浙教版数学八年级下册 1.2 二次根式的性质 二阶训练
一、选择题
1．（2023八下·南浔期末）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·温州期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·龙岩期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·东莞期中）已知实数m，n满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·任泽期中）已知=a，=b，则=（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·临平期中） 当1
A．1 B．-1 C．2a-3 D．3-2a
7．（2024八下·保山期中）如果，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八下·浙江月考）一次函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9． 化简 ， ， ， ， ，
10．（2024八下·惠城期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．
11．（2021八下·江油期末）若是正整数，则整数n的最小值为 .
12．（2025八下·东莞期中）对于任意不相等的两个实数，，定义运算“*”如下：，例如，则 ．
13．（2025八下·永康月考）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．
14．（2024八下·钱塘期中）已知，当x分别取时，所对应y值的总和是 ．
15．（2024八下·镇海区期末）若，则的取值范围是 .
三、解答题
16．（2024八下·旌阳期中）（1）已知，求的平方根．
（2）当时，化简．
17．（2022八下·宾阳期中）【阅读材料】宾宾在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如： ；
.
（1）【类比归纳】
请你仿照宾宾的方法将 化成另一个式子的平方；
（2）请运用宾宾的方法化简； .
（3）【变式探究】
若 ，且a，m，n均为正整数，则 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、满足最简二次根式的定义，A符合题意；
B、被开方数中含有分母，不满足最简二次根式的定义，B不符合题意；
C、，被开方数中因式的指数是3＞2，不满足最简二次根式的定义，C不符合题意；
D、被开方数中因式的指数是2＞2，不满足最简二次根式的定义，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，根据该定义逐项分析.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，该根式可以开尽，不符合最简二次根式的要求，故选项A错误；
B.的被开方数含有分母，需有理化处理，故选项B错误；
c.分母含有根号，需有理化处理，故选项C错误；
D.的被开方数3是质数且无分母，既不含能开方的因数也不含分母，满足最简二次根式条件，故选项D正确。
故答案为：D.
【分析】 考查最简二次根式的判断标准，需要逐一分析每个选项是否符合：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，故A不正确；
B、，故B不正确；；
C、，故C正确；；
D、，二次根式的被开方数是负数无意义，故D不正确．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质分别进行化简，即可得出正确答案。
4．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
，，
，，
．
故答案为：C.
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
．
∵a，b，∴原式．
故答案为：D．
【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式．
6．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴
原式，
∴代数式为：
故答案为：A.
【分析】根据题意得到进而根据二次根数的性质化简即可.
7．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
，
解得： ，
x的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质得到，移项即可得到答案.
8．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数图象、性质与系数的关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过一、四、三象限
令，则，观察图象得：
原式
故答案为：.
【分析】由一次函数的大致位置可判断出的符号分别为“”，令函数值等于0可求出直线与轴的交点坐标结合图象知小于且大于，则可判断出与的正负，再根据可化原式为含绝对值代数式的化简，此时根据绝对值的性质进行化简，再利用整式的加减运算进行计算即可.
9．【答案】；；；；；20
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：第1空、.
故答案为：.
第2空、.
故答案为：.
第3空、 ，.
故答案为：.
第4空、 .
故答案为：.
第5空、.
故答案为：.
第6空、.
故答案为：20.
【分析】化简二次根式的步骤通常包括以下几步：
1、分解被开方数：将被开方数分解为一个完全平方数（或几个完全平方数的乘积）与另一个数的乘积；
2、提取平方根：对于分解出的每个完全平方数，其平方根可以被提取出根号；
3、简化根号下的乘积：如果被开方数是几个完全平方数的乘积，那么可以将每个平方数的根提取出来，然后相乘；
4、处理非完全平方数：对于非完全平方数的部分，如果无法进一步分解为平方数，那么就保持在根号下；
5、整理结果：将提取出的平方根与根号下的非平方数部分组合，得到化简后的二次根式.
10．【答案】1
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】根据题意，得，
∴
．
故答案为：．
【分析】
根据数轴上的位置，a位于1和2之间，即111．【答案】21
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵189＝21×9，
∴是整数的正整数n的最小值是21.
