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第二章 直线与圆的位置关系
单元测试·培优卷分析
浙教版 九年级下册
知识点分布
一、单选题 1 0.94 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
2 0.85 根据正方形的性质求线段长；切线的性质和判定的综合应用
3 0.65 圆与四边形的综合(圆的综合问题)；圆周角定理；用勾股定理解三角形
4 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；用勾股定理解三角形；一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
5 0.65 应用切线长定理求解；三角形内心有关应用
6 0.65 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；用勾股定理解三角形
7 0.65 三角形内切圆与外接圆综合；正多边形和圆的综合；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
8 0.65 含30度角的直角三角形；等边三角形的判定和性质；应用切线长定理求证；切线的性质定理
9 0.65 应用切线长定理求解
10 0.64 求弧长；圆周角定理；证明某直线是圆的切线
知识点分布
二、填空题 11 0.75 等边对等角；三角形的外角的定义及性质；圆周角定理；切线的性质定理
12 0.65 应用切线长定理求解；三角形内心有关应用
13 0.65 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
14 0.65 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；应用切线长定理求证；切线的性质定理
15 0.65 根据正方形的性质求线段长；应用切线长定理求解；用勾股定理解三角形
16 0.64 利用垂径定理求值；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
知识点分布
三、解答题 17 0.75 等边对等角；三角形内角和定理的应用；圆周角定理；三角形内心有关应用
18 0.65 求其他不规则图形的面积；应用切线长定理求证；证明四边形是平行四边形；切线的性质定理
19 0.65 求其他不规则图形的面积；应用切线长定理求解；切线的性质定理
20 0.65 同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；切线的性质定理；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
21 0.65 已知圆内接四边形求角度；利用垂径定理求值；半圆（直径）所对的圆周角是直角；切线的性质定理
22 0.65 等腰三角形的性质和判定；求其他不规则图形的面积；半圆（直径）所对的圆周角是直角；证明某直线是圆的切线
23 0.64 解直角三角形的相关计算；证明某直线是圆的切线；切线的性质定理
24 0.4 圆与三角形的综合(圆的综合问题)；相似三角形的判定与性质综合；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第二章 直线与圆的位置关系 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若直线l与半径为6的相离，则圆心O到直线l的距离d满足（ ）
A． B． C． D．
2．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
3．已知的半径是，直线与相交于，两点，点，分别在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（ ）
A．25 B． C． D．
4．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知的两直角边长分别为6，8，则此三角形内切圆的半径是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．如图所示，已知，切于A，B两点，C是上一动点，过点C作的切线交于点M，交于点N，连接，，已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的直径，点D，E在上，点C在的延长线上，连接．若，，．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ）
①的长为；②是的切线
A．只有①正确 B．只有②正确
C．①、②都正确 D．①、②都不正确
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，的边经过的圆心O，与相切于点B，D是上的一点，连接，．若，则的大小为 ．
12．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．则的值为 ．
13．如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为 ．
14．如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为 ．
15．如图，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为，过点作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，设正方形的边长为，长为，则与的函数关系式为
16．如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，是的弦，点D在上，连接 ．
(1)若，则_________°．
(2)用无刻度直尺和圆规作，使点D为的内心（保留作图痕迹，不写作法）．完成下列问题
①当时，求的度数．
②连接，证明：C、D、O三点共线．
18．如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π）
19．如图，在中，，，，与直角边，相切于点，．
(1)连接，，则四边形的形状为______；
(2)若与相切于点，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
20．如图，在四边形中，是的切线，，，为的外接圆．
(1)如图1，若，求；
(2)如图2，交于点，过点作，垂足为，交于点，若，求的长．
21．如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求半径长．
22．如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点F，连接，过点D作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若的半径为5，，求阴影部分的面积．(π取3)
23．某户外拓展基地有一个三角形攀岩架，其中，，．是斜边上的可移动锚点，工作人员以点为圆心，的长为半径固定了一个圆形安全防护圈（），防护圈与边交于点（点不与点重合）．
(1)如图1，当圆形防护圈恰好与边（攀岩架的垂直侧边）相切时，求这个防护圈的半径．（结果保留根号）
(2)如图2，当锚点移动至的位置时，工作人员在点与点之间拉设了一根安全绳，请你判断这根安全绳与圆形防护圈是否相切，并说明理由．
24．如图1，是的直径，点C在上，点P是直径延长线上一点，且满足，作于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，延长交于点Q，延长交于点E，连接与交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式．2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第二章 直线与圆的位置关系 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C A D C C C
1．B
本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键．
根据圆与直线的位置关系，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径即可求解．
解：∵直线与相离，的半径为，
∴圆心到直线的距离，
故选：B．
2．C
此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键．
设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16．
解：∵四边形是正方形，
∴，
，
设正方形的边长为，，则，
∵经过的半径的外端，且，
∴是的切线，
∵与相切于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴正方形周长为16，
故选：C．
3．D
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，几何图形面积最值的计算，掌握圆内接四边形的性质，得到当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为是解题的关键．
如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，由内接四边形可得，由圆周角定理可得，则，，所以有，由题意可得当的值最大时，四边形面积有最大值，即与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，由此即可求解．
解：如图所示，作直线，连接，过点作于点，过点作于点，
∵的半径是5，
∴，，
∵点都在圆上，
∴四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴当的值最大时，四边形面积有最大值，
∴当点与点重合，点与点重合时，，此时值最大，最大值为，
∴四边形面积的最大值是，
故选：D ．
4．B
本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，根据直角三角形的边角关系和性质求出，，，，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示，，由可求出答案．
解：如图，连接，，，，，，过点O，点I分别作的垂线，垂足分别为M，N，
在中，，，，
∴，
∵为中线，
∴，
∵，即，
∴
∴．
故选：B．
5．C
本题考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，设与、直线分别相切于点D、E、F、H，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案．
解：设与、直线分别相切于点D、E、F、H，
∵的周长为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴剪下的三角形的周长为，
故选：C．
6．A
本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，先通过勾股定理求出斜边长，再利用直角三角形内切圆半径公式计算.
