－5=0的根为 。12.(3分)已知a，b为常数，若方程(x－1)2=a的两个根与方程(x－3)(x－b)=0的两个根相同，则b=。
13.(8分)如图，将长和宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形。
(1)(4分)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积。
(2)(4分)当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长。
14.(8分)解下列方程：
(1)(4分)=x；
(2)(4分)x＋2=6。
15.(8分)[推理能力]我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以，当a=0时，有最小值a2=0。
(1)(2分)代数式(x－3)2有最小值时，x=。
(2)(2分)代数式m2＋5的最小值是。
(3)(4分)求代数式n2＋6n＋11的最小值，小明是这样做的：
n2＋6n＋11
=n2＋6n＋9＋2
=(n＋3)2＋2，
∴当n=－3时，代数式n2＋6n＋11有最小值，最小值为2。
请你参照小明的方法，求代数式m2－4m－5的最小值，并求此时m的值。
