第2章 一元二次方程 2.3 一元二次方程根与系数的关系 分值：78分
选择题(每小题3分，共6分)
1.若x1，x2是方程x2－6x－7=0的两个根，则( )
A.x1＋x2=6 B.x1＋x2=－6
C.x1x2= D.x1x2=7
2.(4分)不解方程，求下列各方程的两个根之和与两个根之积：
(1)(2分)4x2＋1=7x，x1＋x2=，x1x2=。
(2)(2分)3x2－1=0，x1＋x2=，x1x2=。
3.(3分)已知一元二次方程x2－3x－5=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2－x1x2的值为。
4.(3分)设x1，x2是方程x2＋2x－3=0的两个实数根，则=。
5.(3分)已知x1，x2是方程2x2－3x＋1=0的两根，则代数式的值为。
6.(3分)若关于x的一元二次方程x2＋x＋a－4=0的一个根是0，则另一个根是。
7.(8分)若x1，x2是一元二次方程2x2－3x－1=0的两个根，求下列代数式的值。
(1)(2分)；
(2)(2分)；
(3)(2分)；
(4)(2分)(x1－x2)2。
8.(8分)已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是－2，4，请写出这个方程。
9.(8分)如果一个三角形两边的长分别等于方程x2－8x－11=0的两个根，那么三角形第三边的长可能是8吗？为什么？
10.已知m，n是方程x2＋2x－5=0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n=( )
A.6 B.7
C.8 D.9
11.(3分)已知x1，x2是方程2x2＋kx－2=0的两个实数根，且(x1－2)(x2－2)=10，则k的值为。
12.(3分)在解一元二次方程x2＋bx＋c=0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1=6，x2=1；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，x2=4。请你写出正确的一元二次方程：。
13.(8分)已知关于x的方程x2－(k＋4)x＋2k＋4=0。
(1)(2分)求证：该方程总有两个实数根。
(2)(3分)记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式(x1－2)(x2－2)的值。
(3)(3分)若M=，N=3－x1x2，比较M与N的大小。
14.(8分)已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2=0。
(1)(4分)求证：方程总有两个不相等的实数根。
(2)(4分)若方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β=5，求m的值。
15.(10分)[模型观念]阅读材料，并根据材料解决问题。
材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2=－，x1x2=。
材料2：已知实数m，n满足m2－m－1=0，n2－n－1=0，且m≠n，则m，n是方程x2－x－1=0两个不相等的实数根。
(1)(2分)材料理解：若一元二次方程3x2－6x＋1=0的两个根为x1，x2，则x1＋x2=，x1x2=。
(2)(4分)应用探究：已知实数m，n满足9m2－9m－1=0，9n2－9n－1=0，且m≠n，求m2n＋mn2的值。
(3)(4分)思维拓展：已知实数s，t分别满足9s2 ＋9s＋1=0，t2＋9t＋9=0，其中st≠1且st≠0。求的值。第2章 一元二次方程 2.3 一元二次方程根与系数的关系 分值：78分
选择题(每小题3分，共6分)
1.若x1，x2是方程x2－6x－7=0的两个根，则( A )
A.x1＋x2=6 B.x1＋x2=－6
C.x1x2= D.x1x2=7
2.(4分)不解方程，求下列各方程的两个根之和与两个根之积：
(1)(2分)4x2＋1=7x，x1＋x2= ，x1x2= 。
(2)(2分)3x2－1=0，x1＋x2= 0 ，x1x2= － 。
3.(3分)已知一元二次方程x2－3x－5=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2－x1x2的值为 8 。
【解析】 ∵一元二次方程x2－3x－5=0的两个实数根分别为x1和x2，
∴x1＋x2=－=3，x1x2==－5，
∴x1＋x2－x1x2=3－(－5)=8。
4.(3分)设x1，x2是方程x2＋2x－3=0的两个实数根，则= 10 。
【解析】 ∵x1，x2是方程x2＋2x－3=0的两个实数根，
∴x1＋x2=－2，x1x2=－3，
∴=(x1＋x2)2－2x1x2=(－2)2－2×(－3)=10。
5.(3分)已知x1，x2是方程2x2－3x＋1=0的两根，则代数式的值为 1 。
【解析】 ∵x1，x2是方程2x2－3x＋1=0的两根，
∴x1＋x2=，x1x2=，
∴=1。
6.(3分)若关于x的一元二次方程x2＋x＋a－4=0的一个根是0，则另一个根是 －1 。
【解析】 设另一个根为m，
则有0＋m=－1，
∴m=－1，
∴另一个根为－1。
7.(8分)若x1，x2是一元二次方程2x2－3x－1=0的两个根，求下列代数式的值。
(1)(2分)；
(2)(2分)；
(3)(2分)；
