浙教版数学八年级下册 1.3 二次根式的运算 一阶训练
一、选择题
1．（2025八下·江门期末）的计算结果是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法公式，计算即可解答.
2．（2022八下·婺城期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、3和不能合并，故该选项不符合题意；
B、原式，故该选项符合题意；
C、原式，故该选项不符合题意；
D、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断A、D；二次根式的加减法，就是合并同类二次根式，合并同类二次根式的时候，只把同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，据此可判断B、C.
3．（2023八下·惠城月考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】
本题考查二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
二次根式的乘法法则：；二次根式的性质：，二次根式的被开方数必须≥0；
选项A：根据二次根式的加法计算法则可知：，故此选项不合题意；
选项B：根据二次根式乘法的计算法则可知：，再根据二次根式有意义的条件：被开方数必须大于等于0可知：不存在，故此选项不合题意；
选项C：根据二次根式乘法的计算法则可知：，故此选项符合题意；
选项D：根据二次根式除法的计算法则可知：，故此选项不合题意；由此可判断出答案．
4．（2025八下·温州期中） 化简，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： C.
【分析】根据二次根式计算法则计算即可.
5．长方形的相邻两边长分别为 则它的周长和面积分别是（ ）
A．，4 B．2 ，4 C．4，3 D．6 ，4
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得 长方形的周长=2(+)=2(+2)=2×3=6，
长方形的面积=×=×2=4.
故答案为：D.
【分析】根据长方形的周长公式：2（长+宽）与面积公式：长×宽，分别计算其周长和面积即可.
6．（2023八下·拱墅期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解： ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案.
7．（2025八下·越城期中）下列各式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：对A选项，，无法与合并 ，故A不符合题意；
对B选项，，无法与合并 ，故B不符合题意；
对C选项，，能与合并 ，故C符合题意；
对D选项，a值无法确定，无法与合并 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别化简各选项的二次根式，即可判断.
8．（2022八下·阜平期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再求出a的值即可。
二、填空题
9． 填空： [ - ]
【答案】3；1；2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：=
故答案为：3；1；2.
【分析】根据同类二次根式合并法则进行计算即可.
10． 填空： =
【答案】 ；
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：；.
【分析】根据进行计算.
11．（2024八下·阿克苏月考）计算： ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先化简二次跟上，再合并同类二次根式即可．
12．（2025八下·江门期末）计算的结果是 .
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先化简括号里的二次根式得到，再合并后进行除法运算即可解答.
13．（2025八下·宁海期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 .
【答案】3
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴
∴
故答案为：3.
【分析】根据同类二次根式是指在化简至最简形式后，被开方数相同的二次根式，据此得到方程解此方程即可求解.
14．（2024八下·回民期中）比较大小： ．（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的方法（将无理数转换为有理数比较）分析求解即可.
15．（2024八下·金平期中）已知三角形的三边为2，2，，则这个三角形是 三角形．
【答案】等腰直角
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理的逆定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：，且，
这个三角形是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
【分析】
根据，且，即可判断出这个三角形是等腰直角三角形．
16．（2024八下·苍梧期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】5
【知识点】同类二次根式；解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据同类二次根式的定义可得它们的被开方数相等，即：，解之即可求解．
三、解答题
17．（2025八下·诸暨期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=2+2
=4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）同类二次根式的加减运算时，依据 “同类二次根式可以合并，合并时将系数相加减，根式部分保持不变” 的规则合并同类项即可.
（2）根据二次根式的性质（）和算术平方根的定义（一个正数的算术平方根是其正的平方根），即可求出答案.
18．（2025八下·北仑期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用平方差公式进行运算，结合二次根式的性质即可；
（2）利用乘法分配律，结合二次根式的乘法运算法则即可.
19．（2024八下·庄浪期末）已知矩形的长，宽．
（1）求该矩形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长．
【答案】（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
∵正方形和该矩形面积相等，
∴正方形的边长．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据矩形周长公式先列式，然后利用二次根式的性质先化简再求和即可；
（2）先通过二次根式的乘法计算出矩形的面积，进而根据面积相等求出正方形的边长．
（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
根据面积相等，则正方形的边长．
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一、选择题
1．（2025八下·江门期末）的计算结果是（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2022八下·婺城期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·惠城月考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·温州期中） 化简，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．长方形的相邻两边长分别为 则它的周长和面积分别是（ ）
A．，4 B．2 ，4 C．4，3 D．6 ，4
6．（2023八下·拱墅期末）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八下·越城期中）下列各式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八下·阜平期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
二、填空题
9． 填空： [ - ]
10． 填空： =
11．（2024八下·阿克苏月考）计算： ．
12．（2025八下·江门期末）计算的结果是 .
