浙教版数学八年级下册 2.2.1 一元二次方程的解法 一阶训练
一、选择题
1．（2025八下·深圳期末）用配方法解一元二次方程 下列配方正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 用配方法解
移项，得：，
配方，得：，
即：（x-2）2=7.
故答案为：B .
【分析】用配方法解即可得出配方后的等式。即可得出答案。
2．用直接开平方法解下列一元二次方程， 其中无解的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，故此选项不符合题意；
B、∵x2=0，∴x=0，故此选项不符合题意；
C、∵x2+4=0，∴x2=-4，∵x2≥0，∴此方程无解，故此选项符合题意；
D、-x2+3=0，x2=3，∴x=±，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“x2=m（m≥0）”即可利用直接开平方法求解，据此分别求解每一个选项中的方程，即可判断得出答案.
3．下列方程中， 没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
A：，
整理得，
，∴方程有两个实数根，A不符合；
B：，
∵，∴方程有两个实数根，B不符合；
C：
∵，∴方程无实数根，C符合；
D：，
整理得，
，∴方程有两个实数根，D不符合.
故答案为：C.
【分析】判断一元二次方程是否有实数根，可以通过考查根的判别式来判断。先把方程整理为一般式，再确定a，b，c的值，计算出判别式的值进行判断即可。
4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．． B．．
C．． D．．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项得，，
配方得，，
即．
故答案为：C.
【分析】根据配方法先移项，配方即可求得.
5．一元二次方程 的根为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ x-1=±2，
∴ x1=3，x2=-1.
故答案为：D.
【分析】把（x-1）2=4两边开方得到x-1=±2，然后解两个一元一次方程即可求得.
6．（2023八下·青秀期末）一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2＝5x，
x2-5x＝0，
x（x-5）＝0，
x1＝0，x2＝5，
故答案为：A.
【分析】先移项，将方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
7．（初中数学浙教版八下精彩练习2.2一元二次方程的解法（2））一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+6=4，则另一个是（ ）
A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x+6）2=16 ，
∴x+6=4或 x+6=-4 .
故答案为：D.
【分析】将方程两边同时开方，即可解答.
8．用因式分解法解一元二次方程，其依据是（ ）
A．若ab=0，则a=0或b=0 B．若a=0或b=0，则ab=0
C．若ab=0，则a=0且b=0 D．若a=0且b=0，则ab=0
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 因式分解法解一元二次方程的依据是“ 若ab=0，则a=0或b=0 ”
故答案为：A
【分析】根据乘法运算可知：如果ab=0，那么a=0或b=0。
二、填空题
9．（2024八下·吴江期末）方程的根是 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
10．方程 的解是
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2=6x，
x2-6x=0，
∴x(x-6)=0，
∴x=0或x-6=0，
∴x1=0，x2=6.
故答案为：x1=0，x2=6.
【分析】由于此方程缺常数项，故利用因式分解法求解较为简单；首先移项将方程整理成一般形式，然后方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
11．（2023八下·宁波期末）将方程整理成的形式为 .
【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x-5=0，
移项，得x2-6x=5，
配方，得x2-6x+9=5+9，
∴（x-3）2=14.
故答案为：（x-3）2=14.
【分析】首先移项，将常数项移到方程的右边；然后配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”；进而左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
12．若 ，则 .
【答案】1；-9
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
=2（x-1）2-9.
∴m=1，n=-9.
故答案为：1，-9.
【分析】先将原式配方，得到2（x-1）2-9，再和比较，得出m、n值，即可解答.
13．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章一元二次方程单元检测卷a）方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是 ．
【答案】x1=3，x2=9
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣9）=0，
x﹣3=0，x﹣9=0，
x1=3，x2=9，
故答案为：x1=3，x2=9．
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，即可求出原方程的解。
14．（2023八下·招远期末） 小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵，
∴x（x-1）=0，
∴x1=0，x2=1，
∴方程的另一个为x=0，
故答案为：x=0.
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可.
三、解答题
15．用直接开平方法解下列方程．
（1）x2=8；
（2）(x-3)2=12．
【答案】（1）解：x2=8，x2=16，x1=4，x2=-4
（2）解：(x-3)2=12，(x-3)2=36，x-3=±6，x1=9，x2=-3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将二次项系数化为1，即可直接开平方；
（2）两边同乘3，再直接开平法即可求解。
16．用配方法解下列方程．
（1）x2-2x-5=0；
（2）x2 +6x-10=0；
（3）3x2-1=6x；
（4）2x2+8x-1=0．
【答案】（1）解：. .
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程，即可得解.
17．（2021八下·绍兴期中）解下列一元二次方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：整理，得
开方，得
解得
（2）解：整理，得
配方，得
∴
开方，得
解得
（3）解：
∴
解得
（4）解：由平方差公式，可得
(2x-1-x)(2x-1+x)=0
∴ (x-1) (3x-1)=0
∴x-1=0，或3x-1=0
解得
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】解一元二次方程，要选择合适的方法，从而快速简便的解决问题.若是找不到合适简便方法，用求根公式法接方程是根本方法.
（1）用直接开方法解方程，最直接；
（2）先把二次项系数变为1，再用配方法解方程；
（3）可以用公式法接方程，也可以用 配方法解方程；
（4）利用平方差公式分解因式，接方程，最为简便.
