第2章 一元二次方程 2.4 一元二次方程的应用 第1课时 销售及增长率等问题 分值：60分
选择题(每小题3分，共9分)；填空题(每小题3分)
1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份零件产量平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( C )
A.50(1＋x)2=196
B.50＋50(1＋x)2=196
C.50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2=196
D.50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)=96
2.由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，一葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植面积，2024年该品种葡萄的产量为20万斤，2026年的产量为28.8万斤。若设该品种葡萄产量每年的平均增长率为x，则所列方程为( A )
A.20(1＋x)2=28.8
B.20＋20(1＋x)=28.8
C.28.8(1－x)2=20
D.28.8－28.8(1－x)=20
3.(3分)某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为 25% 。
【解析】 设平均每次降价的百分率为x，
根据题意，得16(1－x)2=9，
解得x1=0.25，x2=1.75＞1(舍去)，
故x=0.25=25%，则平均每次降价25%。
4.(8分)随着科技的发展，某省加快布局以5G技术为代表的新兴产业。据统计，2023年1月该省5G基站数量约为1.5万座。到2023年年底，该省5G基站数量是1月的4倍，到2025年年底，该省5G基站数量达到17.34万座。
(1)(4分)2023年年底，该省5G基站数量是多少万座？
(2)(4分)2023年年底到2025年年底，该省5G基站数量的年平均增长率为多少？
解：(1)1.5×4=6(万座)。
答：2023年年底，该省5G基站数量是6万座。
(2)设从2023年年底到2025年年底，该省5G基站数量的年平均增长率为x，
由题意，得6(1＋x)2=17.34，
解得x1=0.7=70%，x2=－2.7(不合题意，舍去)。
答：从2023年年底到2025年年底，该省5G基站数量的年平均增长率为70%。
5.(8分)汽车在一段公路上以变化的速度行驶，它行驶的路程s(km)和时间t(h)之间的关系式为s=3t2＋18t。当这辆车从起点(t=0)开始行驶了120 km时，所经过的时间是多少小时？
解：由题意，得3t2＋18t=120，
变形，得t2＋6t－40=0，
解得t1=－10，t2=4，
其中t1=－10＜0，应舍去，
故t=4。
答：所经过的时间是4 h。
6.(8分)某商店销售一款每件进价为70元的童装，每件售价为110元时，每天可售出20件。为了迎接购物旺季，商店决定降价销售，经市场调查发现，该童装每降价1元，每天可多售出2件，设每件童装降价x元。
(1)(4分)降价后，每件童装的利润为 40－x 元，平均每天的销售量为 20＋2x 件。(用含x的式子表示)
(2)(4分)采取降价措施后，如果商店需要每天盈利1 200元，那么每件童装应降价多少元？
解：(2)依题意，得(40－x)(20＋2x)=1 200，
整理，得x2－30x＋200=0，
解得x1=10，x2=20。
答：每件童装应降价10元或20元。
7.某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件。为尽可能多地占有市场份额，销售方决定降价处理，且经市场调查得知：每降价1元，每星期可多卖出20件。现要使销售该商品每星期获利6 120元，每件商品应降价( A )
A.3元 B.2.5元
C.2元 D.2元或3元
【解析】 设售价为x元时，该商品每星期盈利为6 120元，
由题意，得(x－40)[300＋20(60－x)]=6 120，
解得x1=57，x2=58。
又∵要尽可能多地占有市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x2=58，
∴每件商品应降价60－57=3(元)。
8.(8分)请根据图片内容，回答下列问题：
(1)(4分)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)(4分)按照这样的传染速度，第三轮将新增多少名感染者？
解：(1)设每轮传染中，平均一个人传染x个人，
由题意，得(1＋x)2=121，
解得x1=10，x2=－12(不合题意，舍去)。
答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人。
(2)121×10=1 210(名)。
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1 210名感染者。
9.(8分)某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个。因货源紧俏，商场在5月份和6月份对该玩具都进行了涨价，虽销量有所减少，但玩具销售额逐月增加，已知6月份的玩具销售额为2 880元。(销售额=销售单价×销售数量)
