2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第一章 解直角三角形单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，如果的正弦值是，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，根据杠杆原理，，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
6．如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
7．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形OABC中，，，将矩形绕点C逆时针旋转至矩形，若经过点B，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算： ．
12．如图，在中，，，，过点C作于点D，则的值为 ．
13．如下图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是 ．
14．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径在矩形内画弧，交边于点，连接交于点，则图中阴影部分面积为 ．
15．如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行后到达处，发现灯塔在它北偏东方向上，则此时货轮与灯塔的距离为 海里．（结果保留根号）
16．如图，的周长为，正六边形内接于则的面积为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：
18．（1）解方程：．
（2）如图，在中，，，，求的值．
19．已知中的满足
(1)请判断的形状．
(2)求的值．
20．如图，在一个建筑物两侧搭两个长度相同的滑梯（即），设计要求左、右两边的滑梯，的坡度分别为和．测得米，米．
(1)求滑梯的长；
(2)试猜想两个滑梯，的位置关系，并证明；
(3)小亮（看成点）从点沿滑梯下滑，请直接写出他与处距离的最小值．
21．已知：如图，在中，，为斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积．
23．综合与实践活动中，某小组要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度，其示意图如下图所示，点C，D，E依次在同一条水平直线上，，垂足为C．该小组在D处测得桥塔顶部B的仰角为，测得桥塔底部A的俯角为，又在E处测得桥塔顶部B的仰角为（结果取整数，参考数据：）．
(1)求CD的长．
(2)求桥塔AB的高度．
24．如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点作于点（点P不与点A、B重合），作，边交射线于点Q．设点的运动时间为秒．
(1)用含的代数式表示线段的长；
(2)当点与点重合时，求的值；
(3)设与重叠部分图形的面积为．
①求S与t之间的函数关系式；
②当S的值为时，直接写出的值．(共5张PPT)
浙教版 九年级下册
第一章 解直角三角形
单元测试·过关卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 求角的正弦值；求角的余弦值；求角的正切值
2 0.85 实数的大小比较；特殊角三角函数值的混合运算
3 0.75 正弦的概念辨析；余弦的概念辨析；正切的概念辨析
4 0.75 已知正弦值求边长
5 0.65 其他问题（解直角三角形的应用）
6 0.65 等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；方位角问题(解直角三角形的应用)
7 0.65 勾股定理与网格问题；解非直角三角形；三线合一；求角的正弦值
8 0.65 求证同角三角函数关系式；两直线平行同旁内角互补
9 0.65 根据三角函数值判断锐角的取值范围；用勾股定理解三角形
10 0.64 根据旋转的性质求解；根据矩形的性质求线段长；根据特殊角三角函数值求角的度数
知识点分布
二、填空题 11 0.75 二次根式的乘法；二次根式的加减运算；分母有理化；特殊角三角函数值的混合运算
12 0.85 直角三角形的两个锐角互余；求角的余弦值；用勾股定理解三角形
13 0.65 求角的正切值
14 0.65 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积；根据矩形的性质求线段长；求其他不规则图形的面积；其他问题（解直角三角形的应用）
15 0.65 方位角问题(解直角三角形的应用)
16 0.64 正多边形和圆的综合；特殊三角形的三角函数
知识点分布
三、解答题 17 0.85 实数的混合运算；因式分解法解一元二次方程；负整数指数幂；特殊角三角函数值的混合运算
18 0.75 公式法解一元二次方程；求角的余弦值
19 0.65 绝对值非负性；特殊三角形的三角函数；根据特殊角三角函数值求角的度数
20 0.65 全等的性质和SSS综合（SSS）；坡度坡比问题(解直角三角形的应用）；用勾股定理解三角形
21 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；解直角三角形的相关计算；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合
22 0.65 证明四边形是菱形；根据菱形的性质与判定求面积；特殊三角形的三角函数；利用平行四边形性质和判定证明
23 0.64 已知正切值求边长
24 0.4 解直角三角形的相关计算；等腰三角形的性质和判定；已知二次函数的函数值求自变量的值；图形运动问题(实际问题与二次函数)2025—2026学年九年级数学下学期单元测试卷
第一章 解直角三角形单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A A A C C B A A
1．B
本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个锐角所对的直角边的长与斜边长的比值，余弦值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与斜边长的比值，正切值等于这个锐角所对的直角边的长与另一直角边的长的比值，余切值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与该锐角所对的直角边的长的比值，据此可得答案．
解：∵在中，，、、分别是、、的对边，
∴，，，，
故选：B．
2．A
本题考查了特殊角的三角函数值，实数的大小比较，根据特殊角的三角函数值先求出各选项的数值，再根据实数的大小比较方法比较即可求解，熟记特殊角的三角函数值
是解题的关键．
解：，，，
∵正数大于，负数小于，正数大于一切负数，
∴最小的数在和之间，
∵，，
∴，
又∵两个负数比较，绝对值大的反而小，
∴，
∴最小的数是，
故选：．
3．A
本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，故C选项错误；
，故B选项错误；
，故A选项正确；
，故D选项错误；
故选A．
4．A
根据正弦定义，在直角三角形中，的正弦值等于其对边与斜边的比值，已知，因此，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键．
∵在中，，，
∴，
故选:A．
5．A
本题考查了三角函数的应用，根据等式得，然后可得杠杆向下运动时变小，变大，变大，变小，即可求解.
解：∵
∴
∵杠杆向下运动时变小，变大，变大，变小，
∴越来越小，
故选：A.
