第5章 特殊平行四边形 5.3 正方形 第1课时 正方形的判定 分值：63分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.下列说法中，正确的是( )
A.有一个角是直角的平行四边形是正方形
B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.四条边都相等的四边形是正方形
2.已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件( )
A.AB=BC B.∠ABC=90°
C.∠ADB=30° D.AC=AB
3.如图，已知 ABCD，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使 ABCD成为正方形。
①AB=BC； ②AC⊥BD；
③∠ABC=90°； ④AC=BD。
下列四种选法错误的是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①④
4.(3分)已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标依次是A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)，则四边形ABCD是 形。
5.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形CEDF是正方形。
6.(8分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC，∠DCB的平分线的交点E落在边AD上，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。
7.(8分)已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC。
(1)(4分)求证：四边形ABCD是菱形。
(2)(4分)如果BE=BC，且∠CBE∶∠BCE=2∶3，求证：四边形ABCD是正方形。
8.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( )
A.1次 B.2次
C.3次 D.4次
9.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA。求证：四边形AECF是正方形。
10.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。
(1)(4分)求证：四边形CEDF为正方形。
(2)(4分)若AC=6，BC=8，求CE的长。
11.(8分)[推理能力]如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长。
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：
(1)(4分)分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC，两者相交于点G。求证：四边形AEGF是正方形。
(2)(4分)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程，求出AD的长。第5章 特殊平行四边形 5.3 正方形 第1课时 正方形的判定 分值：63分
选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分)
1.下列说法中，正确的是( C )
A.有一个角是直角的平行四边形是正方形
B.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.四条边都相等的四边形是正方形
2.已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件( B )
A.AB=BC B.∠ABC=90°
C.∠ADB=30° D.AC=AB
3.如图，已知 ABCD，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使 ABCD成为正方形。
①AB=BC； ②AC⊥BD；
③∠ABC=90°； ④AC=BD。
下列四种选法错误的是( A )
A.①② B.①③
C.②③ D.①④
4.(3分)已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标依次是A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)，则四边形ABCD是 正方 形。
5.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠DFC=∠DEC=90°。
又∵∠ACB=90°，∴四边形CEDF是矩形。
又∵DE=DF，
∴矩形CEDF是正方形。
6.(8分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC，∠DCB的平分线的交点E落在边AD上，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形。
∵在矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠BEC=90°，BE=CE，
∴ BECF是正方形。
7.(8分)已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC。
(1)(4分)求证：四边形ABCD是菱形。
(2)(4分)如果BE=BC，且∠CBE∶∠BCE=2∶3，求证：四边形ABCD是正方形。
证明：(1)在△ADE与△CDE中，∵
∴△ADE≌△CDE(SSS)，
∴∠ADE=∠CDE。
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，∴BC=CD。
又∵AD=CD，∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形。
又∵AD=CD，∴ ABCD是菱形。
(2)∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC。
∵∠CBE∶∠BCE=2∶3，
∴∠CBE=180°×=45°。
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形。
8.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( B )
A.1次 B.2次
C.3次 D.4次
【解析】 小红把原丝巾相邻的顶点重合对折1次，若原丝巾对折后完全重合，即表明它是矩形或等腰梯形；沿对角线对折1次，若两个三角形重合，表明一组邻边相等，即表明它是菱形或筝形，当它既是矩形又是菱形时，它是正方形，∴最少对折2次。
9.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA。求证：四边形AECF是正方形。
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
又∵BE=DF，∴OE=OF，
∴四边形AECF是菱形。
∵OE=OA=OF，
∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC，
∴菱形AECF是正方形。
10.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。
(1)(4分)求证：四边形CEDF为正方形。
(2)(4分)若AC=6，BC=8，求CE的长。
解：(1)如答图，过点D作DN⊥AB于点N。
第10题答图
∵∠C=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形CEDF为矩形。
