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第三章 投影与三视图
单元测试·培优卷分析
浙教版 九年级下册
知识点分布
一、单选题 1 0.94 中心投影
2 0.85 正投影
3 0.75 平行投影；相似三角形实际应用
4 0.65 正多边形和圆的综合；求弧长；求扇形面积；求圆锥侧面积
5 0.65 已知三视图求侧面积或表面积
6 0.65 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
7 0.65 由三视图，判断小立方体的个数
8 0.65 由三视图还原几何体；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形；已知三视图求体积
9 0.65 中心对称图形的识别；画简单组合体的三视图
10 0.64 判断简单几何体的三视图
知识点分布
二、填空题 11 0.85 求圆锥侧面展开图的圆心角
12 0.85 整式加减的应用；已知三视图求侧面积或表面积
13 0.75 由三视图，判断小立方体的个数
14 0.65 从不同方向看几何体
15 0.65 判断简单几何体的三视图
16 0.65 中心投影；相似三角形的判定与性质综合
知识点分布
三、解答题 17 0.85 画简单组合体的三视图；特殊角三角函数值的混合运算
18 0.75 中心投影
19 0.65 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数；画小立方块堆砌图形的三视图
20 0.65 解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；求弧长；求圆锥底面半径
21 0.65 求圆锥侧面积；用勾股定理解三角形
22 0.65 解直角三角形的相关计算；几何体展开图的认识；由展开图计算几何体的表面积；由三视图还原几何体
23 0.65 解直角三角形的相关计算；圆锥侧面上最短路径问题；三线合一；求圆锥侧面展开图的圆心角
24 0.4 方案问题(二元一次方程组的应用)；求圆锥侧面展开图的圆心角；等边三角形的判定和性质2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第三章投影与三视图 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B B B C A D A
1．B
本题考查了中心投影的知识，根据由灯光形成的投影是中心投影判断即可．
解：皮影戏的光源通常使用一盏煤油灯，其投影属于中心投影．
故选：B
2．B
本题考查正投影的判断，掌握正投影是平行光线且与投影面垂直的投影，据此逐一判断投影类型是解题的关键．
根据正投影的定义，判断每个投影是否为平行光线且与投影面垂直的投影．
解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影．
第一个投影是中心投影，不是正投影；
第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影；
第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影；
所以正投影有1个．
故选：B．
3．B
本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再代入计算即可．
解：∵，，点B、C、E在一条直线上，
∴，
∴，
∴，即，
由题意得为，标杆的高为，，
∴，
解得，
故选：B．
4．B
此题考查了扇形的弧长、正六边形的性质、圆锥的相关知识，得到圆锥的底面周长与扇形的弧长相等是解题的关键，进而再利用底面积与侧面积公式之比解决问题．设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r，由六边形为正六边形，得到，根据圆锥的底面周长与扇形的弧长相等可得 ，再根据与，整理后即可得到答案。
解：设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r，
∵六边形为正六边形，
，
根据题意得，
。
，，
即该圆锥的底面面积与圆锥的侧面积之比为．
故选：B．
5．B
本题考查了由三视图判断几何体和几何体的表面积．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥．
根据三视图知：该圆锥的母线长为，底面半径为，
故表面积．
故选：B．
6．B
本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和俯视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，再由主视图可得第二层、第三层正方体最多和最少可能的个数，再计算求出结论即可．
解：根据主视图和俯视图，这个几何体的底层有7个小正方体，
第二层最多有6个小正方体，最少有2个小正方体，
第三层最多有3个小正方体，最少有1个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最多有16个，最少有10个小正方体．
如图，
则所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是6，
故选：B．
7．C
根据题意，得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二、三层正方体的个数，相加即可．
本题考查的是几何体的三视图和学生的空间想象能力，属于常考题型，掌握求解的方法是解题关键．
解：根据题意，得图如下：
一共有个，
故选：C．
8．A
本题考查了根据三视图求几何体的体积，勾股定理，等边三角形的性质，由三视图得到正三棱柱的底面为等边三角形，等边三角形的高为，正三棱柱的高为，根据正三棱柱的体积为底面积乘以高，进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，由题意可得，正三棱柱的底面为等边三角形，过作于点，
∴，
∴，
∴，即等边三角形的高为，
∴这个正三棱柱的体积是，
故选：．
9．D
先根据图形画出三视图，然后再根据中心对称图形的性质进行判断即可；
解：根据原图画出三视图如图所示：
∵ 中心对称图形是旋转180°之后能与自身完全重合的图形，
∴ 俯视图为中心对称图形，
故选：D．
本题考查了三视图以及中心对称图形的辨别，正确掌握知识点是解题的关键．
10．A
本题考查了几何体的主视图概念，解题的关键是明确主视图是从物体正面观察得到的图形．
