第4章 平行四边形 4.2 平行四边形及其性质 第3课时 平行四边形的对角线的性质 分值：60分
选择题(每小题3分，共9分)；填空题(每小题3分)
1.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.如图， ABCD的两条对角线相交于点O。若AC=4，BD=6，BC=4.5，则△BOC的周长为( )
A.6 B.7.5
C.9.5 D.14.5
3.如图， ABCD的周长为80 cm，对角线AC，BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm，则BC的长为( )
A.36 cm B.24 cm
C.19 cm D.16 cm
4.(3分)如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O。若AC=8，S△AOB=14，则OA的长为 ，△AOD的面积为 。
5.(3分)如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O。若AC=8，BD=6，则边AD长的取值范围是 。
6.(3分)如图， ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 cm。
7.(8分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OD，OB的中点，连结AE，CF。求证：AE=CF。
8.(8分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，且BC⊥AC，AB=8，∠ABC=30°。
(1)(4分)求AD的长。
(2)(4分)求BD的长。
9.(8分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F。
(1)(2分)求证：EO=FO。
(2)(3分)若AE=EF=4，求AC 的长。
(3)(3分)若AC⊥AB，BD=2AC，当AC=4时，求 ABCD的面积。
10.(8分)如图，在 ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连结EF交BD于点O。
(1)(4分)求证：BO=DO。
(2)(4分)若EF⊥AB，延长EF，交AD的延长线于点G，FG=1，求AE的长。
11.(10分)[推理能力](1)(3分)如图1， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F。求证：AE=CF。
(2)(3分)如图1，如果OE=1.5， ABCD的周长等于10，那么四边形EFCD的周长是 。
(3)(4分)如图2，将 ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I。求证：EI=FG。第4章 平行四边形 4.2 平行四边形及其性质 第2课时 两条平行线之间的距离 分值：61分
选择题(每小题3分，共15分)
1.两条平行线之间的距离是指( )
A.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段
B.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
C.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线的长度
D.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l1，FG⊥l2，则下列说法中，错误的是( )
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.CE=FG
C.线段CD的长度小于l1与l2之间的距离
D.AB=CD
3.如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6。若∠B=45°，则 ABCD的面积为( )
A.6 B.12
C.12 D.24
4.如图，A，P是直线m上的任意两点，B，C是直线n上的两个定点，且m∥n，则下列说法正确的是( )
A.AC=BP
B.△ABC的周长等于△BCP的周长
C.△ABC的面积等于△ABP的面积
D.△ABC的面积等于△PBC的面积
5.(3分)已知a，b，c为同一平面内的三条直线，且a∥b∥c，a与b之间的距离为3 cm，b与c之间的距离为4 cm，则a与c之间的距离为 。
6.(8分)如图，在 ABCD中，BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F。
(1)(4分)请表示出平行线AD与BC之间的距离。
(2)(4分)若BE=2 cm，BF=4 cm，求平行线AB与CD之间的距离及的值。
7.(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B在x轴上，点D在y轴上，AD=6，AB=8，点A的坐标为(－3，0)。求点B，C，D的坐标。
8.如图，在 ABCD中，O是对角线AC上一点，连结BO，DO。若△COD，△AOD，△AOB，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则下列关于S1，S2，S3，S4的等量关系中，不一定正确的是( )
A.S1＋S3=S2＋S4
B.
