第4章 平行四边形 4.1 多边形 分值：85分
第1课时 四边形内角和定理
选择题(每小题3分，共6分)；填空题(每小题3分)
1.在四边形ABCD中，∠A＋∠C=160°，∠D=70°，则∠B的度数为( D )
A.70° B.80°
C.120° D.130°
2.(3分)在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，∠D=90°，则∠A= 60 °，∠B= 90 °，∠C= 120 °。
【解析】 ∵∠D=90°，
∴∠A＋∠B＋∠C=360°－∠D=270°。
设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，
∴2x＋3x＋4x=270，
解得x=30，
∴∠A=60°，∠B=90°，∠C=120°。
3.(3分)如图，在四边形ABCD中，∠A=80°，∠D=110°，∠ABC的邻补角为75°，则∠C的度数为 65 °。
【解析】 ∵∠ABC的邻补角为75°，
∴∠ABC=180°－75°=105°，
∴∠C=360°－∠A－∠D－∠ABC=360°－80°－110°－105°=65°。
4.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠A－∠C=∠D－∠B。求证：AD∥BC。
证明：∵∠A－∠C=∠D－∠B，
∴∠A＋∠B=∠C＋∠D。
又∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D=360°，
∴2(∠A＋∠B)=360°，
∴∠A＋∠B=180°，∴AD∥BC。
5.如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠D=220°，∠ABC的平分线BE与∠BCD的平分线CF相交于点P，点E，F分别在边CD，AB上，则∠CPE的度数为( D )
A.45° B.55°
C.60° D.70°
【解析】 ∵∠A＋∠D=220°，
∴∠ABC＋∠BCD=360°－(∠A＋∠D)=140°。
又∵BP和CP分别为∠ABC，∠BCD的平分线，
∴∠PBC＋∠PCB=(∠ABC＋∠BCD)=×140°=70°，
∴∠CPE=∠PBC＋∠PCB=70°。
6.(3分)如图，在四边形纸片ABCD中，∠B＋∠D=n°，将∠A向内折出△EA'F，恰使EA'∥CD，FA'∥BC，则∠A的度数为 180－n °。
【解析】 ∵EA'∥CD，FA'∥BC，
∴∠AEA'=∠D，∠AFA'=∠B。
由折叠，得∠A=∠A'，
∴∠A=°。
7.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA。若∠ABC=56°，求∠BFD的度数。
解：如答图所示标注角。
第7题答图
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC＋∠ADC=180°。
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ADC，
∴∠1＋∠3=(∠ABC＋∠ADC)=×180°=90°。
又易知∠1＋∠AEB=90°，
∴∠3=∠AEB，∴BE∥DF，
∴∠2＋∠BFD=180°。
又∵∠2=∠ABC=28°，
∴∠BFD=180°－∠2=152°。
8.(8分)[推理能力]如图，已知CE，BF分别是四边形ABCD的内角∠BCD和外角∠ABG的平分线，连结EF。已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E＋∠F的度数。
解：方法一：如答图1所示标注角，根据题意，设∠1=∠2=x，∠4=∠5=y。
第8题答图1
∵在四边形ABCD中，∠3＋∠1＋∠2=360°－∠A－∠D，
∴∠3＋2x=130°，
∴x=。
∵∠3＋∠4＋∠5=180°，
∠3＋2y=180°，
∴y=，
∴∠4＋∠3＋∠2=y＋∠3＋x=∠3=155°，
∴在四边形EFBC中，∠E＋∠F=360°－(∠4＋∠3＋∠2)=205°。
方法二：如答图2，延长BA，CD相交于点M，延长BF，CE相交于点H。
第8题答图2
∵∠BAD=150°，∠ADC=80°，
∴∠MAD=30°，∠MDA=100°，
∴∠M=180°－∠MAD－∠MDA=50°，
∴易知∠H=∠M=25°，
∴∠HBC＋∠HCB=155°，
∴∠BFE＋∠CEF=360°－(∠HBC＋∠HCB)=205°。第2课时 多边形的内角和
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.若一个多边形的内角和为1 260°，则这个多边形的边数为( D )
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】 设这个多边形的边数为n。由题意，得(n－2)×180°=1 260°，解得n=9，即这个多边形的边数为9。
2.若一个多边形的每一个内角的度数都是150°，则这个多边形是( D )
A.九边形 B.十边形
C.十一边 D.十二边形
【解析】 由题意，得这个多边形的每一个外角都是30°，
则边数=360°÷30°=12。
3.如图，在多边形ABCDE中，F是CD延长线上的一点。若∠EDF=50°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠E=( C )
A.360° B.390°
C.410° D.490°
4.(3分)如果一个多边形的边数增加2，那么这个多边形的内角和增加 360 °。
【解析】 设原多边形边数为n，则n边形的内角和是(n－2)×180°。
边数增加2，则新多边形的内角和是(n＋2－2)×180°，
则(n＋2－2)×180°－(n－2)×180°=360°。
5.(3分)若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形的边数为 8 。
【解析】 设该多边形的边数为n。由题意，得(n－2)·180°=360°×3，解得n=8，即该多边形的边数为8。
6.(3分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=120°。若沿图中虚线剪去∠D，则∠1＋∠2= 240 °。
【解析】 ∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B=180°。
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠1＋∠2=(5－2)×180°=540°，∠C=120°，
∴∠1＋∠2=540°－180°－120°=240°。
7.(3分)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E =321°，O是五边形内部一点，连结OC，OD。若=2，则∠COD的度数为 107 °。
【解析】 ∵=2，
∴设∠BCO=2α， ∠DCO =α， ∠EDO =2β， ∠CDO=β，
∴∠BCD=∠BCO＋∠DCO=3α，∠EDC = ∠EDO＋ ∠CDO=3β。
∵∠A＋∠B＋∠E＋∠BCD＋∠EDC =(5－2)×180°，∠A＋∠B＋∠E=321°，
∴321°＋3α＋3β = 540°，
∴α＋β=73°。
∵∠COD＋∠DCO＋∠CDO=180°，
∴∠COD＋α＋β=180°，
∴∠COD=180°－(α＋β)=180°－73°=107°。
8.(8分)如图，在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF。求证：∠ABC=∠DEF。