先确定主视图的观察方向（正面），再分析该圆柱零件从正面观察得到的图形形状，匹配对应选项．
解；主视图是从物体正面观察得到的视图．
该零件是圆柱，从正面观察圆柱，看到的图形是长方形
故选A．
11．/
本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为，扇形面积可求得半径；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数．
解：设扇形的半径为，则，
解得：；
设扇形圆心角度数为度，则，
解得：，
即扇形圆心角为；
故答案为：．
12．
本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用，能表示出所求几何体的表面积是解题的关键．；由正方体的表面积得，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解；
解：由题意得，
，
，
，
，
故答案为：．
13．5
本题主要考查了根据三视图还原几何体，根据俯视图和主视图可确定列数和行数，进而确定每列的小正方体个数，据此可得答案．
解：由俯视图可知，该几何体只有一行，由主视图可知，该几何体有三列，其中从左边起第一列有1个小正方体，第二列和第三列都有两个小正方体，
∴这个几何体的小正方体的个数是个，
故答案为：5．
14．
本题考查了由从正面看和从左面看的图形，能根据从正面看和从左面看的图形画出从上面看到的图形是解题的关键．
解：由题意得
或或
从上往下看，用最少的立方体摆放如上图，符合题意；
所以最少需要个小正方体，
故答案：．
15．②③
本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从正面看得到的图形是主视图是解决本题的关键，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解：①球的主视图是圆，不符合题意；
②圆柱的主视图是长方形，符合题意；
③四棱柱的主视图是中间有两条虚线的长方形，符合题意；
④三棱柱的主视图是三角形，不符合题意．
所以主视图是长方形的是②③．
故答案为：②③．
16．8
本题考查了相似三角形的应用．根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得．
解：根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∴小树高度．
故答案为：8．
17．（1）三视图见解析；
（2）
本题考查三视图以及特殊三角函数的混合运算；
（1）根据从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，注意“长对正，宽相等、高平齐”；
（2）先代入特殊角的三角函数值，然后再按照实数的混合运算进行计算即可．
（1）解：三视图如下：
．
（2）解：原式
．
18．图见解析
本题考查中心投影，连接并延长，交点即为光源的位置，连接，作，交于点，即为所求．
解：如图，点即为所求，线段即为所求．
19．(1)见解析
(2)4
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
（1）根据简单组合体的三视图的画法画出它的三视图即可；
（2）在俯视图相应位置标注添加最多时的数量即可．
（1）解：该几何体的三种视图如下：
（2）解：在俯视图相应位置标注添加最多时的数量如图所示，所以最多可以再添加4个小立方块．
故答案为：4．
20．0.58米
本题考查了垂径定理，锐角三角函数，弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
连接，过点O作于点D，作于点E，根据弦心距的性质得到，利用三角函数即可求得的长，由垂径定理即可求出的长，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．
解：连接，过点O作于点D，作于点E，
∵，，都是弦心距，
∴，
∵，，
∴
∴在中，（米），
∴（米），
则扇形的弧长为（米），
∴圆锥的底面圆的半径为（米）．
答：该圆锥的底面半径约为0.58米．
21．(1)
(2)制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布
本题考查圆锥侧面积公式，圆的面积公式，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）过点B作交于点E，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）计算顶罩的表面积，而，代入，结果保留整数即可．
（1）解：过点B作交于点E，作出圆锥的侧面展开图扇形，如图：
∵的直径，的直径，点O、共线，与、都垂直，，
∴在中，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
在中，
，，
，
；
．
制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布．
22．(1)正六棱柱
(2)见解析
(3)
本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识．
（1）根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱；
（2）根据正六棱柱的特征在图2中补全它的表面展开图；
（3）根据其表面积是六个面的面积加上两个底的面积，从而得出答案．
（1）解：根据该几何体的三视图知道它是一个正六棱柱．
故答案为：正六棱柱；
（2）解：补全六棱柱的表面展开图，如下：
（3）解：由图中数据可知：六棱柱的高为，底面边长为，
六棱柱的侧面积为．
如图，设正六边形的中心为，连接，，作于点，
；
∴
∴密封纸盒的底面面积为：，
六棱柱的表面积为．
23．(1)
(2)
本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可；
（2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解．
（1），，
，
，
扇形纸板的圆心角度数为；
（2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，
由（1）得，
,
彩带长度的最小值为．
24．(1)
(2)
(3)①有两种裁切方案：方案1：甲广告牌11块，乙广告牌1块；方案2：甲广告牌4块，乙广告牌4块；②还需要购买块板
