浙教版数学八年级下册 1.2 二次根式的性质 三阶训练
一、选择题
1．（2024八下·玉州期中）在二次根式中，最简二次根式个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
3．（2024八下·南明月考）实数 在 数 轴上对应点的位置如图所示， 化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．若正比例函数 的图象经过第一、三象限， 则 的化简结果是 ( )
A． B． C． D．
5．（2024八下·潮南期中）如图，，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·乳源期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2024八下·湖北期中）已知、满足，则（ ）
A．4 B．8 C．2024 D．4048
8．（2024八下·掇刀月考） 化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八下·翁源期中）已知，化简 ．
10．（2024八下·长沙期中）已知，求 ．
11．若 为整数，且 是自然数，则 的值为
12．（2024八下·温州期中） 已知，则的值为 ．
13．（2024八下·嘉善期末）非零实数，满足，则 ．
14．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
15．（2020八下·龙口期中）已知实数a满足|2014-a|+ =a，那么a-20142+1的值是 ．
三、解答题
16．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值
17．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
是最简二次根式；
是最简二次根式；
∴ 最简二次根式有3个．
故答案为：B．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
3．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知，，，a-b>0，
∴
故答案为：C
【分析】先根据实数在数轴上的表示得到，，，a-b>0，进而化简二次根式即可求解。
4．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：正比例函数 的图象经过第一、三象限，
，解得，
.
故答案为：C.
【分析】利用一次函数图象的性质求得，再通过二次根式的性质化简得结果.
5．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可得：，，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用数轴判断出，，再利用二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的概念；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为6，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方数的定义可得，再求出n的最小值即可.
7．【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】由题意知c-2025≥0且2025-c≥0，即有c≥2025且c≤2025，故c=2025；于是有，而|2023-a|≥0，2024-b≥0，故a=2023，b=2024，
故
答案：A.
【分析】由二次根式的非负性、绝对值的非负性可得a，b，c的值，即可得结果.
8．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意得，a-1＞0，则a＞1，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得a＞1，再根据二次根式的性质进行化简即可.
9．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a＜0，
∴-a3＞0.
∴.
故答案为：.
【分析】化简过程中要注意的处理，因为a＜0，所以开方出来后要加负号.
10．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数建立不等式组，求解得出x的值，进而代入原等式求出y的值，最后将x、y的值代入待求式子计算化简即可.
11．【答案】0或-2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：设=n，
∴a2+2a+4=n2，即(a+1)2+3=n2，
∴(a+1-n)(a+1+n）=-3，
∵a为整数，且n是自然数，
∴或
解得a=-2或a=0.
故答案为：0或-2.
【分析】设=n，将此式两边同时平方并整理可得(a+1-n)(a+1+n）=-3，根据a为整数，且n是自然数，可得或，求解即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴被开方数，即，
∴原式化简得：，
整理得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可判断x的范围，根据所得的x的范围将原等式化简，可求得x的值，把x的值代入所求代数式计算即可求解.
13．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：
两边同时乘以，
可得：，
整理得：
∴
∴
把代入得：
原式
故答案为：
【分析】等式两边同乘，运用平方差公式可得，整理得与的关系式；代入，通分化简即可．
14．【答案】2027
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
15．【答案】2016
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵a-2015≥0，
∴ ，
∴原式可变形为：a-2014+ a，
∴a-2015=20142，
∴a=20142+2015，
∴a-20142+1=20142+2015-20142+1=2016.
故答案为：2016.
【分析】直接利用二次根式有意义的条阿金以及结合绝对值的性质将已知化简，进而求出答案。
16．【答案】解：∵，
当的值越大时，即的值越大；
此时n取值越小；
∵是整数，n为正整数，
∴时，n的值最小；
∴n的最小值为3；
当的值越小时，即的值越小；
此时，n取值越大；
又∵是大于1的整数，
∴时，n的值最大；
此时，
解得：n=75；
故n的最小值是3，最大值是75.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）、根据积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）和二次根式的性质：（a≥0）可得；结合题意即可求解.
