(共5张PPT)
第二章 直线与圆的位置关系
单元测试·提升卷分析
浙教版 九年级下册
知识点分布
一、单选题 1 0.94 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
2 0.85 直角三角形的两个锐角互余；圆周角定理；切线的性质定理
3 0.65 与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用；圆周角定理；三角形内心有关应用
4 0.65 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；用勾股定理解三角形
5 0.65 根据正方形的性质与判定证明；应用切线长定理求证；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
6 0.65 应用切线长定理求解
7 0.65 圆与三角形的综合(圆的综合问题)
8 0.65 证明四边形是菱形；全等三角形综合问题；圆周角定理；切线的性质和判定的综合应用
9 0.65 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
10 0.64 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离；梯形中位线定理
知识点分布
二、填空题 11 0.85 已知直线和圆的位置关系求半径的取值；用勾股定理解三角形
12 0.75 等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；圆周角定理；三角形内心有关应用
13 0.65 根据正方形的性质与判定证明；应用切线长定理求证；直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；作角平分线(尺规作图)
14 0.65 相似三角形的判定与性质综合；求角的正弦值；应用切线长定理求证；切线的性质和判定的综合应用
15 0.65 应用切线长定理求解；用勾股定理解三角形
16 0.64 解直角三角形的相关计算；圆与三角形的综合(圆的综合问题)；相似三角形的判定与性质综合；切线的性质定理
知识点分布
三、解答题 17 0.75 含30度角的直角三角形；利用垂径定理求值；切线的性质定理；仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
18 0.65 已知圆内接四边形求角度；三角形内切圆与外接圆综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角
19 0.65 相似三角形的判定与性质综合；求其他不规则图形的面积；应用切线长定理求证；应用切线长定理求解
20 0.65 解直角三角形的相关计算；求弧长；相似三角形的判定与性质综合；应用切线长定理求解；圆周角定理；利用弧、弦、圆心角的关系求解
21 0.65 圆与三角形的综合(圆的综合问题)；利用垂径定理求值
22 0.65 解直角三角形的相关计算；圆周角定理；切线的性质定理；等边对等角
23 0.64 求其他不规则图形的面积；证明某直线是圆的切线
24 0.4 三角形内心有关应用；一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第二章 直线与圆的位置关系 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若半径为的与直线没有公共点，则圆心到直线的距离可以是（）
A． B． C． D．
2．如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图：已知O是的内心，，为平面上一点，点O恰好又是的外心，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，在中，，，是的内切圆，为切点，那么的内切圆半径长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（ ）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
6．如图，周长为的三角形纸片，其中．小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的直线DE剪下一个三角形纸片．则三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
10．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ．
12．如图，锐角内接于，I为内心，已知，则的度数为 ．
13．如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是 ．
14．如图，，，以为直径作半圆O，P为弧上一点，且最大，延长、，交于点D．则的值为 ．
15．如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为 ．
16．如图，内接于，为的直径，与相交于点E，F为下方上一点，且，连接，过点D作的切线，交延长线于点H，若，，，则的半径的长度为 ，的长度为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．图是水池边的一块警示牌的侧面示意图，矩形铁架垂直固定在水平地面上，铁架上面是一个边缘为圆弧形的塑料面板． 已知，，优 弧所在圆的圆心的距离为， 小龙在水池对面的点E处用测角仪测得塑料面板点 F 处的仰角为 （注：此时视线与圆弧形塑料面板相切，且与矩形在同一平面内，点E，A，B 在同一水平线上）．
(1)求优弧所在圆的半径．
(2)求的长度（结果保留根号） ．
18．如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接．
(1)若，求的度数：
(2)若，，，请直接写出与的数量关系；
(3)找出图中所有与相等的线段，并证明．
19．如图，是半圆的直径，，，分别与半圆相切于点，，，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求两块阴影部分面积之和．
20．如图，是的直径，直线l是的切线，B为切点，P是圆上位于直径的右侧一点（不与点A重合），作射线交直线l于点C．
(1)【初步感知】
如图1，当，长为时，求的长；
(2)【拓展应用】
①在图2中用圆规和无刻度的直尺在射线上求作一点D，使（两种工具分别只限使用一次，保留作图痕迹）；
②在①的条件下连接交圆于点Q，，求的值；
(3)【素养提升】
如图3，当时，连接，直接写出的值．
21．如图，为的直径，为的弦，C为上一点，，，垂足为D．
(1)连结，判断与的位置关系．并证明；
(2)若，，求的半径．
22．如图，以为直径的经过点C，过点C作的切线交的延长线于点P，D是上的点，且弧弧，弦的延长线交切线于点E，连接．
(1)求的度数；
(2)若的直径为5，，求的长．
23．如图，为的直径，F为弦的中点，连接并延长交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求图中阴影部分的面积．
24．阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系．
解：如图①，连接OA，OB，OC．
，，
，，．
解决问题：
(1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径．
