1.2 二次根式的性质—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·杭州月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·北仑期末） 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3． 若 是最简二次根式，则a 的最小正整数值是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列关于 的叙述，错误的是 ( )
A．是有理数 B．面积为32的正方形的边长是
C． D．在数轴上可以找到表示 的点
5．（2024八下·平湖期末）二次根式化简结果正确的为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·义乌月考）与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．若则x的取值范围是（ ）
A．x<5 B．x≤5 C．x≥5 D．x>5
8．（2025八下·义乌期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．4050
9．下列选项错误的是（ ）
A． 的倒数是
B． 一定是非负数
C．若 ， 则
D．当 时， 在实数范围内有意义
10．（2024八下·慈溪期中）设，则S最接近的数是（ ）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八下·慈溪期中） 计算： 。
12．（2025八下·金华月考） 当 时，二次根式 的值为 .
13．（2023八下·东阳期末）把化为最简二次根式，结果是 ．
14． 已知最简根式 与 是同类二次根式， 则 ，
15．（2025八下·义乌期中） 已知实数a满足，那么的值是 ．
16．（2024八下·温州期中） 已知，则的值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
18．判断下列二次根式是不是最简二次根式 把不是最简二次根式的化成最简二次根式
（1） .
（2） .
（3）
（4） .
19．（2025八上·深圳期中）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：解：原式，
小亮：解：原式．
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中．
20．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）已知 与|x-y-3|互为相反数，求 的值．
21．（2025八下·嘉兴期末） 形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.
例如：因为，所以与互为有理化因式.
（1） 判断与是不是有理化因式，并说明理由；
（2） 请直接写出的有理化因式；
（3） 请比较与的大小.
22．（2024八下·义乌期中）（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
23．（2023八下·鹿城月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③.
24．（2025八下·义乌月考）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数，点是关于x的函数图像上的一点，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义判断，
选项A：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，故选项A正确；
选项B：被开方数含有分母，故不是最简二次根式，选项B错误；
选项C：被开方数含有能开方的因数4，故不是最简二次根式，选项C错误；
选项D：被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，选项D错误；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因为或因式，被开方数不含分母，然后对各选项进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：当a=1时，=，不是二次根式，故A不符合；
当a=2时，=，不是最简二次根式，故B不符合；
当a=3时，=，是最简二次根式，故C符合题意；
当a=4时，=，不是二次根式，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的定义做出判断即可.
4．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；最简二次根式；无理数的概念
【解析】【解答】解：A选项=，是无理数，故A错误；
B选项 面积为32的正方形的边长是 ，正确；
C选项，正确；
D选项 根据数轴上的点与实数一一对应知 D 正确，
故答案为：A.
【分析】根据无理数的定义及根式的化简、数轴的相关知识做出判断.
5．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴原式
，
故答案为：．
【分析】先根据，得出，再化简．
6．【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 是同类二次根式，符合题意；
故答案为： D.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可.
7．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：因为若 ，
所以x-5≥0，
解得：
故答案为：C.
【分析】根据，由此性质解答即可.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】先根据有意义，求出x，再求出y，然后代入求值.
9．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：A、，故此选项正确，不符合题意；
B、，当x≥0时，原式=x-x=0；当x＜0时，原式=-x-x=-2x＞0，故此选项正确，不符合题意；
C、，当x≥1时，原式=x-1；当x＜1时，原式=1-x，故此选项错误，符合题意；
D、当x＜0时，，所以 在实数范围内有意义 ，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由乘积为1的两个数互为倒数可判断A选项；由进行化简，分两种情况可判断B、C选项；由已知条件可得，进而结合二次根式有意义的条件可判断D选项.
10．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】设n为任意正整数，
∴
∴
，
因此与s最接近的整数是2009．
故答案为：B．
【分析】先得到，然后开方，再运用裂项相加解题即可．
11．【答案】5；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：5，.
【分析】本题考查的是二次根式的性质：；，根据性质依次解题即可.，
12．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当a=-1时，二次根式，
故答案为：1.
【分析】直接把a的值代入进而得出答案.
13．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】二次根式的性质：.
14．【答案】3.5；1
【知识点】最简二次根式；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：最简根式 与 是同类二次根式，
，
解得.
故答案为：3.5；1.