13．（2025八下·宁海期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 .
14．（2024八下·回民期中）比较大小： ．（填“”“”或“”）
15．（2024八下·金平期中）已知三角形的三边为2，2，，则这个三角形是 三角形．
16．（2024八下·苍梧期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
三、解答题
17．（2025八下·诸暨期末）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·北仑期末）计算：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·庄浪期末）已知矩形的长，宽．
（1）求该矩形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该矩形的面积相等，试计算该正方形的边长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法公式，计算即可解答.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、3和不能合并，故该选项不符合题意；
B、原式，故该选项符合题意；
C、原式，故该选项不符合题意；
D、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断A、D；二次根式的加减法，就是合并同类二次根式，合并同类二次根式的时候，只把同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，据此可判断B、C.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】
本题考查二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
二次根式的乘法法则：；二次根式的性质：，二次根式的被开方数必须≥0；
选项A：根据二次根式的加法计算法则可知：，故此选项不合题意；
选项B：根据二次根式乘法的计算法则可知：，再根据二次根式有意义的条件：被开方数必须大于等于0可知：不存在，故此选项不合题意；
选项C：根据二次根式乘法的计算法则可知：，故此选项符合题意；
选项D：根据二次根式除法的计算法则可知：，故此选项不合题意；由此可判断出答案．
4．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： C.
【分析】根据二次根式计算法则计算即可.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得 长方形的周长=2(+)=2(+2)=2×3=6，
长方形的面积=×=×2=4.
故答案为：D.
【分析】根据长方形的周长公式：2（长+宽）与面积公式：长×宽，分别计算其周长和面积即可.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解： ，
未知数项的系数化为1，得.
故答案为：C.
【分析】根据等式的性质，在等式的两边都除以未知数项的系数“”将未知数项的系数化为1，结合二次根式的除法法则计算可得答案.
7．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：对A选项，，无法与合并 ，故A不符合题意；
对B选项，，无法与合并 ，故B不符合题意；
对C选项，，能与合并 ，故C符合题意；
对D选项，a值无法确定，无法与合并 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别化简各选项的二次根式，即可判断.
8．【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，再求出a的值即可。
9．【答案】3；1；2
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：=
故答案为：3；1；2.
【分析】根据同类二次根式合并法则进行计算即可.
10．【答案】 ；
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：；.
【分析】根据进行计算.
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先化简二次跟上，再合并同类二次根式即可．
12．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先化简括号里的二次根式得到，再合并后进行除法运算即可解答.
13．【答案】3
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴
∴
故答案为：3.
【分析】根据同类二次根式是指在化简至最简形式后，被开方数相同的二次根式，据此得到方程解此方程即可求解.
14．【答案】
【知识点】实数的大小比较；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】利用估算无理数大小的方法（将无理数转换为有理数比较）分析求解即可.
15．【答案】等腰直角
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理的逆定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：，且，
这个三角形是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
【分析】
根据，且，即可判断出这个三角形是等腰直角三角形．
16．【答案】5
【知识点】同类二次根式；解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】
根据同类二次根式的定义可得它们的被开方数相等，即：，解之即可求解．
17．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=2+2
=4
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）同类二次根式的加减运算时，依据 “同类二次根式可以合并，合并时将系数相加减，根式部分保持不变” 的规则合并同类项即可.
（2）根据二次根式的性质（）和算术平方根的定义（一个正数的算术平方根是其正的平方根），即可求出答案.
18．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用平方差公式进行运算，结合二次根式的性质即可；
（2）利用乘法分配律，结合二次根式的乘法运算法则即可.
19．【答案】（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
∵正方形和该矩形面积相等，
∴正方形的边长．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据矩形周长公式先列式，然后利用二次根式的性质先化简再求和即可；
（2）先通过二次根式的乘法计算出矩形的面积，进而根据面积相等求出正方形的边长．
（1）解：长方形的周长．
（2）解：长方形的面积，
根据面积相等，则正方形的边长．
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