故答案为：21.
【分析】根据算术平方根的定义，得出189n是一个正整数数的平方，结合求整数n的最小值，即可解答.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据题中的运算定义，利用二次根式的性质计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：观察数轴知：
故答案为：.
【分析】由 知，可先把二次根式的加减运算转化为含绝对值的代数式的加减运算，再根据数轴可确定绝对值符号内的代数式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再去括号并合并同类项即可.
14．【答案】2024
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当时，
当时，
∴所对应y值的总和是：
故答案为：2044．
【分析】由于，可根据的值对原式进行化简，再进行整式的加法运算即可.
15．【答案】a≤1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由得|a-1|-|2-a|=-1，
①当a≤1时，有1-a-(2-a)=-1去括号得-1=-1，符合题意；
②当a≥2时，有a-1-(a-2)=-1去括号得1=-1，不符合题意；
③当1综合所述：a≤1
故答案为：a≤1.
【分析】化简二次根式后分a≤1，a≥2，116．【答案】解：（1），
∴且
，
解得，
，
，
∵4的平方根是．
∴的平方根是．
（2）∵，
∴
．
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；开平方（求平方根）
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式组，解之求出x的值，把求得的x的值代入已知的等式求得y的值，然后把x、y的值代入求出代数式的值，再求它的平方根即可；
（2）x的范围""可判断x+4＞0，x-1＜0，根据完全平方公式和二次根式的性质得到 再根据绝对值的非负性化简即可求解．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）10或22
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（3）解：∵ ， ， ∴ ， ， ∵a，m，n均为正整数， ∴ ， ∴ 或 . 故答案为：10或22
【分析】（1）原式可变形为(2+5)+，据此可将其化为另一个式子的平方；
（2）同理可将原式变形为，然后结合二次根式的性质进行化简；
（3）根据完全平方公式可得(+)2=m+n+，结合已知条件可得m+n=a，mn=21，结合a、m、n均为正整数可得a的值.
1 / 1浙教版数学八年级下册 1.2 二次根式的性质 二阶训练
一、选择题
1．（2023八下·南浔期末）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、满足最简二次根式的定义，A符合题意；
B、被开方数中含有分母，不满足最简二次根式的定义，B不符合题意；
C、，被开方数中因式的指数是3＞2，不满足最简二次根式的定义，C不符合题意；
D、被开方数中因式的指数是2＞2，不满足最简二次根式的定义，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，根据该定义逐项分析.
2．（2025八下·温州期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，该根式可以开尽，不符合最简二次根式的要求，故选项A错误；
B.的被开方数含有分母，需有理化处理，故选项B错误；
c.分母含有根号，需有理化处理，故选项C错误；
D.的被开方数3是质数且无分母，既不含能开方的因数也不含分母，满足最简二次根式条件，故选项D正确。
故答案为：D.
【分析】 考查最简二次根式的判断标准，需要逐一分析每个选项是否符合：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。
3．（2024八下·龙岩期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、，故A不正确；
B、，故B不正确；；
C、，故C正确；；
D、，二次根式的被开方数是负数无意义，故D不正确．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质分别进行化简，即可得出正确答案。
4．（2024八下·东莞期中）已知实数m，n满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
，，
，，
．
故答案为：C.
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可.
5．（2024八下·任泽期中）已知=a，=b，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
．
∵a，b，∴原式．
故答案为：D．
【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式．
6．（2025八下·临平期中） 当1A．1 B．-1 C．2a-3 D．3-2a
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵
∴
原式，
∴代数式为：
故答案为：A.
【分析】根据题意得到进而根据二次根数的性质化简即可.
7．（2024八下·保山期中）如果，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
，
解得： ，
x的取值范围是 .
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质得到，移项即可得到答案.
8．（2025八下·浙江月考）一次函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一次函数图象、性质与系数的关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过一、四、三象限
令，则，观察图象得：
原式
故答案为：.
【分析】由一次函数的大致位置可判断出的符号分别为“”，令函数值等于0可求出直线与轴的交点坐标结合图象知小于且大于，则可判断出与的正负，再根据可化原式为含绝对值代数式的化简，此时根据绝对值的性质进行化简，再利用整式的加减运算进行计算即可.
