浙教版数学八年级下册 1.3 二次根式的运算 三阶训练
一、选择题
1．（2025八下·梓潼月考）下列各式中，计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，故选项A不符合题意；
B.，故选项B不符合题意；
C.，故选项C不符合题意；
D.，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加，减，乘，除，运算法则进行计算并判断即可．
2．（2019八下·富顺期中）已知 ，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】m=（- ）×（-2 ），
= ，
= ×3 =2
= ，
∵ ，
∴5＜ ＜6，
即5＜m＜6，
故答案为：A．
【分析】求出m的值，求出2 ）的范围5＜m＜6，即可得出选项．
3．（2025八下·温州期末）若算式（2+2√2）※（1+√2）的结果是有理数，则※表示的运算符号是（ ）
A．+ B．一 C．x D．÷
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是无理数，不符合题意；
C、，是无理数，不符合题意；
D、，是有理数，符合题意；
故答案为：D.
【分析】将符号代入式子分别计算，再根据有理数的定义进行判断即可.
4．（2025八下·南沙月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，
故答案为：A．
【分析】把h=25和h=50代入分别求出、，再计算与的比值即可得解.
5．（2024八下·麒麟期中） 若，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x=1
∴2x＋1＝＝
故答案为：A
【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟知完全公式的灵活运用是解题关键，将代数式x＋1化简为，将x的值代入即可得出答案.
6． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据，把与成，再依据计算，再计算与后一个因式相乘即可。
7．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
8．（2024八下·开州期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有( )
；
的小数部分为；
；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵的整数部分为2，小数部分为，
根据题意得，其整数部分为6，小数部分为；
，其整数部分为10，小数部分为；
，其整数部分为14，小数部分为；
，其整数部分为18，小数部分为；
，其整数部分为22，小数部分为；
，其整数部分为26，小数部分为；
…
，
∴①，故①正确；
②a2025的小数部分为，故②正确；
③，故③错误；
④
=
=
=
=
=
=
=
故④正确，
故答案为：C.
【分析】根据定义分别求出，从而找到an的规律，再逐个判断即可.
二、填空题
9．（2025八下·义乌月考）若，则a3-11a2+9a+8的值为 .
【答案】7
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：；
即代入；
=
=(26+10+25)（）++45+8
=(10+51)（）++45+8
=10×（）+51×（）++45+8
=260-60+51-306+9+53
=7
故答案为：7.
【分析】先对a 进行分母有理化，然后将化简后的a值代入式子，通过对式子进行变形和化简来求值。
10．（2024八下·平湖期末）已知，则的值为 ．
【答案】32
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：32．
【分析】先将，b分母有理化，再将代数式配方，然后代入求解．
11．（2025八下·浙江期中）如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，
∴三个正方形的边长分别为 ， 4， 5，
∴阴影部分长为 宽为
∴阴影部分面积为
故答案为：
【分析】先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积.
12．（2024八下·桃源期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；等腰三角形的性质；勾股定理；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，则
当直线经过点时，，，
当直线向右平移经过点时，与相交于点，
此时，，，
∴，，
∵ 轴，直线与轴的夹角为，
∴，
∴三角形DHB是等腰直角三角形
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据图形可得到，，再根据直线与轴的夹角为，得到，从而可利用勾股定理求出BH，进而求得AH，再得到，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
13．（2024八下·阳新）已知实数、满足等式，则 ．
【答案】5
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】由已知得m-3+n≥0且3-m-n≥0得m+n≥3且m+n≤3，故m+n=3，3m+5n=3m+3n+2n=9+2n，代入得，于是7+2n-p=0，3-2n-p=0，得p=5
答案：5.
【分析】 根据被开方数大于等于0列式求出的值，再根据非负数的性质列出方程组，然后求解即可．
14．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
【答案】2.5
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值.
三、解答题
15．阅读学习：
计算：
可以用下面的方法解决上面的问题：
利用上面的方法解决下列问题：
（1）计算：
（2）当 n= 时，等式 成立.
