2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第二章 直线与圆的位置关系 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C D C B D B D
1．B
本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质，根据切线长定理，推出为等边三角形，即可得出结果．
解：∵ 别切⊙O于点A，B，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
故选B．
2．C
本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线到圆心距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径．
解：∵直线l与相交，
∴点O到直线l的距离，
又∵，
∴．
故选：C．
3．B
本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
解：的圆心P的坐标为，
，
的半径为2，
，
，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离为或，
故选：B．
4．C
本题考查了圆周角定理、三角形的外心与内心、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据三角形内心的定义可得，则，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．
解：∵点O是的外心，
∴，
∵点I是的内心，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故选：C．
5．D
此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案．
解：连接、、、，
∵与三边分别相切于点，且，，，
∴，，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：．
6．C
本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出．
解：∵，
，
∵是的内切圆，
，
，
，
故选： C．
7．B
本题主要考查了切线长定理，全等三角形的性质和判定，四边形内角和定理，
连接根据切线的性质和切线长定理得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据四边形内角和定理求出，最后根据得出答案．
解：连接，如下图，
∵是的切线，点A，B，E是切点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．D
根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出，可得的长；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是．
解：∵，
∴，
∴，即平分，故①正确；
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴三角形是等边三角形，故②正确；
如图，连接、，过点作，
则，
∵的半径为2，
，
∴，
∴，故正确；
如图，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，故正确；
如图，连接，并延长交于点M，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，
，
当的面积最大时，四边形的面积最大，
当点在的中点时，的面积最大，
的半径为，
点到线段的最大距离是，
的最大面积是，
四边形的最大面积是，故⑤正确；
综上所述，正确的是①②③④⑤，共5个．
故选：C．
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系．
9．B
本题主要考查了圆周角定理、切线的定义、直角三角形的性质，根据圆周角定理可知，根据切线的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：．
解：∵，
，
是的切线，
，
在中，．
故选：B．
10．D
求出直线与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围．
解：当直线与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图：
在中，
令时，，则与y轴的交点是，
当时，，则与x轴的交点是，
则，即是等腰直角三角形．
连接圆心和切点，则，
则．即；
同理，当直线与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，．
则若直线与相交时，的取值范围是．
故选：．
本题考查圆与一次函数图象相交的问题，关键是由直线与圆相切时求出的值．
11．
本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据题意可得与直线a相离或相切，即可求解．
解：∵与直线a至多只有一个公共点，
∴与直线a相离或相切，
∵的半径为4，
∴．
故答案为：
12．
本题考查三角形的内心和外心的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，内心是三角形角平分线的交点，外心是各边垂直平分线的交点．
由点为的内心可得的度数，由点为外接圆的圆心可得的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解．
解：连接，
点为的内心，
平分，
，
，
点为外接圆的圆心，
，
，
．
故答案为：．
13．
本题考查了正方形的性质以及折叠的性质，切线长定理，解直角三角形等知识．连接，如图，由正方形的性质得，再由折叠的性质得，接着根据切线长定理得到平分，则，所以，则利用可计算出，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出．
解：连接，如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∵沿折叠至，
∴，
∵，与以正方形的中心为圆心的相切，
∴平分，
∴，
∴，
而，
∴，
在中，．
故答案为：．
14．
本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键．由切线长定理可知：，得到，设，则，然后根据，列方程求解即可．
解：∵的内切圆与分别相切于点、、，
，
∴，
设，则，
则．
解得．
∴．
故答案为：．
15．/1.5
本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断．
解：当时，与半圆相切．
连接，，
∵为直径，
∴，
∵，
∴
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点E与点D关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵是半的半径，
∴与半相切，
∴当时，与半圆相切．
故答案为：．