C.S3－S1=S2－S4
D.S2＋S3=2(S1＋S4)
9.(3分)如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H。若 ABCD的面积为25，四边形BGPF的面积为4，四边形PEDH的面积为9，则四边形AGPE的面积为 。
10.(8分)模型训练：角平分线＋平行线=等腰三角形。
(1)(2分)如图1，在 ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为 。
图1 图2
(2)(2分)如图2，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，BC=9，则EF的长为 。
(3)(2分)如图3，在 ABCD中，AB=2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E。若点E恰好在边AD上，则BE2＋CE2= 。
图3
(4)(2分)在 ABCD中，AD=5，∠A，∠C的平分线AE，CF交平行四边形的边于点E，F。若AF=1，则 ABCD的周长为 。
11.(8分)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，连结AC，点E在BC边上，点F在AB边上，且∠DAC=∠BEF。
(1)(4分)求证：EF∥AC。
(2)(4分)若AB=3，AC=4，BC=5。求AD与BC之间的距离。
12.(8分)[创新意识](1)(4分)【探究问题】如图1，已知l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，连结AB，AC，BD，CD，AC与BD相交于点O。问：图中面积相等的三角形有几对？请分别将它们写出来。
(2)(4分)【拓展运用】如图2，请把四边形ABCD分成面积相等的两部分.第4章 平行四边形 4.2 平行四边形及其性质 第1课时 平行四边形的对边与对角的性质 分值：78分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.如图，在 ABCD中，∠A=3∠B，则∠C的度数为( A )
A.135° B.120°
C.115° D.45°
2.在 ABCD中，∠A＋∠C=100°，则∠D等于( D )
A.50° B.80°
C.100° D.130°
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C。
又∵∠A＋∠C=100°，
∴∠A=∠C=50°，
∴∠D=180°－∠A=130°。
3.如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点。若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为( C )
A.BE=DF B.BF=DE
C.AE=CF D.∠1=∠2
4.(3分)如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α的度数为 30 °。
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＋∠C=180°，∠BAD=∠C=120°，
∴∠β=120°－50°=70°，
∴∠α=180°－(540°－70°－140°－180°)=30°。
5.(3分)如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E。若∠EAD=40°，则∠BCE的度数为 50 °。
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EBC=∠EAD=40°。
又∵CE⊥AB，
∴∠BCE=90°－∠EBC=50°。
6.(3分)如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线AB与 BCDE的边BC在同一条直线上，当∠ABE=45°时，∠CDE的度数为 135 °。
7.(8分)如图，在 ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的一点(不与端点重合)，AE∥CF。求证：△ABE≌△CDF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，
∴∠CFD=∠FCE。
∵AE∥CF，∴∠AEB=∠FCE，
∴∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)。
8.(8分)如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF。求证：
(1)(4分)AE=CF。
(2)(4分)BE∥DF。
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE。
在△ADF与△CBE中，
∵
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴AF=CE，
∴AF－EF=CE－EF，∴AE=CF。
(2)∵△ADF≌△CBE，∴∠AFD=∠CEB，
∴BE∥DF。
9.(8分)如图，在 ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，且满足BE=DF。连结EF，分别与BC，AD相交于点G，H。求证：EG=FH。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC=∠CDA，
∴∠E=∠F，∠EBG=∠FDH。
在△EBG和△FDH中，∵
∴△EBG≌△FDH(ASA)，
∴EG=FH。
10.如图，点A在面积为4的平行四边形的对角线上，则下列关于图中两个阴影三角形的面积S1，S2的说法正确的是( A )
A.S1=S2 B.S1＞S2
C.S1＜S2 D.S1＋S2=2
11.(3分)如图，在 ABCD中，AE⊥BC。若 ABCD的周长为28，AE=5，CD=6，则 ABCD的面积为 40 。
12.(3分)如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE。若∠BAC=26°，则∠ACB= 52 °。
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，AD=AE=BE，
