第5章 特殊平行四边形 5.2 菱形 第1课时 菱形的性质 分值：75分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.菱形不一定具备的性质是( )
A.四条边都相等 B.对角线相等
C.是轴对称图形 D.是中心对称图形
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是( )
A.AB∥DC B.∠DAO=∠DCO
C.AC⊥BD D.OA=BD
3.(3分)如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC=38°，点E在BC的延长线上，则∠DCE= °。
4.(3分)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 。
5.(3分)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F。若∠ADE＋∠CDF=80°，则∠EDF= °。
6.(8分)如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，E为BD上的点。求证：∠DAE=∠DCE。
7.(8分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AB=2，AC=2。求：
(1)(2分)菱形ABCD的周长。
(2)(3分)BD的长。
(3)(3分)菱形ABCD的面积。
8.(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连结EF。求证：AC⊥EF。
9.(8分)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE。若∠E=68°，求∠BAD的度数。
10.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE。若AC=6，BD=8，则OE的长为( )
A.2 B.
C.3 D.5
11.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H。若AC=8，BD=6，则DH的长为( )
A. B.
C. D.4
12.(3分)如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，O是线段BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F，则OE＋OF的值为 。
13.(8分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF。
(1)(4分)求证：AE=AF。
(2)(4分)若∠B=60°，求∠AEF的度数。
14.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使得CF=BE，连结DF。
(1)(4分)求证：四边形AEFD是矩形。
(2)(4分)连结OE，若AB=13，OE=2，求AE的长。
15.(3分)[应用意识，推理能力]杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD，伞骨连接点A固定在伞柄AP顶端，伞圈C能沿着伞柄AP滑动。小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄AP的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于AP长的一半。若夹角∠BAD=2∠BOD，则∠BCD的度数为 °。 第5章 特殊平行四边形 5.2 菱形 第2课时 菱形的判定 分值：73分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( )
A.三条边相等
B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相垂直平分
D.两条对角线相等且互相垂直
2.如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF。若四边形ECDF为菱形，则a的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是菱形，这个条件是( )
A.AC⊥BD B.AC=BD
C.AB=BC D.∠BAC=∠DAC
4.(3分)如图，AC=8，分别以点A，C为圆心，5为半径作弧，得到交点B，D。依次连结A，B，C，D，连结BD交AC于点O。
(1)(1.5分)四边形ABCD是 形。
(2)(1.5分)BD的长为 。
5.(8分)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F。求证：四边形BEDF为菱形。
6.(8分)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB=OD。求证：四边形ABCD是菱形。”她将自己的证明过程与同学小洁交流。
小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB=OD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD，CB=CD， ∴四边形ABCD是菱形。 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明。
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”。若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明。
7.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F，G，H依次是BD，BC，AC，AD的中点。求证：四边形EFGH是菱形。
8.用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是( )
A. B.
C. D.
9.(8分)如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，且AE=CF，连结DE，DF。请从以下给出的三个条件：①∠1=∠2，②DE=DF，③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为菱形。
(1)(2分)你添加的条件是 (填序号)。
(2)(6分)添加条件后，请证明 ABCD为菱形。
10.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD。过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连结OE。
(1)(4分)求证：四边形ABCD是菱形。
(2)(4分)若AB=10，BD=8，求OE的长。
11.(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形。
(1)(4分)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)。
(2)(4分)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形。
12.(10分)[推理能力]如图，在 ABCD中，AB=2 cm，AC=5 cm，=8 cm2。点E从点B出发，以1 cm/s的速度在AB的延长线上向右运动，同时点F从点D出发，以同样的速度在CD的延长线上向左运动，运动时间为t(s)。
(1)(3分)在运动过程中，四边形AECF的形状是 。
(2)(3分)当t= s时，四边形AECF是矩形。
(3)(4分)当t的值为多少时，四边形AECF是菱形？第5章 特殊平行四边形 5.2 菱形 第2课时 菱形的判定 分值：73分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( C )
A.三条边相等
B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线互相垂直平分
D.两条对角线相等且互相垂直
2.如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF。若四边形ECDF为菱形，则a的值为( B )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CE∥FD，CD=AB=4。
∵将线段AB水平向右平移得到线段EF，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形ECDF为平行四边形。
当CD=CE=4时， ECDF为菱形，
此时a=BE=BC－CE=6－4=2。
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。添加下列一个条件，仍不能判定 ABCD是菱形，这个条件是( B )
A.AC⊥BD B.AC=BD
C.AB=BC D.∠BAC=∠DAC
4.(3分)如图，AC=8，分别以点A，C为圆心，5为半径作弧，得到交点B，D。依次连结A，B，C，D，连结BD交AC于点O。
(1)(1.5分)四边形ABCD是 菱 形。
(2)(1.5分)BD的长为 6 。
【解析】 (2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，AC⊥BD。
在Rt△AOB中，OB=
=3，
∴BD=2OB=6。
5.(8分)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F。求证：四边形BEDF为菱形。
证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形。
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠DBF。
∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBF，
∴∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，
∴ BFDE是菱形。
6.(8分)小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB=OD。求证：四边形ABCD是菱形。”她将自己的证明过程与同学小洁交流。
小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB=OD， ∴AC垂直平分BD， ∴AB=AD，CB=CD， ∴四边形ABCD是菱形。 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明。
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”。若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明。
解：赞成小洁的说法，补充条件：OA=OC，证明如下：
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
又∵AC⊥BD，∴ ABCD是菱形。
7.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F，G，H依次是BD，BC，AC，AD的中点。求证：四边形EFGH是菱形。
证明：∵E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD的中点，
∴EH，FG分别是△ABD，△ABC的中位线，EF，HG分别是△BCD，△ACD的中位线，
∴EH=FG=AB，EF=HG=CD。
又∵AB=CD，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四边形EFGH是菱形。
8.用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是( C )