(1)(4分)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率。
(2)(4分)若经统计调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元，求6月份每个玩具的销售价格。
解：(1)4月份的玩具销售额为40×50=2 000(元)。
设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，
由题意，得2 000(1＋x)2 =2 880，
解得x1=0.2，x2=－2.2(舍去)。
答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为20%。
(2)设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少x个。
(50＋x)=2 880，
解得x1=40，x2=110(舍去)，
∴50＋x=90。
答：6月份每个玩具的销售价格是90元。
10.(8分)[应用意识]购物节期间，某旗舰店优惠活动如图1所示，该店促销一款标价为899元/把的电动牙刷，根据如图1所示的优惠活动，给出的优惠明细如图2所示：
图1 图2
按上述优惠，平均每天可卖600把该款牙刷。通过市场调查发现，不改变优惠券2的情况下，若优惠券1每满200元再多减1元，则日销售量增加5把(即每满200元减21元，电动牙刷日销售量为605把)。
(1)(4分)若优惠券1设置为每满200元减22元，求使用优惠券后该牙刷的购买价格是多少。
(2)(4分)若要使日销售总额为364 000元，则优惠券1应设置为每满200元减多少元？
解：(1)899－219－22×4=592(元)。
答：使用优惠券后该牙刷的购买价格是592元/把。
(2)设优惠券1应设置为每满200元减x元，则使用优惠券后该牙刷的购买价格是(899－219－4x)元/把，日销售量为600＋5(x－20)=(500＋5x)把，
由题意，得(899－219－4x)(500＋5x)=364 000，
整理，得x2－70x＋1 200=0，
解得x1=30，x2=40。
答：优惠券1应设置为每满200元减30元或40元。第2章 一元二次方程 2.4 一元二次方程的应用 第2课时 几何问题 分值：39分
选择题(每小题3分，共9分)；填空题(每小题3分)
1.如图，把一块长为40 cm、宽为30 cm的长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x(cm)，则所列方程为( )
A.(30－2x)(40－x)=600
B.(30－x)(40－x)=600
C.(30－x)(40－2x)=600
D.(30－2x)(40－2x)=600
2.如图，在一块长28 m、宽10 m的长方形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是243 m2，设小路的宽度为x(m)，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A.28×10－28x－10x=243
B.2(28－x＋10－x)=243
C.(28－x)(10－x)＋x2=243
D.(28－x)(10－x)=243
3.(3分)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果。如图，利用黄金分割法，所作EF将长方形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB。已知AB为2米，则线段BE的长为米。
4.(3分)如图，将长方形沿图中虚线(其中x＞y)剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形。若y=4，则x的值为。
5.(8分)如图，要在一块长为16 m、宽为12 m的长方形荒地上建造一个花园，要求花园面积是原荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案。同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用解方程的方法说明理由。
6.如图，小王驾车由西向东驶往C市，在距C市240 km的点A处获知250 km外(AB=250 km)一场风暴正在由C市正南方的点B处向正北移动，移动的速度为20 km/h。已知风暴的影响半径为50 km(BD=50 km)，小王驾车的速度为30 km/h，那么以下说法正确的是( )
A.在风暴中心到达C市前小王受到影响
B.在风暴中心越过C市后小王受到影响
C.小王不会受到风暴影响
D.条件不足，无法判断
7.(8分)学校准备在花坛旁圈出两个连在一起的长方形自行车及共享单车停车区域(如图，AB=CD=EF)，其中一面紧靠花坛(可利用的矮墙长28 m，不能超出)，另外的边利用现有总长为55 m的矮栏(厚度不计)围成，并设有两个宽为1米的敞开出入口。
(1)(2分)求线段AB的取值范围。
(2)(3分)若围成的左右两个区域的面积都为135 m2，试求出AB的长。
(3)(3分)围成的两个区域的面积之和能为300 m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由。