16．
本题考查了本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质．首先根据平行线的性质和，可证，，根据可证，，从而可证，根据可知点在以中点为圆心以为直径的圆上，且当与相切时最大，根据勾股定理求出的长度，从而得到此时的值．
解：，，
，
在和中，
，
，
于点，
，
点在以中点为圆心以为直径的圆上，
如下图所示，
以点的中点为圆心，线段为半径作，
当与相切时最大，
设的半径为，
则有，，
，，
在中，，
．
故答案为： ．
17．玻璃球半径为3米
本题考查了解直角三角形，切线的性质，平行线间的距离．过点A作于点F，根据切线的性质以及平行线间的距离，可得米，再由，可得，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，即可求解．
解：过点A作于点F，
设玻璃球半径为米，
根据题意得：均为圆O的切线，，，
∵为直径，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∵，米，米，
∴米，
∴，
∴，
∵米，
∴，
∴米，
即玻璃球的半径为3米．
18．（1）；（2）①；②
本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理，解题的关键是：
（1）根据内心的定义求出，，然后根据三角形内角和定理求解即可；
（）①由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解；
②画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接，由内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点，即得，，，，利用勾股定理得，设，则，可得，，进而由得，解得，设，利用三角形面积得，最后利用勾股定理即可求解；
解∶（1）∵点是的内心．
∴平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）①∵在中，，
∴．
∵点是的内心，
∴，
∴；
②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接，
根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点，
∴，，，，
∵，，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
19．(1)证明见解析；
(2)．
（）由切线长定理得，又由可得垂直平分线段，即得，由是的直径，得，可得，即可得；
（）先证明四边形是菱形，得到，即得是等边三角形，得到，，进而得，可得，再利用勾股定理得，由四边形的面积为得，设为，则，即得，求出，得到，，，再根据计算即可求解．
（1）证明：，是的切线，
∴，
又∵，
垂直平分线段，
∴，
又是的直径，
，
，
；
（2）解：连接，
点是的中点，
与互相垂直平分，
∴四边形是菱形，
，
∴是等边三角形，
，
，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，
，
∴，
设为，则，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题考查了切线的性质，切线长定理，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，求弓形面积，掌握圆的有关性质定理是解题的关键．
20．(1)①见解析；②见解析；
(2)
（1）①根据切线长定理得到，即可根据证明；
②根据圆周角定理及（1）的结论推出，再结合平行线判定定理即可证明；
（2）连接，结合切线性质，以及直径所对圆周角为直角证明，利用勾股定理求出，再结合相似三角形性质求解，即可解题．
（1）①证明：为外一点，和为的两条切线，
，
，
；
②证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图，
由（1）知，
和为的两条切线，为直径，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
本题考查了切线长定理，切线性质，圆周角定理，全等三角形判定与性质，平行线判定定理，直径所对圆周角为直角，相似三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识．
21．(1)为等腰三角形，理由见解析
(2)
本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练利用切线的性质，进行角度的转换是解题的关键．
（1）连接，可得，根据，可得；
（2）求得，即可求得，，根据勾股定理求得，根据三角函数可得，即可解答．
（1）解：为等腰三角形，理由如下：
如图，连接，
，为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，即为等腰三角形；
（2）解：的半径为3，
，
，
，，
，
，
为直径，
，
根据三角函数可得，
即，
．
22．(1)小明的猜想正确，证明见解析
(2)车轮的半径为米
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键．
（1）连接，由切线的性质可证，由直径所对的圆周角是直角可证，再证明，进而可证；
（2）设车轮的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可．
（1）解：小明的猜想正确．
连接，如图
与相切，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
；
（2）设车轮的半径为r，则
，
米，
．
解得．
答：车轮的半径为米．
23．(1)证明过程见解析；
(2)阴影部分的面积为．
（1）由等边对等角，等量代换可得，由平行线的判定和性质，结合已知可得，即可证得结论；
（2）根据已知易得，由等边三角形的性质，结合平行线的性质，可得，从而可得，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，用的面积减去扇形的面积，即可得阴影部分的面积．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴与相切．
（2）解：∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
∴阴影部分的面积为．
本题考查等边对等角，平行线的判定和性质，证明某条直线是圆的切线，等边三角形的性质，含角的直角三角形，勾股定理，求不规则图形的面积．
24．(1)见详解
(2)①点G和点I到的距离都为2；②
（1）根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，于是得到结论；
（2）①在中，根据勾股定理得到，求得，如图，过点作，垂足为，设，根据三角形的面积公式得到点到的距离为2；过点G作，垂足为点P，由（1）可知：，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解；
②如图，作，垂足为，由①可得，然后根据相似三角形的性质与判定得到结论．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
