浙教版数学八年级下册 1.3 二次根式的运算 二阶训练
一、选择题
1．（2025八下·建德月考）下列说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式 B．
C． D．与可以合并
2．（2025八下·江北期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·梓潼期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ABCD，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八下·南丹期中）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·横州期中）计算的结果是（ ）
A． B．4 C． D．
7．（2025八下·梓潼期中）估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
8．（2025八下·浙江期中） 若的小数部分是a，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
9．（2024八下·江门期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ．
10．（2023八下·宁武期中）已知，则 ．
11．（2023八下·武清期末）计算的结果等于 ．
12．（2025八下·广安期中）已知都是实数，若，则称与是关于1的“平衡数”.则与 是关于1的“平衡数”.
13．（2024八下·潍城期中）如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为 ．
14． 若 ， 则 的值为
三、解答题
15．（2024八下·麒麟月考）计算：已知，，，求的值．
16．（2025八下·江海期末）在解决问题“已知，求（a﹣2）2的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3．
请你观察小明的解答过程后，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求2a2+4a﹣1的值．
17．（2025八下·温州期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题．
（1） ；
（2）求的值．
（3）比较 （用“”、“”或“”填空）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较；最简二次根式；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，，即与可以合并，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】通过化简二次根式、比较负数大小、绝对值性质及同类二次根式的定义进行判断.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A 与不是同类型，不可合并，故A项不符合题意；
B ，故B项不符合题意；
C ，故C项符合题意；
D ，故D项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减法和乘除法，逐一计算即可.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
本题考查二次根式的性质化简，二次根式的减法运算法则，完全平方公式和二次根式的除法，
根据二次根式的运算规则：二次根式的加减、乘方、化简及除法运算、完全平方公式，分别对每个选项进行分析计算即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：由题意，得AB2=75，
∴AB==5.
∵AE=3，
∴BE=5-3=2，
∴小正方形的边长为3-2=，
∴这个小正方形的周长为4×=4.
故选B.
【分析】根据大正方形的面积得其边长，结合图形及AE的长确定小正方形的边长，从而计算小正方形的周长.
5．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，二次根式的加法就是合并同类二次根式，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A；根据二次根式的除法法则“二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除”可判断B；根据平方差公式（a-b）（a+b）=a2-b2及=a，可判断C；对于D中的式子，先将分子中的各个二次根式化为最简二次根式再合并，然后根据二次根式的除法法则进行计算，据此即可判断D.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
原式
故答案为：D．
【分析】利用积的乘方运算法则转化为进行化简运算即可．
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
；
∵，
∴，
∴
∴，
即在4到5之间．
故答案为：B．
【分析】
，再根据二次根式的乘法法则：进行化简，再通过比较被开方数与完全平方数的大小，利用算术平方根的性质估算的范围，进而确定整个式子的取值范围，由此可得出答案．
8．【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵4<6<9，
∴，
∴，
∴整数部分是1，小时部分是，
∴原式=
故答案为：D.
【分析】 首先需要确定的整数部分，进而可确定 的整数和小数部分 ，然后代入代数式进行计算并化简得到最简结果即可。
9．【答案】8
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：最简二次根式与最简二次根式相等，
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【分析】利用同类二次根式和最简二次根式的定义可得，求出m、n的值，再将其代入m+n计算即可.
10．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的化简求值；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据根式的双重非负性可知
而
∴
∴a-3=0 且 2-b=0
解得：a=3 b=2
∴原式===
【分析】考查根式的双重非负性，即
11．【答案】7
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】，
故答案为：7.
【分析】利用平方差公式及二次根式的性质求解即可.
12．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：设 与x是关于1的“平衡数”，
则
解得
故答案为： .
【分析】根据平衡数的定义和题意，可以列出相应的方程，然后即可求得 关于1的“平衡数”.
13．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵三个正方形的面积分别为2、3、6，
∴三个正方形边长分别为：，阴影部分长为，宽为，
S阴影部分=，
故答案为：
【分析】阴影部分的长=小正方形的边长， 阴影部分的宽=小正方形的边长-（大正方形的边长-中正方形的边长），由此先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积．
14．【答案】-5
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：根据条件，
故答案为：-5.
【分析】给定了a和b的具体值，首先需要将这两个值代入到给定的代数式中，然后利用二次根式的运算规则、平方差公式来化简和求解.
15．【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】将代数式 变形得到，再代数求解即可．
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
∴2a2+4a﹣1
＝2（a2+2a+1）﹣3
＝2（a+1）2﹣3
＝2×2﹣3
＝4﹣3
＝1．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）二次根式的分母有理化，通过分子分母同乘进行化简。
（2）二次根式的分母有理化，通过分子分母同乘进行化简后代入2a2+4a﹣1运算即可。
17．【答案】（1）
（2）解：
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： (1)；
(2)
(3)，
，
由于，
故对应的倒数，
即 。
【分析】 (1) 根据发现，将2化为，将所给式子进行分母有理化，化简即可；
(2)根据题一的计算，发现运算规律，进一步利用规律，即根据分母有理化的性质进行化简，将所有项展开后， 抵消中间项 ，累加求和；
(3) 无法直接比较，通过上述（1）（2）规律，通过对规律逆运用，通分比较分母的大小关系比较.
