第4章 平行四边形 4.4 平行四边形的判定定理 第2课时 通过对角线判定平行四边形 分值：73分
选择题(每小题3分，共9分)
1.下列说法中，错误的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.∠ABD=∠BDC，OA=OC
B.∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB
C.∠ABC=∠ADC，AB=CD
D.∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB
3.(8分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连结AE，AF，CE，CF。求证：四边形AECF是平行四边形。
4.(8分)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE=CF，OE=OF。求证：四边形ABCD是平行四边形。
5.(8分)如图，在四边形ABED中，AD∥BE，AE平分∠BAD，BF⊥AE于点F，连结DF并延长，交BE于点C，连结AC。求证：四边形ACED是平行四边形。
6.(8分)如图，在 ABCD中，E是AB的中点，连结DE并延长，与CB的延长线相交于点F，连结AF。求证：四边形AFBD是平行四边形。
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E。若∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为( )
A.6 B.12
C.20 D.24
8.(8分)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作直线EF，交DA的延长线于点E，交BC的延长线于点F。
(1)(4分)求证：四边形AECF是平行四边形。
(2)(4分)如果四边形ABCD与四边形AECF的周长分别是16与10，求△EDC的周长。
9.(8分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，分别过点B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连结BF，CE。
(1)(4分)求证：四边形BECF是平行四边形。
(2)(4分)若AF=FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出所有与△ABD面积相等的三角形。
10.(8分)[倍长中线]如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE，交AD于点F，且AE=EF。求证：BF=AC。
11.(8分)[推理能力]如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点。某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案：
甲方案 乙方案
图1 分别在AO，CO上取点E，F，使AE=CF。 图2 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F。
(1)(4分)以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形吗？若能，请给出证明(若两种方案都符合要求，则选择其中一种证明即可)；若不能，请说明理由。
(2)(4分)在(1)的基础上，若EF=2AE，S△AED=6，直接写出 ABCD的面积。第4章 平行四边形 4.4 平行四边形的判定定理 第1课时 通过边判定平行四边形 分值：81分
选择题(每小题3分，共15分)
1.下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( B )
A.两组对边分别平行
B.一组对边平行，另一组对边相等
C.一组对边平行且相等
D.两组对边分别相等
2.小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( C )
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
3.依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是( D )
A. B.
C. D.
4.(8分)如图，AB⊥BD，CD⊥DB，AD=BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∵
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC。
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
5.(8分)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE。求证：
(1)(4分)△AFD≌△CEB。
(2)(4分)四边形ABCD是平行四边形。
证明：(1)∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF。
在△ADF和△CBE中，
∵
∴△AFD≌△CEB(SAS)。
(2)由(1)知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
6.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=55°，∠1=85°，∠2=40°。
(1)(4分)求∠D的度数。
(2)(4分)求证：四边形ABCD是平行四边形。
解：(1)∵∠D＋∠1＋∠2=180°，
∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－85°－40°=55°。
(2)∵AB∥DC，
∴∠2＋∠ACB＋∠B=180°，
∴∠ACB=180°－∠B－∠2=85°，
∴∠ACB=∠1，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
7.(8分)如图1是某小区的倾斜式停车位，图2是车位示意图，工作人员在绘制时保证AD=BC，∠A=60°，∠B=120°。
(1)(4分)请判断四边形ABCD的形状，并说明理由。
(2)(4分)若AD为6米，AB为2.8米，求停车位ABCD的面积。
解：(1)四边形ABCD是平行四边形。理由如下：
∵∠A=60°，∠B=120°，
∴∠A＋∠B=180°，∴AD∥BC。
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
(2)如答图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E。
第7题答图
由(1)可知，四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6米。
∵∠ABC=120°，
∴∠CBE=180°－120°=60°，
∴BE=BC=×6=3(米)。
在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE==3(米)，
∴S ABCD=AB·CE=2.8×3(平方米)。
答：停车位ABCD的面积为平方米。
8.如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC。添加下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是( D )
A.AD=AB B.AB⊥BC
C.AB=DC D.∠A=∠C
【解析】 ∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°。
若∠A=∠C，则∠B＋∠C=180°，
∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，D符合题意。
其他选项不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选D。
9.如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是( A )
A.AE=CF B.BE=FD
C.BF=DE D.∠1=∠2
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABD=∠CDB。
若BE=DF，
