第5章 特殊平行四边形 学习任务清单 分值：56分
选择题(每小题3分，共6分)；填空题(每小题3分)
矩形的性质与判定
1.如图，在矩形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE与CD相交于点G，F是DG的中点。若要知道△AEF的面积，则需要知道( )
A.CE的长
B.矩形ABCD的面积
C.梯形ABCG的面积
D.∠EAF的度数
2.(8分)如图，EC是Rt△ABF的中位线，∠B=90°，延长CE到点D，使CE=ED，连结AD。
(1)(4分)求证：四边形ABCD是矩形。
(2)(4分)已知AB=4，AF=6，求AD的长。
菱形的性质与判定
3.如图，两张宽为3的矩形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分的面积是( )
A. B.3
C. D.6
4.(8分)在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形。小汪同学经过思考，给出了如下作图步骤：
①如图1，作Rt△AOB，其中∠O=90°；
②如图2，分别延长AO至点C，使CO=AO，延长BO至点D，使DO=BO；
③连结BC，CD，AD，形成四边形ABCD。
请根据上述步骤，解答以下问题：
(1)(4分)判断四边形ABCD是否为菱形，并说明理由。
(2)(4分)若AC=8，AB=5，求点C到AB的距离。
正方形的性质与判定
5.(3分)如图，E为正方形ABCD内的一点，BE⊥CE。若BE=3，CE=4，则DE的长为 。
6.(10分)如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG。
(1)(3分)求证：矩形DEFG是正方形。
(2)(3分)若AB=2，CE=2，求CG的长。
(3)(4分)当∠ADE=40°时，写出∠EFC的度数。
特殊平行四边形的折叠问题
7.(3分)如图，已知正方形纸片ABCD的边长为1，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形纸片沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处。如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段CF的长为 。
特殊平行四边形的探究型问题
8.(3分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 。
9.(3分)如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD相交于点O。E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF＋EG= 。
10.(12分)已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点。
(1)(4分)如图1，连结BE，DE。求证：∠ABE=∠ADE。
(2)(8分)如图2，过点B作BF⊥BE，交DE的延长线于点F，DF交AB 于点G。设=k(k＞0)，△AGE和△ABE的面积分别记为S1，S2。
①如图3，若k=1，且BE=2，求线段GD的长。
②求的值(用含k的代数式表示)。第5章 特殊平行四边形 学习任务清单 分值：56分
选择题(每小题3分，共6分)；填空题(每小题3分)
矩形的性质与判定
1.如图，在矩形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE与CD相交于点G，F是DG的中点。若要知道△AEF的面积，则需要知道( B )
A.CE的长
B.矩形ABCD的面积
C.梯形ABCG的面积
D.∠EAF的度数
第1题答图
【解析】 如答图，连结DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD⊥AD，
∴S△EAD=AD·DC=S矩形ABCD。
∵F是DG的中点，
∴S△AFG=S△ADG，
S△EFG=S△EDG，
∴S△AFG＋S△EFG=(S△ADG＋S△EDG)，
∴S△AEF=S△EAD=S矩形ABCD，
∴要知道△AEF的面积，则需要知道矩形ABCD的面积。
2.(8分)如图，EC是Rt△ABF的中位线，∠B=90°，延长CE到点D，使CE=ED，连结AD。
(1)(4分)求证：四边形ABCD是矩形。
(2)(4分)已知AB=4，AF=6，求AD的长。
解：(1)∵EC是Rt△ABF的中位线，
∴EC∥AB，AB=2EC。
又∵CD=CE＋ED，CE=ED，
∴CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形。
又∵∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC。
又∵EC是Rt△ABF的中位线，
∴BF=2BC。
在Rt△ABF中，BF==2，
∴AD=BF=。
菱形的性质与判定
3.如图，两张宽为3的矩形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分的面积是( D )
A. B.3
C. D.6
第3题答图
【解析】 如答图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F。
∵两条纸条宽度相同，∴AE=AF.