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一、选择题
1．（2025八下·深圳期末）用配方法解一元二次方程 下列配方正确的是( )
A． B． C． D．
2．用直接开平方法解下列一元二次方程， 其中无解的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程中， 没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．． B．．
C．． D．．
5．一元二次方程 的根为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·青秀期末）一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C． D．
7．（初中数学浙教版八下精彩练习2.2一元二次方程的解法（2））一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个是x+6=4，则另一个是（ ）
A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4
8．用因式分解法解一元二次方程，其依据是（ ）
A．若ab=0，则a=0或b=0 B．若a=0或b=0，则ab=0
C．若ab=0，则a=0且b=0 D．若a=0且b=0，则ab=0
二、填空题
9．（2024八下·吴江期末）方程的根是 ．
10．方程 的解是
11．（2023八下·宁波期末）将方程整理成的形式为 .
12．若 ，则 .
13．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章一元二次方程单元检测卷a）方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是 ．
14．（2023八下·招远期末） 小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 ．
三、解答题
15．用直接开平方法解下列方程．
（1）x2=8；
（2）(x-3)2=12．
16．用配方法解下列方程．
（1）x2-2x-5=0；
（2）x2 +6x-10=0；
（3）3x2-1=6x；
（4）2x2+8x-1=0．
17．（2021八下·绍兴期中）解下列一元二次方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 用配方法解
移项，得：，
配方，得：，
即：（x-2）2=7.
故答案为：B .
【分析】用配方法解即可得出配方后的等式。即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，故此选项不符合题意；
B、∵x2=0，∴x=0，故此选项不符合题意；
C、∵x2+4=0，∴x2=-4，∵x2≥0，∴此方程无解，故此选项符合题意；
D、-x2+3=0，x2=3，∴x=±，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“x2=m（m≥0）”即可利用直接开平方法求解，据此分别求解每一个选项中的方程，即可判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
A：，
整理得，
，∴方程有两个实数根，A不符合；
B：，
∵，∴方程有两个实数根，B不符合；
C：
∵，∴方程无实数根，C符合；
D：，
整理得，
，∴方程有两个实数根，D不符合.
故答案为：C.
【分析】判断一元二次方程是否有实数根，可以通过考查根的判别式来判断。先把方程整理为一般式，再确定a，b，c的值，计算出判别式的值进行判断即可。
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项得，，
配方得，，
即．
故答案为：C.
【分析】根据配方法先移项，配方即可求得.
5．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ x-1=±2，
∴ x1=3，x2=-1.
故答案为：D.
【分析】把（x-1）2=4两边开方得到x-1=±2，然后解两个一元一次方程即可求得.
6．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2＝5x，
x2-5x＝0，
x（x-5）＝0，
x1＝0，x2＝5，
故答案为：A.
【分析】先移项，将方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
7．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵（x+6）2=16 ，
∴x+6=4或 x+6=-4 .
故答案为：D.
【分析】将方程两边同时开方，即可解答.
8．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 因式分解法解一元二次方程的依据是“ 若ab=0，则a=0或b=0 ”
故答案为：A
【分析】根据乘法运算可知：如果ab=0，那么a=0或b=0。
9．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2=6x，
x2-6x=0，
∴x(x-6)=0，
∴x=0或x-6=0，
∴x1=0，x2=6.
故答案为：x1=0，x2=6.
【分析】由于此方程缺常数项，故利用因式分解法求解较为简单；首先移项将方程整理成一般形式，然后方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
11．【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x-5=0，
移项，得x2-6x=5，
配方，得x2-6x+9=5+9，
∴（x-3）2=14.
故答案为：（x-3）2=14.
【分析】首先移项，将常数项移到方程的右边；然后配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”；进而左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
12．【答案】1；-9
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
=2（x-1）2-9.
∴m=1，n=-9.
故答案为：1，-9.
【分析】先将原式配方，得到2（x-1）2-9，再和比较，得出m、n值，即可解答.
13．【答案】x1=3，x2=9
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x﹣3）（x﹣9）=0，
x﹣3=0，x﹣9=0，
x1=3，x2=9，
故答案为：x1=3，x2=9．
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，即可求出原方程的解。
14．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵，
∴x（x-1）=0，
∴x1=0，x2=1，
∴方程的另一个为x=0，
故答案为：x=0.
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可.
15．【答案】（1）解：x2=8，x2=16，x1=4，x2=-4
（2）解：(x-3)2=12，(x-3)2=36，x-3=±6，x1=9，x2=-3
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将二次项系数化为1，即可直接开平方；
（2）两边同乘3，再直接开平法即可求解。
16．【答案】（1）解：. .
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程，即可得解.
17．【答案】（1）解：整理，得
开方，得
解得
（2）解：整理，得
配方，得
∴
开方，得
解得
（3）解：
∴
解得
（4）解：由平方差公式，可得
(2x-1-x)(2x-1+x)=0
∴ (x-1) (3x-1)=0
∴x-1=0，或3x-1=0
解得
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】解一元二次方程，要选择合适的方法，从而快速简便的解决问题.若是找不到合适简便方法，用求根公式法接方程是根本方法.
（1）用直接开方法解方程，最直接；
（2）先把二次项系数变为1，再用配方法解方程；
（3）可以用公式法接方程，也可以用 配方法解方程；
（4）利用平方差公式分解因式，接方程，最为简便.
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