则△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE ，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故B正确，不符合题意；
若BF=DE，
则BF－EF=DE－EF，
∴BE=DF，
同B可知四边形AECF是平行四边形，故C正确，不符合题意；
∵AB=CD，∠ABD=∠CDB，
若∠1=∠2，
则△ABE≌△CDF(ASA)，
同B可知四边形AECF是平行四边形，故D正确，不符合题意；
添加AE=CF后，不能得出△ABE≌△CDF，进而得不出四边形AECF是平行四边形，A符合题意。
10.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC=8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，且EF∥AC，GF∥AB，求四边形AEFG的周长。
解：∵AB=AC，∴∠B=∠C。
∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，∠EFB=∠C=∠B，∠GFC=∠B=∠C，
∴BE=FE，FG=CG，
∴C四边形AEFG=AE＋EF＋FG＋AG=AE＋BE＋CG＋AG=AB＋AC=16。
11.(8分)已知：如图，E，F分别是 ABCD的边AD，BC的中点，连结EF和BD，求证：EF和BD互相平分。
证明：如答图，连结BE，FD。
第11题答图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC。
∵E，F是AD，BC的中点，
∴DE=AD，BF=BC，∴DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴EF和BD互相平分。
12.(8分)如图，已知△ABC是等边三角形，E为边AC上一点，连结BE。将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连结AF，CF。求证：四边形ABDF是平行四边形。
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠ACB=∠ABC。
∵FD是由AC旋转得到，
∴ED=CE，AC=FD，
∴FD=AB，∠EDC=∠ECD，
∴∠EDC=∠ABC，∴AB∥FD，
∴四边形ABDF是平行四边形。
13.(10分)[推理能力]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=15 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以3 cm/s的速度由点C向点B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒。
(1)(4分)AP= t cm，BQ= 15－3t cm(分别用含t的代数式表示)。
(2)(3分)当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值。
(3)(3分)当点P，Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值。
解：(2)设点A到BC的距离为h。
∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，
∴×(12－t＋3t)×h=2××(t＋15－3t)×h，
解得t=3。
(3)若四边形APQB是平行四边形，
则AP=BQ，∴t=15－3t，
解得t=；
若四边形PDCQ是平行四边形，
则PD=CQ，∴12－t=3t，
解得t=3；
若四边形APCQ是平行四边形，
则AP=CQ，∴t=3t，
解得t=0(不合题意，舍去)；
若四边形PDQB是平行四边形，
则PD=BQ，∴12－t=15－3t，
解得t=。
综上所述，当t=或3或时，点P，Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形。第4章 平行四边形 4.4 平行四边形的判定定理 第2课时 通过对角线判定平行四边形 分值：73分
选择题(每小题3分，共9分)
1.下列说法中，错误的是( D )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( C )
A.∠ABD=∠BDC，OA=OC
B.∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB
C.∠ABC=∠ADC，AB=CD
D.∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB
【解析】 若∠ABD=∠BDC，OA=OC，又∵∠AOB=COD，
则△AOB≌△COD(AAS)，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，A可以判定。
若∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB，
又∵∠ABC＋∠ADC＋∠BAD＋∠DCB=360°，
则∠ABC＋∠BAD=180°，
∴∠ADC＋∠BAD=180°，
∴BC∥AD，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，B可以判定。
若∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB，
又∵BD=DB，
则△ABD≌△CDB(AAS)，AB∥DC，
∴AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，D可以判定。
由∠ABC=∠ADC，AB=CD，AC=CA，
不能推出三角形全等，故无法判定四边形ABCD是平行四边形，C符合题意。
3.(8分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连结AE，AF，CE，CF。求证：四边形AECF是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形。
4.(8分)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AE=CF，OE=OF。求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEO=∠DFO=90°。
又∵∠BOE=∠DOF，OE=OF，
∴△BEO≌△DFO(AAS)，
∴BO=DO。
∵AE=CF，EO=FO，∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形。
5.(8分)如图，在四边形ABED中，AD∥BE，AE平分∠BAD，BF⊥AE于点F，连结DF并延长，交BE于点C，连结AC。求证：四边形ACED是平行四边形。
证明：∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠AEB。
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，∴AB=EB。
又∵BF⊥AE，∴AF=EF。
∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD≌△EFC(ASA)，
∴DF=CF，
∴四边形ACED是平行四边形。
6.(8分)如图，在 ABCD中，E是AB的中点，连结DE并延长，与CB的延长线相交于点F，连结AF。求证：四边形AFBD是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAE=∠FBE。
∵E是AB的中点，∴AE=BE。
在△ADE和△BFE中，
∵
∴△ADE≌△BFE(ASA)，
∴DE=FE，
∴四边形AFBD是平行四边形。
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E。若∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为( D )
A.6 B.12
C.20 D.24
【解析】 ∵∠CBD=90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴CE==5。
又∵AC=10，∴E为AC的中点。
又∵BE=ED=3，
∴四边形ABCD是平行四边形，BD=6，
∴S ABCD=2×BD·BC=6×4=24。