【答案】（1）解：原式=(-)+(-)+(-)+…+(-)
=(1-)+(-)+(-)+…+(-)
=1-
=.
（2）1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：(2)∵++=，
∴-+-+-=，
∴=，
解得n=1.
故答案为：1.【分析】（1）将算式中每一项进行裂项相消计算即可.
（2）对进行化简得=，解出n的值即可.
16．（2025八下·慈溪期中）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值. 他是这样分析与解答的：
，
∴a-2=-
∴（a-2）2=3，即a2-4a+4=3
∴a2-4a=-1
∴2a2-8a+1=2（a2-4a）+1=2×（-1）+1=-1.
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： .
（2）计算： .
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）9
（3）解：∵
∴a-2=
∴（a-2）2=5，即a2-4a+4=5
∴a2-4a=1
∴3a2-12a-1=3（a2-4a）-1=3×1-1=2
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：.
(2)原式
=10-1
=9.
故答案为：9.
【分析】(1)分母有理化即可；
(2)先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(3)先分母有理化求出，再求出，两边平方后求出a2-4a=1，再求出代数式的值即可.
17．（2024八下·东莞期中）小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务，
题目：已知在中，，求的面积， 思路1：可以利用八年级下册课本16页“阅读与思考”中的海伦－秦九韶公式求的面积， 海伦公式，，其中， 秦九韶公式，， 思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角耏，将的面积．
（1）请根据思路1的公式，求的面积；
（2）请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务，
①画出，要求三个顶点都在格点上；
②结合图形，写出面积的计算过程．
【答案】（1）解：由题意，得
．
（2）①如图，即为所求．（画法不唯一）
②过点作于点，由题意，得．
．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】
（1）将，，代入海伦-秦九韶公式进行计算，即可求解；
（2）①按要求作图，即可求解；②过点作于点，由三角形面积公式即可求解．
1 / 1浙教版数学八年级下册 1.3 二次根式的运算 三阶训练
一、选择题
1．（2025八下·梓潼月考）下列各式中，计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八下·富顺期中）已知 ，则有（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·温州期末）若算式（2+2√2）※（1+√2）的结果是有理数，则※表示的运算符号是（ ）
A．+ B．一 C．x D．÷
4．（2025八下·南沙月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·麒麟期中） 若，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
6． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
7．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
8．（2024八下·开州期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，，，如的整数部分为，小数部分为所以根据以上信息，下列说法正确的有( )
；
的小数部分为；
；
．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
9．（2025八下·义乌月考）若，则a3-11a2+9a+8的值为 .
10．（2024八下·平湖期末）已知，则的值为 ．
11．（2025八下·浙江期中）如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为 ．
12．（2024八下·桃源期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为
13．（2024八下·阳新）已知实数、满足等式，则 ．
14．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册第16章 二次根式 单元检测）已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
三、解答题
15．阅读学习：
计算：
可以用下面的方法解决上面的问题：
利用上面的方法解决下列问题：
（1）计算：
（2）当 n= 时，等式 成立.
16．（2025八下·慈溪期中）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求的值. 他是这样分析与解答的：
，
∴a-2=-
∴（a-2）2=3，即a2-4a+4=3
∴a2-4a=-1
∴2a2-8a+1=2（a2-4a）+1=2×（-1）+1=-1.
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： .
（2）计算： .
（3）若，求的值.
17．（2024八下·东莞期中）小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务，
题目：已知在中，，求的面积， 思路1：可以利用八年级下册课本16页“阅读与思考”中的海伦－秦九韶公式求的面积， 海伦公式，，其中， 秦九韶公式，， 思路2：可以利用勾股定理在正方形网格中构造三角耏，将的面积．
（1）请根据思路1的公式，求的面积；
（2）请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务，
①画出，要求三个顶点都在格点上；
②结合图形，写出面积的计算过程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，故选项A不符合题意；
B.，故选项B不符合题意；
C.，故选项C不符合题意；
D.，故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加，减，乘，除，运算法则进行计算并判断即可．
2．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】m=（- ）×（-2 ），
= ，
= ×3 =2
= ，
∵ ，
∴5＜ ＜6，
即5＜m＜6，
故答案为：A．
【分析】求出m的值，求出2 ）的范围5＜m＜6，即可得出选项．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是无理数，不符合题意；
C、，是无理数，不符合题意；
D、，是有理数，符合题意；
故答案为：D.