解：∵在Rt△ABC中，两直角边分别为6和8，
∴斜边，
∴内切圆半径，
故选：A．
7．D
本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，，过点作，垂足为点，根据正多边形的性质和圆的性质证明是等边三角形， 得到、的长，然后利用勾股定理求出的长即可．
解：如图，连接，，过点作，垂足为点，
六边形是正六边形，点是它的中心，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中， ，
即它的内切圆半径为 ，
故选：D．
8．C
根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出．
解：∵，是的两条切线，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，，
，
∴，
∴．
故选：C．
本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
9．C
本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
根据三角形内角和定理求出的度数，根据补角的概念求出，根据切线长定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．
解：∵，
∴，
∵、是的切线，
∴，
∵、是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
此题考查了圆周角定理、弧长公式、切线的判定等知识．根据圆周角定理求出，利用弧长公式即可求出的长，再证明，即可证明是的切线．
解：连接，
∵，
∴，
∴
∴的长为，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线
故②正确，
故选：C
11．
本题考查了三角形的外角的定义及性质，等边对等角，圆周角定理，切线的性质定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先利用切线的性质得出，从而可求得，再利用等边对等角得出，从而可利用外角的性质求得，再利用圆周角定理求解即可．
解：连接，
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．10
本题考查了三角形内切圆的切线长定理，根据切线长定理得到线段之间的等量关系，再结合已知条件设，求出的长，进而求出的值．
解：∵的内切圆与，，分别相切于点D、E、F，
∴，，，
设，则，，，
又∵，
∴，解得，
∴，，
∴．
故答案为：10．
13．1
本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒
连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒
解：如图，连接﹒
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形﹒
设的半径为r，则﹒
∵为的内切圆，
∴，
∴在中，根据勾股定理得，
解得（舍去）﹒
∴的半径为1﹒
故答案为：1
14．/
连接，圆周角定理得到，利用切线长定理得到为等边三角形，进而得到，利用解直角三角形得到，作，证明，利用相似三角形的性质求解，即可解题．
解：连接，
∵是的直径，
，
∵切于点A，切于点B，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
作，
，
，
，
故答案为：．
本题考查了切线的性质、切线长定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点；熟练掌握切线的性质和相似三角形的性质和判定是解题的关键．
15．
本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
由正方形的性质可得，根据切线长定理有，，则，，再根据勾股定理可得，代入数值整理即可求解．
解：∵正方形的边长为，
∴，
∵过点作半圆的切线，与半圆相切于点，长为，
∴根据切线长定理有，，
则，，
在三角形中由勾股定理得：，
即，
整理可得：，
故答案为：．
16．
本题考查了垂径定理，切线的性质定理，矩形的判定和性质，勾股定理．
连接，，作交于点，根据垂径定理得到，则，根据切线的性质定理得到，进而证明四边形是矩形，得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求出圆心P的坐标．
解：如图，连接，，作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵与y轴相切于点C，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴圆心P的坐标是．
故答案为：．
17．(1)
(2)图见解析；①；②见解析
本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，内心，尺规作图．
对于（1），先根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质得出答案；
对于（2），用尺规作，交于点C，则即为所求作；
①先根据圆周角定理得，再根据内心的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案；
②先连接，设，再表示，即可得，然后根据三角形内角和定理求出根据内心的性质得，接下来在中，根据三角形内角和定理表示出，进而在中表示出 ，最后结合可得答案.