二、填空题
9． 化简 ， ， ， ， ，
【答案】；；；；；20
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：第1空、.
故答案为：.
第2空、.
故答案为：.
第3空、 ，.
故答案为：.
第4空、 .
故答案为：.
第5空、.
故答案为：.
第6空、.
故答案为：20.
【分析】化简二次根式的步骤通常包括以下几步：
1、分解被开方数：将被开方数分解为一个完全平方数（或几个完全平方数的乘积）与另一个数的乘积；
2、提取平方根：对于分解出的每个完全平方数，其平方根可以被提取出根号；
3、简化根号下的乘积：如果被开方数是几个完全平方数的乘积，那么可以将每个平方数的根提取出来，然后相乘；
4、处理非完全平方数：对于非完全平方数的部分，如果无法进一步分解为平方数，那么就保持在根号下；
5、整理结果：将提取出的平方根与根号下的非平方数部分组合，得到化简后的二次根式.
10．（2024八下·惠城期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．
【答案】1
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】根据题意，得，
∴
．
故答案为：．
【分析】
根据数轴上的位置，a位于1和2之间，即111．（2021八下·江油期末）若是正整数，则整数n的最小值为 .
【答案】21
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵189＝21×9，
∴是整数的正整数n的最小值是21.
故答案为：21.
【分析】根据算术平方根的定义，得出189n是一个正整数数的平方，结合求整数n的最小值，即可解答.
12．（2025八下·东莞期中）对于任意不相等的两个实数，，定义运算“*”如下：，例如，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据题中的运算定义，利用二次根式的性质计算求解即可。
13．（2025八下·永康月考）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：观察数轴知：
故答案为：.
【分析】由 知，可先把二次根式的加减运算转化为含绝对值的代数式的加减运算，再根据数轴可确定绝对值符号内的代数式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再去括号并合并同类项即可.
14．（2024八下·钱塘期中）已知，当x分别取时，所对应y值的总和是 ．
【答案】2024
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当时，
当时，
∴所对应y值的总和是：
故答案为：2044．
【分析】由于，可根据的值对原式进行化简，再进行整式的加法运算即可.
15．（2024八下·镇海区期末）若，则的取值范围是 .
【答案】a≤1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由得|a-1|-|2-a|=-1，
①当a≤1时，有1-a-(2-a)=-1去括号得-1=-1，符合题意；
②当a≥2时，有a-1-(a-2)=-1去括号得1=-1，不符合题意；
③当1综合所述：a≤1
故答案为：a≤1.
【分析】化简二次根式后分a≤1，a≥2，1三、解答题
16．（2024八下·旌阳期中）（1）已知，求的平方根．
（2）当时，化简．
【答案】解：（1），
∴且
，
解得，
，
，
∵4的平方根是．
∴的平方根是．
（2）∵，
∴
．
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性；开平方（求平方根）
【解析】【分析】
（1）先根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式组，解之求出x的值，把求得的x的值代入已知的等式求得y的值，然后把x、y的值代入求出代数式的值，再求它的平方根即可；
（2）x的范围""可判断x+4＞0，x-1＜0，根据完全平方公式和二次根式的性质得到 再根据绝对值的非负性化简即可求解．
17．（2022八下·宾阳期中）【阅读材料】宾宾在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如： ；
.
（1）【类比归纳】
请你仿照宾宾的方法将 化成另一个式子的平方；
（2）请运用宾宾的方法化简； .
（3）【变式探究】
若 ，且a，m，n均为正整数，则 .
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）10或22
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（3）解：∵ ， ， ∴ ， ， ∵a，m，n均为正整数， ∴ ， ∴ 或 . 故答案为：10或22
【分析】（1）原式可变形为(2+5)+，据此可将其化为另一个式子的平方；
（2）同理可将原式变形为，然后结合二次根式的性质进行化简；
（3）根据完全平方公式可得(+)2=m+n+，结合已知条件可得m+n=a，mn=21，结合a、m、n均为正整数可得a的值.
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