(4)(2分)(x1－x2)2。
解：∵x1，x2是一元二次方程2x2－3x－1=0的两个根，
∴x1＋x2=，x1x2=－。
(1)原式==－3。
(2)原式=(x1＋x2)2－2x1x2=－2×。
(3)原式==－。
(4)原式=(x1＋x2)2－4x1x2=－4×。
8.(8分)已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是－2，4，请写出这个方程。
解：设所求方程为ax2＋bx＋c=0(a≠0)。
∵二次项系数是3，∴a=3。
∵方程的两个根分别是－2和4，
∴－2＋4=－，－2×4=，
∴b=－6，c=－24，
∴所求方程为3x2－6x－24=0。
9.(8分)如果一个三角形两边的长分别等于方程x2－8x－11=0的两个根，那么三角形第三边的长可能是8吗？为什么？
解：不可能。理由如下：
由题意，得x1＋x2=8。若三角形第三边的长是8，则三角形其中两边之和等于第三边，不符合三角形的三边关系定理，故三角形第三边的长不可能是8。
10.已知m，n是方程x2＋2x－5=0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n=( C )
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】 ∵m，n是方程x2＋2x－5=0的两个实数根，
∴mn=－5，m＋n=－2。
∵m2＋2m－5=0，
∴m2=5－2m，
∴m2－mn＋3m＋n=(5－2m)－(－5)＋3m＋n=10＋m＋n=10－2=8。
11.(3分)已知x1，x2是方程2x2＋kx－2=0的两个实数根，且(x1－2)(x2－2)=10，则k的值为 7 。
【解析】 ∵x1，x2是方程2x2＋kx－2=0的两个实数根，
∴x1＋x2=－，x1x2=－1，
∴(x1－2)(x2－2)=x1x2－2(x1＋x2)＋4=－1－2×－＋4=10，解得k=7。
当k=7时，Δ=72－4×2×(－2)=65＞0，符合题意。
12.(3分)在解一元二次方程x2＋bx＋c=0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1=6，x2=1；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，x2=4。请你写出正确的一元二次方程： x2－5x＋6=0 。
【解析】 由小明的计算结果可知c=6×1=6，由小刚的计算结果可知b=－(1＋4)=－5，
∴正确的一元二次方程是x2－5x＋6=0。
13.(8分)已知关于x的方程x2－(k＋4)x＋2k＋4=0。
(1)(2分)求证：该方程总有两个实数根。
(2)(3分)记该方程的两个实数根为x1，x2，求代数式(x1－2)(x2－2)的值。
(3)(3分)若M=，N=3－x1x2，比较M与N的大小。
解：(1)∵Δ=[－(k＋4)]2 －4(2k＋4)=k2≥0，
∴方程总有两个实数根。
(2)根据韦达定理可得，x1＋x2=k＋4，x1x2=2k＋4，
∴(x1－2)(x2－2)=x1x2－2(x1＋x2)＋4=2k＋4－2(k＋4)＋4=0。
(3)M－N=－3＋x1x2=(x1＋x2)2－x1x2－3=(k＋4)2－(2k＋4)－3=(k＋3)2≥0，
∴M≥N。
14.(8分)已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2=0。
(1)(4分)求证：方程总有两个不相等的实数根。
(2)(4分)若方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β=5，求m的值。
解：(1)Δ=b2－4ac=(－2)2－4×1·(－3m2)=4＋12m2。
∵12m2≥0，∴4＋12m2≥4＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根。
(2)∵方程的两个实数根α，β，
由根与系数关系可知，a＋β=2，a·β=－3m2。
∵α＋2β=5，∴α=5－2β，
∴5－2β＋β=2，解得β=3，∴α=－1，
∴－3m2=－1×3=－3，即m=±1。
15.(10分)[模型观念]阅读材料，并根据材料解决问题。
材料1：若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2=－，x1x2=。
材料2：已知实数m，n满足m2－m－1=0，n2－n－1=0，且m≠n，则m，n是方程x2－x－1=0两个不相等的实数根。
(1)(2分)材料理解：若一元二次方程3x2－6x＋1=0的两个根为x1，x2，则x1＋x2= 2 ，x1x2= 。
(2)(4分)应用探究：已知实数m，n满足9m2－9m－1=0，9n2－9n－1=0，且m≠n，求m2n＋mn2的值。
(3)(4分)思维拓展：已知实数s，t分别满足9s2 ＋9s＋1=0，t2＋9t＋9=0，其中st≠1且st≠0。求的值。
解：(1)∵一元二次方程3x2－6x＋1=0的两个根为x1，x2，
∴x1＋x2=2，x1x2=。
(2)由题意可知：m，n是方程9x2－9x－1=0的两个根，
∴m＋n=1，mn=－，
∴m2n＋mn2=mn(m＋n)=－×1=－。
(3)t2＋9t＋9=0两边同时除以t2得：991=0，
则实数s和可看作方程9x2＋9x＋1=0的两根，
∴s=－1，s×，
∴=3s＋9×=39×=3×(－1)＋9×=－2。