∴BC=AD=AE=BE，
∴∠EBA=∠BAC=26°，
∴∠ACB=∠BEC=∠EBA＋∠BAC=52°。
13.(3分)如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD=45°，AB=3，AC的长为 。
第13题答图
【解析】 如答图，过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，连结BD。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=3，∠DCB=∠BAD=45°，
∴∠FBC=∠BAD=45°，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴FC=BF。
∵BE垂直平分CD于点E，
∴BD=BC，DE=DC=，
∴∠BDC=∠BCD=45°。
在△BDE和△CBF中，
∵
∴△BDE≌△CBF(AAS)，
∴BF=DE=，∴CF=BF=，AF=AB＋BF=，
∴在Rt△ACF中，AC=。
14.(8分)如图，在 ABCD中，E为边CD的中点，延长AE，交BC的延长线于点F。
(1)(4分)求证：△ADE≌△FCE。
(2)(4分)若AD=5，求BF的长。
证明：(1)∵E是边CD的中点，
∴DE=CE。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，
∴∠D=∠DCF。
在△ADE和△FCE中，
∵
∴△ADE≌△FCE(ASA)。
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5。
∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF=5，
∴BF=BC＋CF=5＋5=10。
15.(8分)如图，在 ABCD中，点E在边BC上，连结DE，AE，EA恰好是∠BED的平分线，点F在DE上，EF=EB，连结AF。求证：
(1)(4分)△ABE≌△AFE。
(2)(4分)∠FAD=∠CDE。
证明：(1)∵EA是∠BED的平分线，∴∠AEB=∠AEF。
在△ABE和△AFE中，
∵
∴△ABE≌△AFE(SAS)。
(2)∵△ABE≌△AFE，
∴∠B=∠AFE，AF=AB。
∵在 ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ADF=∠DEC，
∠C=180°－∠B=180°－∠AFE，
∴∠AFD=∠C。
又∵AF=AB=CD，
∴△ADF≌△DEC(AAS)，
∴∠FAD=∠CDE。
16.(8分)[推理能力]如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，点E，G在AC上。
(1)(4分)求证：BE∥DG，BE=DG。
(2)(4分)过点E作EF⊥AB于点F。若 ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积。
解：(1)在 ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，AD=BC，AB=CD，
∴∠DAC=∠BCA。
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ADG=∠CBE。
∵∠DGE=∠DAC＋∠ADG，∠BEG=∠BCA＋∠CBE，
∴∠DGE=∠BEG，∴BE∥DG。
在△ADG和△CBE中，
∵
∴△ADG≌△CBE(ASA)，
∴BE=DG。
(2)如答图，过点E作EH⊥BC于点H。
第16题答图
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EH=EF=6。
∵ ABCD的周长为56，
∴AB＋BC=28，
∴S△ABC=AB·EFBC·EH=EF(AB＋BC)=×6×28=84。第4章 平行四边形 4.2 平行四边形及其性质 第1课时 平行四边形的对边与对角的性质 分值：78分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.如图，在 ABCD中，∠A=3∠B，则∠C的度数为( )
A.135° B.120°
C.115° D.45°
2.在 ABCD中，∠A＋∠C=100°，则∠D等于( )
A.50° B.80°
C.100° D.130°
3.如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点。若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为( )
A.BE=DF B.BF=DE
C.AE=CF D.∠1=∠2
4.(3分)如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α的度数为 °。
5.(3分)如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E。若∠EAD=40°，则∠BCE的度数为 °。
6.(3分)如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线AB与 BCDE的边BC在同一条直线上，当∠ABE=45°时，∠CDE的度数为 °。
7.(8分)如图，在 ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的一点(不与端点重合)，AE∥CF。求证：△ABE≌△CDF。
8.(8分)如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF。求证：
(1)(4分)AE=CF。
(2)(4分)BE∥DF。
9.(8分)如图，在 ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，且满足BE=DF。连结EF，分别与BC，AD相交于点G，H。求证：EG=FH。
10.如图，点A在面积为4的平行四边形的对角线上，则下列关于图中两个阴影三角形的面积S1，S2的说法正确的是( )
A.S1=S2 B.S1＞S2
C.S1＜S2 D.S1＋S2=2
11.(3分)如图，在 ABCD中，AE⊥BC。若 ABCD的周长为28，AE=5，CD=6，则 ABCD的面积为 。