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一、选择题
1．（2025八下·建德月考）下列说法正确的是（ ）
A．是最简二次根式 B．
C． D．与可以合并
【答案】D
【知识点】实数的大小比较；最简二次根式；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，，即与可以合并，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】通过化简二次根式、比较负数大小、绝对值性质及同类二次根式的定义进行判断.
2．（2025八下·江北期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A 与不是同类型，不可合并，故A项不符合题意；
B ，故B项不符合题意；
C ，故C项符合题意；
D ，故D项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减法和乘除法，逐一计算即可.
3．（2025八下·梓潼期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
本题考查二次根式的性质化简，二次根式的减法运算法则，完全平方公式和二次根式的除法，
根据二次根式的运算规则：二次根式的加减、乘方、化简及除法运算、完全平方公式，分别对每个选项进行分析计算即可得出答案.
4．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ABCD，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：由题意，得AB2=75，
∴AB==5.
∵AE=3，
∴BE=5-3=2，
∴小正方形的边长为3-2=，
∴这个小正方形的周长为4×=4.
故选B.
【分析】根据大正方形的面积得其边长，结合图形及AE的长确定小正方形的边长，从而计算小正方形的周长.
5．（2021八下·南丹期中）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，二次根式的加法就是合并同类二次根式，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A；根据二次根式的除法法则“二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除”可判断B；根据平方差公式（a-b）（a+b）=a2-b2及=a，可判断C；对于D中的式子，先将分子中的各个二次根式化为最简二次根式再合并，然后根据二次根式的除法法则进行计算，据此即可判断D.
6．（2024八下·横州期中）计算的结果是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
原式
故答案为：D．
【分析】利用积的乘方运算法则转化为进行化简运算即可．
7．（2025八下·梓潼期中）估计的值在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
；
∵，
∴，
∴
∴，
即在4到5之间．
故答案为：B．
【分析】
，再根据二次根式的乘法法则：进行化简，再通过比较被开方数与完全平方数的大小，利用算术平方根的性质估算的范围，进而确定整个式子的取值范围，由此可得出答案．
8．（2025八下·浙江期中） 若的小数部分是a，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵4<6<9，
∴，
∴，
∴整数部分是1，小时部分是，
∴原式=
故答案为：D.
【分析】 首先需要确定的整数部分，进而可确定 的整数和小数部分 ，然后代入代数式进行计算并化简得到最简结果即可。
二、填空题
9．（2024八下·江门期中）若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ．
【答案】8
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：最简二次根式与最简二次根式相等，
∴
解得：
∴，
故答案为：．
【分析】利用同类二次根式和最简二次根式的定义可得，求出m、n的值，再将其代入m+n计算即可.
10．（2023八下·宁武期中）已知，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的化简求值；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据根式的双重非负性可知
而
∴
∴a-3=0 且 2-b=0
解得：a=3 b=2
∴原式===
【分析】考查根式的双重非负性，即
11．（2023八下·武清期末）计算的结果等于 ．
【答案】7
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】，
故答案为：7.
【分析】利用平方差公式及二次根式的性质求解即可.
12．（2025八下·广安期中）已知都是实数，若，则称与是关于1的“平衡数”.则与 是关于1的“平衡数”.
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：设 与x是关于1的“平衡数”，
则
解得
故答案为： .
【分析】根据平衡数的定义和题意，可以列出相应的方程，然后即可求得 关于1的“平衡数”.
13．（2024八下·潍城期中）如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵三个正方形的面积分别为2、3、6，
∴三个正方形边长分别为：，阴影部分长为，宽为，
S阴影部分=，
故答案为：
【分析】阴影部分的长=小正方形的边长， 阴影部分的宽=小正方形的边长-（大正方形的边长-中正方形的边长），由此先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积．
14． 若 ， 则 的值为
【答案】-5
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：根据条件，
故答案为：-5.
【分析】给定了a和b的具体值，首先需要将这两个值代入到给定的代数式中，然后利用二次根式的运算规则、平方差公式来化简和求解.
三、解答题
15．（2024八下·麒麟月考）计算：已知，，，求的值．
【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】将代数式 变形得到，再代数求解即可．
16．（2025八下·江海期末）在解决问题“已知，求（a﹣2）2的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3．
请你观察小明的解答过程后，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求2a2+4a﹣1的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
∴2a2+4a﹣1
＝2（a2+2a+1）﹣3
＝2（a+1）2﹣3
＝2×2﹣3
＝4﹣3
＝1．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）二次根式的分母有理化，通过分子分母同乘进行化简。
（2）二次根式的分母有理化，通过分子分母同乘进行化简后代入2a2+4a﹣1运算即可。
17．（2025八下·温州期中）①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题．
（1） ；
（2）求的值．
（3）比较 （用“”、“”或“”填空）．
【答案】（1）
（2）解：
（3）
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： (1)；
(2)
(3)，
，
由于，
故对应的倒数，
即 。
【分析】 (1) 根据发现，将2化为，将所给式子进行分母有理化，化简即可；
(2)根据题一的计算，发现运算规律，进一步利用规律，即根据分母有理化的性质进行化简，将所有项展开后， 抵消中间项 ，累加求和；
(3) 无法直接比较，通过上述（1）（2）规律，通过对规律逆运用，通分比较分母的大小关系比较.
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