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第三章 投影与三视图
单元测试·提升卷分析
浙教版 九年级下册
知识点分布
一、单选题 1 0.94 平行投影
2 0.85 解直角三角形的相关计算；正投影；根据矩形的性质与判定求线段长
3 0.75 中心投影；相似三角形实际应用
4 0.65 因式分解的应用；（x+p）（x+q）型多项式乘法；已知三视图求侧面积或表面积
5 0.65 求圆锥侧面展开图的圆心角
6 0.65 已知三视图求边长；已知三视图求体积
7 0.65 由三视图，判断小立方体的个数；已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
8 0.65 由三视图还原几何体
9 0.65 判断简单几何体的三视图
10 0.64 因式分解法解一元二次方程；相似多边形；判断简单几何体的三视图；中心对称图形的识别
知识点分布
二、填空题 11 0.75 中心投影；相似三角形的判定与性质综合
12 0.65 求圆锥侧面展开图的圆心角
13 0.65 已知三视图求体积
14 0.65 由三视图，判断小立方体的个数
15 0.65 画简单组合体的三视图
16 0.64 根据正方形的性质求线段长；平面图形旋转后所得的立体图形；判断简单几何体的三视图
知识点分布
三、解答题 17 0.85 画小立方块堆砌图形的三视图；已知三视图求体积
18 0.75 画小立方块堆砌图形的三视图
19 0.65 平行投影；相似三角形实际应用
20 0.65 利用平行判定相似；中心投影；相似三角形实际应用；利用相似三角形的性质求解
21 0.65 求弧长；求扇形面积；求圆锥底面半径；求圆锥的高
22 0.65 因式分解法解一元二次方程；求圆锥侧面积
23 0.64 解直角三角形的相关计算；由三视图还原几何体；已知三视图求侧面积或表面积
24 0.4 利用垂径定理求值；圆周角定理；求圆锥底面半径；用勾股定理解三角形2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第3章投影与三视图 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列光源所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．蜡烛 B．太阳 C．台灯 D．电灯
2．如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（ ）
A．越来越大 B．越来越小
C．不是直角三角形 D．
4．如图，长方体的三视图，若用表示面积，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
6．一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图①所示），此时液面刚好过棱，并与棱交于点，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示．当将该正方体平放（正方形在桌面上）时，液体的深度是（ ）
A． B． C． D．
7．一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥
9．如图所示，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去右上方的一部分，则剩下的几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似
B．正三棱柱的俯视图不一定是等边三角形
C．方程只有一个实数根
D．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度 ．
12．生日帽也称寿星帽，过生日的时候戴的一种头饰．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 ．
13．如图是一个几何体的主视图和左视图，图中标注的尺寸单位为，则该几何体的体积为 ．
14．用小立方块搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中的小立方块有 个．
15． 由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，这个几何体的主视图可以看到5个小正方体的面，则俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为 ．
16．如图，正方形的边长是，以直线为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的左视图的面积是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．用若干个棱长为1的小正方体搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示（小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数）．
(1)请在图中画出主视图和左视图；
(2)这个几何体的体积是______．
18．如图，有一个由9个完全相同的小立方块搭成的几何体，每个小正方体的棱长均为，如图所示．请画出这个几何体从三个方向看到的形状图．
19．数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数）
20．如图，三根木杆，，竖直立于地面，点B，D，F在同一条直线上．米，米，米，且米，木杆、的影子分别为、．
(1)请在图中画出表示木杆的影长的线段；
(2)已知，在图中测得木杆、的影长米，求木杆的影长．
21．已知一个扇形的圆心角是，半径是．
(1)求这个扇形的面积：
(2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少
22．按要求完成下列各题：
(1)解方程：；
(2)如图，圆锥的底面半径，高，求该圆锥的侧面积．
23．如图，是某几何体的三视图．
(1)直接写出该几何体名称；
(2)若中，，，，求左视图的面积．
24．综合与实践
学习完《对称图形——圆》这一章节后，小明同学对圆的相关知识产生了浓厚的兴趣，他打算通过“裁剪扇形、制作圆锥”等实践操作，深化理解圆的相关知识．为此，他准备了若干张半径均为8、材质均匀的圆形纸片用于下面的探究（每张纸片如图①所示，圆心记为O）．
【初步探究】
（1）如图②，小明用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形．
①请求出扇形的面积．
②他打算用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，你觉得小明能否从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？试说明理由．
【深入探究】
（2）小明继续探究，他发现存在如图③的情况：的半径仍是8，扇形的圆心角．点E在圆内，点M，N在上，与扇形的公共弦．求图中点O与点E的距离，并计算扇形的面积．
【拓展探究】
（3）若小明想用一张图①所示的圆形纸片剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），请直接写出所剪扇形的面积S的取值范围．2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第3章投影与三视图 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B D C C C D B
1．B
本题考查了平行投影，平行投影的光线需平行，太阳光因距离远可视为平行，其他选项为点光源，光线发散，形成中心投影，由此即可得解，熟练掌握平行投影的定义是解此题的关键．
解：平行投影要求光线平行；太阳光近似平行，形成平行投影；蜡烛、台灯、电灯为点光源，光线发散，形成中心投影，
故选：B．
2．B
本题考查正投影，解直角三角形，过B点作，利用锐角三角函数求出的长即可．
解：如图，过B点作，
是线段在投影面上的正投影，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
故选B．
3．D
此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
根据中心投影的特点，逐项判断，即可求解．
解：根据题意得：，
∴，和的形状相同，均为直角三角形，故A、C选项错误，D选项正确；
∵当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，
∴它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），越来越大，故B选项错误；
故选D．
4．B
本题考查了因式分解的应用，三视图.