又易知DF=DN=DE，
∴矩形CEDF为正方形。
(2)∵AC=6，BC=8，∴AB=10，
由面积法求得CE=DE=6×8÷(6＋8＋10)=2。
11.(8分)[推理能力]如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长。
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：
(1)(4分)分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC，两者相交于点G。求证：四边形AEGF是正方形。
(2)(4分)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程，求出AD的长。
解：(1)由题意可得△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC。
∵∠DAB＋∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠EAF=2∠DAB＋2∠DAC=90°。
∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
∴四边形AEGF是矩形。
∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF，∴矩形AEGF是正方形。
(2)∵AD=x，四边形AEGF是正方形，
∴易知AE=EG=GF=x，∠EGF=90°。
∵BD=2，DC=3，
∴BE=2，CF=3，
∴BG=x－2，CG=x－3。
在Rt△BGC中，BG2＋CG2=BC2，
即(x－2)2＋(x－3)2=(2＋3)2，
化简，得x2－5x－6=0，
解得x1=6，x2=－1(不合题意，舍去)，
∴AD=6。第5章 特殊平行四边形 5.3 正方形 第2课时 正方形的性质 分值：77分
选择题(每小题3分，共9分)；填空题(每小题3分)
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( A )
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直平分且相等
2.如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连结AE，CE，∠BCE=70°，则∠EAD的度数为( B )
A.30° B.20°
C.15° D.10°
3.(3分)如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边CD，AD的中点，连结BE，BF，M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为 。
第3题答图
【解析】 如答图，连结EF。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=4，∠D=90°。
∵E，F分别是边CD，AD的中点，
∴DF=AD=2，DE=CD=2，
∴EF==2。
∵M，N分别是边BE，BF的中点，
∴MN是△BEF的中位线，
∴MN=EF=。
4.(3分)如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E。若AB=3，则AE= 3 。
【解析】 ∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3，DC∥AB。
∵∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA。
∵DC∥EB，∴∠E=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3。
5.(3分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连结EB，EC，则图中阴影部分的面积是 2 。
第5题答图
【解析】 如答图，过点E作EF⊥BC于点F。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，AD∥BC，∴EF=AB=2，
∴S△BCE=BC·EF=×2×2=2。
∵S正方形ABCD=BC2=22=4，
∴S阴影=S正方形ABCD－S△BCE=4－2=2。
6.(8分)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形DEBF为正方形。
(1)(4分)求证：AE=CF。
(2)(4分)已知 ABCD的面积为20，AB=5，求CF的长。
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD。
∵四边形DEBF是正方形，
∴DF=BE，
∴AE=AB－BE=CD－DF=CF。
(2)∵S ABCD=AB·DE=20，AB=5，
∴DE=4，∴EB=DE=4，
∴AE=AB－EB=1，
∴CF=AE=1。
7.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF=CE。求证：四边形BEDF是菱形。
第7题答图
证明：如答图，连结BD，与AC相交于点O，
则BO=DO=AO=CO，BD⊥AC。
∵AF=CE，
∴AF－AO=CE－CO，即FO=EO，
∴四边形BEDF是平行四边形。
又∵BD⊥AC，∴ BEDF是菱形。
8.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连结AE和BF。求证：AE=BF。
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°。
又∵CE=DF，∴BE=CF。
在△ABE和△BCF中，
∵
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF。
9.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF=45°，连结EF，则BF的长为( A )
A.2 B.
C.3 D.2
第9题答图
【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。
如答图，把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则∠BAF=∠DAG。
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAF＋∠DAE=45°，
∴∠EAG=∠DAG＋∠DAE=∠BAF＋∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠EAG。
∵∠ADG=∠ADC=∠B=90°，
∴∠EDG=180°，即E，D，G三点共线。
在△AFE和△AGE中，
∵
∴△AFE≌△AGE(SAS)，
∴EF=EG，
即EF=EG=ED＋DG。
∵E为CD的中点，正方形ABCD的边长为6，
∴CD=BC=6，DE=CE=3，∠C=90°，
∴设BF=x，则CF=6－x，EF=3＋x。
在Rt△CFE中，由勾股定理得，EF2=CE2＋CF2，
∴(3＋x)2=32＋(6－x)2，解得x=2，
即BF=2。
10.(3分)如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 1 。
【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°。
∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF。
在△AOE和△BOF中，
∵
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴S△AOE=S△BOF，
