1.1 二次根式的意义—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，属于二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，不属于二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·江北期末）二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
4．下列计算中，正确的是 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·吴兴期中） 下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．当x=0时，二次根式的值是 （ ）
A．6 B．3 C． D．0
7．（2024八下·温州经济技术开发月考）已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
8．（2025八下·荔湾期中）把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
9． 若 成立，则x的取值范围是 ( )
A．x≥2 B．x≤1 C．1≤x≤2 D．x≥0
10．若 则 ( )
A．2 B．4 C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．在代数式：①，②，③，④（x≤2），⑤，⑥中，属于二次根式的是 （填序号）.
12．（2024八下·潮阳期中）当时，二次根式的值是 ．
13．（2017八下·杭州月考）化简 =
14．（2025八下·温州期中）已知二次根式的值是正整数，其中为整数，则的最小值为 ．
15．（2025八下·宁海期中）已知|2024-a|+=a，则a-20242= .
16．（2024八下·永丰期末）要使代数式有意义，则x应满足的条件是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 16.1.1二次根式的概念同步练习）判断下列各式哪些是二次根式，哪些不是，为什么？
，－ ， ， ， (a≥0)， .
18．当x分别取下列值时，求二次根式 的值.
（1）
（2）x=1；
（3）
19．求下列二次根式中字母x的取值范围.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
20． 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
21． 已知实数a，b，c 满足 求a，b，c的值.
22．（2024八下·湖北月考）若，都是实数，且，求的平方根．
23．如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷.若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑杆底部B 的距离为 a 米，用二次根式表示帐篷支撑杆的高AB.若a=4.5，则帐篷支撑杆的高是多少
24．阅读下列引例的解答过程：
引例：已知x，y为实数，且 求x+y的值.
解：由题意，得x-2025≥0且2025-x≥0，
∴x≥2025且x≤2025，
∴x=2025，∴y=1，
∴x+y=2026.
结合引例，请挖掘下列问题中所蕴含的条件并解决问题：
（1）已知 求（x+y）3的值；
（2）已知 求x-y的值；
（3）已知 求x-20252的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、∵中﹣3＜0，∴不是二次根式，故A项不符合题意；
B、∵中2＞0，∴是二次根式，故B项符合题意；
C、∵是三次根号，∴不是二次根式，故C不符合题意；
D、∵中当x≤3时是二次根式，∴有可能是二次根式，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义解答，即（a≥0）的式子叫二次根式．
2．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A选项，被开方数15>0，故是二次根式；
B选项，3<π，被开方数3-π<0，故不是二次根式；
C选项，a2≥0，被开方数a2+2>0，故是二次根式；
D选项，被开方数>0，故是二次根式.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式定义作出判断即可（（a≥0））.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得，x-2≥0，
∴ x≥2.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数是非负数，即可求得.
4．【答案】B
【知识点】求算术平方根；求二次根式的值
【解析】【解答】解：=7，故A项错误，不符合题意；
=3，故B项正确，符合题意；
-=-5，故C项错误，不符合题意；
=9，故D项错误，不符合题意.
故选B.
【分析】根据二次根式的性质化简作答.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：下列各式中，是二次根式有：①，④，⑦，共三个，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义：形如的代数式，据此这个分析即可求解.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：依题意有：当x=0时，.
故答案为：3.
【分析】把x=0代入二次根式中计算即可解答.
7．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式有意义：则，可列式为，，求出，再代入代数式中得到y的值，再代入求，计算即可．
8．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
9．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-2）（x-1）≥0，x-2≥0，x-1≥0，
∴x≥2
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的双重非负性作答.
10．【答案】A
【知识点】求代数式的值-化简代入求值；求二次根式的值
【解析】【解答】解：∵a=，b=，
∴===2.
故选A.
【分析】将a、b的值代入化简求值即可.
11．【答案】①④⑥
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：①，故①是二次根式；
②中，-22=-4<0，故②不是二次根式；
③中，当a<0时，不是二次根式；
④∵x≤2，∴≥0，属于二次根式；
⑤是立方根，不是二次根式；
⑥a2+2a+1=（a+1）2≥0，故是二次根式.
故答案为：①④⑥.
【分析】根据二次根式的定义判断即可.
12．【答案】
【知识点】二次根式的概念；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：．
【分析】将a=-1代入二次根式，化简计算即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式的概念；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解： .
故答案为 .