(2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式．2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第二章 直线与圆的位置关系 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A B A D C B D
1．A
本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆无公共点时，两者相离，圆心到直线的距离大于半径是解题的关键．
根据直线与圆的位置关系求解即可．
解：∵与直线l无公共点，
∴直线l与相离，
∴圆心O到直线l的距离半径，
选项中只有，即选项A符合题意．
故选：A．
2．B
本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余．由圆周角定理可得出，由圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
解：∵，，
∴．
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴．
故选：B
3．C
本题考查三角形的内心和外心、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接、，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得，再根据圆周角定理得到即可求解．
解：连接、，
∵，
∴，
∵是的内心，
∴，，
∴，
∴，
∵是的外心，
∴点在上，
∴，
故选：C．
4．A
本题考查了三角形内切圆，勾股定理．
根据勾股定理得到，连接，根据为切点可知，设的内切圆半径长为，根据等面积法计算即可．
解：∵，，，
∴，
如图，连接，
∵为切点，
∴，
设的内切圆半径长为，
∴，
即，
解得：．
故选：A．
5．B
此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
如图所示，连接，证明四边形是正方形，设步，根据切线长定理，得到步，步，利用勾股定理求出，然后构建方程求解即可．
解：如图所示，连接，，．
∵，是的切线，
∴，．
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形．
设步，则步，步，
∵，，是的切线，
∴步，步．
∵步，
∴步．
∴．
∴．
故选：B．
6．A
本题考查切线长定理．
设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理，等量代换，即可得三角形的周长．
解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示：
由切线长定理可得，，，，，
∵，，
∴，，
∴
，
∴三角形的周长是．
故选：A．
7．D
本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系．
解：∵中，，，，
∴，
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴的直径为5，半径，
过点作于，连接，
∵，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故选D．
8．C
（1）连接、，根据圆的切线的性质判定，得到，即可判断；（2）结合（1）证明，推出，即可判断；（3）连接，根据直径得到，进而证明，推出是等边三角形，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半，即可判断；（4）根据菱形和等腰三角形的性质，即可判断．
解：（1）连接、，
与相切，切点为，
，
在和中，
，
，
，
又是半径，
与相切，（1）结论正确；
（2）由（1）得：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，（2）结论正确；
（3）连接，
，
，
是直径，
，
在和中，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，（3）结论正确；
（4）四边形是菱形，，
，，
，
，（4）结论错误；
即正确个数有3个，
故选：C
本题考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
9．B
本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论．
分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可．
解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为；
当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为．
故选：B．
10．D
考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案．
解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E，
连接，则，，
又∵，
∴此时．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴，
∴，
∴直线要和圆相交，则．
故选D．
11．
本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．
作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围．
解：作于，如图所示：
∵，
∴，
∵的面积，
∴，
即圆心到的距离，
∵，
∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，
∴若与斜边有两个公共点，则的取值范围是．
故答案为：．
12．/110度
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理等，根据等腰三角形的性质求出的度数是解决问题的前提．根据及的度数，求出，可知，由为内心，得、为、的平分线，则有，即可解决问题．
解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为内心，
∴、为、的平分线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
13．①③
本题主要考查了尺规作角平分线，内心的性质，切线长定理，正方形的判定与性质．
延长交于点H，连接，根据尺规作图的过程可知平分，再根据的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，可得，由等腰三角形三线合一可判断①③；由直角三角形的性质可得，结合可判断②．
解：延长交于点H，连接，
由作图过程可知平分，则，
∵的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴垂直平分，即垂直平分，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，故②错误；
则正确的结论有①③．
故答案为：①③．
14．/0.6
本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理，根据切线的性质和判定得到，利用切线长定理得到，证明，设，，则，利用相似的性质得到，进而得到，再根据正弦的定义求解，即可解题．