是的中点，
，
，
，
∴；
（2）解：①在中，，，
∴，
∴，
∵，的角平分线交于点I，
∴点I是的内心，
过点作，垂足为，则即为内切圆的半径，设，根据三角形的内心的性质可知：
，
，
即，
∴点到的距离为2；
过点G作，垂足为点P，由（1）可知：，则有，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即点G到的距离为2；
②如图，作，垂足为，作，垂足为，
由①可知：，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
即，
∴，
∴，
．
本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．(共5张PPT)
第二章 直线与圆的位置关系
单元测试·过关卷分析
浙教版 九年级下册
知识点分布
一、单选题 1 0.85 等边三角形的判定和性质；应用切线长定理求证
2 0.85 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
3 0.75 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
4 0.75 等边对等角；三角形内角和定理的应用；圆周角定理；三角形内心有关应用
5 0.65 根据正方形的性质与判定求线段长；直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；切线的性质定理
6 0.65 三角形内切圆与外接圆综合；与角平分线有关的三角形内角和问题
7 0.65 多边形内角和问题；全等的性质和SAS综合（SAS）；应用切线长定理求解；切线的性质定理
8 0.65 圆与三角形的综合(圆的综合问题)
9 0.65 直角三角形的两个锐角互余；圆周角定理；切线的性质定理
10 0.64 判断直线和圆的位置关系；已知函数经过的象限求参数范围；求直线平移到与圆相切时运动的距离
知识点分布
二、填空题 11 0.75 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
12 0.65 等边对等角；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用；三角形内心有关应用
13 0.65 解直角三角形的相关计算；根据正方形的性质求线段长；正方形折叠问题；应用切线长定理求证
14 0.65 几何问题(一元一次方程的应用)；应用切线长定理求解
15 0.65 三线合一；根据成轴对称图形的特征进行求解；判断或补全使直线为切线的条件；等边三角形的判定和性质
16 0.64 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形；切线的性质和判定的综合应用
知识点分布
三、解答题 17 0.85 其他问题（解直角三角形的应用）；切线的性质定理
18 0.75 与角平分线有关的三角形内角和问题；用勾股定理解三角形；三角形内心有关应用
19 0.65 求其他不规则图形的面积；圆周角定理；应用切线长定理求证；切线的性质定理
20 0.65 相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；应用切线长定理求解；切线的性质定理
21 0.65 解直角三角形的相关计算；等腰三角形的性质和判定；半圆（直径）所对的圆周角是直角；切线的性质定理
22 0.65 圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
23 0.64 求其他不规则图形的面积；证明某直线是圆的切线
24 0.4 相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形；三角形内心有关应用2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第二章 直线与圆的位置关系 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图， 别切⊙O于点A，B，，那么弦的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
4．如图，点O是的外心，点I是的内心，连接、、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，是的切线，切点是点，直线交于点、，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ．
12．如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为 °．
13．如图，正方形的边长为6，点E是边上的一点，将沿着折叠至，若、恰好与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为 ．
14．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，则 ．
15．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切．
16．如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．图1是焦作市某路口的地标性建筑玻璃球，某兴趣小组想借助影子测量玻璃球的半径，兴趣小组建立了如图2所示的模型．在某一时刻，太阳光照射玻璃球，落在地面上的影子米，同一时刻，一根1米长竖直立在地面上的木杆的影子长米．设光线分别与相切于点，则即为玻璃球的直径，请求出玻璃球的半径．
18．追本溯源
题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数．
变式拓展
（2）如图2，在中，，点是的内心．
①求的度数；
②若，，求的长．
19．如图，、是的切线，是切点，是的直径，连接，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积．
20．如图，为外一点，和为的两条切线，和为切点，为直径．
(1)求证：
①．
②．
(2)若，求的长．
21．如图，在中，是直角，为的切线，交的延长线于点．过点作，与的延长线交于点．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
22．老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，．
(1)小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由．
(2)若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，的长为米，求车轮的半径．
23．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，过点作于点，交的延长线于点．
(1)求证：与相切；
(2)当为等边三角形且时，求阴影部分的面积．
24．如图，矩形中，对角线，相交于点O，M是的中点，交于点G．
(1)求证：；
(2)设，的角平分线交于点I，，．
①分别求点G和点I到的距离；
②作直线分别交，于E，F两点，求的值．