【分析】将符号代入式子分别计算，再根据有理数的定义进行判断即可.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：，，
∴，
故答案为：A．
【分析】把h=25和h=50代入分别求出、，再计算与的比值即可得解.
5．【答案】A
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x=1
∴2x＋1＝＝
故答案为：A
【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟知完全公式的灵活运用是解题关键，将代数式x＋1化简为，将x的值代入即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据，把与成，再依据计算，再计算与后一个因式相乘即可。
7．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵的整数部分为2，小数部分为，
根据题意得，其整数部分为6，小数部分为；
，其整数部分为10，小数部分为；
，其整数部分为14，小数部分为；
，其整数部分为18，小数部分为；
，其整数部分为22，小数部分为；
，其整数部分为26，小数部分为；
…
，
∴①，故①正确；
②a2025的小数部分为，故②正确；
③，故③错误；
④
=
=
=
=
=
=
=
故④正确，
故答案为：C.
【分析】根据定义分别求出，从而找到an的规律，再逐个判断即可.
9．【答案】7
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：；
即代入；
=
=(26+10+25)（）++45+8
=(10+51)（）++45+8
=10×（）+51×（）++45+8
=260-60+51-306+9+53
=7
故答案为：7.
【分析】先对a 进行分母有理化，然后将化简后的a值代入式子，通过对式子进行变形和化简来求值。
10．【答案】32
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：32．
【分析】先将，b分母有理化，再将代数式配方，然后代入求解．
11．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，
∴三个正方形的边长分别为 ， 4， 5，
∴阴影部分长为 宽为
∴阴影部分面积为
故答案为：
【分析】先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积.
12．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算；等腰三角形的性质；勾股定理；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，则
当直线经过点时，，，
当直线向右平移经过点时，与相交于点，
此时，，，
∴，，
∵ 轴，直线与轴的夹角为，
∴，
∴三角形DHB是等腰直角三角形
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据图形可得到，，再根据直线与轴的夹角为，得到，从而可利用勾股定理求出BH，进而求得AH，再得到，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
13．【答案】5
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】由已知得m-3+n≥0且3-m-n≥0得m+n≥3且m+n≤3，故m+n=3，3m+5n=3m+3n+2n=9+2n，代入得，于是7+2n-p=0，3-2n-p=0，得p=5
答案：5.
【分析】 根据被开方数大于等于0列式求出的值，再根据非负数的性质列出方程组，然后求解即可．
14．【答案】2.5
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值.
15．【答案】（1）解：原式=(-)+(-)+(-)+…+(-)
=(1-)+(-)+(-)+…+(-)
=1-
=.
（2）1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：(2)∵++=，
∴-+-+-=，
∴=，
解得n=1.
故答案为：1.【分析】（1）将算式中每一项进行裂项相消计算即可.
（2）对进行化简得=，解出n的值即可.
16．【答案】（1）
（2）9
（3）解：∵
∴a-2=
∴（a-2）2=5，即a2-4a+4=5
∴a2-4a=1
∴3a2-12a-1=3（a2-4a）-1=3×1-1=2
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：.
(2)原式
=10-1
=9.
故答案为：9.
【分析】(1)分母有理化即可；
(2)先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(3)先分母有理化求出，再求出，两边平方后求出a2-4a=1，再求出代数式的值即可.
17．【答案】（1）解：由题意，得
．
（2）①如图，即为所求．（画法不唯一）
②过点作于点，由题意，得．
．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】
（1）将，，代入海伦-秦九韶公式进行计算，即可求解；
（2）①按要求作图，即可求解；②过点作于点，由三角形面积公式即可求解．
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