A. B.
C. D.
9.(8分)如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，且AE=CF，连结DE，DF。请从以下给出的三个条件：①∠1=∠2，②DE=DF，③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD为菱形。
(1)(2分)你添加的条件是 ①或③ (填序号)。
(2)(6分)添加条件后，请证明 ABCD为菱形。
解：(2)以选择条件①为例，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C。
在△ADE和△CDF中，
∵
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴ ABCD为菱形。
10.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD。过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连结OE。
(1)(4分)求证：四边形ABCD是菱形。
(2)(4分)若AB=10，BD=8，求OE的长。
解：(1)∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA。
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD。
∵AB=AD，∴AB=CD。
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
又∵AD=AB，∴ ABCD是菱形。
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC。
∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC。
∵BD=8，∴OB=BD=4。
在Rt△AOB 中，AB=10，OB=4，
∴OA==2，
∴OE=OA=2。
11.(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形。
(1)(4分)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)。
(2)(4分)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形。
解：(1)如答图，直线MN即为所求。
第11题答图
(2)设AC与EF相交于点O。由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴OA=OC。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠OAE=∠OCF。
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形。
又∵AC⊥EF，∴ AFCE是菱形。
12.(10分)[推理能力]如图，在 ABCD中，AB=2 cm，AC=5 cm，=8 cm2。点E从点B出发，以1 cm/s的速度在AB的延长线上向右运动，同时点F从点D出发，以同样的速度在CD的延长线上向左运动，运动时间为t(s)。
(1)(3分)在运动过程中，四边形AECF的形状是 平行四边形 。
(2)(3分)当t= 1 s时，四边形AECF是矩形。
(3)(4分)当t的值为多少时，四边形AECF是菱形？
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2 cm，AB∥CD，即CF∥AE。
易知DF=BE=t(cm)，∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形。
(2)当四边形AECF是矩形时，∠AFC=90°，
∴AF⊥CD，
∴S ABCD=CD·AF=8 cm2，
∴AF=4 cm。
在Rt△ACF中，AF2＋CF2=AC2，
即42＋(t＋2)2=52，
解得t1=1，t2=－5(不合题意，舍去)，
∴t=1。
(3)∵四边形AECF是平行四边形，
∴当CE=AE时， AECF是菱形。
∵BE=t(cm)，
∴CE=AE=(t＋2)cm。
如答图，过点C作CG⊥BE于点G。
第12题答图
∵=AB·CG=8 cm2，
∴CG=4 cm，
∴AG==3 cm，
∴GE=t＋2－3=(t－1)cm。
∵CG2＋GE2=CE2，
∴42＋(t－1)2=(t＋2)2，
解得t=，
∴当t的值为时，四边形AECF是菱形。第5章 特殊平行四边形 5.2 菱形 第1课时 菱形的性质 分值：75分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.菱形不一定具备的性质是( B )
A.四条边都相等 B.对角线相等
C.是轴对称图形 D.是中心对称图形
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是( D )
A.AB∥DC B.∠DAO=∠DCO
C.AC⊥BD D.OA=BD
3.(3分)如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC=38°，点E在BC的延长线上，则∠DCE= 104 °。
【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=38°，
∴∠BCD=∠BAD=2∠BAC=76°，
∴∠DCE=180°－∠BCD=180°－76°=104°。
4.(3分)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 24 。
5.(3分)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F。若∠ADE＋∠CDF=80°，则∠EDF= 50 °。
【解析】 ∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠DFC=90°。
∵∠ADE＋∠CDF=80°，∴∠A＋∠C=180°－80°=100°。
∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C=50°，
∴∠ADC=130°，
∴∠EDF=∠ADC－(∠ADE＋∠CDF)=50°。
6.(8分)如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，E为BD上的点。求证：∠DAE=∠DCE。
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD。
∵BD为对角线，∴∠ADB=∠CDB。
在△ADE和△CDE中，
∵
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠DAE=∠DCE。
7.(8分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AB=2，AC=2。求：
(1)(2分)菱形ABCD的周长。
(2)(3分)BD的长。
(3)(3分)菱形ABCD的面积。
