第3章 数据分析初步 3.3 离差平方和与方差 第2课时 数据分组、组内离差平方和与组间离差平方和 分值：61分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.将排序后的数据分为两组，下列关于计算组内离差平方和的说法正确的是( )
A.计算第一组的离差平方和即可
B.应计算两组离差平方和的总和
C.仅计算最大值与最小值的差
D.应计算两组离差平方和的平均数
2.若一组数据在某种分组情况下的离差平方和D2=50，组内离差平方和…=30，则组间离差平方和等于( )
A.20 B.30
C.80 D.无法确定
3.将数据：3，5，7，9，11分为两组，第一组：3，5，7，第二组：9，11，则此种分组情况下的组间离差平方和是( )
A.25 B.30
C.40 D.45
4.把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是( )
A.{2}，{4，8，10，12} B.{2，4}，{8，10，12}
C.{2，4，8}，{10，12} D.{2，4，8，10}，{12}
5.(3分)把5个数据－1，3，1，5，4分成{－1，1}和{3，4，5}两组，则这种分组情况的组内离差平方和为。
6.(3分)假设 4 个城市的人均用水量(单位：吨)为：城市A：8，城市B：10，城市C：12，城市D：15。根据组内离差平方和最小原则，把这 4 个城市分成两组，那么分组为和。
7.(8分)甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位：分)如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的原则，将竞赛成绩分成两组。
8.(8分)在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12，根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组。
9.(8分)假设6家企业的年产值(单位：万元)分别为100，200，300，400，500，600。根据年产值的组内离差平方和最小原则，把这6家企业分成两组。
10.(3分)统计学规定，某次测量得到n个结果：x1，x2，…，xn，令y=(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2，当y取最小值时，对应的x的值称为这次测量的“最佳近似值”。若某次测量得到5个结果：9.8，10.1，10.5，10.3，9.8，则这次测量的“最佳近似值”为。
11.(8分)某水果商店要将苹果按直径大小分类定价，现随机抽取其中10个，将它们的直径(单位：mm)记录在下图中，请你把这10个苹果按直径大小分成三组，并计算它们的组内离差平方和与组间离差平方和。
抽取的10个苹果直径统计图
12.(8分)[数据观念]艺术测评主要是为了掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学。某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九(1)班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】
10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 (按平均分相同分组) Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二 (按分数段分组) 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
分组数据经统计分析，列表如下：
分组 方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差 平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度，它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近。
根据以上信息，解答下列问题：
(1)(2分)扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为°。
(2)(4分)m=，n=。
【判断与决策】
(3)(2分)为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，在方式一和方式二中选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由。第3章 数据分析初步 3.3 离差平方和与方差 第1课时 离差平方和、方差与标准差 分值：64分
选择题(每小题3分，共18分)；填空题(每小题3分)
1.根据下表的检验记录(“＋”表示超出标准质量，“－”表示不足标准质量)，质量最接近标准质量的乒乓球的编号是( B )
编号 1 2 3 4
偏差/g ＋0.03 －0.02 ＋0.05 －0.04
A.1 B.2
C.3 D.4
2.数据0，1，2的方差是( B )
A. B.
C.1 D.2
3.为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差。根据表中数据，应该选择( B )
甲 乙 丙 丁
平均数/cm 155 155 155 150
方差/cm2 2.7 2.2 2.3 3.1
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
4.为庆祝中国共产主义青年团成立104周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是( D )
A.
B.
C.
D.