【分析】在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
15．【答案】2025
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，解得：，
∴，
∴可化为，
∴，两边平方，得，
移项，得
故答案为：2025.
【分析】先根据式子有意义，求出a的取值范围，再化简，求得的值.
16．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴被开方数，即，
∴原式化简得：，
整理得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可判断x的范围，根据所得的x的范围将原等式化简，可求得x的值，把x的值代入所求代数式计算即可求解.
17．【答案】（1）解：=×=5×3=15.
（2）解：==×=6×100=600.
（3）解：==×=3×5=15.
（4）解：==××=2××13=
（5）解：原式==×=6
（6）解：原式===×=10-3×=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】⑴根据及进行计算.
⑵根据作答.
⑶根据及平方差公式计算
⑷先处理被开方数符合问题，再根据及计算.
⑸先处理被开方数符合问题，再根据及计算.
⑹根据计算.
18．【答案】（1）是最简二次根式.
（2）不是最简二次根式， .
（3）不是最简二次根式， .
（4）是最简二次根式.
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【分析】（1）根据被开方数不含分母；且被开方数不含能开得尽方的因数或因式即可判断；
（2）根据被开方数不含分母；且被开方数不含能开得尽方的因数或因式即可判断；根据二次根式的性质：（a≥0，b≥0）进行化简即可；
（3）根据被开方数不含分母；且被开方数不含能开得尽方的因数或因式即可判断；根据二次根式的性质：（a≥0，b≥0）进行化简即可；
（4）根据被开方数不含分母；且被开方数不含能开得尽方的因数或因式即可判断.
19．【答案】（1）小亮
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
【分析】首先根据，可得出，进而根据二次根式的性质，可得出，即可得出答案；
（2）首先得出，进而进行化简，即可得出，然后求出当时，代数式的值即可。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
，
当时，原式．
20．【答案】解：由题意，得 +|x-y-3|=0，
由非负数的性质，得
解得 ∴
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；实数的相反数
【解析】【分析】根据相反数的性质得出 +|x-y-3|=0， 再根据非负性得出二元一次方程组，解方程组得出x，y的值，再代入原式进行计算，即可得出答案.
21．【答案】（1）解： 是；因为，
所以与是有理化因式
（2）解：(2) 或
（3）解：因为，
而
所以
【知识点】实数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）判断与的乘积是否为有理数即可；
（2）由定义，利用平方差公式进行去分母，得有理化因式为或；
（3）将两式与各自的有理化因式相乘，得到相同的结果1，易知，则可比较得到结果.
22．【答案】解：（1），
，解得，
；
（2），
，且，
，则，
，则的平方根是．
【知识点】二次根式有无意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据非负数求出的值，然后代入代数式求立方根即可；
（2）利用二次根式的被开方数为非负数求出的值，进而求出y的值，代入求出平方根即可．
23．【答案】（1）；2mn
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵a、m、n均为正整数，
∴ ， 或 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
即a的值为12或28；
（3）解：①
②
③设 ，
则
，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）设 （其中a、b、m、n均为整数），
则有 ， ；
故答案为： ，2mn；
【分析】（1）根据题意例子给出的方法可直接求出答案；
（2）根据（1）的结论得2mn=6，即mn=3，结合m、n、a都是整数及有理数的乘法法则克的m=1、n=3或m=3、n=1，进而再根据（1）的结论得a=m2+3n2，代入计算即可；
（3）①根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
②根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
③设，将该式两边同时平方得，而，进而化简得，最后直接开平方，并结合二次根式的非负性即可得出答案.
24．【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）解：∵，∴，
，
．
∵点是关于x的函数图像上的一点，
，
，
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；点的坐标
【解析】【解答】解：（1），
∴点的“横负纵变点”为；
，
∴点的“横负纵变点”为；
故答案为：；．
【分析】
（1）正确理解题干中的新定义，根据“横负纵变点”的定义进行求解即可；
（2）根据材料一提供的信息，进行变形求解即可；
（3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可．
（1）解：，
∴点的“横负纵变点”为；
，
∴点的“横负纵变点”为；
故答案为：；．
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
，
．
∵点是关于x的函数图像上的一点，
，
，
，
．
1 / 11.2 二次根式的性质—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·杭州月考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025八下·北仑期末） 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义判断，
选项A：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，不含分母，故选项A正确；
选项B：被开方数含有分母，故不是最简二次根式，选项B错误；
选项C：被开方数含有能开方的因数4，故不是最简二次根式，选项C错误；
选项D：被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，选项D错误；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因为或因式，被开方数不含分母，然后对各选项进行判断即可.