本题考查扇形展开图，求圆心角，等边三角形的性质与判定，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组．
（1）根据弧长公式得出，即可求解；
（2）根据扇形展开图得出是等边三角形，则彩带的最短长度是
（3）①设一张该板裁切甲广告牌块，乙广告牌块，可得，求出非负整数解即可；②根据题意，设块板用方案1裁切，块板用方案2裁切，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解．
（1）解：依题意
解得：
（2）解：扇形展开图如图所示，
由（1）可得，又
∴是等边三角形，则彩带的最短长度是
（3）①解：设该板材裁切甲广告牌m块，乙广告牌n块，
根据题意得：
可得，
∵，为非负整数，
∴或
答：有以下两种裁切方案：
方案1：甲广告牌11块，乙广告牌1块；
方案2：甲广告牌4块，乙广告牌4块；
②解：，
还需要块甲广告牌，块乙广告牌，
设块板用方案1裁切，块板用方案2裁切，依题意得，
解得：
（块）
答：还需要购买块板．2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第三章投影与三视图 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在古代，皮影戏的光源通常使用一盏煤油灯，其投影属于（ ）
A．平行投影 B．中心投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定
2．下列投影中，正投影有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．为了测量操场中旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案，旗杆与标杆的水平距离为，标杆的高为，旗杆和标杆在太阳光下的影子分别为、，且，已知，，点B、C、E在一条直线上，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图以正六边形的顶点A为圆心，为半径作，与正六边形重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面面积与侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这堆立体图形中小正方体的个数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）
A．三个视图都是 B．主视图 C．左视图 D．俯视图
10．如图是一个零件的示意图，则该零件的主视图是（ ）
A．B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．为了促进乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱．在制作草帽时，用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则扇形草毡的圆心角为 ．
12．某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）．
13．某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 个．
14．如图，由若干相同大小的小正方体组成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，则组成该几何体最少需要小正方体个数为 ．
15．在下面的四个立体图形中，主视图是长方形的有 ．（填序号）
16．如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）画出如图所示的工件的三视图
（2）计算：
18．三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）．
19．用6个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体．
(1)请画出该几何体的三种视图；
(2)在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，使得左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加_____个小立方块．
20．如图，是半径为2米的一张圆形铁皮，从这张铁皮上剪出一个圆心角是的扇形（A、B、C三点在上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径（取，结果保留小数点后两位）．
21．如图，有一种单层绒布的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．灯罩的形状可以看作一个大圆锥裁掉上面的小圆锥得到的．现在要制作这种灯罩，已知的直径，的直径，，．
(1)线段的长为_______；
(2)请问制作一个这样的台灯灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）
22．某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．
(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是 ；
(2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
(3)请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
23．【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
24．已知：某中学将举办一次活动，需要若干生日帽：
(1)已知每个生日帽，底面半径为，母线长为，求生日帽侧面展开图的圆心角；
(2)在（1）的条件下，现从生日帽底面圆周上一点B出发，沿生日帽侧面拉一圈装饰彩带再回到点B，直接猜测彩带的最短长度是多少？
(3)本次活动还需要一些板，某广告公司利用长为、宽为的板裁切甲、乙两种广告牌，已知甲广告牌尺寸为，乙广告牌尺寸为．
①求1块板的所有无浪费裁切方案；
②需要甲、乙两种广告牌各500块，该公司仓库已有300块甲广告牌和420块乙广告牌，为了不造成材料的浪费，利用（1）中方案进行裁切，问：还需要购买多少块板（购买的板恰好全部用完）？