【分析】一个式子开平方后，要考虑这个式子的正负性，即考查 .
14．【答案】3
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：，
∵二次根式的值是正整数，其中n为整数，
∴n的最小值为3，
故答案为：3.
【分析】先化简二次根式，再根据题意求出n的最小值即可.
15．【答案】2025
【知识点】二次根式的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】解：
∴，
∴，
∴原式为：
解得：，
∴
故答案为：2025.
【分析】根据二次根式有意义的条件确定变量a的取值范围，然后通过绝对值的性质将原式化简，最后解方程求出a的值并代入所求表达式中.
16．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
可得：，
解得，
故答案为：．
【分析】根据分式，二次根式有意义的条件即可求出答案.
17．【答案】解： ，－ ， (a≥0)， 是二次根式； ， 不是二次根式。
理由：根据二次根式的定义进行判断，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。
【知识点】二次根式的概念
【解析】【分析】结合二次根式的含义进行判断即可。
18．【答案】（1）解：当x=时，==0
（2）解：当x=1时，==
（3）解：当x=时，===2
【知识点】求二次根式的值
【解析】【分析】⑴将未知数x的值代入表达式中求值即可.
⑵将未知数x的值代入表达式中求值即可.
⑶将未知数x的值代入表达式中求值即可.
19．【答案】（1）解：∵-x≥0，
∴x≤0
（2）解：∵x+1≥0
∴x≥-1
（3）解：∵x+1>0，
∴x>-1
（4）解：∵≥0且x+1≠0，
∴x<-1
（5）解：∵x2+2x+1=（x+1）2≥0
∴无论x取何值，都是二次根式，
即x的取值范围为：全体实数.
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】（1）根据被开方数-x≥0求解即可.
（2）根据被开方数x+1≥0求解即可.
（3）根据被开方数x+1>0（分母不为零）求解即可.
（4）根据被开方数≥0且分母x+1≠0求解即可.
（5）根据被开方数x2+2x+1=（x+1）2≥0知，总是二次根式.
20．【答案】（1）解：原式
=0.5
（2）解：原式==
（3）解：原式
=6-5+4
=5
（4）解：原式=-1+2
=1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；求二次根式的值
【解析】【分析】(1)负数的平方等于它相反数的平方，即(-a)2=a2；一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；
(2)分数的平方等于分子的平方除以分母的平方，即；一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；
(3)先根据负数的平方性质和平方根的平方性质计算，再计算算术平方根，然后计算负数的平方(-2)2，最后进行加减运算；
(4)根据算术平方根的定义计算，然后根据平方根的平方性质计算和，最后进行加减运算.
21．【答案】解：由题意，得c-3≥0，3-c≥0，
∴c=3，
∴|a-|+=0.
又∵|a-|≥0，≥0，
∴a-=0，b-2=0，
∴a=，b=2
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出c的值，然后再根据绝对值和二次根式的非负性求出a和b的值即可.
22．【答案】解：根据题意知：且．
所以，
所以．
所以．
所以．
所以的平方根为：．
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，然后可得y的取值，再代入代数式，运算并求平方根即可.
23．【答案】解：由题意，知∠ABC=90°，
∴AB2=AC2-BC2.
∵AB>0，
∴AB==米.
当a=4.5时，AB===(米)，
即当a=4.5时，帐篷支撑杆的高是 米.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；求二次根式的值
【解析】【分析】根据勾股定理表示出AB的长，并计算当a=4.5时AB的长.
24．【答案】（1）解：由题意，得x-4≥0且4-x≥0，
∴x≥4且x≤4，
∴x=4，
∴y=-2，
∴(x+y)3=(4-2)3=8.
（2）解：由题意，得-x2≥0，
∴x=0，
∴y=-1，
∴x-y=0-(-1)=1.
（3）解：由题意，得x-2026≥0，
∴x≥2026，
∴2025-x<0，
∴|2025-x|+=x-2025+=x，
∴=2025，
∴x-2026=20252，
∴x-20252=2026.
【知识点】二次根式有无意义的条件；求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】⑴根据二次根式的被开方数非负性确定x的值，从而得y的值，再根据题意代入求值即可.
⑵根据二次根式的被开方数非负性确定x的值，从而得y的值，再根据题意代入求值即可.
⑶根据二次根式的被开方数非负性确定x的取值，从而化简含绝对值的方程，再根据题意代入求值即可.