先将，分解因式，根据面积公式可知，的公因式即为长方体的高，进而可知长方体的长和宽，进而计算即可.
∵，，，，
∴长方体的高为，
即长方体的长为，长方体的宽为，
∴，
故选：B.
5．D
本题主要考查了圆锥体侧面展开图的圆心角，先根据圆锥全面积公式求出母线长，再根据侧面展开图的弧长等于底面周长，建立方程求解圆心角．
解：∵圆锥全面积，其中，，
∴
即
∴
∴
设侧面展开图的圆心角为，则弧长
∵弧长等于底面周长
∴
∴
故侧面展开图的圆心角为，
故选D．
6．C
本题考查勾股定理、三棱柱的三视图及体积公式，熟练掌握勾股定理和三棱柱的体积公式是解题的关键．
根据勾股定理求出的长，再利用三棱柱的体积公式求出液体的体积，从而求出液体的深度．
解：、
，
液体的体积为：
当将该正方体平放时，液体的深度为，
故选：C．
7．C
本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．结合主视图(从正面看的图形)和俯视图(从上面看的图形)，分析每一列、每一行小立方体的可能层数，从而确定小立方体的最多个数．
解：第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)，每个位置最多叠层，
因此第列最多有个小立方体；
第列(主视图最高层) 俯视图中第列有个位置(第行)每个位置最多叠层，
因此第列最多有个小立方体；
第列(主视图最高层俯视图中第列有个位置(第行)，最多叠层，
因此第列最多有个小立方体；
∴总个数将三列的最多个数相加：．
故选：C．
8．C
本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解：由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分析可知为六棱柱，
故选：C．
9．D
本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键．注意，存在看不见的部分用虚线表示．从正面看，确定左视图即可．
解：几何体的左视图为：
故选：D．
10．B
本题考查几何视图、方程根的性质以及函数图象的对称性。选项A错误，因为矩形相似需对应边成比例，并非所有矩形都满足；选项B正确，因为正三棱柱的俯视图取决于放置方式，不一定是等边三角形；选项C错误，方程有两个实数根；选项D错误，反比例函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形．
解：∵ A、矩形相似需对应角相等且对应边成比例，但矩形长宽比不同时不相似，∴ A错误；
∵ B、正三棱柱若侧放，俯视图可为矩形，不一定为等边三角形，∴ B正确；
∵ C、方程化为，即，解得或，有两个实数根，∴ C错误；
∵ D、反比例函数的图象关于原点中心对称，也关于直线和轴对称，∴ D错误；
故选：B．
11．8
本题考查了相似三角形的应用．根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得．
解：根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∴小树高度．
故答案为：8．
12．/120度
本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解．
解：设侧面展开扇形的圆心角为，则，
．
故答案为：．
13．
本题考查了通过几何体的三视图求几何体的体积，能够通过主视图和左视图能将原立体图还原是解题关键；
根据主视图和左视图可知，原几何体可看成是3个长方体并排放在一起，长方体的宽都为，长都为，
长方体的高分别为：，然后再根据长方体的体积公式进行计算即可．
解：由主视图和左视图可知，原几何体可看成是3个长方体并排放在一起，长方体的宽都为，长都为，长方体的高分别为：，
∴原几何体的体积为：，
故答案为： ．
14．8或9或10
从主视图和俯视图先判断出能够确定小立方块数量的位置，在俯视图上标出来，然后不能确定数量的位置分情况讨论即可．
解：由主视图和俯视图可以在俯视图上确定第列和第列的小立方块数量都是1，如图所示：
第列的小立方块的数量从上到下可以是和，或和，或和，或和，或和，
∴小立方块的个数为或或.
故答案为：或或.
