第4章 平行四边形 4.5 三角形的中位线 分值：62分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点。若∠A=65°，∠ANM=45°，则∠B的度数为 ( )
A.20° B.45°
C.65° D.70°
2.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，AC的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长为( )
A.10 B.12
C.14 D.16
3.如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连结OE。若BD=12，则△DOE的周长为( )
A.15 B.18
C.21 D.24
4.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点。求证：DE∥BC，且DE=BC。
证明：延长DE至点F，使EF=DE，连结FC，DC，AF。
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形。
以下是接着的排序打乱的证明步骤：
①∴DF綊BC。
②∴CF綊AD，即CF綊BD。
③∴四边形DBCF是平行四边形。
④∴DE∥BC，且DE=BC。
正确的证明顺序应是( )
A.②→③→①→④ B.②→①→③→④
C.①→③→④→② D.①→③→②→④
5.(3分)如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，C，D分别是OA，OB的中点，若CD=4 cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm。
6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点。若DE=8，则AB的长为 。
7.(3分)如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连结MN。E是CN的中点，连结ME并延长，交BC的延长线于点D。若BC=4，则CD的长为 。
8.(8分)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连结CF。求证：
(1)(4分)△CEF≌△AED。
(2)(4分)四边形DBCF是平行四边形。
9.(3分)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC=12，CF平分∠ACB，交DE于点F。若EF=2DF，则AC 的长度是 。
10.(3分)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点。若AB=4，CD=6，∠ABC＋∠BCD=90°，则EF的长为 。
11.(3分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点。若AD=4，CD=6，则EO的长为 。
12.(8分)如图，在△ABC 中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连结BH，G，F分别为BH，CH的中点。
(1)(4分)求证：四边形DEFG为平行四边形。
(2)(4分)若DG⊥BH，AB=6，求点D到点H的距离。
13.(8分)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，连结EG，HF。求证：EG，HF互相平分。
14.(8分)[推理能力]如图1，DE是△ABC的中位线，李琳同学对这个图形进行了剪拼，先连结AD(如图2)，再沿AD剪开(如图3)，然后将△ABD置于△ADC的下面，使BD和CD重合(如图4)。李琳同学对剪拼后的图形很感兴趣，于是自编了一道数学题：
如图4，在四边形ADFC中，DE是△ADC的中线，∠DCF=∠DCA＋∠DAC，FC=AD。求证：DE=DF。
请你解答李琳自编的题。第4章 平行四边形 4.5 三角形的中位线 分值：62分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点。若∠A=65°，∠ANM=45°，则∠B的度数为 ( D )
A.20° B.45°
C.65° D.70°
【解析】 ∵M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴MN∥BC，∴∠C=∠ANM=45°，
∴∠B=180°－∠A－∠C=180°－65°－45°=70°。
2.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，AC的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长为( A )
A.10 B.12
C.14 D.16
【解析】 ∵E，D，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DE=AF=AC=2，
DF=AE=AB=3，
∴四边形AEDF的周长=2×(2＋3)=10。
3.如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连结OE。若BD=12，则△DOE的周长为( A )
A.15 B.18
C.21 D.24
【解析】 ∵ ABCD的周长为36，
∴BC＋CD=×36=18，OB=OD=BD=6。
又∵E是CD的中点，
∴OE=BC，DE=CD，
∴△DOE的周长=OD＋OE＋DE=6BCCD=6(BC＋CD)=6×18=15。
4.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点。求证：DE∥BC，且DE=BC。
证明：延长DE至点F，使EF=DE，连结FC，DC，AF。
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形。
以下是接着的排序打乱的证明步骤：
①∴DF綊BC。
②∴CF綊AD，即CF綊BD。
③∴四边形DBCF是平行四边形。
④∴DE∥BC，且DE=BC。
正确的证明顺序应是( A )
A.②→③→①→④ B.②→①→③→④
C.①→③→④→② D.①→③→②→④
