浙教版数学八年级下册 2.2.1 一元二次方程的解法 二阶训练
一、选择题
1．（2024八下·临平月考）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列各式中的哪一个？（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·嘉兴期末） 已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
3．（2025八下·临平月考）如图，用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2025八下·义乌月考）已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
5．已知关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ， 则多项式 可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
6．若方程 有解， 则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数 满足方程 ， 则 的值是（ ）
A．2 B．-2 C． D．不能确定
8．已知为任意实数)，则M，N的大小关系为（ ）
A．MB．M=N
C．M>N
D．因为含有字母a，所以M，N的大小不能确定
9．若是一个完全平方式，则实数a的值为（ ）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
10．方程5x(3x-12)=10(3x-12)的解为（ ）
A．x=2 B．x=-2 C． D．
二、填空题
11． 当x满足x+1<3x-3时，方程=0的根为 .
12． 若 ( 为实数)， 则 的大小关系为 Q． (填“>” “ ”或
13．（2025八下·浙江期中）如果一元二次方程x(x-8)=4(x-8)的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 .
14．（2020八下·八步期末）已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程 的根，则这个三角形的周长是
15．（2024八下·广安期末）已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ．
16．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程a(y+1)2+6(y+1)-4=0的解为 .
三、解答题
17．阅读某同学解方程的过程， 然后回答问题．
解方程： ．
移项， 得 ． (第一步)
方程两边都除以 ， 得 ． (第二步)
所以，方程 的解为 ． (第三步)
（1）该同学解方程的过程是从第 步开始出错的，出错的原因是
（2）请写出此方程正确的求解过程．
18．（2024八下·深圳期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
19．先阅读理解下面的材料， 再按要求解答下列问题．
例题：求代数式 的最小值．
解： ，
，
，
的最小值是 4 ．
（1）求代数式 的最小值．
（2） 求代数式 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：可化为，
，
可化为，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据配方法可得，则方程可化为，问题得解．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x-m）2+k=0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1=1，x2=4，
∴方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，
解得x1=3，x2=6，
故答案为：B .
【分析】 根据已知方程得出方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，据此可得答案.
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①为两边同乘以2，正确；
②为两边同加上1，正确；
③为方程左边写成平方，正确；
④为开平方，结果有两个，漏了一个x=，错误.
故答案为：D.
【分析】根据所给的步骤，逐一计算验证，找出错误.
4．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：解方程，得或，
当第三边长为或时，都可以构成三角形，
①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形，
过点作于点，
设，，
，
在中，，
，
；
②当第三边长为时，，
此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或．
故答案为：D．
【分析】先解一元二次方程得到或，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断出第三边长为或时，都可以构成三角形，再分两种情况讨论，当第三边长为时，三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据三线合一与勾股定理求出高，即可求面积；当第三边长为时，根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，直角边为和，即可求面积．
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为3和-4，
∴x2+px+q=(x-3)(x+4)=0，
∴x2+px+q=(x-3)(x+4).
故答案为：C.
【分析】根据因式分解法解一元二次方程并结合方程的解可得出多项式因式分解的结果.
6．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 方程 有解，
∴m≥0，
故答案为：B.
【分析】利用偶次幂的非负性及方程有解的条件可得m≥0，从而得解.
7．【答案】A
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：利用，
∴方程可变形为（m+1）2=9，
∴m+1=±3，
解得：m1=2，m2=-4（舍），
∴
故答案为：A.
【分析】利用换元法可得方程可变形为（m+1）2=9，再利用直接开平方法的计算方法求解一元二次方程即可。
8．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：N-M=≥＞0；
∴N-M＞0，即N＞M.
故答案为：A.
【分析】将两个代数式作差，然后进行配方，根据偶次方的非负性，判断结果，进而判断M和N的大小关系.
9．【答案】D
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，16=；
∴，解得a=16或-16.
故答案为：D.
【分析】完全平方式有两种和，代数式如果系数不为1，先提取二次项的系数，根据一次项系数等于±2ab来计算即可.
10．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将原方程转化为：
5x(3x-12)-10(3x-12)=0
（3x-12）（5x-10）=0，
∴3x-12=0或5x-10=0
解之：x1=4，x2=2.
故答案为：C.
【分析】将（3x-12）看着整体，方程两边都含有公因式（3x-12），因此此方程利用因式分解法解即可.
11．【答案】1+
【知识点】配方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： =0 ，
移项得， ，
配方得，，
即，
开方得，x-1=±，
∴ x=±+1，
∵x+1<3x-3，
∴ x＞2，
∴ x=+1.
故答案为：.
【分析】根据配方法解一元二次方程得 x=±+1，再解一元一次不等式可得x＞2，即可求得.
12．【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即Q-P＞0，
∴ P＜Q.
故答案为：
【分析】计算Q-P，利用配方法化简后即可判断Q-P＞0，即可求得.
13．【答案】20
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得： x(x-8)=4(x-8)，
移项合并得：(x－4)(x-8)=0，
解得： ，。
∵方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，
∴有两种情况：
①边长为8、8、4，此时满足三角形三边关系，这个三角形的周长为：8+8+4=20；
②边长为4、4、8，此时4+4=8，无法构成三角形，可舍去。
故答案为：20.