证明：如答图，连结BE。
第8题答图
∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠ABE=∠DEB，∠CBE=∠FEB，
∴∠ABE＋∠CBE=∠DEB＋∠FEB，
即∠ABC=∠DEF。
9.若把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1 440°，则这个多边形原来的边数为( D )
A.9 B.10
C.11 D.以上都有可能
10.(3分)如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A，D分别落在点A1，D1处。若∠1＋∠2=145°，则∠B＋∠C= 107.5 °。
【解析】 ∵∠1＋∠2=145°，
∴∠AMN＋∠DNM=(360°－145°)÷2=107.5°。
∵∠A＋∠D＋(∠AMN＋∠DNM)=360°，∠A＋∠D＋(∠B＋∠C)=360°，
∴∠B＋∠C=∠AMN＋∠DNM=107.5°。
11.(8分)如图，CD∥AF，∠D=∠A，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°。求∠F的度数。
解：如答图，连结AD。
第11题答图
在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C=360°。
∵AB⊥BC，∴∠B=90°。
∵∠C=120°，
∴∠BAD＋∠ADC=360°－90°－120°=150°。
∵CD∥AF，∴∠ADC=∠DAF，
∴∠BAF=∠BAD＋∠DAF=∠BAD＋∠ADC=150°，
∴∠CDE=∠BAF=150°，
∴∠F=(6－2)×180°－∠B－∠C－∠CDE－∠E－∠BAF=130°。
12.(3分)(1)(1分)如图1，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E= 180 °。
(2)(1分)若将图1中星形的一个角截去，如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= 360 °。
(3)(1分)若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N= 1 080 °。
【解析】 (1)如答图1所示标注角。
∵∠1=∠2＋∠D=∠B＋∠E＋∠D，∠1＋∠A＋∠C=180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°。
第12题答图
(2)如答图2所示标注角。
∵∠1=∠2＋∠F=∠B＋∠E＋∠F，∠1＋∠A＋∠C＋∠D=360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=360°。
(3)由(1)(2)知，每截去一个角就会增加180°，当截去5个角时增加了180°×5=900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N=900°＋180°=1 080°。第2课时 多边形的内角和
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.若一个多边形的内角和为1 260°，则这个多边形的边数为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
2.若一个多边形的每一个内角的度数都是150°，则这个多边形是( )
A.九边形 B.十边形
C.十一边 D.十二边形
3.如图，在多边形ABCDE中，F是CD延长线上的一点。若∠EDF=50°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠E=( )
A.360° B.390°
C.410° D.490°
4.(3分)如果一个多边形的边数增加2，那么这个多边形的内角和增加 °。
5.(3分)若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形的边数为 。
6.(3分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=120°。若沿图中虚线剪去∠D，则∠1＋∠2= °。
7.(3分)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E =321°，O是五边形内部一点，连结OC，OD。若=2，则∠COD的度数为 °。
8.(8分)如图，在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF。求证：∠ABC=∠DEF。
9.若把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1 440°，则这个多边形原来的边数为( )
A.9 B.10
C.11 D.以上都有可能
10.(3分)如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A，D分别落在点A1，D1处。若∠1＋∠2=145°，则∠B＋∠C= °。
11.(8分)如图，CD∥AF，∠D=∠A，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°。求∠F的度数。
12.(3分)(1)(1分)如图1，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E= °。
(2)(1分)若将图1中星形的一个角截去，如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= °。
(3)(1分)若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N= °。 第4章 平行四边形 4.1 多边形 分值：85分
第1课时 四边形内角和定理
选择题(每小题3分，共6分)；填空题(每小题3分)
1.在四边形ABCD中，∠A＋∠C=160°，∠D=70°，则∠B的度数为( )
A.70° B.80°
C.120° D.130°
2.(3分)在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，∠D=90°，则∠A= °，∠B= °，∠C= °。
3.(3分)如图，在四边形ABCD中，∠A=80°，∠D=110°，∠ABC的邻补角为75°，则∠C的度数为 °。
4.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠A－∠C=∠D－∠B。求证：AD∥BC。
5.如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠D=220°，∠ABC的平分线BE与∠BCD的平分线CF相交于点P，点E，F分别在边CD，AB上，则∠CPE的度数为( )
A.45° B.55°
C.60° D.70°
6.(3分)如图，在四边形纸片ABCD中，∠B＋∠D=n°，将∠A向内折出△EA'F，恰使EA'∥CD，FA'∥BC，则∠A的度数为 °。
7.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA。若∠ABC=56°，求∠BFD的度数。
8.(8分)[推理能力]如图，已知CE，BF分别是四边形ABCD的内角∠BCD和外角∠ABG的平分线，连结EF。已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E＋∠F的度数。