8.(8分)[模型观念]如图，在长方形ABCD中，AB=16 cm，BC=6 cm，动点P，Q分别以3 cm/s，2 cm/s的速度从点A，C同时出发，各向点B，D移动，点P移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动。当P，Q两点之间的距离是10 cm时，求运动的时间。第2章 一元二次方程 2.4 一元二次方程的应用 第2课时 几何问题 分值：39分
选择题(每小题3分，共9分)；填空题(每小题3分)
1.如图，把一块长为40 cm、宽为30 cm的长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x(cm)，则所列方程为( D )
A.(30－2x)(40－x)=600
B.(30－x)(40－x)=600
C.(30－x)(40－2x)=600
D.(30－2x)(40－2x)=600
2.如图，在一块长28 m、宽10 m的长方形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是243 m2，设小路的宽度为x(m)，根据题意，下面所列方程正确的是( D )
A.28×10－28x－10x=243
B.2(28－x＋10－x)=243
C.(28－x)(10－x)＋x2=243
D.(28－x)(10－x)=243
3.(3分)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果。如图，利用黄金分割法，所作EF将长方形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB。已知AB为2米，则线段BE的长为 －1 米。
【解析】 设BE=x米，则AE=(2－x)米。
∵BE2=AE·AB，
∴x2=2(2－x)，即x2＋2x－4=0，
解得x1=－1，x2=－1－(舍去)，
∴线段BE的长为(－1)米。
4.(3分)如图，将长方形沿图中虚线(其中x＞y)剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形。若y=4，则x的值为 2＋2 。
【解析】 如答图，四块图形拼成一个正方形，边长为x－y＋y=x。
第4题答图
根据剪拼前后图形的面积相等可得
y(x＋y)=x2。
由题意，得y=4，
故可得4(x＋4)=x2，
整理，得x2－4x－16=0，
解得x1=2＋2，x2=2－2(舍去)。
5.(8分)如图，要在一块长为16 m、宽为12 m的长方形荒地上建造一个花园，要求花园面积是原荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案。同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用解方程的方法说明理由。
解：不符合条件。理由如下：
设小路的宽度均为x(m)，
由题意，得(16－2x)(12－2x)=×16×12，
解得x1=2，x2=12(不合题意，舍去)，∴x=2≠1。
答：小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2 m。
6.如图，小王驾车由西向东驶往C市，在距C市240 km的点A处获知250 km外(AB=250 km)一场风暴正在由C市正南方的点B处向正北移动，移动的速度为20 km/h。已知风暴的影响半径为50 km(BD=50 km)，小王驾车的速度为30 km/h，那么以下说法正确的是( C )
A.在风暴中心到达C市前小王受到影响
B.在风暴中心越过C市后小王受到影响
C.小王不会受到风暴影响
D.条件不足，无法判断
【解析】 在Rt△ABC中，BC==70 km。
设t小时后，小王到达点A1处，风暴中心到达点B1处。
当点B1在点C南方，则A1C=(240－30t)km，B1C=(70－20t)km。
若小王受到风暴影响，则(240－30t)2＋(70－20t)2=502，
整理，得13t2－172t＋600=0，
方程没有实数解，故小王不会受到风暴影响。
当点B1在点C北方，同理可得(240－30t)2＋(20t－70)2=502，
方程没有实数解，故小王不会受到风暴影响。
综上所述，小王不会受到风暴影响。
7.(8分)学校准备在花坛旁圈出两个连在一起的长方形自行车及共享单车停车区域(如图，AB=CD=EF)，其中一面紧靠花坛(可利用的矮墙长28 m，不能超出)，另外的边利用现有总长为55 m的矮栏(厚度不计)围成，并设有两个宽为1米的敞开出入口。
(1)(2分)求线段AB的取值范围。
(2)(3分)若围成的左右两个区域的面积都为135 m2，试求出AB的长。
(3)(3分)围成的两个区域的面积之和能为300 m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由。
解：(1)设线段AB的长为x(m)，则AD的长为(55－3x＋2)m。
根据题意，得2≤55－3x＋2≤28，解得≤x≤。
(2)由题意，得x(55－3x＋2)=135×2，
整理，得x2－19x＋90=0，
解得x1=10，x2=9。
又∵≤x≤，
∴x2=9不合题意，舍去。
答：AB的长为10 m。
(3)不能。理由如下：
根据题意，得x(55－3x＋2)=300，
整理，得x2－19x＋100=0。
∵Δ=(－19)2－4×100=－39＜0，
∴方程无实数根，
∴围成的两个区域的面积之和不能为300 m2。