【解析】 根据题意得，甲中学5名学生的成绩为60，70，70，60，80，
乙中学5名学生的成绩为70，80，80，70，90，
∴×(60＋70＋70＋60＋80)=68，×(70＋80＋80＋70＋90)=78，
=[(60－68)2＋(70－68)2＋(70－68)2＋(60－68)2＋(80－68)2]÷5=56，
=[(70－78)2 ＋(80－78)2＋(80－78)2＋(70－78)2＋(90－78)2]÷5=56，
∴。
5.(3分)已知一组数据的方差是4，则这组数据的标准差是 2 。
6.(3分)在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为(单位：分)：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差分别为 －0.5，－1，1，0，0，0.5 。
7.(3分)已知一组数据的离差平方和D2=(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2=50，则这组数据的方差S2= 5 。
8.(3分)一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是 6 。
9.(8分)某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数 0 1 2 3 4 ≥5
人数 1 9 21 7 2 0
(1)(4分)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 2 ，中位数是 2 。
(2)(4分)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差(结果保留根号)。
解：(2)平均数为(0×1＋1×9＋2×21＋3×7＋4×2)÷40=2(本)，
方差为S2=2)2＋21×(2－2)2＋7×(3－2)2=0.7，
∴标准差为S=。
10.(8分)某生物学习小组为了研究一种药物对A，B两种植物的促进生长作用，将两种植物各随机抽取5株进行研究，在喷洒药物之前对所抽取的植物苗高进行了测量，汇总情况如下：
A种植物的苗高：23 cm，25 cm， 23 cm， 24 cm， 25 cm；
B种植物的苗高：20 cm，22 cm，34 cm，21 cm，23 cm。
(1)(4分)分别求出抽取的两种植物苗高的平均数和方差。
(2)(4分)你认为该药物对哪种植物的生长作用效果更稳定？请你结合(1)中所求的统计量说明理由。
解：(1)A种植物：平均数为=24，
方差为=[(23－24)2＋(25－24)2＋(23－24)2＋(24－24)2＋(25－24)2]÷5=0.8，
B种植物：平均数为=24，
方差为=[(20－24)2＋(22－24)2＋(34－24)2＋(21－24)2＋(23－24)2]÷5=26。
(2)对A种植物的生长作用效果更稳定。理由如下：
∵两种植物的平均数相同，且=0.8＜=26，
∴对A种植物的生长作用效果更稳定。
11.如果一组数据a1，a2，…，an的方差是2，那么一组新数据3a1，3a2，…，3an的方差是( D )
A.2 B.6
C.12 D.18
【解析】 设一组数据a1，a2，…，an的平均数是，方差是S2=2，则另一组数据3a1，3a2，…，3an的平均数是3，方差是S'2。
∵S2= [(a1－)2＋(a2－)2＋…＋(an－)2]，
∴S'2=[(3a1－3)2＋(3a2－3)2＋…＋(3an－3)2]
=[9(a1－)2＋9(a2－)2＋…＋9(an－)2]
=9S2=9×2=18。
12.若数据1，2，3，4，5，…，20的方差是a，则数据3，5，7，9，11，…，41的方差是( D )
A.a B.2a＋1
C.4a＋1 D.4a
【解析】 数据都扩大n倍时，方差扩大n2倍，数据都加上a时，方差不变。第2组数据是第1组对应数据的2倍加1，故方差是4a。
13.(8分)周老师平时上班有A，B两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间，并绘制了如下统计图：
(1)(2分)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差 22 min。
(2)(3分)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明。
(3)(3分)你建议周老师应如何选择上班路线？
解：(2)路线B所用的时间更稳定。理由如下：
记第一周上班选择路线A用时的平均数，方差分别为，第二周上班选择路线B用时的平均数，方差分别为。
×(40＋22＋21＋19＋18)=24(min)，×(30＋27＋26＋25＋27)=27(min)，
=[(40－24)2＋(22－24)2＋(21－24)2＋(19－24)2＋(18－24)2]÷5=66(min2)，
=[(30－27)2＋(27－27)2＋(26－27)2＋(25－27)2＋(27－27)2]÷5=2.8(min2)。
因为2.8＜66，即，
所以路线B所用的时间更稳定。
(3)对比这两周的折线统计图，建议周老师周一上班选择路线B，周二到周五上班选择路线A(答案不唯一，合理即可)。
14.(10分)[数据观念]3月23日是世界气象日，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如下统计分析。
【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩(满分为10分，成绩为整数)。
【描述数据】绘制成如下不完整的统计图表。
乙班成绩频
数表
得分/分 频数
6 5
7 2
8 1
9 1
10 1
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 7.1 b 8 1.69
乙班 a 6.5 6 1.89
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)(2分)补全条形统计图。
(2)(2分)a= 7.1 ，b= 7.5 。
(3)(2分)小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上!”观察上表可知，小明是 乙 班的学生(填“甲”或“乙”)。
(4)(4分)学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有50人且乙班获得一等奖的人数比甲班少40%，试估计乙班班级人数。
解：(1)甲班成绩为7分的人数为10－2－1－4－1=2(人)，
补全统计图如答图所示：
第14题答图
(2)由题意得，a==7.1，
把甲班10名学生的成绩从低到高排列为5分，5分，6分，7分，7分，8分，8分，8分，8分，9分，
