浙教版数学八年级下册 2.2.1 一元二次方程的解法 三阶训练
一、选择题
1．（2022八下·高青期中）已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．
2．已知实数满足，则的值是（ ）．
A．-2 B．1 C．-1或2 D．-2或1
3．（2022八下·龙游月考）若关于 的方程 的根是整数，则满足条件的整数 的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019八下·南昌期末）关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝k﹣2019，下列说法错误的是（ ）
A．k＝2017方程无实数解
B．k＝2018方程有一个实数解
C．k＝2019有两个相等的实数解
D．k＝2020方程有两个不相等的实数解
5．（2021八下·龙湾期中）已知实数x，y满足（x2+y2）2﹣2（x2+y2）＝48，且xy＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．x2+y2＝8或x2+y2＝﹣6 B．x﹣y＝2
C．x+y＝2 D．x+y＝±2
6．（2020八下·西安月考）已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2019八下·乐清月考）已知方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3.则另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0的解是（ ）
A．x1=1，x2=-2 B．x1=1，x2=2
C．x1=-1，x2=-2 D．x1=-1，x2=2
8．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章一元二次方程单元检测卷a）若方程式 根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）
A．1 B．8 C．16 D．61
二、填空题
9．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.2.1配方法 同步练习）设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
10．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
11．（2020八下·绍兴月考）将一元二次方程 ，化为 = ，则m为 ．
12．（2019八下·长兴期中）已知x2-2 x+1=0，则x- = 。
13．（2020八下·金山月考）方程组 的根是
14．（2019八下·杭州期中）若 ，则 的值为 .
15．（ 配方法的应用）已知 +y2=y﹣ ，则xy= ．
三、解答题
16．若关于x的一元二次方程-k-1=0与仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根。
17．已知代数式
（1）若此代数式是一个关于x的完全平方式，求n的值.
（2）用配方法求此代数式的最小值，并求出此时x的值(均用含n的代数式表示)。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】设印刷不清的数字是a，
（x-p）2=7，
x2-2px+p2=7，
∴x2-2px=7-p2，
∴x2-2px+4=11-p2，
∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，
∴-2p=-6，a=11-p2，
∴p=3，a=11-32=2，
即印刷不清的数字是2，
故答案为：C．
【分析】由（x-p）2=7可得x2-2px+4=11-p2，可设x2-6x+4=a，根据题意可得-2p=-6，a=11-p2，据此即可求解.
2．【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】由方程可得，，
再把看作一个整体运用解一元二次方程的方法求解即可.
【解答】
或
解得或1
故选D.
【点评】解答该类题目的一般思路是先求出x的值，但此题行不通，注意整体思想的灵活运用．
3．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当k=0时，原方程为－x+1=0，解得：x=1，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=，
∵方程的根是整数，
∴为整数，k为整数，
∴k=±1，
综上所述，满足条件的整数k为0、1和﹣1．
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当k=0时，可求出x的值，根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值，再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论．
4．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当k﹣2019＞0时，
此时方程有两个不相等的实数根，
当k﹣2019＝0时，
此时方程有两个相等的实数根，
当k﹣2019＜0时，
此时方程无解，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
5．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
或，
∴；，
∵xy＝2，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】先依据题意把方程中的看成一个整体，然后解方程即可求出的值，然后结合条件和运用完全平方公式即可求出x+y和x-y 的值，然后对比选项即可求解.
6．【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，
＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，
＝ ×（1+1+4），
＝3.
故答案为：D.
【分析】将多项式转化为a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），再分解因式，然后整体代入求值。
7．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3，另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0
∴2x-1=1或2x-1=3
解之： x1=1，x2=2
故答案为：B
【分析】由已知方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3，另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0，就可得到2x-1=1或2x-1=3，解方程就可得到另一个方程的解。
8．【答案】B
【知识点】无理数的估值；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（3x﹣c）2﹣60＝0，（3x﹣c）2＝60，3x﹣c＝± ，3x＝c± ，x ．
又两根均为正数，且 ，即 ，所以整数c的最小值为8．
故答案为：B．
【分析】利用直接开平方法求出方程的解，然后根据算数平方根的性质利用估算的方法得出 ，再根据方程的两根都是正数得出c-，从而得出c的最小值。
9．【答案】3
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式=0+0+3=3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3
【分析】将所给等式分为两组进行配方，再利用平方项的非负性可判断所给代数式的最小值为3.
10．【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
11．【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∴ ，
∴a(x2+x+)=-c+ ，
∴a(x+)2= ，
∴(x+)2=.
∴m=-.
故答案为：-.
【分析】首先方程两边同时减去-c， 然后方程两边同时加上将方程的右边配方，最后和 = 比较即可得出m的值.