12.(3分)如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE。若∠BAC=26°，则∠ACB= °。
13.(3分)如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD=45°，AB=3，AC的长为 。
14.(8分)如图，在 ABCD中，E为边CD的中点，延长AE，交BC的延长线于点F。
(1)(4分)求证：△ADE≌△FCE。
(2)(4分)若AD=5，求BF的长。
15.(8分)如图，在 ABCD中，点E在边BC上，连结DE，AE，EA恰好是∠BED的平分线，点F在DE上，EF=EB，连结AF。求证：
(1)(4分)△ABE≌△AFE。
(2)(4分)∠FAD=∠CDE。
16.(8分)[推理能力]如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，点E，G在AC上。
(1)(4分)求证：BE∥DG，BE=DG。
(2)(4分)过点E作EF⊥AB于点F。若 ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积。第4章 平行四边形 4.2 平行四边形及其性质 第3课时 平行四边形的对角线的性质 分值：60分
选择题(每小题3分，共9分)；填空题(每小题3分)
1.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( B )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.如图， ABCD的两条对角线相交于点O。若AC=4，BD=6，BC=4.5，则△BOC的周长为( C )
A.6 B.7.5
C.9.5 D.14.5
3.如图， ABCD的周长为80 cm，对角线AC，BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm，则BC的长为( D )
A.36 cm B.24 cm
C.19 cm D.16 cm
【解析】 ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC。
又∵ ABCD的周长为80 cm，
∴AB＋BC=40。
∵△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm，
∴AB－BC=8 cm，
∴2BC=32 cm，
∴BC=16 cm。
4.(3分)如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O。若AC=8，S△AOB=14，则OA的长为 4 ，△AOD的面积为 14 。
5.(3分)如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O。若AC=8，BD=6，则边AD长的取值范围是 1＜AD＜7 。
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC=4，DO=BD=3，
∴4－3＜AD＜4＋3，即1＜AD＜7。
6.(3分)如图， ABCD的周长是24 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD，则△ABE的周长为 12 cm。
【解析】 在 ABCD中，
∵AC，BD相交于点O，∴O为BD的中点。
∵OE⊥BD，∴OE是BD的垂直平分线，
∴BE=DE。
∵ ABCD的周长是24 cm，∴AB＋AD =12 cm，
∴△ABE的周长=AB＋AE＋BE=AB＋AE＋ED=AB＋AD=×24=12(cm)。
7.(8分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OD，OB的中点，连结AE，CF。求证：AE=CF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，OD=OB，
∴∠ABE=∠CDF。
∵E，F分别为OD，OB的中点，
∴OE=OD，OF=OB，
∴OE=OF，
∴BE=DF。
在△ABE和△CDF中，
∵
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF。
8.(8分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，且BC⊥AC，AB=8，∠ABC=30°。
(1)(4分)求AD的长。
(2)(4分)求BD的长。
解：(1)∵BC⊥AC，AB=8，∠ABC=30°，
∴AC=AB=4。
在Rt△ABC中，BC==4。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4。
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=BD，OA=AC=2。
在Rt△AOD中，OD==2，
∴BD=2OD=4。
9.(8分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F。
(1)(2分)求证：EO=FO。
(2)(3分)若AE=EF=4，求AC 的长。
(3)(3分)若AC⊥AB，BD=2AC，当AC=4时，求 ABCD的面积。
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO。
∵AE⊥BD， CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°。
在△AEO和△CFO中，
∵
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴EO=FO。
(2)∵EF=4，
∴EO=EF=2。
在Rt△AEO中，AO==2。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO=4。
(3)∵AC=4，
∴BD=2AC=8。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC=2，BO=BD=4。
又∵AC⊥AB，
∴AB==2，
∴S ABCD=AB·AC=2×4=8。
10.(8分)如图，在 ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连结EF交BD于点O。
(1)(4分)求证：BO=DO。