∴在甲班10名学生成绩中，位于第5名和第6名的成绩分别为7分，8分，故b==7.5。
(3)由表得，甲班中位数是7.5分，乙班中位数是6.5分。
∵参赛同学小明在班级中排名属中游偏上，
∴小明在乙班。
(4)50××(1－40%)÷=50(人)，
∴估计乙班的人数为50人。第3章 数据分析初步 3.3 离差平方和与方差 第2课时 数据分组、组内离差平方和与组间离差平方和 分值：61分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.将排序后的数据分为两组，下列关于计算组内离差平方和的说法正确的是( B )
A.计算第一组的离差平方和即可
B.应计算两组离差平方和的总和
C.仅计算最大值与最小值的差
D.应计算两组离差平方和的平均数
2.若一组数据在某种分组情况下的离差平方和D2=50，组内离差平方和…=30，则组间离差平方和等于( A )
A.20 B.30
C.80 D.无法确定
3.将数据：3，5，7，9，11分为两组，第一组：3，5，7，第二组：9，11，则此种分组情况下的组间离差平方和是( B )
A.25 B.30
C.40 D.45
4.把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是( B )
A.{2}，{4，8，10，12} B.{2，4}，{8，10，12}
C.{2，4，8}，{10，12} D.{2，4，8，10}，{12}
5.(3分)把5个数据－1，3，1，5，4分成{－1，1}和{3，4，5}两组，则这种分组情况的组内离差平方和为 4 。
【解析】 －1，1的平均数为0，则{－1，1}的离差平方和为(－1－0)2＋(1－0)2=2；
3，4，5的平均数为4，则{3，4，5}的离差平方和为(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2=2，
∴这种分组情况的组内离差平方和为2＋2=4。
6.(3分)假设 4 个城市的人均用水量(单位：吨)为：城市A：8，城市B：10，城市C：12，城市D：15。根据组内离差平方和最小原则，把这 4 个城市分成两组，那么分组为 {A，B} 和 {C，D} 。
【解析】 分组{A，B}和{C，D}：
{A，B}均值为(8＋10)÷2=9，离差平方和为(8－9)2＋(10－9)2=2；
{C，D}均值为(12＋15)÷2=13.5，离差平方和为(12－13.5)2＋(15－13.5)2=4.5，
组内离差平方和为2＋4.5=6.5。
其他分组情况的组内离差平方和均大于6.5，因此该分组满足组内离差平方和最小。
7.(8分)甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位：分)如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的原则，将竞赛成绩分成两组。
解：将4个数据从小到大排序：15，15，18，24。
把4个数据分成两组，共有3种情况：
第一种情况：第一组1个数据{15}，离差平方和为0；
第二组3个数据{15，18，24}，平均数是=19，
离差平方和为(15－19)2＋(18－19)2＋(24－19)2=42，
故第一种情况的组内离差平方和为0＋42=42；
第二种情况：第一组2个数据{15，15}，平均数是=15，离差平方和为0；
第二组2个数据{18，24}，平均数是=21，离差平方和为(18－21)2＋(24－21)2=18，
故第二种情况的组内离差平方和为0＋18=18；
第三种情况：第一组3个数据{15，15，18}，平均数是=16，离差平方和为(15－16)2＋(15－16)2＋(18－16)2=6；
第二组1个数据{24}，离差平方和为0，
故第三种情况的组内离差平方和为0＋6=6。
∵6＜18＜42，∴第三种情况的组内离差平方和最小，
∴将竞赛成绩分成的两组是{15，15，18}，{24}。
8.(8分)在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12，根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组。
解：根据组内离差平方和最小原则，将5名同学引体向上的个数分为两组时，最优分组为：第一组：7和9，
第二组：12，13和15，
该分组的组内离差平方和最小，约为6.67，其他分组方式的组内离差平方和均大于此值。
9.(8分)假设6家企业的年产值(单位：万元)分别为100，200，300，400，500，600。根据年产值的组内离差平方和最小原则，把这6家企业分成两组。
解：计算各种分组组内离差平方和如下表：
第1组 第2组 组内离差 平方和
100 200，300，400， 500，600 100 000
100，200 300，400，500，600 55 000
100，200，300 400，500，600 40 000
100，200，300，400 500，600 55 000
100，200，300，400， 500 600 100 000
故最小组内离差平方和为 40 000，对应分组：{100，200，300} 和 {400，500，600}。
10.(3分)统计学规定，某次测量得到n个结果：x1，x2，…，xn，令y=(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2，当y取最小值时，对应的x的值称为这次测量的“最佳近似值”。若某次测量得到5个结果：9.8，10.1，10.5，10.3，9.8，则这次测量的“最佳近似值”为 10.1 。
【解析】 y=(x－9.8)2＋(x－10.1)2＋(x－10.5)2＋(x－10.3)2＋(x－9.8)2
=x2－19.6x＋96.04＋x2－20.2x＋102.01＋x2－21x＋110.25＋x2－20.6x＋106.09＋x2－19.6x＋96.04
=5x2－101x＋510.43=5(x－10.1)2＋0.38。
当x=－10.1时，y取最小值，
∴这次测量的“最佳近似值”是10.1。
11.(8分)某水果商店要将苹果按直径大小分类定价，现随机抽取其中10个，将它们的直径(单位：mm)记录在下图中，请你把这10个苹果按直径大小分成三组，并计算它们的组内离差平方和与组间离差平方和。
抽取的10个苹果直径统计图
解：将10个苹果按直径大小分为
{65，69，70}，{75，76，76，78}，{80，80，81}三组。
组内离差平方和为(65－68)2＋(69－68)2＋(70－68)2=19。
组间离差平方和为3×(68－75)2＋4×3×=238。
12.(8分)[数据观念]艺术测评主要是为了掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学。某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九(1)班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】