8.(8分)[模型观念]如图，在长方形ABCD中，AB=16 cm，BC=6 cm，动点P，Q分别以3 cm/s，2 cm/s的速度从点A，C同时出发，各向点B，D移动，点P移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动。当P，Q两点之间的距离是10 cm时，求运动的时间。
第8题答图
解：如答图，过点P作PE⊥CD于点E。
易知PE=BC=6 cm。
∵动点P，Q分别以3 cm/s，2 cm/s的速度从点A，C同时出发，
∴设运动时间为t(s)，
则AP=3t(cm)，DQ=(16－2t)cm。
∵点P移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，
∴0≤t≤。
由题意，得QE2＋PE2=PQ2，
当AP＜DQ，即3t＜16－2t，t＜时，(16－2t－3t)2＋62=102，
解得t1=，t2=(舍去)。
当AP＞DQ，即3t＞16－2t，t＞时，
[3t－(16－2t)]2＋62=102，
解得t1=(舍去)，t2=。
答：经过s或s，P，Q两点之间的距离是10 cm。第2章 一元二次方程 2.4 一元二次方程的应用 第1课时 销售及增长率等问题 分值：60分
选择题(每小题3分，共9分)；填空题(每小题3分)
1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份零件产量平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A.50(1＋x)2=196
B.50＋50(1＋x)2=196
C.50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2=196
D.50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)=96
2.由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，一葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植面积，2024年该品种葡萄的产量为20万斤，2026年的产量为28.8万斤。若设该品种葡萄产量每年的平均增长率为x，则所列方程为( )
A.20(1＋x)2=28.8
B.20＋20(1＋x)=28.8
C.28.8(1－x)2=20
D.28.8－28.8(1－x)=20
3.(3分)某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为。
4.(8分)随着科技的发展，某省加快布局以5G技术为代表的新兴产业。据统计，2023年1月该省5G基站数量约为1.5万座。到2023年年底，该省5G基站数量是1月的4倍，到2025年年底，该省5G基站数量达到17.34万座。
(1)(4分)2023年年底，该省5G基站数量是多少万座？
(2)(4分)2023年年底到2025年年底，该省5G基站数量的年平均增长率为多少？
5.(8分)汽车在一段公路上以变化的速度行驶，它行驶的路程s(km)和时间t(h)之间的关系式为s=3t2＋18t。当这辆车从起点(t=0)开始行驶了120 km时，所经过的时间是多少小时？
6.(8分)某商店销售一款每件进价为70元的童装，每件售价为110元时，每天可售出20件。为了迎接购物旺季，商店决定降价销售，经市场调查发现，该童装每降价1元，每天可多售出2件，设每件童装降价x元。
(1)(4分)降价后，每件童装的利润为元，平均每天的销售量为件。(用含x的式子表示)
(2)(4分)采取降价措施后，如果商店需要每天盈利1 200元，那么每件童装应降价多少元？
7.某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件。为尽可能多地占有市场份额，销售方决定降价处理，且经市场调查得知：每降价1元，每星期可多卖出20件。现要使销售该商品每星期获利6 120元，每件商品应降价( )
A.3元 B.2.5元
C.2元 D.2元或3元
8.(8分)请根据图片内容，回答下列问题：
(1)(4分)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)(4分)按照这样的传染速度，第三轮将新增多少名感染者？
9.(8分)某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个。因货源紧俏，商场在5月份和6月份对该玩具都进行了涨价，虽销量有所减少，但玩具销售额逐月增加，已知6月份的玩具销售额为2 880元。(销售额=销售单价×销售数量)
(1)(4分)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率。
(2)(4分)若经统计调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元，求6月份每个玩具的销售价格。
10.(8分)[应用意识]购物节期间，某旗舰店优惠活动如图1所示，该店促销一款标价为899元/把的电动牙刷，根据如图1所示的优惠活动，给出的优惠明细如图2所示：
图1 图2
按上述优惠，平均每天可卖600把该款牙刷。通过市场调查发现，不改变优惠券2的情况下，若优惠券1每满200元再多减1元，则日销售量增加5把(即每满200元减21元，电动牙刷日销售量为605把)。
(1)(4分)若优惠券1设置为每满200元减22元，求使用优惠券后该牙刷的购买价格是多少。
(2)(4分)若要使日销售总额为364 000元，则优惠券1应设置为每满200元减多少元？