3． 若 是最简二次根式，则a 的最小正整数值是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：当a=1时，=，不是二次根式，故A不符合；
当a=2时，=，不是最简二次根式，故B不符合；
当a=3时，=，是最简二次根式，故C符合题意；
当a=4时，=，不是二次根式，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的定义做出判断即可.
4．下列关于 的叙述，错误的是 ( )
A．是有理数 B．面积为32的正方形的边长是
C． D．在数轴上可以找到表示 的点
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；最简二次根式；无理数的概念
【解析】【解答】解：A选项=，是无理数，故A错误；
B选项 面积为32的正方形的边长是 ，正确；
C选项，正确；
D选项 根据数轴上的点与实数一一对应知 D 正确，
故答案为：A.
【分析】根据无理数的定义及根式的化简、数轴的相关知识做出判断.
5．（2024八下·平湖期末）二次根式化简结果正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴原式
，
故答案为：．
【分析】先根据，得出，再化简．
6．（2025八下·义乌月考）与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 是同类二次根式，符合题意；
故答案为： D.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可.
7．若则x的取值范围是（ ）
A．x<5 B．x≤5 C．x≥5 D．x>5
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：因为若 ，
所以x-5≥0，
解得：
故答案为：C.
【分析】根据，由此性质解答即可.
8．（2025八下·义乌期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．4050
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】先根据有意义，求出x，再求出y，然后代入求值.
9．下列选项错误的是（ ）
A． 的倒数是
B． 一定是非负数
C．若 ， 则
D．当 时， 在实数范围内有意义
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：A、，故此选项正确，不符合题意；
B、，当x≥0时，原式=x-x=0；当x＜0时，原式=-x-x=-2x＞0，故此选项正确，不符合题意；
C、，当x≥1时，原式=x-1；当x＜1时，原式=1-x，故此选项错误，符合题意；
D、当x＜0时，，所以 在实数范围内有意义 ，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由乘积为1的两个数互为倒数可判断A选项；由进行化简，分两种情况可判断B、C选项；由已知条件可得，进而结合二次根式有意义的条件可判断D选项.
10．（2024八下·慈溪期中）设，则S最接近的数是（ ）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】设n为任意正整数，
∴
∴
，
因此与s最接近的整数是2009．
故答案为：B．
【分析】先得到，然后开方，再运用裂项相加解题即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八下·慈溪期中） 计算： 。
【答案】5；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：5，.
【分析】本题考查的是二次根式的性质：；，根据性质依次解题即可.，
12．（2025八下·金华月考） 当 时，二次根式 的值为 .
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当a=-1时，二次根式，
故答案为：1.
【分析】直接把a的值代入进而得出答案.
13．（2023八下·东阳期末）把化为最简二次根式，结果是 ．
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】二次根式的性质：.
14． 已知最简根式 与 是同类二次根式， 则 ，
【答案】3.5；1
【知识点】最简二次根式；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：最简根式 与 是同类二次根式，
，
解得.
故答案为：3.5；1.
【分析】在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
15．（2025八下·义乌期中） 已知实数a满足，那么的值是 ．
【答案】2025
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，解得：，
∴，
∴可化为，
∴，两边平方，得，
移项，得
故答案为：2025.
【分析】先根据式子有意义，求出a的取值范围，再化简，求得的值.
16．（2024八下·温州期中） 已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴被开方数，即，
∴原式化简得：，
整理得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的双重非负性可判断x的范围，根据所得的x的范围将原等式化简，可求得x的值，把x的值代入所求代数式计算即可求解.
三、解答题（共8题，共72分）
17．化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）解：=×=5×3=15.
（2）解：==×=6×100=600.
（3）解：==×=3×5=15.
（4）解：==××=2××13=
（5）解：原式==×=6
（6）解：原式===×=10-3×=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】⑴根据及进行计算.
⑵根据作答.