10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 (按平均分相同分组) Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二 (按分数段分组) 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
分组数据经统计分析，列表如下：
分组 方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差 平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度，它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近。
根据以上信息，解答下列问题：
(1)(2分)扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为 36 °。
(2)(4分)m= 85 ，n= 90 。
【判断与决策】
(3)(2分)为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，在方式一和方式二中选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由。
解：(3)方式二利于开展小组学习。理由如下：
由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，同学之间水平接近，更利于开展小组学习，能够促进同学间的互帮互助、共同进步(答案不唯一，合理即可)。第3章 数据分析初步 3.3 离差平方和与方差 第1课时 离差平方和、方差与标准差 分值：64分
选择题(每小题3分，共18分)；填空题(每小题3分)
1.根据下表的检验记录(“＋”表示超出标准质量，“－”表示不足标准质量)，质量最接近标准质量的乒乓球的编号是( )
编号 1 2 3 4
偏差/g ＋0.03 －0.02 ＋0.05 －0.04
A.1 B.2
C.3 D.4
2.数据0，1，2的方差是( )
A. B.
C.1 D.2
3.为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差。根据表中数据，应该选择( )
甲 乙 丙 丁
平均数/cm 155 155 155 150
方差/cm2 2.7 2.2 2.3 3.1
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
4.为庆祝中国共产主义青年团成立104周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.(3分)已知一组数据的方差是4，则这组数据的标准差是。
6.(3分)在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为(单位：分)：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差分别为。
7.(3分)已知一组数据的离差平方和D2=(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2=50，则这组数据的方差S2=。
8.(3分)一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是。
9.(8分)某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数 0 1 2 3 4 ≥5
人数 1 9 21 7 2 0
(1)(4分)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是，中位数是。
(2)(4分)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差(结果保留根号)。
10.(8分)某生物学习小组为了研究一种药物对A，B两种植物的促进生长作用，将两种植物各随机抽取5株进行研究，在喷洒药物之前对所抽取的植物苗高进行了测量，汇总情况如下：
A种植物的苗高：23 cm，25 cm， 23 cm， 24 cm， 25 cm；
B种植物的苗高：20 cm，22 cm，34 cm，21 cm，23 cm。
(1)(4分)分别求出抽取的两种植物苗高的平均数和方差。
(2)(4分)你认为该药物对哪种植物的生长作用效果更稳定？请你结合(1)中所求的统计量说明理由。
11.如果一组数据a1，a2，…，an的方差是2，那么一组新数据3a1，3a2，…，3an的方差是( )
A.2 B.6
C.12 D.18
12.若数据1，2，3，4，5，…，20的方差是a，则数据3，5，7，9，11，…，41的方差是( )
A.a B.2a＋1
C.4a＋1 D.4a
13.(8分)周老师平时上班有A，B两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间，并绘制了如下统计图：
(1)(2分)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差min。
(2)(3分)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明。
(3)(3分)你建议周老师应如何选择上班路线？
14.(10分)[数据观念]3月23日是世界气象日，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如下统计分析。
【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩(满分为10分，成绩为整数)。
【描述数据】绘制成如下不完整的统计图表。
乙班成绩频
数表
得分/分 频数
6 5
7 2
8 1
9 1
10 1
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 7.1 b 8 1.69
乙班 a 6.5 6 1.89
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)(2分)补全条形统计图。
(2)(2分)a=，b=。
(3)(2分)小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上!”观察上表可知，小明是班的学生(填“甲”或“乙”)。
(4)(4分)学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有50人且乙班获得一等奖的人数比甲班少40%，试估计乙班班级人数。