5.(3分)如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，C，D分别是OA，OB的中点，若CD=4 cm，则该工件内槽宽AB的长为 8 cm。
6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点。若DE=8，则AB的长为 16 。
【解析】 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，∴BD=CD。
又∵E是AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE=16。
7.(3分)如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连结MN。E是CN的中点，连结ME并延长，交BC的延长线于点D。若BC=4，则CD的长为 2 。
【解析】 ∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=2，MN∥BC，
∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE。
∵E是CN的中点，∴NE=CE，
∴△MNE≌△DCE(AAS)，
∴CD=MN=2。
8.(8分)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连结CF。求证：
(1)(4分)△CEF≌△AED。
(2)(4分)四边形DBCF是平行四边形。
证明：(1)∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴AE=CE。
在△CEF与△AED中，
∵
∴△CEF≌△AED(SAS)。
(2)由(1)证得△CEF≌△AED，
∴∠A=∠FCE，∴BD∥CF。
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形。
9.(3分)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC=12，CF平分∠ACB，交DE于点F。若EF=2DF，则AC 的长度是 8 。
【解析】 ∵D，E分别是AB，AC 的中点，BC=12，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=×12=6，DE∥BC。
∵EF=2DF，
∴EF=DE=×6=4。
∵DE∥BC，∴∠BCF=∠EFC。
∵CF平分∠ACB，∴∠BCF=∠ECF，
∴∠ECF=∠EFC，∴EC=EF= 4。
∵E是AC的中点，∴AC=2EC=2×4=8，
∴AC的长度是8。
10.(3分)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点。若AB=4，CD=6，∠ABC＋∠BCD=90°，则EF的长为 。
【解析】 如答图，取BD的中点H，连结EH，HF。
第10题答图
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EH，HF分别是△ABD，△BCD的中位线，
∴EH=AB=2，HF=CD=3，EH∥AB，HF∥CD，
∴∠EHD=∠ABD，∠C=∠BFH。
∵∠ABC＋∠BCD=90°，
∴∠ABD＋∠DBC＋∠BFH=90°。
又∵∠DBC＋∠BFH=∠DHF，
∴∠EHD＋∠DHF=90°，
∴△EHF是直角三角形，
∴EF=。
11.(3分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点。若AD=4，CD=6，则EO的长为 1 。
【解析】 在 ABCD中，AB∥DC，AB=CD，OD=OB，
∴∠CDP=∠APD。
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP=∠ADP，
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4。
∵CD=6，∴AB=6，
∴PB=AB－AP=6－4=2。
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
∴EO=PB=1。
12.(8分)如图，在△ABC 中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连结BH，G，F分别为BH，CH的中点。
(1)(4分)求证：四边形DEFG为平行四边形。
(2)(4分)若DG⊥BH，AB=6，求点D到点H的距离。
解：(1)∵D，E分别为AB，AC的中点，G，F分别为BH，CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，GF∥BC，GF=BC，
∴DE∥GF，DE=GF，
∴四边形DEFG为平行四边形。
(2)连结DH。
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG∥AC。
∵DG⊥BH，∴∠BHA=90°。
又∵D是AB的中点，
∴DH=AB=3，
即点D到点H的距离为3。
13.(8分)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，连结EG，HF。求证：EG，HF互相平分。
证明：如答图，连结EH，HG，GF。
第13题答图
∵E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，
∴AB∥EH∥GF，GH∥BC，
∴GH∥EF，
∴四边形EHGF是平行四边形，
∴EG，HF互相平分。
14.(8分)[推理能力]如图1，DE是△ABC的中位线，李琳同学对这个图形进行了剪拼，先连结AD(如图2)，再沿AD剪开(如图3)，然后将△ABD置于△ADC的下面，使BD和CD重合(如图4)。李琳同学对剪拼后的图形很感兴趣，于是自编了一道数学题：
如图4，在四边形ADFC中，DE是△ADC的中线，∠DCF=∠DCA＋∠DAC，FC=AD。求证：DE=DF。
请你解答李琳自编的题。
证明：如答图，延长CD至点B，使DB=CD，连结AB，则∠BDA=∠DCA＋∠DAC。
第14题答图
又∵∠DCF=∠DCA＋∠DAC，
∴∠BDA=∠DCF。
在△ADB和△FCD中，
∵
∴△ADB≌△FCD(SAS)，
∴AB=DF。
易知DE是△ABC的中位线，
∴DE=AB，∴DE=DF。