6．C
本题考查了解直角三角形——方位角问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．正确作出辅助线构造直角三角形，并灵活应用等腰三角形的性质及方位角的定义是解答本题的关键．根据三角形内角和定理证出，由此得到，进而构造，并运用的正弦值即可求得灯塔到海岸线的距离．
解：如图，过点作交延长线于点．
由题意，易知，，．
由三角形的内角和等于，得．
∴．
∴是等腰三角形．
∴海里．
∵，
∴．
在中，，海里，，
∴(海里)．
∴灯塔到海岸线的距离为海里．
故选：C．
7．C
本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．
解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为，
∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，
∴，，，
∴，
∵，
∴点是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的值为．
故选：C．
8．B
本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键．
利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
9．A
由勾股定理，依次得到，，，由，，得到，，
由，，得到（三角形的三条高相交于同一点），结合，得到，即可求解，
本题考查了，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握通过三角函数比较角的大小．
解：∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴（三角形的三条高相交于同一点），
又∵，
∴，
故选：A．
10．A
此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解决问题的关键．由矩形的性质得，，由旋转得，，则，所以，求得，于是得到问题的答案．
解：四边形是矩形，，，
，，
将矩形绕点逆时针旋转至矩形，若经过点，
，，
，
，
，
故选：A．
11．/
本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
解：
，
故答案为：．
12．
本题主要考查了锐角三角函数关系的定义，首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．
解：在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．/
本题主要考查了求一个角的正切值，熟练掌握正切函数定义，是解题的关键．根据在中，，，，求出即可．
解：在中，，，，
∴．
故答案为：．
14．
本题主要考查矩形的性质及扇形的面积、解直角三角形的应用、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的判定及性质以及扇形的面积公式是解题的关键．先利用解直角三角形求得，进而可求得扇形的面积，再通过相似三角形求得，进而可得，再求出，最后根据得解．
解：由题意可知，，，，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．过点作于点；根据题意求出的长，由锐角三角函数定义求出的长，再由三角形的外角的性质求出的度数，进而求出的长，即可解决问题．
解：如图，过点作于点，
则，
∵货轮以海里/小时的速度在海面上航行，向北航行分钟后到达点，
∴（海里），
∵，
∴（海里），
∵，
∴，
∴（海里），
即此时货轮与灯塔的距离为海里，
故答案为：．
16．
本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
解：设半径为r，由题意得，，
解得，
六边形是的内接正六边形，
，
，
是正三角形，
，
弦所对应的弦心距为，
故答案为：
17．（1）2；（2）
本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先进行负整数指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，零指数幂的运算，再进行加减运算即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
解：（1）原式；
（2），
，
或，
解得．
18．（1），；（2）．
本题主要考查了解一元二次方程，解直角三角形．
（1）用公式法求解即可；
（2）先利用勾股定理得出，再根据余弦二次函数的定义即可求解．
（1）解：，
∵，，，，
∴，
∴，；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴．
19．(1)锐角三角形
(2)
（1）利用平方和绝对值的非负性和特殊的三角函数值求得，的度数，再利用三角形的分类解答即可；
（2）将特殊角的三角函数值代入后化简运算即可．
（1）解：由题意，得，
，
，
是锐角三角形；
（2）解：，
原式
．
本题考查了平方和绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，三角形的分类，零指数幂的意义，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．(1)米
(2)，证明见解析
(3)米
本题考查解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）勾股定理求出的长，再根据坡度求出的长，再利用勾股定理求出的长即可；
（2）延长交于点，证明，推出，即可；
（3）垂线段最短，得到，得到重合时，最小，解直角三角形求出的长，求出的长，即可．
（1）解：∵，，，
∴，
∵滑梯的坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴滑梯的长为米；
（2），证明如下：
延长交于点，
∵，滑梯的坡度为，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵点在上，
∴当时，最小，
由（2）知：，
∴重合，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：．
21．(1)见解析；
(2)9
（1）利用直角三角形斜边中线性质得线段相等，推导角的等量关系，结合垂直条件证角相等，进而证明相似；
（2）结合三角函数与相似三角形的边比例关系求解线段长度．
（1）证明：∵ ，是斜边的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∵，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，即，，
∴ ，
∵
∴ ．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质及三角函数的应用，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证；
（2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解．
（1）证明：垂直平分，
，，
四边形是平行四边形
，
，
在与中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
（2）解：，
，
，
四边形为菱形，
为的中点，
∵为线段的中点，
是三角形的中位线．
，
，
，，
，，
如图，作，垂足为，则，
，
则．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角函数，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
23．(1)
(2)
本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，解决题的关键熟练掌握锐角三角函数的定义．
（1）根据垂直定义可得：，然后设,则分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答；
（2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
（1）解：设．
．
．
，
．
，
，
，解得．
答：的长约为．
（2）解：，
，
．
答：桥塔的高度约为．
24．(1)
(2)
(3)①；②或
本题考查的是解直角三角形，求函数解析式，求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接解直角三角形求得，，由题意可知在中，，解直角三角形求得，，即可得到答案；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据题意列式计算即可；
（3）①分、两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到S与t之间的函数关系式；
②把代入S与t之间的函数关系式，求解即可．
（1）解：∵在中，，，
∴，
，
∵，
∴．
∵在中，，
∴，
∴；
（2）解：∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点Q和点C重合，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当时，，
当时，如图所示．
．
在中，，
∴．
∴，
∴
②把代入函数，得，
解得；
把代入函数，得，
解得，（不合题意，舍去），
综上所述，当S的值为时，或．