12．【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： x2-2 x+1=0
∵x≠0
∴
∴=12-4=8
∴ x- =±
【分析】将原方程转化为，再将 x- ，转化为，然后代入计算，开方就可求出结果。
13．【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
由题意可知x＝3 y③，代入xy＝2可得
3y y2＝2，变式为y2 3y＋2＝0，即（y 2）（y 1）＝0，
解得： 或
故答案为 或 .
【分析】此题只要将①变形代入②式，转化为解一元二次方程即可解答．
14．【答案】2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ ，
解得： (舍去)
故x=2.
【分析】将方程 两边同时平方得2+=x2，由于 ，故方程可以变形为，利用因式分解法求解并检验即可得出答案。
15．【答案】1
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵ +y2=y﹣ ，
∴ +y2﹣y+ =0，
∴ +（y﹣ ）2=0，
∴x﹣2=0，y﹣ =0，
∴x=2，y= ，
∴xy=2× =1．
故答案为1．
【分析】把 +y2=y﹣ ，化为 +（y﹣ ）2=0，根据非负数的性质求出x与y的值，进而求解即可．
16．【答案】解：∵若关于x的一元二次方程-k-1=0与仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根，
∴x2-6x-k-1=x2-kx-7
kx-6x-k+6=0
∴x（k-6）-（k-6）=0
∴（x-1）（k-6）=0
当k≠6时，则x-1=0
解之：x=1；
∴1-6-k-1=0
解之：k=-6；
当k=6时，则x≠1
∴x2-6x-6-1=0
解之：x1=7，x2=-1，
k=-6，公共的实数根为x=1
而x2-6x-7=0与上述方程是同一方程，
∴当k=-6时，方程的公共解为x=1
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用已知可得到x2-6x-k-1=x2-kx-7，将方程整理可得到（x-1）（k-6）=0；再分情况讨论：当k≠6时，则x-1=0，可求出k的值；当k=6时，则x≠1，可求出方程的解，同时可得到而x2-6x-7=0与上述方程是同一方程；据此可求出k和方程的公共解.
17．【答案】（1）解：∵ 代数式是一个关于x的完全平方式 式
∴，化简后，可得；
配方后，可得；
解得n=1或；
（2）解：
=
=；
∵
∴代数式
∴当 时，代数式的最小值是.
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据完全平方式的常数项等于一次项系数除以2的平方，列二元一次方程，配方法解方程即可求出n的值；
（2）对代数式进行配方，然后根据偶次方的非负性即可判断代数式的最小值.
1 / 1浙教版数学八年级下册 2.2.1 一元二次方程的解法 三阶训练
一、选择题
1．（2022八下·高青期中）已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）
A．6 B．9 C．2 D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】设印刷不清的数字是a，
（x-p）2=7，
x2-2px+p2=7，
∴x2-2px=7-p2，
∴x2-2px+4=11-p2，
∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式，
∴-2p=-6，a=11-p2，
∴p=3，a=11-32=2，
即印刷不清的数字是2，
故答案为：C．
【分析】由（x-p）2=7可得x2-2px+4=11-p2，可设x2-6x+4=a，根据题意可得-2p=-6，a=11-p2，据此即可求解.
2．已知实数满足，则的值是（ ）．
A．-2 B．1 C．-1或2 D．-2或1
【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】由方程可得，，
再把看作一个整体运用解一元二次方程的方法求解即可.
【解答】
或
解得或1
故选D.
【点评】解答该类题目的一般思路是先求出x的值，但此题行不通，注意整体思想的灵活运用．
3．（2022八下·龙游月考）若关于 的方程 的根是整数，则满足条件的整数 的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当k=0时，原方程为－x+1=0，解得：x=1，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=，
∵方程的根是整数，
∴为整数，k为整数，
∴k=±1，
综上所述，满足条件的整数k为0、1和﹣1．
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当k=0时，可求出x的值，根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值，再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论．
4．（2019八下·南昌期末）关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝k﹣2019，下列说法错误的是（ ）
A．k＝2017方程无实数解
B．k＝2018方程有一个实数解
C．k＝2019有两个相等的实数解
D．k＝2020方程有两个不相等的实数解
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当k﹣2019＞0时，
此时方程有两个不相等的实数根，
当k﹣2019＝0时，
此时方程有两个相等的实数根，
当k﹣2019＜0时，
此时方程无解，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
5．（2021八下·龙湾期中）已知实数x，y满足（x2+y2）2﹣2（x2+y2）＝48，且xy＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．x2+y2＝8或x2+y2＝﹣6 B．x﹣y＝2
C．x+y＝2 D．x+y＝±2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
或，
∴；，
∵xy＝2，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】先依据题意把方程中的看成一个整体，然后解方程即可求出的值，然后结合条件和运用完全平方公式即可求出x+y和x-y 的值，然后对比选项即可求解.
6．（2020八下·西安月考）已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
＝ [（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，
＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，
＝ ×（1+1+4），
＝3.
故答案为：D.