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵S ABCD=BC·AE=CD·AF，
∴BC=CD，∴ ABCD是菱形。
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠ABC=60°，AE=3，
∴AB=2，∴BC=2，
∴四边形ABCD的面积=AE·BC=3×2=6。
4.(8分)在一次数学活动中，王老师布置任务，让同学们用已学知识制作一个菱形。小汪同学经过思考，给出了如下作图步骤：
①如图1，作Rt△AOB，其中∠O=90°；
②如图2，分别延长AO至点C，使CO=AO，延长BO至点D，使DO=BO；
③连结BC，CD，AD，形成四边形ABCD。
请根据上述步骤，解答以下问题：
(1)(4分)判断四边形ABCD是否为菱形，并说明理由。
(2)(4分)若AC=8，AB=5，求点C到AB的距离。
解：(1)四边形ABCD是菱形。理由如下：
根据题意，得OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠AOB=90°，∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形。
(2)∵AC=8，∴OA=OC=4。
∵∠AOB=90°，AB=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB==3。
∵OB=OD，∴BD=6。
设点C到AB的距离为h，
∴AC·BD=AB·h，∴h=，
∴点C到AB的距离为。
正方形的性质与判定
5.(3分)如图，E为正方形ABCD内的一点，BE⊥CE。若BE=3，CE=4，则DE的长为 。
第5题答图
【解析】 如答图，过点E作EF⊥CD于点F，EG⊥BC于点G，则四边形EGCF是矩形，
∴EF=CG，EG=CF。
在Rt△BCE中，BE=3，CE=4，
∴BC==5。
∵S△BCE=BC·EG=BE·EC，
∴EG=，
GC=，
∴CF=EG=，EF=GC=，
∴DF=5－，
∴DE=。
6.(10分)如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG。
(1)(3分)求证：矩形DEFG是正方形。
(2)(3分)若AB=2，CE=2，求CG的长。
(3)(4分)当∠ADE=40°时，写出∠EFC的度数。
解：(1)如答图1，过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q。
第6题答图1
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCA=∠BCA=45°。
∵EP⊥CD，EQ⊥BC，
∴易得∠QEC=∠PEC=45°，EQ=EP。
∵∠QEF＋∠FEC=45°，∠PED＋∠FEC=∠FED－∠CEP=45°，
∴∠QEF=∠PED。
在△EQF和△EPD中，
∵
∴△EQF≌△EPD(ASA)，
∴EF=ED，∴矩形DEFG是正方形。
(2)在Rt△ABC中，AC=AB=4。
又∵CE=2，∴AE=CE，
∴易知点F与点C重合，如答图2，此时CG=FG=CE=2。
第6题答图2
(3)方法一：当∠ADE=40°时，∠DEC=45°＋40°=85°。
又∵∠DEF=90°，
∴∠CEF=∠DEF－∠DEC=5°。
又∵∠ECF=45°，
∴∠EFC=180°－∠ECF－∠CEF=130°。
方法二：如答图3，连结BE。
第6题答图3
由正方形的对称性，易得BE=ED=EF，∠ABE=∠ADE=40°。
∴∠EFB=∠EBF=90°－∠ABE=50°，
∴∠EFC=180°－∠EFB=130°。
特殊平行四边形的折叠问题
7.(3分)如图，已知正方形纸片ABCD的边长为1，点E，F分别在边AD，BC上，将正方形纸片沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处。如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，那么线段CF的长为 。
第7题答图
【解析】 如答图所示标注角，连结BB'，设BB'，EF相交于点G，过点F作FH⊥AD于点H。
∵已知正方形ABCD的边长为1，四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5，
∴S四边形ABFE=×1=。
设CF=x，则DH=x，BF=B'F=1－x，
∴S四边形ABFE=(AE＋BF)·AB=，即(AE＋1－x)×1=，解得AE=x－，
∴DE=1－AE=－x，
∴EH=ED－HD=－x－x=－2x。
由折叠的性质，得BB'⊥EF，
∴∠1＋∠2=∠BGF=90°。
∵∠2＋∠3=90°，
∴∠1=∠3。
又∵FH=BC=1，∠EHF=∠C=90°，
∴△EHF≌△B'CB(ASA)，
∴EH=B'C=－2x。
在Rt△B'FC中，B'F2=B'C2＋CF2，
∴(1－x)2=－2x2＋x2，解得x1=x2=，
∴CF=。
特殊平行四边形的探究型问题
8.(3分)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 。
第8题答图
【解析】 如答图，连结AE。
∵M，N分别是EF，AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴MN=AE。
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AE=，
∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大。
∵E是BC上的动点，
∴当点E和点C重合时，BE最大，即为BC的长度，
∴此时AE==2，
∴MN=AE=，
∴MN的最大值为。
9.(3分)如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD相交于点O。E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF＋EG= 。
【解析】 如答图，连结OE。
第9题答图
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=12，AO=CO=BO=DO。
∵AB=5，BC=12，
∴AC==13，
∴OB=OC=，
∴S△BOC=S△BOE＋S△COE=OB·EGOC·EF=S△ABC=×5×12=15，
∴EGEF=(EG＋EF)=15，
∴EG＋EF=。
10.(12分)已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点。
(1)(4分)如图1，连结BE，DE。求证：∠ABE=∠ADE。
(2)(8分)如图2，过点B作BF⊥BE，交DE的延长线于点F，DF交AB 于点G。设=k(k＞0)，△AGE和△ABE的面积分别记为S1，S2。
①如图3，若k=1，且BE=2，求线段GD的长。
②求的值(用含k的代数式表示)。
解：(1) ∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC。
在△ABE和△ADE中，
∵
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴∠ABE=∠ADE。
(2)①∵BF⊥BE，∴∠EBF=90°。
∵=k=1，∴BE=BF=2，
∴∠F=∠BEF=45°，EF=BE=2。
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠ADG＋∠AGD=90°。
∵∠ABE＋∠FBG=90°，∠ABE=∠ADE，∠BGF=∠AGD，
∴∠BGF=∠FBG，∴FG=BF=2，
∴GE=EF－FG=2－2。
由(1)知△ABE≌△ADE，
∴DE=BE=2，
∴GD=GE＋DE=2－2＋2=2。
②由(1)知∠ABE=∠ADE。
∵∠ABE＋∠FBG=90°， ∠ADG＋∠AGD=90°，∠BGF=∠AGD，
∴∠BGF=∠FBG，∴FG=BF。
∵=k，
∴设FG=BF=m， 则BE=km。
由勾股定理，得EF==m，
∴GE=EF－FG=m－m。
∵△ABE≌△ADE，
∴S△ADE=S△ABE=S2，DE=BE，
∴，
即。