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AD=AB=2，
∴菱形ABCD的周长为8。
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC=1，OB=OD，且∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，
OB=，
∴BD=2OB=2。
(3)S菱形ABCD=AC·BD=×2×2=2。
8.(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连结EF。求证：AC⊥EF。
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC。
又∵BE=DF，∴AE=AF，
∴AC⊥EF。
9.(8分)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE。若∠E=68°，求∠BAD的度数。
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，DC=AB。
又∵BE=AB，∴DC=BE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴BD∥CE，∴∠DBA=∠E=68°。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∴∠BAO=90°－∠DBA=22°，
∴∠BAD=2∠BAO=44°。
10.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE。若AC=6，BD=8，则OE的长为( B )
A.2 B.
C.3 D.5
【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=AC，OB=BD，AC⊥BD。
又∵AC=6，BD=8，
∴OC=3，OB=4，
∴CB==5。
又∵E为边BC的中点，
∴OE=BC=。
11.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，DH⊥BC于点H。若AC=8，BD=6，则DH的长为( C )
A. B.
C. D.4
【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO=OC=AC=4，OB=OD=BD=3。
在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC==5。
∵DH⊥BC，
∴S菱形ABCD=BC·DH=AC·BD，
即5DH=×8×6，解得DH=。
12.(3分)如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，O是线段BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F，则OE＋OF的值为 。
【解析】 如答图，连结AC，交BD于点P，延长EO，交CD于点G。
第12题答图
根据菱形的性质，得AB=10，BP=BD=8，∠APB=90°，AB∥CD。
又∵OE⊥AB，∴OG⊥CD。
在Rt△APB中，根据勾股定理，得AP=6，
∴AC=2AP=12。
根据菱形关于BD成轴对称，得OF=OG，
∴OE＋OF=EG。
根据菱形的面积，得AC·BD=AB·EG，
∴×12×16=10EG，
解得EG=，
即OE＋OF=。
13.(8分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF。
(1)(4分)求证：AE=AF。
(2)(4分)若∠B=60°，求∠AEF的度数。
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D。
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°。
在△ABE和△ADF中，
∵
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF。
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＋∠BAD=180°。
又∵∠B=60°，∴∠BAD=120°。
∵∠AEB=90°，∴∠BAE=30°。
由(1)知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠EAF=120°－30°－30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°。
14.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使得CF=BE，连结DF。
(1)(4分)求证：四边形AEFD是矩形。
(2)(4分)连结OE，若AB=13，OE=2，求AE的长。
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=BC。
∵BE=CF，∴BC=EF，
∴AD=EF。
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，
∴ AEFD是矩形。
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=13，AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD。
∵∠AEC=90°，
∴OA=AC=OE=2，
∴AC=2OA=4。
方法一：由勾股定理，得OB==3，
∴BD=2OB=6。
∵S菱形ABCD=BD·AC=BC·AE，
∴×6×4=13AE，
解得AE=12。
方法二：设BE=x，则EC=13－x，
由勾股定理，得AB2－BE2=AC2－EC2，
即132－x2=(4)2－(13－x)2，
解得x=5，
∴BE=5，
∴AE==12。
15.(3分)[应用意识，推理能力]杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD，伞骨连接点A固定在伞柄AP顶端，伞圈C能沿着伞柄AP滑动。小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄AP的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于AP长的一半。若夹角∠BAD=2∠BOD，则∠BCD的度数为 144 °。
【解析】 ∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA=∠DCA=∠BCD，∠BAO=∠DAO=∠BAD，
∴∠BAD=2∠BAO，∠BCD=∠BAD。
∵∠BAD=2∠BOD，
∴∠BAO=∠BOD。
由题意知OA=OB=OD=AP，
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD=∠ODA=∠BOD。
又∵∠OAB＋∠OBA＋∠OAD＋∠ODA＋∠BOD=360°，
∴∠BAO=72°，
∴∠BCD=∠BAD=2×72°=144°。