【分析】将多项式转化为a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝ （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），再分解因式，然后整体代入求值。
7．（2019八下·乐清月考）已知方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3.则另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0的解是（ ）
A．x1=1，x2=-2 B．x1=1，x2=2
C．x1=-1，x2=-2 D．x1=-1，x2=2
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3，另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0
∴2x-1=1或2x-1=3
解之： x1=1，x2=2
故答案为：B
【分析】由已知方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3，另一个方程(2x-1）2-4(2x-1）+3=0，就可得到2x-1=1或2x-1=3，解方程就可得到另一个方程的解。
8．（2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第二章一元二次方程单元检测卷a）若方程式 根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）
A．1 B．8 C．16 D．61
【答案】B
【知识点】无理数的估值；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（3x﹣c）2﹣60＝0，（3x﹣c）2＝60，3x﹣c＝± ，3x＝c± ，x ．
又两根均为正数，且 ，即 ，所以整数c的最小值为8．
故答案为：B．
【分析】利用直接开平方法求出方程的解，然后根据算数平方根的性质利用估算的方法得出 ，再根据方程的两根都是正数得出c-，从而得出c的最小值。
二、填空题
9．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.2.1配方法 同步练习）设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式=0+0+3=3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3
【分析】将所给等式分为两组进行配方，再利用平方项的非负性可判断所给代数式的最小值为3.
10．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
11．（2020八下·绍兴月考）将一元二次方程 ，化为 = ，则m为 ．
【答案】
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∴ ，
∴a(x2+x+)=-c+ ，
∴a(x+)2= ，
∴(x+)2=.
∴m=-.
故答案为：-.
【分析】首先方程两边同时减去-c， 然后方程两边同时加上将方程的右边配方，最后和 = 比较即可得出m的值.
12．（2019八下·长兴期中）已知x2-2 x+1=0，则x- = 。
【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： x2-2 x+1=0
∵x≠0
∴
∴=12-4=8
∴ x- =±
【分析】将原方程转化为，再将 x- ，转化为，然后代入计算，开方就可求出结果。
13．（2020八下·金山月考）方程组 的根是
【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
由题意可知x＝3 y③，代入xy＝2可得
3y y2＝2，变式为y2 3y＋2＝0，即（y 2）（y 1）＝0，
解得： 或
故答案为 或 .
【分析】此题只要将①变形代入②式，转化为解一元二次方程即可解答．
14．（2019八下·杭州期中）若 ，则 的值为 .
【答案】2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ ，
解得： (舍去)
故x=2.
【分析】将方程 两边同时平方得2+=x2，由于 ，故方程可以变形为，利用因式分解法求解并检验即可得出答案。
15．（ 配方法的应用）已知 +y2=y﹣ ，则xy= ．
【答案】1
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵ +y2=y﹣ ，
∴ +y2﹣y+ =0，
∴ +（y﹣ ）2=0，
∴x﹣2=0，y﹣ =0，
∴x=2，y= ，
∴xy=2× =1．
故答案为1．
【分析】把 +y2=y﹣ ，化为 +（y﹣ ）2=0，根据非负数的性质求出x与y的值，进而求解即可．
三、解答题
16．若关于x的一元二次方程-k-1=0与仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根。
【答案】解：∵若关于x的一元二次方程-k-1=0与仅有一个公共的实数根，求k的值和公共的实数根，
∴x2-6x-k-1=x2-kx-7
kx-6x-k+6=0
∴x（k-6）-（k-6）=0
∴（x-1）（k-6）=0
当k≠6时，则x-1=0
解之：x=1；
∴1-6-k-1=0
解之：k=-6；
当k=6时，则x≠1
∴x2-6x-6-1=0
解之：x1=7，x2=-1，
k=-6，公共的实数根为x=1
而x2-6x-7=0与上述方程是同一方程，
∴当k=-6时，方程的公共解为x=1
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用已知可得到x2-6x-k-1=x2-kx-7，将方程整理可得到（x-1）（k-6）=0；再分情况讨论：当k≠6时，则x-1=0，可求出k的值；当k=6时，则x≠1，可求出方程的解，同时可得到而x2-6x-7=0与上述方程是同一方程；据此可求出k和方程的公共解.
17．已知代数式
（1）若此代数式是一个关于x的完全平方式，求n的值.
（2）用配方法求此代数式的最小值，并求出此时x的值(均用含n的代数式表示)。
【答案】（1）解：∵ 代数式是一个关于x的完全平方式 式
∴，化简后，可得；
配方后，可得；
解得n=1或；
（2）解：
=
=；
∵
∴代数式
∴当 时，代数式的最小值是.
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据完全平方式的常数项等于一次项系数除以2的平方，列二元一次方程，配方法解方程即可求出n的值；
（2）对代数式进行配方，然后根据偶次方的非负性即可判断代数式的最小值.
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