8.(8分)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作直线EF，交DA的延长线于点E，交BC的延长线于点F。
(1)(4分)求证：四边形AECF是平行四边形。
(2)(4分)如果四边形ABCD与四边形AECF的周长分别是16与10，求△EDC的周长。
解：(1)∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。
∵O为AC的中点，
∴AO=CO。
在△AEO与△CFO中，
∵
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形。
(2)∵四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形，
∴AD＋DC=8，CE＋AE=5，
∴△EDC的周长=AD＋DC＋CE＋AE=13。
9.(8分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，分别过点B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连结BF，CE。
(1)(4分)求证：四边形BECF是平行四边形。
(2)(4分)若AF=FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出所有与△ABD面积相等的三角形。
解：(1)∵D是BC的中点，
∴BD=CD。
∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在△BED和△CFD中，
∵
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴ED=FD。
又∵BD=CD，
∴四边形BECF是平行四边形。
(2)与△ABD面积相等的三角形有△ACD，△CEF，△BEF，△BEC，△BFC。
10.(8分)[倍长中线]如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE，交AD于点F，且AE=EF。求证：BF=AC。
证明：如答图，延长AD至点G，使DG=AD，连结BG，CG。
第10题答图
∵D是BC的中点，且AD=DG，
∴四边形ABGC为平行四边形，
∴BG∥AC，BG=AC，
∴∠AGB=∠EAF。
∵AE=EF，
∴∠EFA=∠EAF。
∵∠EFA=∠BFG，
∴∠AGB=∠BFG，
∴BG=BF，∴BF=AC。
11.(8分)[推理能力]如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点。某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案：
甲方案 乙方案
图1 分别在AO，CO上取点E，F，使AE=CF。 图2 作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F。
(1)(4分)以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形吗？若能，请给出证明(若两种方案都符合要求，则选择其中一种证明即可)；若不能，请说明理由。
(2)(4分)在(1)的基础上，若EF=2AE，S△AED=6，直接写出 ABCD的面积。
解：(1)甲和乙都能得到。
选甲方案，证明如下：
方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF。
在△ABE和△CDF中，
∵
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD。
∵∠BEF=180°－∠AEB，∠DFE=180°－∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形。
方法二：如答图，连结BD。
第11题答图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD经过点O，
∴AO=CO，BO=DO。
又∵AE=CF，∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形。
选乙方案，证明如下：
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE∥DF，∠AEB=∠CFD=90°。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF。
在△ABE和△CDF中，
∵
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形。
(2)由(1)得AE=CF，∴AO－AE=CO－CF，
∴OE=OF，∴EF=2OE。
又∵EF=2AE，
∴OE=AE=CF=OF，
∴S△ABC=S△ADC=4S△AED=4×6=24，
∴S ABCD=2×24=48。第4章 平行四边形 4.4 平行四边形的判定定理 第1课时 通过边判定平行四边形 分值：81分
选择题(每小题3分，共15分)
1.下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( )
A.两组对边分别平行
B.一组对边平行，另一组对边相等
C.一组对边平行且相等
D.两组对边分别相等
2.小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
3.依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
4.(8分)如图，AB⊥BD，CD⊥DB，AD=BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。
5.(8分)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE。求证：
(1)(4分)△AFD≌△CEB。
(2)(4分)四边形ABCD是平行四边形。
6.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=55°，∠1=85°，∠2=40°。
(1)(4分)求∠D的度数。
(2)(4分)求证：四边形ABCD是平行四边形。
7.(8分)如图1是某小区的倾斜式停车位，图2是车位示意图，工作人员在绘制时保证AD=BC，∠A=60°，∠B=120°。
(1)(4分)请判断四边形ABCD的形状，并说明理由。
(2)(4分)若AD为6米，AB为2.8米，求停车位ABCD的面积。
8.如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC。添加下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD=AB B.AB⊥BC
C.AB=DC D.∠A=∠C
9.如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使四边形AECF是平行四边形，则添加的条件不能是( )
A.AE=CF B.BE=FD
C.BF=DE D.∠1=∠2
10.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC=8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，且EF∥AC，GF∥AB，求四边形AEFG的周长。
11.(8分)已知：如图，E，F分别是 ABCD的边AD，BC的中点，连结EF和BD，求证：EF和BD互相平分。
12.(8分)如图，已知△ABC是等边三角形，E为边AC上一点，连结BE。将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连结AF，CF。求证：四边形ABDF是平行四边形。
13.(10分)[推理能力]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=15 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以3 cm/s的速度由点C向点B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒。
(1)(4分)AP= cm，BQ= cm(分别用含t的代数式表示)。
(2)(3分)当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值。
(3)(3分)当点P，Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值。