【分析】解方程得 ，；根据题意和等腰三角形的性质可得两种情况：①边长为8、8、4；②边长为4、4、8；分别讨论三角形的存在性并计算周长即可.
14．【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解： ，
因式分解得 ，
∴ 或 ，
解得： ，
①三角形的三边为2，5，5，符合三角形三边关系定理，即三角形的周长是2+5+5=12；
②三角形的三边为2，5，2，
∵2+2=4 ，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
故答案为：12.
【分析】求出方程的解，根据三角形三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出即可.
15．【答案】4或
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：，
（x-4）（x-3）=0，
∴x-4=0，x-3=0，
∴x1=4，x2=3，
∴Rt△ABC的两条边的长分别为3和4，
由题意可分两种情况：
当3和4都是直角边时，第三边==5；
当4为斜边时，第三边==；
∴第三边长是5或．
故答案为：5或．
【分析】由题意解方程，可得直角三角形的两边，根据题意分两种情况：当3和4都是直角边时；当4为斜边时，然后用勾股定理即可求解．
16．【答案】y1=0，y2=1
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设y+1=z，则az2+6z-4=0，
∵ ax2+6x-4=0的解为x1=1，x2=2，
∴ z1=1，z2=2，
∴ y1=0，y2=1.
故答案为：y1=0，y2=1.
【分析】设y+1=z，将原方程化为az2+6z-4=0，根据ax2+6x-4=0的解为x1=1，x2=2，可得az2+6z-4=0的解为 z1=1，z2=2，即可求得.
17．【答案】（1）二；有可能3x+2=0.
（2）解：因式分解，得（3x+2）（x-6）=0，于是，得3x+2=0或x-6=0，
解得
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1） 该同学解方程的过程是从二步开始出错的，因为3x+2有可能等于0.
故填：二；有可能3x+2=0.
【分析】（1）因为题目没有提到3x+2≠0，因此若除以（3x+2）则会造成漏解的情况；
（2）运用因式分解法，使等号左边为乘积、等号右边为0的形式.
18．【答案】（1）解：∵
∴
∴
∵，
故该方程不是“邻2根方程”．
（2）解：∵
∴．
∴．
由题意得：或，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）求解方程得两得分别为-4和-5，作差即可进行判断．
（2）利用因式分解求解方程得两根分别为3和m-4，根据该方程是“邻2根方程”m-4=1或5即可求解．
19．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用配方法将原式变形为再求解即可；
（2）参照题干中的计算方法，利用配方法将原式变形为再求解即可.
1 / 1浙教版数学八年级下册 2.2.1 一元二次方程的解法 二阶训练
一、选择题
1．（2024八下·临平月考）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列各式中的哪一个？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：可化为，
，
可化为，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据配方法可得，则方程可化为，问题得解．
2．（2025八下·嘉兴期末） 已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x-m）2+k=0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1=1，x2=4，
∴方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，
解得x1=3，x2=6，
故答案为：B .
【分析】 根据已知方程得出方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，据此可得答案.
3．（2025八下·临平月考）如图，用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①为两边同乘以2，正确；
②为两边同加上1，正确；
③为方程左边写成平方，正确；
④为开平方，结果有两个，漏了一个x=，错误.
故答案为：D.
【分析】根据所给的步骤，逐一计算验证，找出错误.
4．（2025八下·义乌月考）已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：解方程，得或，
当第三边长为或时，都可以构成三角形，
①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形，
过点作于点，
设，，
，
在中，，
，
；
②当第三边长为时，，
此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或．
故答案为：D．
【分析】先解一元二次方程得到或，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断出第三边长为或时，都可以构成三角形，再分两种情况讨论，当第三边长为时，三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据三线合一与勾股定理求出高，即可求面积；当第三边长为时，根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，直角边为和，即可求面积．
5．已知关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ， 则多项式 可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为3和-4，
∴x2+px+q=(x-3)(x+4)=0，
∴x2+px+q=(x-3)(x+4).
故答案为：C.
【分析】根据因式分解法解一元二次方程并结合方程的解可得出多项式因式分解的结果.
6．若方程 有解， 则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 方程 有解，
∴m≥0，
故答案为：B.
【分析】利用偶次幂的非负性及方程有解的条件可得m≥0，从而得解.
7．已知实数 满足方程 ， 则 的值是（ ）
A．2 B．-2 C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：利用，
∴方程可变形为（m+1）2=9，
∴m+1=±3，
解得：m1=2，m2=-4（舍），
∴
故答案为：A.
【分析】利用换元法可得方程可变形为（m+1）2=9，再利用直接开平方法的计算方法求解一元二次方程即可。
8．已知为任意实数)，则M，N的大小关系为（ ）
A．MB．M=N
C．M>N
D．因为含有字母a，所以M，N的大小不能确定
【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：N-M=≥＞0；
∴N-M＞0，即N＞M.
故答案为：A.
【分析】将两个代数式作差，然后进行配方，根据偶次方的非负性，判断结果，进而判断M和N的大小关系.