(2)(4分)若EF⊥AB，延长EF，交AD的延长线于点G，FG=1，求AE的长。
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∴∠OBE=∠ODF。
在△OBE和△ODF中，
∵
∴△OBE≌△ODF(AAS)，
∴BO=DO。
(2)∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°。
又∵∠A=45°，∴∠G=45°=∠A，
∴AE=GE。
∵BD⊥AD，∴∠GDO=90°，
∴∠GOD=45°=∠G，∴DG=DO。
∵FG=1，DF⊥GO，
∴OF=FG=1。
又由(1)可知，△OBE≌△ODF，
∴OE=OF=1，
∴AE=GE=OE＋OF＋FG=3。
11.(10分)[推理能力](1)(3分)如图1， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F。求证：AE=CF。
(2)(3分)如图1，如果OE=1.5， ABCD的周长等于10，那么四边形EFCD的周长是 8 。
(3)(4分)如图2，将 ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I。求证：EI=FG。
解：(1)如答图1标注角。
第11题答图1
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2。
在△AOE和△COF中，
∵
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF。
(3)如答图2标注角。
第11题答图2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D。
由(1)，得AE=CF，
由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，
∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D。
又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4。
∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6。
在△A1IE与△CGF中，
∵
∴△A1IE≌△CGF(AAS)，
∴EI=FG。第4章 平行四边形 4.2 平行四边形及其性质 第2课时 两条平行线之间的距离 分值：61分
选择题(每小题3分，共15分)
1.两条平行线之间的距离是指( B )
A.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段
B.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
C.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线的长度
D.两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2.如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l1，FG⊥l2，则下列说法中，错误的是( C )
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.CE=FG
C.线段CD的长度小于l1与l2之间的距离
D.AB=CD
3.如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6。若∠B=45°，则 ABCD的面积为( C )
A.6 B.12
C.12 D.24
第3题答图
【解析】 如答图，过点A作AE⊥BC于点E。
∵∠B=45°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=45°=∠B，
∴BE=AE。
设AE=x，则BE=x。
∵AB2=BE2＋AE2，
∴2x2=42，解得x=2(负值舍去)，
∴S ABCD=BC·AE=6×2=12。
4.如图，A，P是直线m上的任意两点，B，C是直线n上的两个定点，且m∥n，则下列说法正确的是( D )
A.AC=BP
B.△ABC的周长等于△BCP的周长
C.△ABC的面积等于△ABP的面积
D.△ABC的面积等于△PBC的面积
5.(3分)已知a，b，c为同一平面内的三条直线，且a∥b∥c，a与b之间的距离为3 cm，b与c之间的距离为4 cm，则a与c之间的距离为 7 cm或1 cm 。
【解析】 分情况讨论：
①如答图1，当直线b在a，c之间时，
图1 图2
第5题答图
a与c之间的距离为3＋4=7(cm)；
②如答图2，当直线a在b，c之间时，
a与c之间的距离为4－3=1(cm)。
综上所述，a与c之间的距离为7 cm或1 cm。
6.(8分)如图，在 ABCD中，BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F。
(1)(4分)请表示出平行线AD与BC之间的距离。
(2)(4分)若BE=2 cm，BF=4 cm，求平行线AB与CD之间的距离及的值。
解：(1)∵在 ABCD中，BF⊥AD于点F，
∴平行线AD与BC之间的距离是线段BF的长度。
(2)∵在 ABCD中，BE⊥CD于点E，
∴平行线AB与CD之间的距离是线段BE的长度，即2 cm。
∵S ABCD=DC·BE=AD·BF，而AB=DC，AD=BC，
∴AB·BE=BC·BF，
∴=2。
7.(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B在x轴上，点D在y轴上，AD=6，AB=8，点A的坐标为(－3，0)。求点B，C，D的坐标。
解：∵点A的坐标为(－3，0)，AB=8，
∴点B的坐标为(5，0)，AO=3。
又∵AD=6，
∴在Rt△AOD中，
OD==3。
又∵在 ABCD中，CD=AB=8，
∴点C，D的坐标分别为(8，3)，(0，3)。
8.如图，在 ABCD中，O是对角线AC上一点，连结BO，DO。若△COD，△AOD，△AOB，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则下列关于S1，S2，S3，S4的等量关系中，不一定正确的是( D )
A.S1＋S3=S2＋S4
B.