本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
15．7
左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，2，1．据此计算即可．
解：根据题意可得左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，2，1．
∴俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为：2+1+1+2+1=7．
故答案为：7
本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．
16．
本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据题意可知，左视图是一个长方形，即可得到面积．
解：由题意可知，左视图是一个以直径作为长，半径为宽的长方形，
故所得几何体的左视图的面积是，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)12
本题主要考查了从不同的方向看几何体，求几何体的体积，能正确画出从正面和左面看到的图形是解题的关键．
（1）从上面看得到图形的数字可得，从正面看有3列，看到小正方形的数量从左到右依次是4个、3个，2个；从左面看有3列，从左到右看到小正方形的数量依次是2个，4个，2个，据此可作图即可；
（2）根据从正面、左面、上面看到的小正方形个数求出体积即可．
（1）解：如图所示：
（2）解：这个几何体的体积是：．
故答案为：12．
18．见解析
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
根据三视图的作法依次作图即可．
解：从三个方向看这个几何体的形状如图所示：
19．该古塔的高度为
本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
证明即可求解．
解：由题意得，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
答：该古塔的高度为．
20．(1)见解析
(2)的影长为米．
本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
(1)连接、并反向延长相交于点O，连接并延长，即可求解；
(2)利用相似三角形的判定可得，，，再根据相似三角形的性质，列出方程，求出线段和，即可求出木杆的影长．
（1）如图，线段即为所求；
（2）如图，过点作垂直于点，设米，米．
，，
，
，
①，
同理可得，，
②，
由①②解得，经检验是分式方程组的解，
同理可得，，
，解得，
经检验是分式方程的解．
即的影长为3.6米．
21．(1)
(2)这个圆锥的高是
此题考查了扇形面积、弧长公式和勾股定理等知识，熟练掌握相关公式是关键．
（1）利用扇形面积公式计算即可；
（2）求出扇形所对的弧长和圆锥底面圆的半径，根据勾股定理即可求出答案．
（1）解∵扇形的圆心角为，半径为，
∴．
（2）扇形所对的弧长为．
设圆锥底面圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∴这个圆锥的高是．
22．(1)，
(2)
本题考查了解一元二次方程、勾股定理、求圆锥的侧面积，熟练掌握配方法解一元二次方程以及圆锥的侧面积公式是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算即可．
（1）解：
可得或
解得，；
（2）解：根据题意可得，
圆锥的侧面积为．
23．(1)三棱柱
(2)
本题考查根据三视图还原几何体，熟练掌握三视图之间的关系是解题的关键：
（1）观察可知，几何体为三棱柱；
（2）作，解直角三角形，求出的长，根据左视图和俯视图的宽相等，得到，再根据矩形的面积公式进行计算即可．
（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱；
（2）解：作，由题意，，
在中，，，
∴，
∴左视图的面积为．
24．（1）①扇形的面积为；②不能，理由见详解
（2）点O与点E的距离为，扇形的面积为
（3）扇形的面积S的取值范围
本题主要考查扇形面积、弧长公式的计算，垂径定理，圆周角定理等知识的综合，掌握其计算公式，数形结合分析是关键．
（1）①根据题意得到线段是过圆心的直径，则，，是等腰直角三角形，由勾股定理得到，结合扇形面积公式即可求解；
②根据题意得到剪后剩余的面积，再算出扇形底面圆的面积，由此即可求解；
（2）如图所示，过点作，连接，得到，即点共线，，，由扇形面积公式得到面积，在中，由勾股定理得到，由此得到点O与点E的距离；
（3）根据（1）（2）的提示分类讨论即可求解．
解：（1）①如图所示，连接，
∵，
∴线段是过圆心的直径，则，，
∵是扇形，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，则，
解得，（负值舍去），
∴扇形的面积；
②不能，理由如下，
已知扇形的面积，
∴剪下后剩余的面积为，
∵扇形的半径为，
∴扇形的弧长，
∴底面圆的周长，
∴底面圆的半径，
在被剪掉的最大的一块余料中剪出一个最大的圆，设这个圆的半径为
由题意得：
∵
∴
∴不能从剪下的3块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面；
（2）如图所示，过点作，连接，
∴，即点是的中点，
∵是等腰直角三角形，
∴，即点共线，
∴，，
∴扇形的面积，
在中，，
∴，
∴；
（3）∵剪出一个圆心角为的扇形（点M，N在上），是等腰三角形，
∴，
∴的圆心角为，劣弧所对的圆心角为，
由（1）得到当剪出一个圆心角为的扇形时，，
∴当扇形的弦在直径外时，如图所示，连接，
∴，
∴，且，
∴是等边三角形，
∴，
∴扇形的面积；
当扇形的弦在直径上时，如图所示，连接，且点是的中点，
∴，，，
∴，
在中，，即，
解得，，
∴，
∴扇形的面积；
综上所述，扇形的面积S的取值范围．