9．若是一个完全平方式，则实数a的值为（ ）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
【答案】D
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，16=；
∴，解得a=16或-16.
故答案为：D.
【分析】完全平方式有两种和，代数式如果系数不为1，先提取二次项的系数，根据一次项系数等于±2ab来计算即可.
10．方程5x(3x-12)=10(3x-12)的解为（ ）
A．x=2 B．x=-2 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将原方程转化为：
5x(3x-12)-10(3x-12)=0
（3x-12）（5x-10）=0，
∴3x-12=0或5x-10=0
解之：x1=4，x2=2.
故答案为：C.
【分析】将（3x-12）看着整体，方程两边都含有公因式（3x-12），因此此方程利用因式分解法解即可.
二、填空题
11． 当x满足x+1<3x-3时，方程=0的根为 .
【答案】1+
【知识点】配方法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： =0 ，
移项得， ，
配方得，，
即，
开方得，x-1=±，
∴ x=±+1，
∵x+1<3x-3，
∴ x＞2，
∴ x=+1.
故答案为：.
【分析】根据配方法解一元二次方程得 x=±+1，再解一元一次不等式可得x＞2，即可求得.
12． 若 ( 为实数)， 则 的大小关系为 Q． (填“>” “ ”或
【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即Q-P＞0，
∴ P＜Q.
故答案为：
【分析】计算Q-P，利用配方法化简后即可判断Q-P＞0，即可求得.
13．（2025八下·浙江期中）如果一元二次方程x(x-8)=4(x-8)的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 .
【答案】20
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得： x(x-8)=4(x-8)，
移项合并得：(x－4)(x-8)=0，
解得： ，。
∵方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，
∴有两种情况：
①边长为8、8、4，此时满足三角形三边关系，这个三角形的周长为：8+8+4=20；
②边长为4、4、8，此时4+4=8，无法构成三角形，可舍去。
故答案为：20.
【分析】解方程得 ，；根据题意和等腰三角形的性质可得两种情况：①边长为8、8、4；②边长为4、4、8；分别讨论三角形的存在性并计算周长即可.
14．（2020八下·八步期末）已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程 的根，则这个三角形的周长是
【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解： ，
因式分解得 ，
∴ 或 ，
解得： ，
①三角形的三边为2，5，5，符合三角形三边关系定理，即三角形的周长是2+5+5=12；
②三角形的三边为2，5，2，
∵2+2=4 ，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
故答案为：12.
【分析】求出方程的解，根据三角形三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出即可.
15．（2024八下·广安期末）已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为 ．
【答案】4或
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：，
（x-4）（x-3）=0，
∴x-4=0，x-3=0，
∴x1=4，x2=3，
∴Rt△ABC的两条边的长分别为3和4，
由题意可分两种情况：
当3和4都是直角边时，第三边==5；
当4为斜边时，第三边==；
∴第三边长是5或．
故答案为：5或．
【分析】由题意解方程，可得直角三角形的两边，根据题意分两种情况：当3和4都是直角边时；当4为斜边时，然后用勾股定理即可求解．
16．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程a(y+1)2+6(y+1)-4=0的解为 .
【答案】y1=0，y2=1
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设y+1=z，则az2+6z-4=0，
∵ ax2+6x-4=0的解为x1=1，x2=2，
∴ z1=1，z2=2，
∴ y1=0，y2=1.
故答案为：y1=0，y2=1.
【分析】设y+1=z，将原方程化为az2+6z-4=0，根据ax2+6x-4=0的解为x1=1，x2=2，可得az2+6z-4=0的解为 z1=1，z2=2，即可求得.
三、解答题
17．阅读某同学解方程的过程， 然后回答问题．
解方程： ．
移项， 得 ． (第一步)
方程两边都除以 ， 得 ． (第二步)
所以，方程 的解为 ． (第三步)
（1）该同学解方程的过程是从第 步开始出错的，出错的原因是
（2）请写出此方程正确的求解过程．
【答案】（1）二；有可能3x+2=0.
（2）解：因式分解，得（3x+2）（x-6）=0，于是，得3x+2=0或x-6=0，
解得
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1） 该同学解方程的过程是从二步开始出错的，因为3x+2有可能等于0.
故填：二；有可能3x+2=0.
【分析】（1）因为题目没有提到3x+2≠0，因此若除以（3x+2）则会造成漏解的情况；
（2）运用因式分解法，使等号左边为乘积、等号右边为0的形式.
18．（2024八下·深圳期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．
（1）通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∵，
故该方程不是“邻2根方程”．
（2）解：∵
∴．
∴．
由题意得：或，
解得：或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）求解方程得两得分别为-4和-5，作差即可进行判断．
（2）利用因式分解求解方程得两根分别为3和m-4，根据该方程是“邻2根方程”m-4=1或5即可求解．
19．先阅读理解下面的材料， 再按要求解答下列问题．
例题：求代数式 的最小值．
解： ，
，
，
的最小值是 4 ．
（1）求代数式 的最小值．
（2） 求代数式 的最大值．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用配方法将原式变形为再求解即可；
（2）参照题干中的计算方法，利用配方法将原式变形为再求解即可.
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