1 / 11.1 二次根式的意义—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，属于二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、∵中﹣3＜0，∴不是二次根式，故A项不符合题意；
B、∵中2＞0，∴是二次根式，故B项符合题意；
C、∵是三次根号，∴不是二次根式，故C不符合题意；
D、∵中当x≤3时是二次根式，∴有可能是二次根式，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义解答，即（a≥0）的式子叫二次根式．
2．下列各式中，不属于二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A选项，被开方数15>0，故是二次根式；
B选项，3<π，被开方数3-π<0，故不是二次根式；
C选项，a2≥0，被开方数a2+2>0，故是二次根式；
D选项，被开方数>0，故是二次根式.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式定义作出判断即可（（a≥0））.
3．（2025八下·江北期末）二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2
【答案】A
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得，x-2≥0，
∴ x≥2.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数是非负数，即可求得.
4．下列计算中，正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求算术平方根；求二次根式的值
【解析】【解答】解：=7，故A项错误，不符合题意；
=3，故B项正确，符合题意；
-=-5，故C项错误，不符合题意；
=9，故D项错误，不符合题意.
故选B.
【分析】根据二次根式的性质化简作答.
5．（2024八下·吴兴期中） 下列各式中，是二次根式有（ ）
①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥； ⑦（ab≥0）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：下列各式中，是二次根式有：①，④，⑦，共三个，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义：形如的代数式，据此这个分析即可求解.
6．当x=0时，二次根式的值是 （ ）
A．6 B．3 C． D．0
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：依题意有：当x=0时，.
故答案为：3.
【分析】把x=0代入二次根式中计算即可解答.
7．（2024八下·温州经济技术开发月考）已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】
根据二次根式有意义：则，可列式为，，求出，再代入代数式中得到y的值，再代入求，计算即可．
8．（2025八下·荔湾期中）把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
9． 若 成立，则x的取值范围是 ( )
A．x≥2 B．x≤1 C．1≤x≤2 D．x≥0
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-2）（x-1）≥0，x-2≥0，x-1≥0，
∴x≥2
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的双重非负性作答.
10．若 则 ( )
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】求代数式的值-化简代入求值；求二次根式的值
【解析】【解答】解：∵a=，b=，
∴===2.
故选A.
【分析】将a、b的值代入化简求值即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．在代数式：①，②，③，④（x≤2），⑤，⑥中，属于二次根式的是 （填序号）.
【答案】①④⑥
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：①，故①是二次根式；
②中，-22=-4<0，故②不是二次根式；
③中，当a<0时，不是二次根式；
④∵x≤2，∴≥0，属于二次根式；
⑤是立方根，不是二次根式；
⑥a2+2a+1=（a+1）2≥0，故是二次根式.
故答案为：①④⑥.
【分析】根据二次根式的定义判断即可.
12．（2024八下·潮阳期中）当时，二次根式的值是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的概念；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：．
【分析】将a=-1代入二次根式，化简计算即可求出答案.
13．（2017八下·杭州月考）化简 =
【答案】
【知识点】二次根式的概念；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解： .
故答案为 .
【分析】一个式子开平方后，要考虑这个式子的正负性，即考查 .
14．（2025八下·温州期中）已知二次根式的值是正整数，其中为整数，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：，
∵二次根式的值是正整数，其中n为整数，
∴n的最小值为3，
故答案为：3.
【分析】先化简二次根式，再根据题意求出n的最小值即可.
15．（2025八下·宁海期中）已知|2024-a|+=a，则a-20242= .
【答案】2025
【知识点】二次根式的概念；实数的绝对值
【解析】【解答】解：
∴，
∴，
∴原式为：
解得：，
∴
故答案为：2025.
【分析】根据二次根式有意义的条件确定变量a的取值范围，然后通过绝对值的性质将原式化简，最后解方程求出a的值并代入所求表达式中.
16．（2024八下·永丰期末）要使代数式有意义，则x应满足的条件是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
可得：，
解得，
故答案为：．
【分析】根据分式，二次根式有意义的条件即可求出答案.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 16.1.1二次根式的概念同步练习）判断下列各式哪些是二次根式，哪些不是，为什么？
，－ ， ， ， (a≥0)， .
【答案】解： ，－ ， (a≥0)， 是二次根式； ， 不是二次根式。
理由：根据二次根式的定义进行判断，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。
【知识点】二次根式的概念
【解析】【分析】结合二次根式的含义进行判断即可。
18．当x分别取下列值时，求二次根式 的值.