C.S3－S1=S2－S4
D.S2＋S3=2(S1＋S4)
【解析】 四边形ABCD是平行四边形，
∴S1∶S2=OC∶OA，S4∶S3=OC∶OA，S3＋S4=S2＋S1，
即，S3－S1=S2－S4，B，C正确。
设AB与DC之间的距离为h1，AD与BC之间的距离为h2，
易知S1＋S3=AB·h1=S ABCD，S2＋S4=AD·h2=S ABCD，
∴S1＋S3=S2＋S4，A正确。
已知条件不能得出S2=2S1，D错误.故选D。
9.(3分)如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H。若 ABCD的面积为25，四边形BGPF的面积为4，四边形PEDH的面积为9，则四边形AGPE的面积为 6 。
【解析】 易知四边形BGPF与四边形PEDH均为平行四边形。
∵四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，
∴S△ABD=S△BCD。
同理，S△BGP=S△BFP，S△PED=S△PHD，
∴S四边形AGPE=S四边形CFPH。
∵S ABCD=25，S四边形BGPF=4，S四边形PEDH=9，
∴S四边形AGPE＋S四边形CFPH=12，
∴S四边形AGPE=6。
10.(8分)模型训练：角平分线＋平行线=等腰三角形。
(1)(2分)如图1，在 ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为 2 。
图1 图2
(2)(2分)如图2，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，BC=9，则EF的长为 3 。
(3)(2分)如图3，在 ABCD中，AB=2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点E。若点E恰好在边AD上，则BE2＋CE2= 16 。
图3
(4)(2分)在 ABCD中，AD=5，∠A，∠C的平分线AE，CF交平行四边形的边于点E，F。若AF=1，则 ABCD的周长为 18或22 。
【解析】 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠CBE。
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD－AE=5－3=2。
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC=9。
∵AD∥BC，∴∠AFB=∠FBC。
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6。
同理可得DE=DC=6，
∴EF=AF＋DE－AD=6＋6－9=3。
(3)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD=180°，∠AEB=∠EBC，∠DEC=∠ECB。
∵BE，CE分别是∠ABC与∠BCD的平分线，
∴∠ABE=∠EBC=∠ABC，∠DCE=∠ECB=∠BCD，
∴∠EBC＋∠BCE=90°，∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，
∴AE=AB=2，DE=CD=2，BE2＋CE2=BC2，
∴BE2＋CE2=AD2=(AE＋DE)2=16。
(4)分两种情况讨论：
①如答图1。
第10题答图1
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF。
又∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF=∠DFC，
∴DF=CD。
∵AD=5，AF=1，
∴CD=DF=5－1=4，
∴ ABCD的周长=2(AD＋CD)=2×(5＋4)=18；
②如答图2。
第10题答图2
同①可知，BF=BC=AD=5，
∴AB=BF＋AF=6，
∴ ABCD的周长=2(AD＋AB)=2×(5＋6)=22。
综上所述， ABCD的周长为18或22。
11.(8分)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，连结AC，点E在BC边上，点F在AB边上，且∠DAC=∠BEF。
(1)(4分)求证：EF∥AC。
(2)(4分)若AB=3，AC=4，BC=5。求AD与BC之间的距离。
解：(1)∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB。
∵∠DAC=∠BEF，∴∠BEF=∠ACB，
∴EF∥AC。
(2)∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2＋AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
设点A到BC的距离为h。
∵△ABC的面积=BC·h=AB·AC，
∴5h=3×4，
∴h=2.4，
∴AD与BC之间的距离为2.4。
12.(8分)[创新意识](1)(4分)【探究问题】如图1，已知l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，连结AB，AC，BD，CD，AC与BD相交于点O。问：图中面积相等的三角形有几对？请分别将它们写出来。
(2)(4分)【拓展运用】如图2，请把四边形ABCD分成面积相等的两部分.
解：(1)图中面积相等的三角形有3对，它们分别是△ABC和△DBC，△ABD和△ACD，△AOB和△COD。
(2)如答图，连结BD，过点A作BD的平行线，交CD的延长线于点A'，取A'C的中点E，连结BE，则BE把四边形ABCD分成面积相等的两部分。
第12题答图