⑶根据及平方差公式计算
⑷先处理被开方数符合问题，再根据及计算.
⑸先处理被开方数符合问题，再根据及计算.
⑹根据计算.
18．判断下列二次根式是不是最简二次根式 把不是最简二次根式的化成最简二次根式
（1） .
（2） .
（3）
（4） .
【答案】（1）是最简二次根式.
（2）不是最简二次根式， .
（3）不是最简二次根式， .
（4）是最简二次根式.
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【分析】（1）根据被开方数不含分母；且被开方数不含能开得尽方的因数或因式即可判断；
（2）根据被开方数不含分母；且被开方数不含能开得尽方的因数或因式即可判断；根据二次根式的性质：（a≥0，b≥0）进行化简即可；
（3）根据被开方数不含分母；且被开方数不含能开得尽方的因数或因式即可判断；根据二次根式的性质：（a≥0，b≥0）进行化简即可；
（4）根据被开方数不含分母；且被开方数不含能开得尽方的因数或因式即可判断.
19．（2025八上·深圳期中）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：解：原式，
小亮：解：原式．
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中．
【答案】（1）小亮
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
【分析】首先根据，可得出，进而根据二次根式的性质，可得出，即可得出答案；
（2）首先得出，进而进行化简，即可得出，然后求出当时，代数式的值即可。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
，
当时，原式．
20．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.1二次根式）已知 与|x-y-3|互为相反数，求 的值．
【答案】解：由题意，得 +|x-y-3|=0，
由非负数的性质，得
解得 ∴
【知识点】解二元一次方程组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；实数的相反数
【解析】【分析】根据相反数的性质得出 +|x-y-3|=0， 再根据非负性得出二元一次方程组，解方程组得出x，y的值，再代入原式进行计算，即可得出答案.
21．（2025八下·嘉兴期末） 形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.
例如：因为，所以与互为有理化因式.
（1） 判断与是不是有理化因式，并说明理由；
（2） 请直接写出的有理化因式；
（3） 请比较与的大小.
【答案】（1）解： 是；因为，
所以与是有理化因式
（2）解：(2) 或
（3）解：因为，
而
所以
【知识点】实数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）判断与的乘积是否为有理数即可；
（2）由定义，利用平方差公式进行去分母，得有理化因式为或；
（3）将两式与各自的有理化因式相乘，得到相同的结果1，易知，则可比较得到结果.
22．（2024八下·义乌期中）（1）若实数满足等式，求的值；
（2）已知，求的平方根．
【答案】解：（1），
，解得，
；
（2），
，且，
，则，
，则的平方根是．
【知识点】二次根式有无意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据非负数求出的值，然后代入代数式求立方根即可；
（2）利用二次根式的被开方数为非负数求出的值，进而求出y的值，代入求出平方根即可．
23．（2023八下·鹿城月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③.
【答案】（1）；2mn
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵a、m、n均为正整数，
∴ ， 或 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
即a的值为12或28；
（3）解：①
②
③设 ，
则
，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）设 （其中a、b、m、n均为整数），
则有 ， ；
故答案为： ，2mn；
【分析】（1）根据题意例子给出的方法可直接求出答案；
（2）根据（1）的结论得2mn=6，即mn=3，结合m、n、a都是整数及有理数的乘法法则克的m=1、n=3或m=3、n=1，进而再根据（1）的结论得a=m2+3n2，代入计算即可；
（3）①根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
②根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
③设，将该式两边同时平方得，而，进而化简得，最后直接开平方，并结合二次根式的非负性即可得出答案.
24．（2025八下·义乌月考）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数，点是关于x的函数图像上的一点，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）解：
；
（3）解：∵，∴，
，
．
∵点是关于x的函数图像上的一点，
，
，
，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；点的坐标
【解析】【解答】解：（1），
∴点的“横负纵变点”为；
，
∴点的“横负纵变点”为；
故答案为：；．
【分析】
（1）正确理解题干中的新定义，根据“横负纵变点”的定义进行求解即可；
（2）根据材料一提供的信息，进行变形求解即可；
（3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可．
（1）解：，
∴点的“横负纵变点”为；
，
∴点的“横负纵变点”为；
故答案为：；．
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
，
．
∵点是关于x的函数图像上的一点，
，
，
，
．
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