（1）
（2）x=1；
（3）
【答案】（1）解：当x=时，==0
（2）解：当x=1时，==
（3）解：当x=时，===2
【知识点】求二次根式的值
【解析】【分析】⑴将未知数x的值代入表达式中求值即可.
⑵将未知数x的值代入表达式中求值即可.
⑶将未知数x的值代入表达式中求值即可.
19．求下列二次根式中字母x的取值范围.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）解：∵-x≥0，
∴x≤0
（2）解：∵x+1≥0
∴x≥-1
（3）解：∵x+1>0，
∴x>-1
（4）解：∵≥0且x+1≠0，
∴x<-1
（5）解：∵x2+2x+1=（x+1）2≥0
∴无论x取何值，都是二次根式，
即x的取值范围为：全体实数.
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【分析】（1）根据被开方数-x≥0求解即可.
（2）根据被开方数x+1≥0求解即可.
（3）根据被开方数x+1>0（分母不为零）求解即可.
（4）根据被开方数≥0且分母x+1≠0求解即可.
（5）根据被开方数x2+2x+1=（x+1）2≥0知，总是二次根式.
20． 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式
=0.5
（2）解：原式==
（3）解：原式
=6-5+4
=5
（4）解：原式=-1+2
=1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；求二次根式的值
【解析】【分析】(1)负数的平方等于它相反数的平方，即(-a)2=a2；一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；
(2)分数的平方等于分子的平方除以分母的平方，即；一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即；
(3)先根据负数的平方性质和平方根的平方性质计算，再计算算术平方根，然后计算负数的平方(-2)2，最后进行加减运算；
(4)根据算术平方根的定义计算，然后根据平方根的平方性质计算和，最后进行加减运算.
21． 已知实数a，b，c 满足 求a，b，c的值.
【答案】解：由题意，得c-3≥0，3-c≥0，
∴c=3，
∴|a-|+=0.
又∵|a-|≥0，≥0，
∴a-=0，b-2=0，
∴a=，b=2
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出c的值，然后再根据绝对值和二次根式的非负性求出a和b的值即可.
22．（2024八下·湖北月考）若，都是实数，且，求的平方根．
【答案】解：根据题意知：且．
所以，
所以．
所以．
所以．
所以的平方根为：．
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，然后可得y的取值，再代入代数式，运算并求平方根即可.
23．如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷.若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑杆底部B 的距离为 a 米，用二次根式表示帐篷支撑杆的高AB.若a=4.5，则帐篷支撑杆的高是多少
【答案】解：由题意，知∠ABC=90°，
∴AB2=AC2-BC2.
∵AB>0，
∴AB==米.
当a=4.5时，AB===(米)，
即当a=4.5时，帐篷支撑杆的高是 米.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；求二次根式的值
【解析】【分析】根据勾股定理表示出AB的长，并计算当a=4.5时AB的长.
24．阅读下列引例的解答过程：
引例：已知x，y为实数，且 求x+y的值.
解：由题意，得x-2025≥0且2025-x≥0，
∴x≥2025且x≤2025，
∴x=2025，∴y=1，
∴x+y=2026.
结合引例，请挖掘下列问题中所蕴含的条件并解决问题：
（1）已知 求（x+y）3的值；
（2）已知 求x-y的值；
（3）已知 求x-20252的值.
【答案】（1）解：由题意，得x-4≥0且4-x≥0，
∴x≥4且x≤4，
∴x=4，
∴y=-2，
∴(x+y)3=(4-2)3=8.
（2）解：由题意，得-x2≥0，
∴x=0，
∴y=-1，
∴x-y=0-(-1)=1.
（3）解：由题意，得x-2026≥0，
∴x≥2026，
∴2025-x<0，
∴|2025-x|+=x-2025+=x，
∴=2025，
∴x-2026=20252，
∴x-20252=2026.
【知识点】二次根式有无意义的条件；求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】⑴根据二次根式的被开方数非负性确定x的值，从而得y的值，再根据题意代入求值即可.
⑵根据二次根式的被开方数非负性确定x的值，从而得y的值，再根据题意代入求值即可.
⑶根据二次根式的被开方数非负性确定x的取值，从而化简含绝对值的方程，再根据题意代入求值即可.
1 / 1