解：连接，
P为弧上一点，且最大，
，，
，
与圆相切于点，与圆相切于点，
，，
，
，
，
，
设，，则，
，
，，
，
，
，
，
．
15．
本题考查了勾股定理，切线长定理．设，根据切线长定理得出，，进而运用勾股定理列式计算，即可得出的长．
解：记与相切于点，连接，如图所示：
设，
∵的内切圆分别与、相切于点、点，
∴,，，
则，
在中，，
∴，
解得，
即的长度为．
故答案为：．
16． 6
先根据直径所对的圆周角等于90度，得到，通过，算得，利用勾股定理求得，即可得到半径的长度，过点作于，利用面积法求得，利用勾股定理求得，接着证明，得到，从而得到的长度，接着利用，算得，结合勾股定理求得，然后证明，算得，最后利用算得答案．
解：∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径的长度为6
过点作于，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：6，．
本题考查了勾股定理，圆周角定理及其推论，三角形相似的判定与性质，等腰三角形三线合一，三角形内角和定理，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
17．(1)
(2)
（1）设优弧所在圆的圆心为O，过点O作的垂线，分别交，于点G，H，连接，由垂径定理可知，，再由勾股定理解即可；
（2）连接，延长，交于点K，由切线的定义得，由含30度角的直角三角形的性质求出，用三角函数解求出，根据即可得出答案．
（1）解：如图，设优弧所在圆的圆心为O，
过点O作的垂线，分别交，于点G，H，连接，
则，，
，
由垂径定理可知，平分，
，
在中，由勾股定理得：，
优弧所在圆的半径为．
（2）解：如图，连接，延长，交于点K，
是的切线，
，
，，
，
，
，
在 中，，
，
．
本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解直角三角形，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是根据题干描述抽象出数学模型，通过作辅助线解决问题．
18．(1)
(2)
(3)，证明见解析
本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键．
（1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可；
（2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系；
（3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到．
（1）解：∵内接于，是上任意一点，
∴四边形为圆内接四边形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴；
（2）同（1）法可得：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3），证明如下：
连接，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)
本题考查了切线的性质、角平分线的判定定理和相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解决本题的关键．
（1）根据切线的性质和角平分线的判定定理可得，，平分，平分，进而根据角的转换求证即可；
（2）连接，根据切线的性质可得，，，再证明可得，进而求解即可．
（1）证明：，，分别与半圆相切于点，，，
，，平分，平分，
，，，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图，
，，分别与半圆相切于点，，，
，，，
∴，
，，
，
，
，
，
解得，
，
，
两块阴影部分面积之和
．
20．(1)
(2)①见解析；②
(3)
（1）连接，设，根据弧长公式可得，从而得到，再结合切线的性质，直角三角形的性质解答即可；
（2）①以点P为圆心，长为半径画弧交另一点于，作射线交直线l于点D，即可；②过点C作于点F，连接，设，则，根据角平分线的性质可得，从而得到，进而得到，再结合锐角三角函数可得，，即可求解；
（3）连接，则，证明，可得，再由，可得，再由，可得，根据，可得，即可求解．
（1）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∵长为，
∴，解得：，
即，
∴，
∵直线l是的切线，B为切点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图，点D即为所求；
理由：连接，
由作法得：，
∴，
∴；
②如图，过点C作于点F，连接，
∵是的直径，
∴，
设，则，
∵直线l是的切线，B为切点，
∴，
由①得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由得：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式．
21．(1)，理由见解析
(2)
（1）延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；
（2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可．
（1）解：，理由如下：
延长交于点，连接，
，
，
；
（2）解：由（1）中结论，，，
∴，
，
设的半径为，则，
在中，，
即，
解得：，
即的半径为．
本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．(1)
(2)
本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质等，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，证明，，推出，根据平行线的性质得到．根据切线的性质即可得到结论；
（2）运用三角函数值在中求得，然后在中求得即可．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，C为切点，
∴．
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)
本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）欲证明是的切线，只要证明，即可；
（2）由，推出，推出，求出即可．
（1）证明：∵F为弦的中点，
∴．
∵，
∴．
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
∵F为弦的中点，
∴，．
∴
∵，
．
．
．
．
在中，，
．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵F为弦的中点，
∴点是的中点，
∴，
∴，
．
24．(1)2
(2)
（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径；
（2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式．
（1）解：，
此三角形为直角三角形，
三角形的面积，
．
（2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则
，
．
本题考查了三角形和四边形分别与内切圆的半径关系．