17．【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
1 / 1浙教版数学八年级下册 1.2 二次根式的性质 三阶训练
一、选择题
1．（2024八下·玉州期中）在二次根式中，最简二次根式个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
是最简二次根式；
是最简二次根式；
∴ 最简二次根式有3个．
故答案为：B．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可.
2．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
3．（2024八下·南明月考）实数 在 数 轴上对应点的位置如图所示， 化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知，，，a-b>0，
∴
故答案为：C
【分析】先根据实数在数轴上的表示得到，，，a-b>0，进而化简二次根式即可求解。
4．若正比例函数 的图象经过第一、三象限， 则 的化简结果是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：正比例函数 的图象经过第一、三象限，
，解得，
.
故答案为：C.
【分析】利用一次函数图象的性质求得，再通过二次根式的性质化简得结果.
5．（2024八下·潮南期中）如图，，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可得：，，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用数轴判断出，，再利用二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可.
6．（2024八下·乳源期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】二次根式的概念；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为6，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方数的定义可得，再求出n的最小值即可.
7．（2024八下·湖北期中）已知、满足，则（ ）
A．4 B．8 C．2024 D．4048
【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】由题意知c-2025≥0且2025-c≥0，即有c≥2025且c≤2025，故c=2025；于是有，而|2023-a|≥0，2024-b≥0，故a=2023，b=2024，
故
答案：A.
【分析】由二次根式的非负性、绝对值的非负性可得a，b，c的值，即可得结果.
8．（2024八下·掇刀月考） 化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据题意得，a-1＞0，则a＞1，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得a＞1，再根据二次根式的性质进行化简即可.
二、填空题
9．（2024八下·翁源期中）已知，化简 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵a＜0，
∴-a3＞0.
∴.
故答案为：.
【分析】化简过程中要注意的处理，因为a＜0，所以开方出来后要加负号.
10．（2024八下·长沙期中）已知，求 ．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数建立不等式组，求解得出x的值，进而代入原等式求出y的值，最后将x、y的值代入待求式子计算化简即可.
11．若 为整数，且 是自然数，则 的值为
【答案】0或-2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：设=n，
∴a2+2a+4=n2，即(a+1)2+3=n2，
∴(a+1-n)(a+1+n）=-3，
∵a为整数，且n是自然数，
∴或
解得a=-2或a=0.
故答案为：0或-2.
【分析】设=n，将此式两边同时平方并整理可得(a+1-n)(a+1+n）=-3，根据a为整数，且n是自然数，可得或，求解即可得出答案.
12．（2024八下·温州期中） 已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴被开方数，即，
∴原式化简得：，
整理得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可判断x的范围，根据所得的x的范围将原等式化简，可求得x的值，把x的值代入所求代数式计算即可求解.
13．（2024八下·嘉善期末）非零实数，满足，则 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：
两边同时乘以，
可得：，
整理得：
∴
∴
把代入得：
原式
故答案为：
【分析】等式两边同乘，运用平方差公式可得，整理得与的关系式；代入，通分化简即可．
14．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
【答案】2027
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
15．（2020八下·龙口期中）已知实数a满足|2014-a|+ =a，那么a-20142+1的值是 ．
【答案】2016
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵a-2015≥0，
∴ ，
∴原式可变形为：a-2014+ a，
∴a-2015=20142，
∴a=20142+2015，
∴a-20142+1=20142+2015-20142+1=2016.
故答案为：2016.
【分析】直接利用二次根式有意义的条阿金以及结合绝对值的性质将已知化简，进而求出答案。
三、解答题
16．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值
【答案】解：∵，
当的值越大时，即的值越大；
此时n取值越小；
∵是整数，n为正整数，
∴时，n的值最小；
∴n的最小值为3；
当的值越小时，即的值越小；
此时，n取值越大；
又∵是大于1的整数，
∴时，n的值最大；
此时，
解得：n=75；
故n的最小值是3，最大值是75.
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）、根据积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）和二次根式的性质：（a≥0）可得；结合题意即可求解.
17．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
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