（1）解：∵，
∴.
∵，
∴.
故答案为：；
（2）解：如图， 为所求三角形．
①，理由：，
由作图得，，
∴．
故答案为：；
②证明：连接，设，
则：，
由内心得：，
在中，，
在中，，
在中， ．
所以，
所以C、D、O三点共线．
18．(1)见解析
(2)
（1）通过切线性质得垂直关系，因为，则可得由切线长定理得，结合中点得，则，可得，则四边形为矩形，则，且，故，且，从而判定平行四边形；
（2）因为，则矩形为正方形，利用计算阴影部分面积．
（1）证明：如图，连接，
与都是的切线，
，，
，
，
又点C为的中点，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，且，
，且，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知，四边形为矩形，
又∵，
矩形为正方形，
阴影部分的面积是．
本题考查圆的切线性质，切线长定理，平行四边形的判定，矩形、正方形的判定，扇形面积，掌握相关知识是解决问题的关键．
19．(1)正方形
(2)1
(3)
本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一般将它转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系．
（1）根据切线的性质结合已知得，，再根据正方形的判定定理，即可得出结论；
（2）如图，连接、、，根据切线的性质得，，，，则，根据勾股定理得，再由可得关于r的方程，解方程即可；
（3）根据计算面积即可．
（1）解：∵与直角边，相切于点，，，
∴，，
∴四边形的形状为正方形，
故答案为：正方形；
（2）解：如图，连接、、，
∵与直角边，相切于点，，与相切于点，
∴，，，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
由（1）知四边形的形状为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）解：阴影部分的面积为：
．
20．(1)
(2)
（1）由圆的切线定理可知，进而得出，由平行线的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度可得出，由直角三角形两锐角互余可得出，由同弧与等弧所对的圆周角相等可得出，，等量代换可得出．
（2）连接，由圆内接四边形对角互补结合可得出，由同角的余角相等可得出，结合可得出，再利用等角对等边可证出，由，可证出，利用全等三角形的性质可求出的长，设，在中，利用勾股定理可求出x的值，此题得
（1）解：连接并延长交于点E，连接．
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：如图2，连接，
∵，为的外接圆．
∴垂直平分，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中
∴
∴，，
设，
在中，，，
∴
由勾股定理，得：，
∴，
∴，
∴．
本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线．
21．(1)见解析
(2)
（1）连接，因为是的切线，所以，再根据四边形内接于求出，则，从而得到，又由等弧所对的圆周角相等得，即可得出结论；
（2）连接，设与相交于点F，设．由垂径定理求出，由勾股定理求出，然后根据求解即可．
（1）证明：连接，
∵，
∴是的直径，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵四边形内接于，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，设与相交于点F，设．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）连结，由等边对等角得出，进而得出，由平行线的性质得出，进一步即可证明是的切线．
（2）由直径所对的圆周角等于90度，可得出，结合已知条件可得出，再由平行线的性质得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，进而可得出．
（3）连结，先求出，再求出，最后根据求解即可．
（1）证明：连接，记与交于点I，如图，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵为的半径，
∴是的切线．
（2）证明：∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
则，
∴，
∴
本题主要考查了证明某条直线是圆的切线，直径所对的圆周角等于90度，等腰三角形的判定和性质，求扇形面积等知识，掌握这些知识是解题的关键．
23．(1)这个防护圈的半径
(2)相切，理由见详解
本题主要考查切线的性质与判定及三角函数，熟练掌握切线的性质与判定及三角函数是解题的关键；
（1）设与相切于点E，连接，由题意易得，，然后可设，则有，进而问题可求解；
（2）由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而问题可求解．
（1）解：设与相切于点E，连接，如图所示：
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
设，则有，
∵，
∴，
解得：，
答：这个防护圈的半径．
（2）解：相切，理由如下：
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
24．(1)见解析
(2)
(3)
（1）连接，由可得，再由直径所对的角是直角有，由，可得，最后根据切线的判定定理求解即可；
（2）在中，根据勾股定理可得，由可证得，根据相似三角形的性质有，即，设，，可得，由此求解即可；
（3）连接，设，根据圆的性质，平行线的判定与相似三角形的判定可证得，由则有，，，，因此，在中，根据勾股定理可得，最后联立两式求解即可．
（1）解：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
又，
，
即且是的半径，
是的切线；
（2）在中，，
且，
，
，
设，，
则，
，
解得，
；
（3）连接，设，
是的直径，
又，
，
，
，则，，，，
①
在中，，
②
将②代入①式得．
本题主要考查了圆的相关性质，勾股定理，平行线的判定，相似三角形的性质与判定，切线的判定定理等，灵活运用相关知识，构造合适的辅助线是解题的关键．