∴S四边形AFOE=S△AOB=S正方形ABCD=×22=1。
11.(8分)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P。
(1)(4分)求证：△ABN≌△DAM。
(2)(4分)求∠APM的度数。
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠DAM=∠ABN=90°。
∵BM=CN，
∴BC－CN=AB－BM，即BN=AM。
在△ABN和△DAM中，
∵
∴△ABN≌△DAM(SAS)。
(2)由(1)知△ABN≌△DAM，
∴∠MAP=∠ADM，
∴∠MAP＋∠AMP=∠ADM＋∠AMP=90°，
∴∠APM=180°－(∠MAP＋∠AMP)=90°。
12.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE=∠CDF。
(1)(4分)求证：AE=CF。
(2)(4分)连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG，FG，判断四边形DEGF是否为菱形，并说明理由。
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠C=90°。
在△ADE和△CDF中，
∵
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF。
(2)四边形DEGF是菱形。理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC。
∵AE=CF，
∴AB－AE=BC－CF，
即BE=BF。
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴BD垂直平分EF。
又∵OG=OD，
∴四边形DEGF是菱形。
13.(8分)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，BE与CF相交于点P，连结AP，设AB=a。
(1)(4分)求证：BE⊥CF。
(2)(4分)求AP，CP的长(用含a的代数式表示)。
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCE=∠DAB=90°，AD=CD=BC=AB。
又∵E，F分别是CD，AD的中点，
∴CE=DF。
在△CDF和△BCE中，
∵
∴△CDF≌△BCE(SAS)，
∴∠DFC=∠CEB。
∵∠DCF＋∠DFC=90°，
∴∠DCF＋∠CEB=90°，
∴∠EPC=90°，∴BE⊥CF。
(2)如答图，延长CF，交BA的延长线于点M，则∠DAM=90°。
第13题答图
在△CFD和△MFA中，
∵
∴△CFD≌△MFA(ASA)，
∴MA=CD=AB=a，∴BM=2a。
又∵BP⊥CF，
∴AP=BM=a。
∵CP⊥BE，
∴CP·BE=CE·BC=a2。
∵BE=
=a，
∴CP=a。
14.(8分)[模型观念]如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点(不与端点重合)，点F在 BC的延长线上，且CF=BE， 过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG，CG。
(1)(4分)求证：∠GEC=∠GCE。
(2)(4分)求的值。
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠GBF=45°。
又∵FG⊥BD，
∴∠F=∠GBF=45°，
∴GB=GF。
又∵BE=FC，
∴△GBE≌△GFC(SAS)，
∴GE=GC，
∴∠GEC=∠GCE。
(2)方法一：如答图1，连结AG。
第14题答图1
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴由正方形的轴对称性质，得AG=CG，∠AGB=∠CGB。
又∵EG=CG，∴AG=EG。
∵△GBE≌△GFC，
∴∠BGE=∠FGC，
∴∠AGE=∠AGB＋∠BGE=∠CGB＋∠FGC=∠BGF=90°，
∴△GAE是等腰直角三角形，
∴AE=EG，
∴。
方法二：如答图2，过点G作GH⊥BF于点H，
第14题答图2
设AB=BC=1，BE=CF=x，则BF=1＋x，EC=1－x，AE2=AB2＋BE2=x2＋1。
∵△BGF是等腰直角三角形，GH⊥BF，
∴GH=BF=。
∵△GEC是等腰三角形，GH⊥EC，
∴EH=EC=，
∴EG2=EH2＋GH2=，
∴=2，∴。第5章 特殊平行四边形 5.3 正方形 第2课时 正方形的性质 分值：77分
选择题(每小题3分，共9分)；填空题(每小题3分)
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直平分且相等
2.如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连结AE，CE，∠BCE=70°，则∠EAD的度数为( )
A.30° B.20°
C.15° D.10°
3.(3分)如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边CD，AD的中点，连结BE，BF，M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为 。
4.(3分)如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E。若AB=3，则AE= 。
5.(3分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连结EB，EC，则图中阴影部分的面积是 。
6.(8分)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形DEBF为正方形。
(1)(4分)求证：AE=CF。
(2)(4分)已知 ABCD的面积为20，AB=5，求CF的长。
7.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF=CE。求证：四边形BEDF是菱形。
8.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连结AE和BF。求证：AE=BF。
9.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF=45°，连结EF，则BF的长为( )
A.2 B.
C.3 D.2
10.(3分)如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 。
11.(8分)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P。
(1)(4分)求证：△ABN≌△DAM。
(2)(4分)求∠APM的度数。
12.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE=∠CDF。
(1)(4分)求证：AE=CF。
(2)(4分)连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG=OD，连结EG，FG，判断四边形DEGF是否为菱形，并说明理由。
13.(8分)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，BE与CF相交于点P，连结AP，设AB=a。
(1)(4分)求证：BE⊥CF。
(2)(4分)求AP，CP的长(用含a的代数式表示)。
14.(8分)[模型观念]如图，BD是正方形ABCD的对角线，E为边BC上的动点(不与端点重合)，点F在 BC的延长线上，且CF=BE， 过点F作FG⊥BD于点G，连结AE，EG，CG。
(1)(4分)求证：∠GEC=∠GCE。
(2)(4分)求的值。
